精品解析：湖南长沙市雨花区金海中学2026-2027这年八年级上学期第一次学情自测数学试卷

2026年秋长沙市雨花金海中学八年级第一次月考 八年级数学精编校本作业 总分：120分 时量：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 剪纸是我国最为流行的传统民间艺术形式之一，特别是在春节期间，常用剪纸来装饰门窗和房间，以增加喜庆的气氛．下面四个剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个三角形的三边长分别为a，b，c，则a，b，c的值不可能是（　　） A. 3，4，5 B. 5，7，7 C. 10，6，4.5 D. 4，5，9 3. 下列运算正确的是（ ）. A. B. C. D. 4. 如图，在已知中，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方形网格中，点，为格点，点为直线上的动点，则使的值为最小的点是（ ） A. B. C. D. 6. 在，，，（相邻两个之间的个数逐次加），，，中，有理数的个数是（ ）个． A. B. C. D. 7. 根据下列条件，能画出唯一三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 若方程是二元一次方程，则的值为（ ）. A. 2 B. C. 0 D. 9. 如图，直线，的顶点C在直线b上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①点到的三个顶点的距离相等；②；③当时，；④若，，则．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 4的算术平方根是__________． 12. 在中，，，则________． 13. 如图，点与点关于直线（过点，且与轴平行的直线）对称，则______． 14. 如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，过点B作，在上取两点C，D，使得，再过D点作的垂线，使得点E、C、A在同一直线上，若，，，则A，B两点的距离是___________． 15. 命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是________________________． 16. 如图，已知，是射线上的一个动点，若为等腰三角形，则的度数为_________________． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）解不等式：． 18. 已知，ABC三条边的长分别为． （1）若，当ABC为等腰三角形，求ABC的周长． （2）化简：． 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，三点在格点上． （1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）作出关于轴对称的； （3）求的面积． 20. 如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 21. 已知点． （1）若点关于轴对称，试求的值； （2）若点关于轴对称，试求． 22. 如图，和均为等边三角形，连接、交于点． （1）求证：； （2）求的度数； （3）连接，证明：平分． 23. 如图，在中，平分，与线段的延长线交于点． （1）证明：； （2）试探究线段和的数量关系，并证明你的结论． 24. 在数学学习过程中，自学是一种非常重要的学习方式，通过自学不仅可以获得新知，而且可以培养和锻炼我们的思维品质．请你通过自学解答下面的问题：解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里所含式子的正负性，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答．例如：解不等式．解：①当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；②当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；综上可知，原不等式的解集为或． （1）请用以上方法解不等式关于的不等式： （2）已知关于、的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求值； （3）已知关于、的方程组满足方程组的未知数x的值为整数，系数也为整数且．求满足条件的和的值． 25. “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】（1）如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，猜想、与之间满足的数量关系，并说明理由； 【模型应用】（2）如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，求的长． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋长沙市雨花金海中学八年级第一次月考 八年级数学精编校本作业 总分：120分 时量：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 剪纸是我国最为流行的传统民间艺术形式之一，特别是在春节期间，常用剪纸来装饰门窗和房间，以增加喜庆的气氛．下面四个剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的定义，即如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义，依次判断每个选项中的图形是否能沿某条直线折叠后，直线两旁的部分互相重合． 【详解】A、该图形能找到一条直线，沿此直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B、该图形找不到一条直线，使得沿此直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C、该图形找不到一条直线，使得沿此直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D、该图形找不到一条直线，使得沿此直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：A． 2. 一个三角形的三边长分别为a，b，c，则a，b，c的值不可能是（　　） A. 3，4，5 B. 5，7，7 C. 10，6，4.5 D. 4，5，9 【答案】D 【解析】 【分析】三角形的三边应满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此求解． 【详解】解：A、3＋4＞5，故正确，不符合题意； B、5＋7＞7，故正确，不符合题意； C、6＋4.5＞10，故正确，不符合题意； D、4＋5＝9，故错误，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 3. 下列运算正确的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A. ，故A错误； B. ∵， ∴，故B正确； C.∵，， ∴，故C错误； D. ，故D错误． 4. 如图，在已知中，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一是解题的关键． 根据等腰三角形的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵不一定成立， ∴故C错误，符合题意，A、B、D正确，不符合题意． 故选：C． 5. 如图，在正方形网格中，点，为格点，点为直线上的动点，则使的值为最小的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 根据轴对称图形的性质作点A关于直线l的对称点；连接，与直线l相交于点，即为所求； 【详解】解：如图所示：作点A关于直线l的对称点；连接，与直线l相交于点，点即为所求； 故选：B． 6. 在，，，（相邻两个之间的个数逐次加），，，中，有理数的个数是（ ）个． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简含根号的数，再根据有理数的定义分类统计个数． 【详解】解：； 有理数有，，； 无理数有，，（相邻两个之间的个数逐次加），； 所以有理数共3个． 7. 根据下列条件，能画出唯一三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，掌握全等三角形判定定理是关键． 根据两个三角形全等的判定定理逐项判断即可完成． 【详解】解：A、 ∵ ， ∴此三条线段不能围成一个三角形，故不能画出； B、已知两边的长和其中边的对角，根据全等三角形的判定方法是不能画出唯一三角形； C、已知两个边和这两个边的夹角，根据判定定理可以画出唯一三角形； D、已知三个角，根据两个三角形全等的判定方法，可以画出无数个这样的三角形，不能画出唯一三角形，故不合题意； 故选：C． 8. 若方程是二元一次方程，则的值为（ ）. A. 2 B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二元一次方程的定义，列出关于m、n的方程和不等式，解出后得m、n的值，代入计算即可得答案 【详解】解：∵ 方程为二元一次方程， ∴ ，，，解得：， 把代入得：，解得：或， 把代入得，解得：， ∴ ， ∴ 9. 如图，直线，的顶点C在直线b上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，根据平行线的性质求出，根据对顶角的性质得出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 又， ∴， 故选：D． 10. 如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①点到的三个顶点的距离相等；②；③当时，；④若，，则．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由角平分线的性质即可判断；由三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，，再由三角形内角和定理得，即可判断；在上取一点，使得，证明，得到，进而再证明，得到，据此可得结论；过点作于，于，连接，由角平分线的性质得到，由三角形的面积公式得到，，，根据，即可判断． 【详解】解：，分别是和的角平分线， 根据角平分线的性质，点到三边距离相等，而不是到三个顶点距离相等，故错误； 在中，， ， ，分别是和的角平分线， ，， 在中， ，故正确； 当时，， ， 在上取一点，使得， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故正确； 过点作于，于，连接， 和的角平分线交于点， 点在的平分线上， ， ，，， ， ， ，故正确； 综上所述，正确的是． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 4的算术平方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，找到平方等于的非负数即可得到结果. 【详解】解：∵ 正数的算术平方根是它的正平方根，且， ∴的算术平方根是. 12. 在中，，，则________． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据三角形的内角和解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为： 60． 13. 如图，点与点关于直线（过点，且与轴平行的直线）对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，根据对称点到对称轴的距离相等得出，得出，结合横坐标不变，所以，即可作答． 【详解】解：∵点与点关于直线（过点，且与轴平行的直线）对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，过点B作，在上取两点C，D，使得，再过D点作的垂线，使得点E、C、A在同一直线上，若，，，则A，B两点的距离是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键； 根据题中条件证明，可得． 【详解】解：由题知，，， ， 又点E、C、A在同一直线上， ， 又， ， ， A，B两点的距离是． 故答案为：． 15. 命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是________________________． 【答案】两锐角互余的三角形是直角三角形 【解析】 【分析】将原命题的题设和结论交换位置，即可得到它的逆命题. 【详解】解：原命题“直角三角形两锐角互余”可以改写为“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余”．题设为“一个三角形是直角三角形”，结论为“它的两个锐角互余”．交换题设和结论，整理后得到逆命题：两锐角互余的三角形是直角三角形． 16. 如图，已知，是射线上的一个动点，若为等腰三角形，则的度数为_________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，分三种情形，利用等边对等角、三角形内角和定理求解即可．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：如图，满足条件的点有三个， ∵， 当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 综上所述，满足条件的的度数为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）解不等式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算每一项，再合并化简，注意绝对值化简规则和负数奇次幂的符号； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式，注意系数为负时不等号方向改变． 【小问1详解】 解：        【小问2详解】 解： 两边同乘去分母得：   ， 去括号得：  ， 移项合并同类项得：   ， 系数化为得：  ． 18. 已知，ABC三条边的长分别为． （1）若，当ABC为等腰三角形，求ABC的周长． （2）化简：． 【答案】（1）△ABC的周长为10；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出三角形周长； （2）根据三角形三边满足的条件是，两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴a-2=0，b-4=0， ∴a=2，b=4， ∵△ABC为等腰三角形， 当2为腰时，则三边为2，2，4， 而2+2<4，不能组成三角形，舍去； 当2为底时，则三边为2，4，4， 而2+4>4，能组成三角形， ∴△ABC的周长为2+4+4=10； （2）∵△ABC三条边的长分别为a、b、c， ∴，，， 即，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，以及绝对值的计算，第(2)问的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负． 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，三点在格点上． （1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）作出关于轴对称的； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据关于y轴对称的点横坐标变相反数、纵坐标不变的坐标规律，描点画出，读出坐标； （2）利用关于x轴对称的点纵坐标变相反数、横坐标不变的规律，画出； （3）用矩形面积减去周围三个直角三角形面积计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 20. 如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵，点是边的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形 ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得解； （2）根据直角三角形的性质得出，再根据等边三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴在中，． ∵， ∴． ∵点是边的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴． 21. 已知点． （1）若点关于轴对称，试求的值； （2）若点关于轴对称，试求． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了点坐标与轴对称“在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相等、纵坐标互为相反数；关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标相等”，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键． （1）在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相等、纵坐标互为相反数建立方程组，解方程组即可得； （2）在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标相等建立方程组，解方程组求出m，n的值，然后再代入代数式求解即可． 【小问1详解】 解：点关于轴对称， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：点关于y轴对称， ∴， 解得， ∴ 22. 如图，和均为等边三角形，连接、交于点． （1）求证：； （2）求的度数； （3）连接，证明：平分． 【答案】（1）证明：和均为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； （2） （3）证明：如图，过点作于点，于点， ， ，， ， ， ，， 点在的平分线上，即平分． 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形边相等、内角为，等角加公共角证出，用证明； （2）由全等得到对应角相等，再结合等边三角形内角，利用三角形内角和推导求出； （3）过点分别作、的垂线，由全等三角形面积相等、底相等推出两条垂线段相等，利用角平分线判定定理证明平分． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 为等边三角形， ， 在中， ； 【小问3详解】 略 23. 如图，在中，平分，与线段的延长线交于点． （1）证明：； （2）试探究线段和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明：，， ， ， ， 即． （2），理由如下： 延长、交于点，如图， 则， ， ， ， ， 又，， ， ， 平分， ， ， ， 在和中： ， ， ． 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理以及已知条件进行角度的转化即可． （2）通过构造全等三角形来找出和的数量关系即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 在数学学习过程中，自学是一种非常重要的学习方式，通过自学不仅可以获得新知，而且可以培养和锻炼我们的思维品质．请你通过自学解答下面的问题：解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里所含式子的正负性，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答．例如：解不等式．解：①当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；②当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；综上可知，原不等式的解集为或． （1）请用以上方法解不等式关于的不等式： （2）已知关于、的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求值； （3）已知关于、的方程组满足方程组的未知数x的值为整数，系数也为整数且．求满足条件的和的值． 【答案】（1）或 （2）或 （3）或， 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值方程的解法，绝对值的性质，解一元一次不等式，二元一次方程组； （1）仿照例题，分情况讨论，分别解一元一次不等式，即可求解； （2）根据方程组的特征得出，根据题意可得，进而按照（1）的方法解不等式，即可求解． （3）将方程组中两方程相减，进而用表示，再结合未知数的值为整数，系数也为整数且，便可得出结果； 【小问1详解】 解：①当时，即时， 原式化为：， 解得：，此时，不等式的解集为； ②当时，即时， 原式化为： 解得：，此时，不等式的解集为； 综上可知，原不等式的解集为或 【小问2详解】 ①+②得， ∴ ∵， ∴， ①当时，即时， 原式化为：， 解得：，此时，不等式的解集为； ②当时，即时， 原式化为： 解得：，此时，不等式的解集为； 综上可知，原不等式的解集为， ∵为正整数， ∴或 【小问3详解】 解： 得， ∴ ∴ ∵未知数的值为整数，系数也为整数且， ∴， ∴或， 25. “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】（1）如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，猜想、与之间满足的数量关系，并说明理由； 【模型应用】（2）如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，求的长． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，求的面积． 【答案】 （1）与之间满足的数量关系是：，理由如下： 如图1所示： 在中，， ∵于点于点， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 即； （2）6；（3）63 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质：构造全等三角形是解题的关键． （1）证出，由此可得，故可得； （2）证出，可得，再结合几何关系即可求出； （3）过点作直线于点，过点作直线于点，同（1）证出，可得，，，， 进而可得出，，再证出即可．由全等三角形的性质得出，进一步得出，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）如图2所示： 在中，， ， 于点于点E， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ∴， 故答案为：6； （3）过点作直线于点，过点作直线于点，如图3所示： 同（1）证明：， ，，，， ，， ∵，， ∴，， ∵于点P，于点， 在和中，， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $