精品解析：湖南省长沙市雨花区华益中学2025-2026学年第一次月考八年级数学试卷

2025−2026学年湖南省长沙市雨花区华益中学八年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图1所示是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似的看成等腰三角形（如图2），若，则的度数为（     ） A. B. C. D. 4. 已知点和点关于x轴对称，则的值是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 5. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 6. 小明利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，木工师傅做窗框时，常常像图中那样钉上两条斜拉的木条起到稳固作用，这样做的数学原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 长方形的轴对称性 D. 两直线平行，同位角相等 8. 如图，平分，于点C，点D在上，若，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 9. 若是完全平方式．则的值可能是（ ） A. 6或 B. 18 C. 12或 D. 36 10. 如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：x2y-4y=____． 12. 若，则_____． 13. 若，则的值为__________． 14. 已知a＋b＝5，ab＝6，则a2＋b2＝_____． 15. 如图，已知，若以“”为依据证明，需要添加条件__________． 16. 如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，则______． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 把下列各式因式分解：（分解要彻底） （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 下面是多媒体上的一道习题： 如图是的中线，，求的取值范围． 请将下面的解题过程补充完整． 解：延长至点E，使，连接． ∵是的中线， ∴ ， 在和中， ， ∴（ ）， ∴， 在中，根据“三角形三边关系”可知：_____________________， 又∵， ∴______________________． 20. 如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点时，过点作于，点到地面的距离，当他从处摆动到处时，，若，作，垂足为F．求到的距离． 21. 阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为识，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部．b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算： （1）填空：___________，___________； （2）计算：① ② （3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（x，y为实数），求x，y的值． 22. “一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进7个甲型头盔和6个乙型头盔需要600元，购进5个甲型头盔和8个乙型头盔需要670元． （1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ （2）若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，以甲型头盔58元/个、乙型头盔98元/个的价格销售完，要使总利润不少于6190元，有多少种进货方案？ 23. 如图，在中，是边上的中线，，， 交的延长线于点． （1）若，，求的长； （2）求证：为等腰三角形． 24. “读有益之书，做有益之事，成有益之人”，我们不妨约定：如果一个整数能表示成两个整数的平方差形式（即可以写成的形式其中a、b是整数），则称这个数为“有益数”．例如，3是“有益数”，理由：因为，所以3是“有益数”． （1）按要求填空． ①已知20是“有益数”，请将它写成（、是整数）的形式______；（写一种即可） ②整式可表示成（m、n为常数且），则的值是______； ③请判断122是否为“有益数”，______；（填“是”或“否”） （2）已知（x、y是整数，t是常数），要使Y为“有益数”，试求出符合条件的一个t值，并说明理由． （3）已知是关于x的方程的解，是关于x的方程的解（其中k是常数），求“有益数”（是整数）的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，等腰中，，，点B在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，其中、，斜边交y轴于点D． （1）若，，直接写出点B的坐标为______，点C的坐标为______，点A的坐标为______． （2）如图2，已知交x轴负半轴于点E，连接，，交于点F，求证：点F到y轴的距离等于c； （3）在（2）的条件下，若点A在第三象限的角平分线上，记的面积为，的面积为，的长度为a． ①求证：点D是线段的中点； ②猜想一下，与有怎样的数量关系，先给出结论再写出理由（提示：尝试用a，b，c去表示与） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年湖南省长沙市雨花区华益中学八年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A.不是中心对称图形，不符合题意； B.是中心对称图形，符合题意； C.不是中心对称图形，不符合题意； D.不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、单项式乘单项式法则、合并同类项法则分别计算判断即可． 【详解】解：A项：，故此选项不符合题意； B项：，故此选项不符合题意； C项：，故此选项不符合题意； D项：，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 如图1所示是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似的看成等腰三角形（如图2），若，则的度数为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，根据题意得到，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵其形状可以近似的看成等腰三角形（如图2）， ∴， ∴， 故选：A ． 4. 已知点和点关于x轴对称，则的值是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键．关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得a，b的值，进而可得答案． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 5. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 6. 小明利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用图形法进行因式分解，解题的关键是数形结合，用两种方法表示大长方形的面积． 用两种方法表示大长方形的面积即可得出答案． 【详解】解：根据题图可得大长方形是由2个边长为b的正方形，3个长为b宽为a的长方形和1个边长为a的正方形组成， ∴大长方形的面积为， 另外大长方形可以看作一般长为宽为的长方形组成， ∴大长方形的面积为， ∴可以得到一个因式分解的等式为，故D正确． 故选：D． 7. 如图，木工师傅做窗框时，常常像图中那样钉上两条斜拉的木条起到稳固作用，这样做的数学原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 长方形的轴对称性 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】B 【解析】 【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 【详解】解：这样做的数学原理是：三角形的稳定性． 故选：B． 8. 如图，平分，于点C，点D在上，若，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可解答． 【详解】解：如图，过点P作于E， ∵平分，，， ， ， ∴的面积为：， 故选：C． 9. 若是完全平方式．则的值可能是（ ） A. 6或 B. 18 C. 12或 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，形如的式子为完全平方式，据此求解． 【详解】解：， 若是完全平方式．则， 即的值可能是12或， 故选C． 10. 如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、垂线段最短、等腰三角形的性质以及三角形的面积， 由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．利用点到直线垂线段最短找出的最小值为是解题的关键． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴垂直平分， ∴， 过点B作于点Q，交于点P， 则此时取最小值，最小值为的长，如图所示． ∵， ∴． 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：x2y-4y=____． 【答案】y(x+2)(x-2) 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)， 故答案为：y(x+2)(x-2)． 【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解． 12. 若，则_____． 【答案】 8 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法法则进行计算． 【详解】解：由同底数幂的乘法法则，得， ∵ ，， ∴ ． 故答案为 ：8． 13. 若，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键，先根据多项式乘多项式的运算法则计算，由题意得出，即可得出的值． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 14. 已知a＋b＝5，ab＝6，则a2＋b2＝_____． 【答案】13 【解析】 【分析】由题意利用完全平方和公式可得，进而整体代入a＋b＝5，ab＝6即可得出答案. 【详解】解：. 故答案为：13. 【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握和利用完全平方和公式进行变形是解题的关键，注意整体思维的运用. 15. 如图，已知，若以“”为依据证明，需要添加条件__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，对顶角，若以“"为依据证明，还需添加一个边的信息且该边与夹角相邻，据此解题． 【详解】解：添加条件． 理由：在和中， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的判定，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 16. 如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键． 由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 把下列各式因式分解：（分解要彻底） （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先提取公因式再利用完全平方公式进行因式分解； （2）先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】利用完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式去括号，再合并同类项得到结果，再将a的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ， 原式． 【点睛】此题考查整式的化简求值，整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 19. 下面是多媒体上的一道习题： 如图是的中线，，求的取值范围． 请将下面的解题过程补充完整． 解：延长至点E，使，连接． ∵是的中线， ∴ ， 在和中， ， ∴（ ）， ∴， 在中，根据“三角形三边关系”可知：_____________________， 又∵， ∴______________________． 【答案】， ，1，7，0.5，3.5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、中线的性质及三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定及性质和三角形三边关系是解题的关键． 延长到E，使，连接，利用中线的性质及全等三角形的判定及性质可得，再利用三角形三边关系即可求解． 【详解】解：延长至点E，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，根据“三角形三边关系”可知： ， 又∵， ∴ ． 故答案为：，，1，7，0.5，3.5 20. 如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点时，过点作于，点到地面的距离，当他从处摆动到处时，，若，作，垂足为F．求到的距离． 【答案】到的距离为 【解析】 【分析】先证明，即可得到，再求出即可得到答案． 【详解】解：，于， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即到的距离为． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 21. 阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为识，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部．b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算： （1）填空：___________，___________； （2）计算：① ② （3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（x，y为实数），求x，y的值． 【答案】（1） （2）①10；② （3） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，乘法公式，解二元一次方程组，准确理解题意是解题的关键． （1）根据材料所给的方法计算即可； （2）①利用平方差公式运算即可；②利用完全平方公式计算即可； （3）根据两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，得出，求解即可 【小问1详解】 ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 ① ； ② ； 【小问3详解】 ∵， ∴， 解得， 即． 22. “一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进7个甲型头盔和6个乙型头盔需要600元，购进5个甲型头盔和8个乙型头盔需要670元． （1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ （2）若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，以甲型头盔58元/个、乙型头盔98元/个的价格销售完，要使总利润不少于6190元，有多少种进货方案？ 【答案】（1）购进1个甲型头盔需要30元，1个乙型头盔需要65元 （2）共有3种进货方案，方案1：购进80个甲型头盔，120个乙型头盔；方案2：购进81个甲型头盔，119个乙型头盔；方案3：购进82个甲型头盔，118个乙型头盔 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设购进1个甲型头盔需要x元，1个乙型头盔需要y元，根据“购进7个甲型头盔和6个乙型头盔需要600元，购进5个甲型头盔和8个乙型头盔需要670元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m个甲型头盔，则购进个乙型头盔，根据“购进200个这两种型号的头盔的总费用不超过10200元，且全部售出后获得的总利润不少于6190元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各进货方案． 【小问1详解】 解：设购进1个甲型头盔需要x元，1个乙型头盔需要y元， 根据题意得：， 解得：． 即购进1个甲型头盔需要30元，1个乙型头盔需要65元． 【小问2详解】 解：设购进m个甲型头盔，则购进个乙型头盔， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为80，81，82， ∴共有3种进货方案， 方案1：购进80个甲型头盔，120个乙型头盔； 方案2：购进81个甲型头盔，119个乙型头盔； 方案3：购进82个甲型头盔，118个乙型头盔． 23. 如图，在中，是边上的中线，，， 交的延长线于点． （1）若，，求的长； （2）求证：为等腰三角形． 【答案】（1） （2） 证明：过点作，，垂足为点； ∵平分， ∴． 又∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据， ，可得出，进而得到等边，求出结果； （2）过点作，，垂足为点；通过证明得到，进而得出结论； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴，， ∴是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练运用角平分线的性质是解题的关键． 24. “读有益之书，做有益之事，成有益之人”，我们不妨约定：如果一个整数能表示成两个整数的平方差形式（即可以写成的形式其中a、b是整数），则称这个数为“有益数”．例如，3是“有益数”，理由：因为，所以3是“有益数”． （1）按要求填空． ①已知20是“有益数”，请将它写成（、是整数）的形式______；（写一种即可） ②整式可表示成（m、n为常数且），则的值是______； ③请判断122是否为“有益数”，______；（填“是”或“否”） （2）已知（x、y是整数，t是常数），要使Y为“有益数”，试求出符合条件的一个t值，并说明理由． （3）已知是关于x的方程的解，是关于x的方程的解（其中k是常数），求“有益数”（是整数）的值． 【答案】（1）①，②12，③否 （2）存在， （3）8 【解析】 【分析】本题考查了新定义问题的理解与应用，平方差公式，完全平方公式及解一元二次方程． （1）①20需表示为两整数平方差，利用平方差公式，找同奇偶的两数乘积为20，解得a和b的值； ②将整式配方为，展开后对比系数得，，即可得到的值； ③对于，，，说明，与，是同时为奇数，或同时为偶数，而122分解是一奇一偶，故不是有益数； （2）将表达式配方为两整数平方差形式，确保结果为两整数平方差； （3）分别解两个方程得、的表达式，利用整数条件限制k的可能值，联立消去k得、的关系，求解整数解，最后代入计算，验证结果为有益数． 【小问1详解】 解：①由题意，∵20是“有益数”， ∴， 故答案为：； ②由题意得，， ∴对比可知，， ∴， 故答案为：12， ③假设122是有益数， ∵对于，，， ∴说明，与，是同时为奇数，或同时为偶数， ∵均为“一奇一偶”， 无满足条件的整数a、b， ∴122不是有益数， 故答案为：否． 【小问2详解】 解：由题意得， ， ∵Y为“有益数”， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：由题意知， ∵是关于x的方程的解，是关于x的方程的解， ∴解得，， ∵为整数， ∴整除k，设（a为整数且），则，代入得，故，即或， ∵为整数， ∴整除，设（b为整数且），则，代入得，故，即或（此时方程无解，舍去）， 联立、为整数的条件，通过消去k得： 由和，得， 即， ∵、为整数， ∴，， 当时，，此时k无意义，故排除， ∴． 25. 如图，在平面直角坐标系中，等腰中，，，点B在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，其中、，斜边交y轴于点D． （1）若，，直接写出点B的坐标为______，点C的坐标为______，点A的坐标为______． （2）如图2，已知交x轴负半轴于点E，连接，，交于点F，求证：点F到y轴的距离等于c； （3）在（2）的条件下，若点A在第三象限的角平分线上，记的面积为，的面积为，的长度为a． ①求证：点D是线段的中点； ②猜想一下，与有怎样的数量关系，先给出结论再写出理由（提示：尝试用a，b，c去表示与） 【答案】（1），， （2） 证明：如图2所示，过点A作轴于点M，过点F作轴于点N，则， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即点F到y轴的距离等于c． （3） 证明：由（1）的证明方法可得，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D是线段的中点． 解：． 理由： 设，，， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由（1）知，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）如图所示，过点A作轴于点G，则，根据垂直的定义可得，再证明，得到，，由此即可求解； （2）如图2所示，过点A作轴于点M，过点F作轴于点N，证明，即可证得结论； （3）①由，得到，由（1）的证明方法可得， ，得到，再证明，得到，即可证得结论； 设，，，由全等的性质可得，，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图1所示，过点A作轴于点G，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 联立①②的方程组得，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵点A在第三象限， ∴， 故答案为：，，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①略 ②略 【点睛】本题三角形的综合题，主要考查坐标与图形，等腰三角形的性质（等边对等角），全等三角形的判定和性质，理解坐标与图形的特点，掌握全等三角形的判定和性质，数形结合分析思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $