精品解析：湖南长沙市望城区湖南师大附中星城实验学校2026-2027学年八年级上学期第一次学情自测数学试卷

2026-2027学年度八年级（上）10月数学学科练习卷 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列人工智能助手图标中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A选项：把该图形沿着虚线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合， 该图形是轴对称图形，故Ａ选项符合题意； B选项：把该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合， 该图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合， 该图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：把该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合， 该图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意． 2. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，即可获得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 3. 已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据已知两边长和，求出第三边的取值范围，再判断选项是否在该范围内． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为和， ∴第三边x需满足：， 即． 只有C在3和7之间，满足条件． 故选：C． 4. 对于，用一把直角三角尺，作边上的高，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形高的定义，熟练掌握三角形高线的定义即过一个顶点作垂直于它对边所在直线的线段，叫三角形的高线是解答此题的关键． 根据三角形高的定义求解即可． 【详解】解：三角形高线即过一个顶点作垂直于它对边所在直线的线段， 则A、B、C均不是高线，D是高线． 故选：D． 5. 点关于x轴对称的点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点坐标是． 故选：B． 6. 如图，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 7. 如图，在中，的垂直平分线交于，交于，连结，若，且的周长为30，则的长是（　　） A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，先由的周长求出，再根据垂直平分线的性质即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴． 故选：D． 8. 如果等腰三角形的两边长分别3和6，则它的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 12或15 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：若腰长为3时，三边长为3，3，6， 此时，无法构成三角形，不符合题意； 若腰长为6时，三边长为3，6，6， 此时； 综上所述，它的周长为15． 故选：C 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边长关系，熟练掌握有两边相等的三角形是等腰三角形是解题的关键． 9. 数学来源于生活，又服务于生活．以下四幅图中用数学原理解释正确的是（ ） A. 图1，弯曲河道改直是利用了垂线段最短 B. 图2，人字梯中间一般会设计一根“拉杆”是利用了三角形的稳定性 C. 图3，体育课测量跳远的成绩是利用了两点之间线段最短 D. 图4，一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等的判定方法 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、图1，弯曲河道改直是利用了两点之间线段最短，说法错误，故不符合题意； B、图2，人字梯中间一般会设计一根“拉杆”是利用了三角形的稳定性，说法正确，故符合题意； C、图3，体育课测量跳远的成绩是利用了点到直线，垂线段最短，说法错误，故不符合题意； D、图4，一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等的判定方法，说法错误，故不符合题意． 10. 用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图轨迹及角平分线的定义判断即可得出答案． 【详解】A、如图， 由作图可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴平分． 故A选项是在作角平分线，不符合题意； B、如图， 由作图可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵,， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 故B选项是在作角平分线，不符合题意； C、如图， 由作图可知：， ∴,， ∴， ∴， ∴平分． 故C选项是在作角平分线，不符合题意； D、如图， 由作图可知：， 又∵， ∴， ∴ 故D选项不是在作角平分线，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了角平分线的作图，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 若某个直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角的度数为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：直角三角形的一个锐角为， 另一个锐角的度数为：． 12. 如图，在中，，，若，则的长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】由等角对等边得，根据等腰三角形三线合一得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 13. “三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，，点可在槽中滑动．若，则的度数是_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质，根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，，即， 故答案为： ． 14. 如图，是的角平分线，若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质并表示出是解题的关键．过点D作于点E，作于点F，由是的角平分线得到，由，，求出，根据，求出结果即可． 【详解】解：过点D作于点E，作于点F，如图所示： ∵是的角平分线， ∴， ∵，，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 拼装智能生产线时，所需一个零件的形状如图所示，按规定，比大，则的度数应该为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和为是解题关键．根据三角形内角和定理及对顶角相等得出，根据，比大即可得出，进而求出的度数即可． 【详解】解：如图所示： ∵，，， ∴， ∵，比大， ∴， ∴． 故答案为： 16. 在平面直角坐标系中，点，，，点D在第二象限，且． （1）点D的坐标为________； （2）点P在坐标轴上，且是等腰三角形，则P点的个数为________． 【答案】 ①. ②. 个 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，坐标与图形，以及等腰三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的性质． （1）根据全等三角形的性质，即可得到点D的坐标； （2）根据等腰三角形的判定与性质，分情况①，②，③，讨论求解，即可解题； 【详解】解：（1）根据题意作图如下： ，点D在第二象限， ，， 点D的坐标为； 故答案为：． （2）根据是等腰三角形，点P在坐标轴上， ①， 以为圆心，长为半径，画弧与坐标轴有2个交点， ②， 以为圆心，长为半径，画弧与坐标轴有3个交点， ③， 作的中垂线，与坐标轴有1个交点， 综上所述，则P点的个数为个， 故答案为：个． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】. 【解析】 【分析】先分别求出每一个不等式的解集，然后再确定出不等式组的解集即可. 【详解】解不等式①，得， 解不等式②，得， 则不等式组的解集是. 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键. 19. 我国已有三代治沙人致力于沙漠改造、他们采用科学治沙、绿色发展的理念开展治沙工作，治沙效果大幅提升，某地区三代治沙人共完成治沙面积万亩，比第一代治沙人治沙面积的倍还多万亩，求第一代治沙人的治沙面积． 【答案】第一代治沙人的治沙面积为万亩 【解析】 【分析】设第一代治沙人的治沙面积为x万亩，根据题意“三代总治沙面积比第一代的3倍还多5万亩”，列方程求解即可． 【详解】解：设第一代治沙人的治沙面积为x万亩， 根据题意得 ， 解得， 答：第一代治沙人的治沙面积为8万亩． 20. 如图，点，在线段上，，，. （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴ ∵ ∴． （2）4 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质，结合三角形全等的判定证明即可； （2）根据全等三角形的性质，线段的和差解答即可． 【小问1详解】 证明：略． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 21. 如图所示，在平面直角坐标系中，点，，． （1）画出关于轴对称的； （2）的面积是 ； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为8，则点P的坐标是 ． 【答案】（1）如图即为所求， （2）7 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用割补法计算即可得出结果； （3）设点P的坐标为，根据三角形的面积公式列出关于的方程，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：设点P的坐标为， ∵的面积为8， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 22. 如图，在中，∠C=90°，∠A=30°，BC=12cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）t为多少时，是等边三角形？ （2）P、Q在运动过程中，的形状不断发生变化，当t为多少时，是直角三角形？请说明理由． 【答案】（1） （2） 或6，理由：当∠BPQ=90°时， ∵∠B=60°， ∴∠PQB=30°， ∴BQ=2PB， 即t=2(24-2t)，解得：t=； ②当∠PQB=90°时， ∵∠B=60°， ∴∠QPB=30°， ∴PB=2BQ， 即24-2t=2t，解得：t=6 综上所述，当t为或6时，是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得AP=2tcm，BQ=tcm，根据直角三角形的性质可得AB=2BC=24cm，从而得到PB=24-2t，然后根据等边三角形的性质可得关于t的方程，即可求解； （2）分两种情况讨论：当∠BPQ=90°时，当∠PQB=90°时，结合直角三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：AP=2tcm，BQ=tcm， ∵∠C=90°，∠A=30°，BC=12cm， ∴AB=2BC=24cm， ∴PB=24-2t， ∵是等边三角形， ∴PB=BQ， ∴24-2t=t，解得：t=8， 即t为8时，是等边三角形； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 23. （1）【探究发现】如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，则，与之间满足的数量关系是________； （2）【反思感悟】问题：如图2，在四边形中，，P是上一点，，．请探究与的位置关系，并说明理由； （3）【生活应用】张琳与爸妈在公园里荡秋千，如图3，张琳坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直并交于点M，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点C处时爸爸接住了她，若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，爸爸在C处接住张琳时，求C处距离地面的高度． 【答案】（1）； （2），理由如下： ，， ， ， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， （全等三角形的对应边相等）， ， ； （3）处距离地面的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，得到，结合，得到，，从而得到，即可得到，即可得到答案； （2）根据，得，进而依据“”判定得，由此即可得出答案； （3）由题意证明，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1），与之间满足的数量关系是：，理由如下： 于点，于点， ， ， 在中，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； （2）略 （3）由题意可知，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ∵，分别为和， ， ∵， ， 处距离地面的高度为． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，过点向坐标轴作垂线，垂足分别是点A和点C．点D是线段OC上一点，点A绕点D顺时针旋转90°得到点E． （1）若点D的坐标为，求点E的坐标（用含t的式子表示）； （2）如图2，连接AE，EC，AE交BC于点F，连接DF，试探究与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若点M是x负半轴上一点，连接AM，点N是AM上一点，且，ND交AO于点G，求的周长． 【答案】（1）点E（3+t，t）； （2）+=90°，证明： 在AO上截取AU=DC，连结DU，则OU=OD=t， ∴∠OUD=45°， 在△AUD和△DCE中， ， ∴△AUD≌△DCE（SAS）， ∴∠AUD=∠DCE， ∴∠SCE=180°-∠DCE=180°-∠AUD=∠OUD， ∴∠OUD=∠SCE=45° ∵GS⊥OS， ∴∠CES=90°-∠ECS=45°， 延长SE交DF延长线于G， ∵AD=DE，∠ADE=90°， ∴∠AED=∠DAE=45°， ∵∠CES+∠DEC+∠DEA+∠FEG=180°，∠SEC+∠DEA=45°+45°=90°， ∴∠DEC +∠FEG=180°-∠CES-∠DEA=180°-90°=90°， ∵CD⊥OS，GS⊥OS， ∴CB∥SG， ∴∠CFE=∠GEF， 将△AOD绕点A逆时针旋转90°得到△ABD′， ∴AD=AD′，∠OAD=∠BAD′， ∵∠OAD+∠FAB=90°-∠DAF=90°-45°=45°， ∴∠FAD′=∠FAB+∠BAD′=∠FAB+∠OAD=45°， 在△DAF和△D′AF中， ， ∴△DAF≌△D′AF（SAS）， ∴∠AFD=∠AFD′=∠CFE=∠GEF=∠GFE， ∴∠DEC+∠AFD=∠DEC+∠GEF=90°； （3）C△OGD= 6． 【解析】 【分析】（1）过点E作ES⊥x轴于S，由点B（3，3），AB⊥y轴，BC⊥x轴，可得OA=OC=3，由旋转性质可得，DA=DE，∠ADE=90°，可证△AOD≌△DSE（AAS），可得AO=DS=3，OD=SE=t，再求OS=OD+DS=3+t即可； （2）+=90°，在AO上截取AU=DC，连结DU，则OU=OD=t，可得∠OUD=45°，延长SE交DF延长线于G，将△AOD绕点A逆时针旋转90°得到△ABD′，先证△AUD≌△DCE（SAS），可得∠OUD=∠SCE=45°可求∠CES=90°-∠ECS=45°，再证∠AED=∠DAE=45°，可证CB∥SG，可得∠CFE=∠GEF，由旋转可得AD=AD′，∠OAD=∠BAD′，再证△DAF≌△D′AF（SAS）可得∠AFD=∠AFD′=∠CFE=∠GEF=∠GFE即可； （3）连结BD，过B作BW⊥DN于W，先证△ANO≌△BDC（SAS），证明四边形ANDB为等腰梯形，∠NDB=∠ABD，再证△BWD≌△BCD（AAS），BW=BC，WD=CD，三证Rt△ABG≌Rt△WBG（HL），可得AG=WG，即可． 【详解】解：（1）过点E作ES⊥x轴于S， ∵点B（3，3），AB⊥y轴，BC⊥x轴， ∴OA=OC=3， ∵点A绕点D顺时针旋转90°得到点E， ∴DA=DE，∠ADE=90°， ∴∠OAD+∠ADO=∠ADO+∠EDS=90°， ∴∠OAD=∠EDS， 在△AOD和△DSE中， ， ∴△AOD≌△DSE（AAS）， ∴AO=DS=3，OD=SE=t， ∴OS=OD+DS=3+t， ∴点E（3+t，t）； （2）略 （3）连结BD，过B作BW⊥DN于W， ∵， ∴DM=OC=3， ∴MO=MD-OD=OC-OD=DC， 在△ANO和△BDC中， ， ∴△ANO≌△BDC（SAS）， ∴∠AMO=∠BDC， ∴AM∥BD， ∵AB=ND， ∴四边形ANDB为等腰梯形， ∴∠NDB=∠ABD， ∵AB∥OC， ∴∠BDC=∠ABD=∠WDB， ∵BW⊥AD， ∴∠BWD=∠BCD=90°， 在△BWD和△BCD中， ， ∴△BWD≌△BCD（AAS）， ∴BW=BC，WD=CD， 在Rt△ABG和Rt△WBG中， ， ∴Rt△ABG≌Rt△WBG（HL）， ∴AG=WG， C△OGD=OG+GD+OD=OG+GW+DW+OD=OG+AG+DC+OD=OA+OC=3+3=6． 【点睛】本题考查图形旋转，正方形性质，三角形全等判定与性质，平行线性质，等腰梯形判定与性质，三角形周长，本题难度大，跳跃性大，是中考中探究中难题，综合运知识多，关键是利用辅助线画出准确图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度八年级（上）10月数学学科练习卷 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列人工智能助手图标中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（ ） A. B. C. D. 4. 对于，用一把直角三角尺，作边上的高，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 点关于x轴对称的点坐标是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，的垂直平分线交于，交于，连结，若，且的周长为30，则的长是（　　） A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 8. 如果等腰三角形的两边长分别3和6，则它的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 12或15 9. 数学来源于生活，又服务于生活．以下四幅图中用数学原理解释正确的是（ ） A. 图1，弯曲河道改直是利用了垂线段最短 B. 图2，人字梯中间一般会设计一根“拉杆”是利用了三角形的稳定性 C. 图3，体育课测量跳远的成绩是利用了两点之间线段最短 D. 图4，一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等的判定方法 10. 用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 若某个直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角的度数为______． 12. 如图，在中，，，若，则的长为________． 13. “三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，，点可在槽中滑动．若，则的度数是_____． 14. 如图，是的角平分线，若，则_____． 15. 拼装智能生产线时，所需一个零件的形状如图所示，按规定，比大，则的度数应该为____________． 16. 在平面直角坐标系中，点，，，点D在第二象限，且． （1）点D的坐标为________； （2）点P在坐标轴上，且是等腰三角形，则P点的个数为________． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 我国已有三代治沙人致力于沙漠改造、他们采用科学治沙、绿色发展的理念开展治沙工作，治沙效果大幅提升，某地区三代治沙人共完成治沙面积万亩，比第一代治沙人治沙面积的倍还多万亩，求第一代治沙人的治沙面积． 20. 如图，点，在线段上，，，. （1）求证：； （2）已知，，求的长． 21. 如图所示，在平面直角坐标系中，点，，． （1）画出关于轴对称的； （2）的面积是 ； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为8，则点P的坐标是 ． 22. 如图，在中，∠C=90°，∠A=30°，BC=12cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）t为多少时，是等边三角形？ （2）P、Q在运动过程中，的形状不断发生变化，当t为多少时，是直角三角形？请说明理由． 23. （1）【探究发现】如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，则，与之间满足的数量关系是________； （2）【反思感悟】问题：如图2，在四边形中，，P是上一点，，．请探究与的位置关系，并说明理由； （3）【生活应用】张琳与爸妈在公园里荡秋千，如图3，张琳坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直并交于点M，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点C处时爸爸接住了她，若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，爸爸在C处接住张琳时，求C处距离地面的高度． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，过点向坐标轴作垂线，垂足分别是点A和点C．点D是线段OC上一点，点A绕点D顺时针旋转90°得到点E． （1）若点D的坐标为，求点E的坐标（用含t的式子表示）； （2）如图2，连接AE，EC，AE交BC于点F，连接DF，试探究与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若点M是x负半轴上一点，连接AM，点N是AM上一点，且，ND交AO于点G，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $