3.4相似三角形的性质常见的七种题型 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

3.4相似三角形的性质常见的七种题型 目录 题型一相似三角形的对应角与对应边成比例 题型二相似三角形的周长比等于相似比 题型三相似三角形的面积比等于相似比的平方 题型四动点运动中的相似三角形 题型五相似三角形的实际应用 题型六位似图形与网格作图 题型七相似三角形的综合应用 题型一相似三角形的对应角与对应边成比例 【解题技巧】相似三角形对应角相等，对应边成比例：提=等=彤=k;对应角相等： LA=LD,LB=LE,LC=LF;对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比：胎=器=。=k。 求线段长时可设未知数，利用对应边成比例列方程求解。 1.如图，D.B分别是△MBC的边4级BC上的点，DE4C,若ae成as=13.则Sae成的值 ，则 为() 1 A.3 1 1 B.4 C.g D.i 2.若两个三角形相似，且相似比为：3，则这两个三角形对应角平分线的比为() A.1:V3 B1:3 C1:6 D.1:9 3.如图，△ABCn△DEF,AB:DE=I:2,则下列结论一定成立的是() B D E BC 1 ∠的度数1 A.DF2 B.∠D的度数2 S4c=1 C.Anc=1 C.SDEF 2 D.C.DEF 2 4.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED=∠B.若AD=2,BD=4,AE=3,则 CE的长为(） C D B A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，∠ADE=∠B,AD:DB=2:I,那么△ADE与△ABC的相似比为 6.如图，DE∥BC,AD:DB=1:3S边形DCs=8 ,则 7.若△ABC△4'B'C",∠A=40°，∠B=110°，则∠C=」 8.如图，在梯形1BCD中，CD‖4BSas=9S.am=4 则0C:0A= 9.如图，在△ABC中，AD=DE=EB,EF∥DG∥AC,EC与DG相交于点H.若AC=24,则GH= D B G 10.如图，△ABCADAC,若∠B=31°，∠D=117°，则∠BCD= D A 11.如图，△ADEPAACB,DE=3.SAMk:S边形GD=9:1 6,则BC的长 D B 12.如图，在△ABC中，AD=2,AE=3,DB=7,EC=3,DE=4,则BC= y 2 3 E 3 AE 1 13.如图，在平行四边形ABCD中，点B在边D上，射线CE交BA的延长线于点P,若ED3, AB=4,则AF的长为一· 14.如图，在。ABCD中，AC⊥BC,F为AC边上一点，作A关于直线BF的对称点E,连接BE交AC 于点G,当E在CD上且GF=4,GC=5时，BC的长为一 D 15.如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.将线段AB绕点B顺时针方向旋转，使点A落 在BD上的点H点E为边BC的中点，连接HE,交AC于点P.若AC=12,BD=16,则线段PC的长为 B 题型二相似三角形的周长比等于相似比 【解题技巧】相似三角形的周长比等于相似比：号=k。已知相似比与一个三角形的周长可求另一个周长： 反之，由周长比可求相似比。 1.已知△ABC一△DEF,相似比为3：1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为() A.2 B.3 C.6 D.54 2.两个相似三角形面积比是9：25，其中一个三角形的周长为30©m,则另一个三角形的周长是 3.两个等腰三角形相似，其中一个等腰三角形三边长为2,2,3，另一个等腰三角形一边长为6，则另 一个等腰三角形周长为 4.如图，将两块直角三角板△ABC与△BCD按如图方式放置，∠ABC=90°，∠ACB=45°，∠D=30°， 两条斜边相交于点O,则△AOB与△COD的周长比为 题型三相似三角形的面积比等于相似比的平方 【解题技巧】相似三角形的面积比等于相似比的平方：多=k2。由面积比求相似比需开平方，由相似比求 面积需平方；注意周长比=相似比，面积比=相似比的平方。 1.如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，已知三角形①的面积是3，则三角形②的面积为() ① A.3 B.4 c.23 D.35 2.如图，△01Ba0CD,a01B与0CD的面积分别是8与S,周长分别是S与C且S:G=5:3 则下列说法正确的是() AB5 S-5 OB 5 0A_5 A.CD3 B.S,3 C.CD 3 D.OD 3 3.如图，平行四边形ABCD中，E为AD上一点，BE交AC于点F.已知AE:ED=2:I则下列判断错误 的是() A.△AEF与△BCF的周长比为2：3 B.△ABF与四边形EFCD的面积比为6：I1 C.若连接CE,则△ABF与△CEF相似，且相似比为2：3 CF 5+1 D.若题中条件“AE:ED=2:1”改为“点E为边AD的黄金分割点，AE>ED”,则AF2 4.如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，其位似比为3：2，则△ABC与△DEF的面积 比是 5.如图，以点A为位似中心，把△ABC按相似比3：I放大得到△ADE,连接CD.若△ABC的面积为6， 则△CDE的面积为一 B 6.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DEIIBC,AD=2DB.若△ADE的面积为4，则 四边形DBCE的面积为， D 7.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD的延长线上，BE与CD交于点F. (I)求证：△DEF∽△CBF: EF 2 (②)若ADEF的面积为4，FB3,求四边形ADFB的面积， 题型四动点运动中的相似三角形 【解题技巧】动点问题先用“速度×时间”表示相关线段长（含参数t),再根据两三角形相似对应边 成比例列方程求t:因对应关系不确定，常需分类讨论（如两条对应边顺序)，并检验t是否在可行范 围内。 1.如图，在R1△ABC中，∠ACB=90°，AC=4Cm,BC=3cm,点P由点B出发沿BA方向向点A匀速 运动，速度为lcm/s，同时点O由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为lcm/s,连接PQ.设运动 的时间为 1(s ,其中0<1<4.当△ABC和△1P吧相似时，t的值为（) B 2019 25 2025 A.3或1 B.9或4 C.9 D.9或9 2.如图所示，在三角形ABC中，AB=6cm,AC=l2cm,点D从点A出发以lcm/s的速度运动到点B停 止，点E从点C出发以2cms的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A,D,E为顶 点的三角形与△ABC相似时，运动时间为一s. B E←二C 3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm,BC=6cm,点P从A点出发沿AC向C点运动，速 度为每秒2cm,同时点Q从C点出发沿CB向B点运动，速度为每秒lCm,当点P到达顶点C时，P、Q 同时停止运动，设P点运动时间为t秒，当t为 时，△PQC与△ABC相似. 4.如图，己知矩形ABCD,长BC=l2cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P 自点A出发，以lc/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cms的速度沿BC方向运动，则经 过秒，以P、B、O为顶点的三角形与△BDC相似. 0 5.如图，在△ABC中，AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动， 点Q从点B开始沿BC边向点C以4Cm/s的速度移动，如果点P,Q分别从A,B同时出发，问经过几秒 钟，△PBQ与△ABC相似. 6.如图，在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°，AC=60cm,点D以4cm/秒的速度从点C出发沿CA 向A点运动，同时点E以2Cm/秒的速度从点A出发沿AB向B点运动，当其中一个点到达终点时，另一 个点也随之停止运动.过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF,设运动的时间为t秒. D F (1)当t为何值时，四边形ADFE为菱形？ (②当t为何值时，△MDE的面积为 100√3cm2 (3)当t为何值时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似？ 7.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10cm,BC=7cm,现有动点P从点A出发，沿线段AC向终点C 运动，动点O从点C出发，沿线段CB向终点B运动，连接P9.如果点P的速度是2cm/s,点O的速度 是lcm/s.它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为s. PQ」 (1)当t为多少时， P2的长度等于v65cm? (2)当t为多少时，以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 8.矩形ABCD中，AC,BD为对角线，AB=6cm,BC=8cm,E为DC中点，动点P从点A出发沿AB 方向，向点B运动，动点Q同时以相同速度，从点B出发沿BC方向向点C运动，P、Q的速度都是 1cm/秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为x秒. (0<1<6) B PQ∥AC (1) 时，求运动时间t; 、PQ⊥BD (2) 时，求运动时间t; (3)当t为何值时，以点P,B,Q为顶点的三角形与△QCE相似？ (④连接PE,△POE的面积能否达到矩形ABCD面积的三分之一，若能求出t的值；若不能，说明理由. 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,CD⊥AB于点D,点P从点D出发，沿线段DC 向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当 点P运动到点C时，两点都停止运动，设运动时间为t秒. (1)求线段CD的长： (2)设△CPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当t为何值时，△CPO与△CAD相似？请直接写出t的值， 10.如图，AB=16cm,AC=l2cm,动点P,Q分别以每秒2cm和lcm的速度同时开始运动，其中点P 从点A出发，沿AC边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿BA边一直运动到点A为止（点P到达点C 后，点Q继续运动)· (I)请直接用含t的代数式表示AP的长和AQ的长； (2)当t等于何值时，△APO与△ABC相似？ 11.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm,AC=8cm.动点N从点C出发，以每秒lcm的速度沿 CB向终点B移动；同时，动点M从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动.两个动点中有一 个到达终点即同时停止运动.连接MN,设移动时间为t(单位：秒)· M B←-NC 36 (I)当ABMN的面积为5cm时，求t的值. (2)若以B,M,N为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值. 12.如图，矩形ABCD中，AB=15cm,BC=10cm,动点P从点A出发，沿AB边以2cm/s的速度向点 B匀速移动，动点Q从点D出发，沿DA边以lCm/s的速度向点A匀速移动，一个动点到达端点时，另一 个动点也停止运动，点P,Q同时出发，设运动时间为s. D (I)当t为何值时，△AP2的面积为16cm2? (2)t为何值时，以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似. 13.如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A-90°，AB-6CL,BC-12cL,点E由点A出发沿AB方向向点 B匀速移动，速度为lCS,点F由点B出发沿BC方向向点C匀速移动，速度为2cls,如果动点E,F 同时从A,B两点出发，连接EF,若设运动时间为tS,解答下列问题： (1)当t为多少时，△BEF为等腰直角三角形： (2)是否存在某一时刻t,使△EFB一△FDC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. A 14.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C 移动，同时动点Q以lCm/s的速度从点C出发.沿CB向点B移动，设P、Q两点移动 0<1<5)后， △CQP Scm2 的面积为 B (①)当运动时间为多少秒时，△CQP与△CAB相似： (2)在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明 理由 题型五 相似三角形的实际应用 【解题技巧】在影子、反射、窗口、测量高度等实际情境中，构建相似三角形，根据对应边成比例列方 程求解；注意统一单位、找准对应边。 1.如图，小明在A时测得某树的影长为8m,B时又测得该树的影长为2m,若两次日照的光线互相垂直， 则树的高度为() A时 B时 A.2m B.4m C.6m D.8m 2.如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下的亮区宽DE=2.7m,己知亮区一边到窗下的墙脚距离 CE=8.7m AB=1.8m BC ，窗高 ，那么窗口底边离地面的高度是() ED A.4m B.3m C.3.5m D.4.5m 3.如图，一座正方形城池北、西边正中AC处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位 于点B处.若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为() BY E 4步 810步 C西门 A.360步 B.270步 C.180步 D.90步 4.如图，小刚正在使用手电筒进行物理学实验，手电筒位于点G处，手电筒的光从平面镜上的点B处反射 后，恰好经过木板CF的边缘点F,落在墙上的点E处，现测得AG=1.6米，CD=6米，AC=7.2米， CF=2米，己知图中点A,B,C,D在同一水平面上（物理学中入射角等于反射角），ED⊥AD, FC⊥AD,GA⊥AD,则ED的长为_米. 5.一块直角三角形木板，它的一条直角边AC=1.5,面积=1.5.甲、乙两人分别按图把它加工成一个正 方形桌面，请说明哪个正方形面积大。 D 图一 图二 6.综合与实践一一视力表中蕴含的数学知识 用硬纸板复制视力表中所对应的“E”，并依 次编号①，②，放在水平桌面上.如图1所 示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至 ①P ②P2 素 0 PP O 从观测点看去，对应顶点 在一条 材 桌面 1 D 直线上为止.这时我们说，在处用①号：E D2K— 图1 01 ”测得的视力与在 处用②号“E”测得的视 力相同. 为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一 张测试距离为5m的视力表，但书房空间过 小，美美同学想到一个好方法：使用平面镜成 像的原理来解决房间小的问题.如图2，在相 与平面 M 素 距3加的两面墙上分别悬挂视力表(48 材 由平面镜成像原理，作出了光路 2 镜W 图，通过调整人的位置，使得视力表AB的 图2 上、下边沿A,B发出的光线经平面镜MN的 上下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力 表的全长(4B 就可以计算出镜长MW bb2 (1)探究图中4与之间的关系，请说明理由： (②若4=1.6cmA=lcm ,O号“E”的测量距离 =40cm 00,要使测得的视力相同，求②号“E”的测 轻距腐 (3)美美的方法中如果视力表的全长为0.8m,请计算出镜长至少为多少米. 7.清虚阁，位于山西省晋中市榆次老城中，俗称南阁，建成于明代成化五年(1469)，是榆次区境内仅 见的，也是晋中地区稀有的古代阁楼式建筑杰作，如图，某中学数学实践小组利用节假日时间到现场测 量清虚阁AB的高度， H ED G 图1 图2 步骤一：在地面BC上取E、G两点，分别竖立高为2m的标杆EF和GH,两标杆间隔23m,并且清虚阁 AB,标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处，从D处观察A点，A,F,D三点成 一线： 步骤二：从标杆GH后退4m到C处，从C处观察A点，A,H,C三点也成一线. 请你根据以上数据，计算清虚阁AB的高度， 8.如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔 的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18m,己知小明的身高是1.6m,他的影长是2m. (1)图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？ (2)求古塔的高度. D 题型六位似图形与网格作图 【解题技巧】位似图形是相似图形的特例，位似比即相似比：位似图形对应边平行、对应点与位似中心 共线。网格作图题借助格点确定对应点，使新三角形与原三角形对应边成比例、对应角相等。 1.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第二象限，点B的坐标为 -3,0) ,点C的坐标为 (1,0),以点C为位似中心，在x轴的下方作△MBC的位似图形△MC.若点A的对应点M的坐标为 (-3),点B的对应点N的坐标为3,0，则点4的坐标为() A.（-5,3) （别 2.如图，△OP在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A,B,C,D,E也 是小正方形的顶点，从点A,B,C,D,E中选取三个点所构成的三角形与△OP№相似，那么这个三角形是 D A.△ACD B.△BCD C.△CDE D.△ADE 3.如图，△ADE和△ABC是位似图形，∠A=30°，DE垂直平分AC,且DE=2. B D 求： (1)∠C的度数： (2)BC的长. 4.如图，在5×5的正方形网格中，点A,B,C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图（要求仅用 无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹)· 图1 图2 (I)请在图1中以AB为一边画一个格点△ABD,使它与△ABC相似但不全等： (2)请在图2中画一个面积最大的格点△4BC,使之与△ABC相似，并求出△4BG的面积. 5.如图，是由小正方形组成的5×T网格.每个小正方形的顶点叫做格点，矩形ABCD的四个顶点都在格 点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下作图： M H 图1 图2 (I)在边AB上画一个点E,使得AE=2BE.小明的画法如下：如图1，先在网格中找一点M,连接MD交 AB于点E,则点E即为所求作的点，请你尝试用我们学过的相似图形的知识说明这样画图的原理， (2)过点C画C9⊥BD于点Q.小颖受小明的启发，如图2先连接了格点G、H交格线于点F,再连接CF 交BD于点O,则CQ即为所求作的线段.请你尝试说明这样作图的原理， 6.如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，△ABC是格点三角形（顶点在方格顶点处）. B 图1 (1)在图2中画出一个格点 48G,使 △AB,C∽△ABC 周长之比为2：1，并直接写出 A,B,C1 的面积 图2 (2)在图3中画出一个格点 4，G,使△4，AB ,面积之比为2：1，并直接写 △A,B,C2的周长 图3 7.如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点，三个项点都在小正 方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段AD与BC交于点P. R 图1 图2 图3 PA ()图1中PD的值为 (2)请仅用无刻度的直尺作图. ①请在图2中以线段BD为一边，画一个格点△DBE,使它与△ABC相似； ②请在图3中画一个最大的格点△4BC,使它与△ABC相似. 题型七相似三角形的综合应用 【解题技巧】综合题常需先判定三角形相似（两角对应相等/两边成比例且夹角相等/三边成比例）， 再运用性质（对应边成比例、对应线段比、周长比、面积比）求线段、角度与面积；旋转、翻折中注意 对应边与对应角，坐标系与菱形问题常结合勾股定理、一元二次方程与相似分类讨论。 1.如图，△ABC的中位线DE=5cm,把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A、F两点 间的距离是8cm,则aDEF的面积为() F A.5cm2 B.10cm2 C.20cm2 D.40cm2 2.如图，RtAABC中，AC=3,BC=5,∠C=90°，点G是AB上的一个动点，过点G作GF垂直于 AC于点F,点P是BC上的点.若△GFP是以GF为斜边的等腰直角三角形.则此时PC长为(). B G A C 15 9 3 A.11 B.2 C.0 D.4 3.如图，△ABC是等边三角形，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转 得到线段BF,当P点运动时，者4F的最小值为25+2 90° ,那么等边三角形aMBC的边长为() y E B A.10 B.8 c.6 D.4 4.将三角形纸片（△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B,折痕为EF.己 知AB=AC=3,BC=4,若以点B,F,C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 E B 5.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点，且 ∠AFE=∠B A D (I)求证：△ADF∽△DEC: (2)若anB=4 =3,AB=EC=10,求AD的长； (3)在(2)的条件下求AF的长. 6.如图，在△ABC中，AB=AC,点D为边BC上的点，连结AD,作∠ADE=∠C,使边DE交AB于 点E. B D (I)求证：△BDE∽△CAD (2)若AB=16,DB=4,CD=9,求BE的长. 7.某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究.如图1，在 △ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D. 图1 图2 (①)兴趣小组的同学得出AC2=AD·AB.理由如下： :∠ACB=90° .∠A=∠A ∴.∠A+∠B=90° ∴.△ABC∽△ACD CD⊥AB AB .∠ADC=90° ② .∠A+∠ACD=90° .AC2=AD.AB .LB=_① 请完成填空：① ；② (2)如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E,连接CE,当∠ACE=∠AFC时， O若4F=2,4C=3,求a:S的值： AF AD ②求证：ABAE &.如图，在△ABC中，点D在边BC上，AEIIBC,BE与AD,AC分别相交于点R,G,AF2=FG·FE (I)求证：ACADACBG (2)若AC=6,BC=7,G为AC的中点，求CD的长. 9.综合与探究 如图，在△ABC中，AB=AC,BD是边AC上的高，点P在边AC上从点C向点A移动，点Q在边AB上 从点A向点B移动，连结PQ,P,Q两点同时出发，且移动速度均为lcm/s,其中移动时间为s, BD=5cm,CD=1cm D 备用图 (1)求AB的长. 90 (2)当aAP0的面积为13cm时，求此时，的值. (3)当△APO是等腰三角形时，请直接写出t的值， 10.在矩形ABCD中，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF位置，连接BE,CF, G 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：△ABE∽aACF: (2)如图2，当点E恰好落在对角线AC上时，若AB=3,BC=4,求BE的长： (③)如图3，直线EF分别交BC于点G,交CD于点M,且CG=2BG,DM=2CM. ①求证：BG=EG: S ②设。ABE的面积为S,△4CF的面积为S,直接写出S,的值. 11.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，连接CE,连接 DE交AC于F. D b (I)求证：△ADC∽△ACB, (2)若AD=4,AB=9,求AC的值. 12.综合与实践 动手实践：数学研究的一个重要内容就是研究变化过程中的不变量， 数学课上张老师拿了两块相似比为1：2的三角板，按图1放置，使60°角的顶点C重合，点D、点E分 别在CB、CA边上，∠B=9O,CB=6.将三角板CDE绕点C逆时针旋转，记旋转角为a. E D B 图1 图2 图3 D D B 图4 图5 (I)当a=0°时，AE:BD= (2)如图2，当a=180°时，AE:BD=一 尝试探究： (3)猜想：当0°≤α<360°时，AE:BD的值是否有变化？请选择图3或图4其中一种情况加以证明. 拓展延伸： (4)如图5，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4,BC=2,点D、点E分别是边BC、AC的中点，连接DE, 将△CDE绕点C逆时针旋转，当旋转至E、B、A三点在同一条直线上时，请你直接写出线段BD的长 BD= 13.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，连接DE,F为DE上一点，且∠B=∠AFE. D F B C (I)求证：△ADF∽△DEC (2)若AD=6,AB=4,DE=7,求AF的长. 14.如图，在菱形ABCD中，E为CD延长线上一点，连接BE交AD于点F,∠AEB=∠C. D C (I)求证：△ABE∽△BEC: AE=4,BE=8 CE (2)若 ,求的长 15.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形.若OAOB的长是关于x的一元二次方程 x2-14x+48=0 OA>OB 的两个根，且 ●】 B O C (1)OA= OB= (2)连接OD,若点E为x轴负半轴上的点，若△AOE与△DAO相似，则此时点E的坐标. 16.如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=∠B, (I)求证：△ABDADCE: (2)若AC=12,BC=11,CE=2,求BD的长. 17.如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F. A D (I)求证：△ABE∽△DFA: (2)若AB=6,AD=12,BE=8,求DF的长 18.如图，AB⊥BD于点B,CD⊥BD于点D,AB=2,BD=7,CD=6,点P从点D出发，沿DB方 向以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动，连接AP,CP,过点A作AE∥CP交DB的延长线于 点E,设点P的运动时间为秒. d刀 (I)当t=1时，求证：△ABPn△PDC: (2)当1>1时，若△ABE与△ABP相似，求线段BE的长. 19.已知：如图在△ABC中，BC=16cm,高AD=12cm,它的内接矩形EFGH(点E在边AB上，点 H、G在边BC上，点F在边AC上)，FG与EF边之比为1：2，求EF的长. K G 20.【主题】如何裁剪木板使面积最大. 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值. 素材2：求解代数式-x2+2x+3的最大值 解：原式-(2-2x++4=(x-}+4 (x-)2≥ -(x-≤ ∴-(x-1)2+4≤ .-x2+2x+3的最大值为4. 【问题解决】 (1)请补全素材2中的解题过程： (2)如图，有一块直角三角形木板ABC的面积为13.5m2,一条直角边AB长为4.5m,现王师傅要沿着边 AC截一个矩形合面DEFG,D,G分别在边AB,BC上，BH⊥EF,分别与DG,EF交于点M,H, 求该矩形台面面积的最大值. 21.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC,连接BECD交于点P,连接AP交DE 于点M,延长AP交BC于点N.求证：MN分别为DE、BC的中点.小亮的思考过程如下： 两直线平行 三角形相似 对应边成比例 M、N分别为DE、BC的中点 参考小亮的思考过程，完成推理 22.如图，正方形ABCD中，AB=9,E是BC上一点，过E作EF⊥AE交CD于点F,连接AF. (I)证明：△ABEAECF: (2)当BE=5时，求CF的长. 23.如图，在△ABC和△AED中，AB=25,BC=40,AC=20,AE=12,AD=15,DE=24. C E (I)求证：△ABC∽△ADE】 (2)若∠BAC=125°，∠EAC=70°，求∠CAD的度数. 24.某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： A E D A E B B 图1 图2 图3 (I)如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、AD上两点，连接DE、CF,若AE=DF,求证： △AED≌ADFC (②)在(1)的条件下，求证：DE⊥CF: ③如图2在矩形ABCD巾，过点c作CE⊥BD交AD于点E:若m∠DCE=及，求码 4,求BD的值： (4如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E为AB上一点，连接DE,过点C作DE的垂线交ED 的延长线于点G,交AD的延长线于F,且AB=5,AD=3,CF=6,求DE的长 25.在矩形ABCD中，AB=a,BC=b(a<b),点E,G在AD上，点F,H在BC上，将矩形 ABCD沿EF,GH折叠，使得点B与点C恰好落在AD上同一点P处，点A的对应点为A',点D的对应 点为D'. D G 图1 图2 备用图 b (①)如图1，当∠FPH=90,SAM=SAam时，求a的值： b (2)如图2，当∠FPH=90°，SAMr=1,SAGr=4时，求a的值； SATEE=1 b (3)当Saar4,FH=PH时，直接写出a的值. BC m 26.如图，在RIAABC中，∠ACB=90°，AC=n,CD⊥AB于点D,点E是直线AC上一动点，连接 DE,过点D作FD⊥ED,交直线BC于点F, 图2 图3 备用图 DE (①)如图1，若m=n,点E在线段4C上，求出DF的值，并写出证明过程； DE (2)0D如图2，若点E在线段AC上，则DF (用含m,n的代数式表示)： ②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明： 6)若1C=V5,BC=25DF=4V ,请直接写出CE的长. 27.王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题， 形成科学的思维习惯，发展核心素养.下面是王老师在“图形的翻折与旋转”主题下设计的问题，请你 解答. 如图1，ABcD中，A=a0<a<90),4D>CD,点P是折线4-B-C上的动点，连接DP,线段 DM沿DP折叠得到线段pr,点c绕点D逆时针旋转得到C,旋转角为，且B=)∠AD1,作射线 DC'交折线A-B-C于点Q ·A BP D 图1 图2 (1)观察发现 ∠ADP∠CDO(选填“>”“<”或“=”). (2)探究迁移 ①如图2，当点'、点C和点D共线时，判断与P的数量关系，并说明理由 ②若CD=m,DP⊥AB,求D0的长. (3)拓展应用 若=60°，AD=3CD=5 点P在运动过程中，当点恰好落在MBCD。 BC 的边 所在直线时，请 直接写出BO的长. 28.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B,直线CD与x轴、y轴分别 交于点C、点D,AB与CD相交于点E,线段OA、OC的长是一元二次方程x-18x+72=0的两根( 0A>0C).BE=5.OB-40A (1)求点A、C的坐标： (2)求直线CD的解析式： (3)在x轴上是否存在点P,使以点C、E、P为顶点的三角形与△DCO相似？若存在，请求出点P的坐标 如不存在，请说明理由. 29.如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E,点F分别在线段AB,AD上，且∠EFD=∠BDF (1)求证：△AFE一△ADC (2若-1,2，且∠AFB=∠C,探索服和D之间的数量关系.☐ 30.【问恩背景】如图1，∠4CB乙4DB=90,4C=BC,MD=DE.求证： BE =2CD 【变式迁移】(2)如图2，E为正方形ABCD外一点，∠E=45°，过点D作DF⊥BE,垂足为F,连接 BE CF.求CF的值： 【拓展创新】(3)如图3，A是△BEF内一点，BE=BF,AF=V6,∠EAB=90°，∠FEA=∠BFA, AE=2AB,直接写出AB的长. 图3 参考答案 题型一相似三角形的对应角与对应边成比例 1.D 【详解】解：， S.BDE S.CDE=1:3 .BE:EC=1:3, .BE:BC=1:4, ·DEI AC .∴△BDEn△BAC,△DOEACOA. DE BE 1 ∴.ACBC4 SADOE SAOC AC-16, 故选：D. 2.B 【详解】，两个相似三角形的边长的相似比为：3 .两个相似三角形的对应角平分线的比为：3。 故选：B 3.D 【详解】解：△ABC∽△DEF,AB:DE=I:2 BC AC AB 1 ·相似三角形对应边成比例可得EF=DF=DE2,故选项A错误： 相似三角形对应角相等可得∠A=∠D,故选项B错误： S.ABC 相似三角形面积比等于相似比的平方可得8一 AB)21 (DE=4,故选项C错误： CAABC.AB1 相似三角形周长比等于相似比可得CADEF DE2,故选项D正确。 4.A 【详解】解：：AD=2,BD=4, .∴.AB=AD+BD=6 :∠AED=∠B,∠A=∠A, ..△ADE∽AACB. AD AE AC AB' 23 AC 6' AC=4, ∴.CE=AC-AE=1 5.2:33 【详解】解：：∠ADE=∠B,∠A=∠A, .△ADE∽△ABC」 .AD:AB为相似比， AD:DB=2:1, .AD:AB=2:3,即相似比为2：3， 故答案为：2：3」 8 6.15 【详解】解：，AD:DB=1:3 .AD:AB=1:4 .DE∥BC, .△ADE∽△ABC S.ADE= S.c=S+Sn0aa,且四边形DBCE的面积为8， SADE 1 .S4DE+8 16 w是 7.30°30度 【详解】解：，∠A=40°，∠B=110°， .∠C=180°-∠A-∠B=30° ,△ABC△A'B'C, ∴.∠C=∠C .∠C=30°， 故答案为30°」 8.2:3 【详解】解：CD‖AB .△CODAAOB」 S.COD ∴.SAAO S.0-9S.co=4 ∴0C:0A=2:3 9.4 【详解】解：，AD=DE=EB, BD 2 DE 1 ·AB3,AE2, :DG∥AC, ∴.△EDHP△EAC,△BDG∽△BAC, DH DE 1 DG BD 2 ·ACAE2'ACAB3' .AC=24, ÷0H4c=12.Dc-号4c=16, .GH=DG-DH=16-12=4. 10.64°164度 【详解】解：△ABCn△DAC,∠B=31°，∠D=117° ∴.∠DAC=∠B=31°，∠BAC=∠D=117°， ∴.∠BCD=360°-∠B-∠BAD-∠D=360°-31°-117°-31°-117°=64° 11.5 【详解】解： S。ADE·S四边形CBD=916 S.DE:S.4C=9:25 相似比为k=35,即DE:BC=35, .3:BC=35」 BC=5, 故答案为：5. 12.12 【详解】解：AD=2,AE=3,DB=7,EC=3, .AC=AE+CE=3+3=6,AB=AD+BD=2+7=9, AD 2 1 AE 3 1 .AC63,AB93: AD AE 1 ..AC AB3, :∠A=∠A, .△ADE△ACB, DE 1 41 BC3,即BC=3, ∴.BC=12 13.3 【详解】解：在平行四边形ABCD中，AB=4, ∴AB∥CD,AB=CD=4, ∴.∠F=∠ECD,∠FAE=∠D ∴AAEF△DEC、 :=AE1 CD ED 3' 加- 14.3v15 【详解】解： A D 1 F G ,四边形ABCD为平行四边形， .ADII BC.ABII CD .∠1=∠3， ,AC⊥BC, ∴.∠ACB=∠DAC=90°， ,点A关于直线BF的对称点为点E, .FA=FE,BE=BA, 在△BAF和△BEF中， 「BA=BE BF=BF FA=FE △BAF≌ABEF(SSS) .∠1=∠2， .∠2=∠3， .·∠GFE=∠EFC, ∴.△FGE AFEC, FG:FE-FE:FC(4+5) 解得FE=6」 FA=6, .CE∥AB, GE CG 5 1 …GBAG4+62 设GE=x,BG=2x,则BE=BA=3x, 在RtABCG中，BG=BC2+CG, .4x2=BC2+52, 在Rt△ABC中，，BA=BC2+AC2 .9x2=BC2+152, :9(BC2+53）=4(Bc2+15) 解得BC3V5 (负值舍去)， 3V15 故答案为： 15.5 【详解】解：过E点作BD的垂线，与BD交于F点， P B ,四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD EF AC .AC=12,BD=16 :.0C=0A=AC=6,0B=0D=BD=8, :BC=V0C2+0B2=62+8=10 .BH=AB=BC=10. ..OH=BH-OB=2. :E是BC的中点，EFI‖AC, :EF=)0C=3,OF=)OB=4, 2 2 OP OH .EFEF :0P=F.0M-3x21 HF 2+4 .CP=OC-OP=5」 故答案为：5. 题型二相似三角形的周长比等于相似比 1.C 【详解】解：，△ABC一△DEF,相似比为3：1 ∴△ABC的周长：△DEF的周长=3：1 ,△ABC的周长为18 ∴.△DEF的周长为6 故选C 2.50cm或l8cm/18cm或50cm 【详解】解：设相似比为人，则面积比为-》 25, 3 解得k=亏（负值合去），即周长比也为5， 若30cm为较小三角形的周长， 则另一个三角形的周长为30÷ =50cm 5 若30cm为较大三角形的周长， 3 则另一个三角形的周长为30×。=18cm, 5 综上所述，另一个三角形的周长是50cm或18cm 3 14或21 【详解】解：首先计算已知等腰三角形的周长为2+2+3=7， 分两种情况讨论： ①当边长为6的边是另一个等腰三角形的腰时： ,两个等腰三角形相似，该腰对应原三角形的腰长2， 63 相似比为2 ,相似三角形的周长比等于相似比， .另一个三角形周长为7×3=21， 此时三边长为6,6,9，满足三角形三边关系，符合要求： ②当边长为6的边是另一个等腰三角形的底时： ,两个等腰三角形相似，该底对应原三角形的底边长3 相似比为百2， .另一个三角形周长为7×2=14， 此时三边长为4,4,6，满足三角形三边关系，符合要求， 综上所述，另一个等腰三角形的周长为14或21. 41:5 【详解】解：设BC=a, :∠ABC=90°，∠ACB=45° ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴.AB=BC=a .∠BCD=90°，∠D=30° ..BD=2BC=2a BC2+CD2=BD2 ..CD=3BC=3a :∠ABC=90°，∠BCD=90°， ..AB∥CD ∴△AOB∽ACOD. :C=ABa1 C.com CD-a=1:3 题型三 相似三角形的面积比等于相似比的平方 1.B 【详解】解：如图，根据题意得：∠AOB=∠BOC=360°÷12=30°， A B ① 设AB=x, :在R1aAOB中，tan∠AOB= sin∠AoB=4B AO, BO .tan30°=x-V5 A03, sin30°=x-1 B02, :40=V5x.B0=2x ,三角形①的面积是3， :4048 2×V3rx=3 整理得：x2=23, ,在RtABOC中， ta∠BoC=BC BO, :tan30°=BC、V5 2x3, .BC=2Vx 3 .SAwoc =BO.BC =-×2x 23x 2 3 =2w5r 3 =2W5×25 3 =4, 故选：B 2.A 【详解】解：已知△OAB∽△OCDG:C=5:3 AB 5 选项A:相似三角形的周长比等于相似比，故CD3,正确： 25 选项B:相似三角形的面积比等于相似比的平方，故S,气(3 9,错误； 选项C:OB,CD不是对应边，无法确定比例，错误： 选项D:OA,OD不是对应边，无法确定比例，错误； 3.C 【详解】解：选项A、,四边形ABCD是平行四边形， :ADII BC,AD=BC, .△AEF∽aCBF,且AE:ED=2:l, AE AE2 ·CBAD3 .△AEF与△BCF的周长比为2：3，故A选项正确； 选项B、如图所示，过点A作AG⊥BE于点G,过点E作EH⊥AB交AC于点H, A E GH B 由上述证明可得，△AEF∽△CBF, AE EF AF 2 ·CB BF CF3' SAw-1BF-AG,SAu -TEF-AG, 2 2 SABE LBF-AG BF 3 .SAAEF EF.AG EF 2, 2 ,AB∥EH, .△HEF∽△ABF, SB旺= S.ABF ,EH∥CD. ∴.△AEH∽aADC, AE2 ·AD3, SAEH :.S.ADC 3 设Sar=a,则Sa=0,Sam 43.2 9*2a= 、a 3 25 .S△MBH=SAAr+S△Hr=a+三a=,a, 3 3 9515 a SAMc=子SM=4X3a=4", 155.452025 .S四边形BHCD=S△MDC-SAAEH= 40-3a=12a-12a=12 -a- 、a= -a= a 2258.2511 :边形m=SAm+边形m=3a+20=12a+2a=40, -a= a 3 S△MBE 2a3.4_6 .S四边形BFGD 1a21111,故选项正确； 11 B 选项C、如图所示，连接CE, A E D :四边形ABCD是平行四边形， AE∥BC, ∴.∠BAF=∠DCF .·∠DCF=∠DCE+∠ECF, ∴.∠BAF>∠ECF, .△ABF与△CEF不一定相似，故C选项错误： 选项D、点E为边AD的黄金分割点，AE>ED, AE 5-1 .AD2, ,四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC,AD=BC, .△AEFACBF, AE AF AE 5-1 ..BC CF AD 2, CF 25+1 .AF√5-12，故D选项正确： 故选：C, 4.9:4 【详解】解：根据题意得：OC:OF=3:2, :△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形， △ABCADEF,AC∥DF, .△AOCn△DOF, AC OC 3 .DF OF 2, :AABC与ADEF的面积比为：-， 故答案为：9：4」 5.36 【详解】解：：△ABC按相似比3：1放大得到△ADE, aABC与△ADE的面积比为9：1， :△ABC的面积为6， △ADE的面积为54， AB:DB=1:2, .△BDC的面积为12， ,△CDE的面积为：54-6-12=36， 故答案为：36 6.5 【详解】解：，AD=2DB, AD 2 .AB 3' .DEllBC, ∴.△ADEAABC, S&ADE AD 4 :S.ABC AB .S.A8C 4 S四边形DaE=SABC-SADE=5 7.(I)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .ADll BC ∴∠E=∠CBF,∠EDF=∠C .△DEF∽△CBF: (2)21 【详解】(1)略 EF2 (2)解：FB3 EF_2 ·EB5 在平行四边形ABCD中，AB‖CD, .△DEFP△AEB, SADEE= EF) .4 S4R EB) -25, .△DEF的面积为4， 25 SAB= S.DEF=25 4 S四边形ADFB=S。ABB-SADEF=21 题型四动点运动中的相似三角形 1.D 【详解】解：：∠ACB=90°，AC=4cm,BC=3Cm, AB=V32+42=5(cm） 根据题意得BP=1cm,40=cm,则 AP=(5-1)cm ,∠PAQ=∠BAC AP AQ :当AB=AC时，△APQ∽△ABC, 5-1 1 即54 解得120 9: AP AO 当AC=AB时，△AP9”△ACB: 5-t_t 即45' 25 解得1=9， 2025 综上所述，t的值为9或9， 故选：D. 2.3或4.8 【详解】解：设运动时间为x秒， 根据题意：AD=cm,CE=2xcm,则 AE=(12-2x)cm AD AE 当△ADE∽△ABC时，AB=AC, -12-2x 6=12,解得x=3: AD AE 当AADEAACB时，AC=AB, x=12-2x “126，解得x=4.8, 综上，以点A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为3或4.8， 3050 3.ū或13 【详解】解：，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm,BC=6cm, :AC=√AB2+BC2=10cm 由题意得，AP=2icm,CQ=tcm, :CP=4C-AP=(10-2）)cm .∠C=∠C, .当△POC与△ABC相似时，只存在△POC∽aABC和△POC∽aBAC这两种情况， CP CO 10-2t_t 当APQC△ABC时，则AC=BC,即10-6： 解得1-9。 CP CO 10-2t 1 当aP0 CABAC时，则BC=AC,即6=10， 解得1=沿。 05 .0<t<5 30 50 =1和=13都符合题意， .1 3050 故答案为：11或13· 24 4.2或7 【详解】解：设经x秒后，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似， 则AP=x,BQ=2x, ..PB=8-x, :四边形ABCD是矩形， .∠PBQ=∠BCD=90°BC=12cm.AB=CD=8cm. D 2 13 ①当∠I=∠2时，有△QPBABDC PB BO 8-x2x CDBC,即8=12： 解得x2马： 24 ②当∠I=∠3时，有△PBQ∽△BCD」 PB BO 8-x 2x BCCD,即12=8， 解得x=2, 24 ∴经过2秒或7秒时，以P、B、O为顶点的三角形与ABDC相似. 24 故答案为：2或7· 5.经过2.5秒或1秒钟，△PB0与△ABC相似. 【详解】解：设经过t秒钟，△PBQ与△ABC相似. 由题意得AP=2icm,BQ=4tcm, .AB =10cm.BC=20cm. .BP=(10-2t)cm OC=(20-41)cm :△PBQ,△ABC 与 相似， BPB210-21_4t 当BP与AB对应时，有ABBC,即10=20，解得t=2.5, BP BO 10-2t4t 当BP与BC对应时，有BC=AB,即20=10解得1=1： 综上所述，经过2.5秒或1秒钟，△PBO与△ABC相似. 6.(1)1=10 (2)1=5或1=10 ③5或1-12 【详解】(1)解：由题意CD=4,AE=2(0<1≤15) .∠A=60°，∠B=90°，AC=60cm, .∠C-30°，AB=30cm. .DF⊥BC, DF-CD2 DFWAR ∴.DF=AE, ∴.四边形ADFE为平行四边形， .当AD=AE时，四边形ADFE为菱形， ∴.60-41=21，即t=10, ∴.当1=10时，四边形ADFE为菱形 (2)解：由(1)知四边形ADFE为平行四边形， ..EF Il AC,EF=AD=60-4, ∴.∠EFB=30°. :BE=30-2L.BF=V5(30-21) ÷号4aF-号2-5(60-20-I05, 解得：1=54=10 当=5或=10时，△MDE的面积为 100√3cm2 AD AE (3)解：当△AED∽△ABC时，ACAB· 60-4t21 .6030 15 解得： -2. AD AE 当△ADE∽△ABC时，AB=AC, 60-4t2t .3060 解得：t=12, 15 当=2或1=12时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似. 7.(1)t=1 35 100 ②1=2或1=27 【详解】(1)解：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10,BC=7,且AP=2L,CQ=1, .CP=10-2t, :.P0=VCp2+Cg-V10-2}+P=V5-40r+100 P0=v6 ÷V57-40M+100=v65 整理得2-8t+7=0, t=1,或=7， ∴.t=1 (2)解：：∠ACB=∠PCQ=90°， 当△PCO与△ABC相似时， 一种情况是△PCQ∽aACB PC OC AC BC 10-2tt .10 7 :3对 12 另一种情况是aPCQ∽aBCA PC OC BC AC 10-2tt .710 100 1=27 故当13的 100 =12或/=27时，以C,卫，Q为顶点的三角形与A4BC相似. 81)1=24 7 a-19 1=2或'17 2 ④ 2 【详解】(1)解：由题意得，AP=bBO=1,则BP=AB-AP=6-1, :Pg∥AC, ∴△ABCAPBO. BP BO ·ABBC,即68， 24 解得(= 7: (2)解：：四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=∠BCD=90,CD=AB=6cm, .POLBD. ∠BPO+∠PBD=90°=∠PBD+∠DBC, ∴.∠BPQ=∠CBD .△PBQ∽△BCD PB BO 6-1 1 小BCCD,即8=6， 解05。 A D P B BP BO (3)解：当△BPO∽△CE时，则CgCE,如图3-1所示， :E是CD的中点， :.CE-CD=3cm 2 又：C0=BC-B0=8-1, 6-t_t …8-t3 ∴.2-111+18=0， 解得1=2或t=9(舍去)； A D E B Q 图3-1 BP BO 当△BPO∽△CEQ时，则CE=CO, 6-t。t .38-t’ .2-171+48=0, 17-√97 解得2 (不合题意的值已舍去)： 17-V97 综上所述，当1=2或=2时，以点卫，日，Q为顶点的三角形与0CE相似 （4)解：由题意得w=AB,BC=48cm2 1 ÷SAO-3Ecn=16cm2, .S△POE=S梯形PBE-S△PB0-S△cOE 、3+6-×8-46-2_380-16, 2 22 .2-111+16=0, 11-V57 t=- 解得2（不合题意的值已舍去）· A D E 9.(1)4.8 ②8=5m=-名+40≤1548 525 9 (3)3或5 【详解】(1)解：：∠ACB=90°，AC=8,BC=6, 4B=AC2+BC7=10 CCD. 6x8-10D,解得：CD48 1 (2)解：过点P作PH⊥AC于点H,如图， D H B 根据题意得：DPH,COt,则CP-4.8-t, :∠ACB=∠CDB=90°， .∴.∠HCP=90°-∠DCB=∠B, PH⊥AC, ∴.∠CHP-90°， .∴.∠CHP=∠ACB, ∴.△CHP△BCA, PH PC PH_4.8-1 AC=AB,即8=10， 解得：Pm治手 (3)解：根据题意得：DP-t,COt.则CP=4.8-t. ,∠ACD=LPCO,且∠ADC=90° 当∠CPO=LADC=90时，aCP2~aCDA,如图， 0 Co CP t4.8-t ∴4C=CD,即8=4.8， 解得：3： 当∠COP=LADC=90时，△COP~aCDA,如图， D C B CP_Cgn4.8-1=1 ∴A0C0,即8=48， 9 解得：t= 5: 9 综上所述，当t为3或5时，△CPO与△CAD相似. 10.)4P=2cm(0≤1≤6)40=(16-)em(0s1s16) 48 21=1i或1=7 【详解】(1)略： (2)解：当0≤1<6时，①若P∥BC,则有△AP∽aABC, ..40 AP ABAC· .AB=16cm,AC=12cm,AP=2tcm :16-t_24 1612 解得。 ②由∠A=∠A,若∠AOP=∠C,则有△AOPOAACB, AO AP AC AB .16-t21 1216 解得1=6.4（不合题意，舍去）： 当6≤t≤16时，点P与点C重合，如图， ,只有当 时，才有 B C(P:∠A=∠A ∠AQC=∠ACB △AQP∽△ACB :g、p AC AB .16-1_12 1216 解得1=7， 综上所述，1=或， 11.(1)3 3018 (②)i或3 【详解】(I)解：如图，过点M作MD⊥BC于点D. A M B ←NC 在RIAABC中，∠C=90°，AB=10cm,AC=8cm, 根据勾股定理，得BC=VAB2-AC=V02-8=6cm ·∠C=90°，MD⊥BC, .∠MDB=∠ACB .∠MBD=∠ABC. ∴.RtABMD∽RIABAC BM MD 2t MD ∴BA=AC,即10=8， 部附：MD-子 5.w-D.-AD6-小水- 5-5, 4=42=3 解得： ∴.t的值为3， (2)解：分两种情况讨论： ①当MN⊥BC时，RtAMBN∽RIAABC, BM BN 2t 6-t 此时BA=BC,即10=6， 30 解得：t= 11: ②当MN⊥AB时，RtANBM∽RIAABC, BM BN 2t 6-t 此时BC=BA,即6=10， 解得1. 3018 综上所述，t的值为或3： 12.(1)1=2时，△AP2的面积为16cm 四-9支亏时，以有p0为顶点的三角彩与AC相议 【详解】(1)解：运动结束的时间为：15÷2=7.5s, .0≤t≤7.5， 由题意知，AP=2t,DQ=t, ..AO=AD-DO=10-1 aMPg的面积为16m,即440=16， 20-0)=16 21 解得：t=2或t=8(不合题意，舍去)， .当t=2时，△AP的面积为16cm2: (2)∠ABC=∠QAP=90° BC0 BC AP :当ABP或ABA0时，以A'P'Q为顶点的三角形与AABC相似， 1010-t102t 1521或15-10-1： 或15 解得：130 2, 5 当1=39或)时，以4p,Q为顶点的三角形与A8C相似 3 13.(1)当2时，△BEF为等腰直角三角形：(2)存在，当卡2时，△EFB一△FDC 【详解】解：(1)，四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°， .四边形ABCD为矩形， ∴.∠A=∠B=∠C=90°， 当△BEF为等腰直角三角形时，只能是BE=BF,AE=t, BE=AB-AE=6-t,BF=2t, .26-t,解得：2 ∴.当2时，△BEF为等腰直角三角形. (2)存在 ,△EFB∽△FDC, BE BF CF CD .BE=6-t.BF=2t.CF=12-2t. 6-t_2t 即12-2t6’ 3 解得：乍2或6， 又，6时，B与卫重合，所以不符合，舍去， 综上所述，当F2时，△EFB一△FDC, 2540 14.()7或13秒 (2)解：△C0P的面积能等于3.6cm2. 根据题意得：AP=2tcm,CQ=tcm, ,CP=(10-2t)cm 如图，过点P作PH⊥BC于点H,则∠PHC=∠B=90°， D .∠PCH=∠ACB」 ∴.△PCH∽AACB」 PC PH m10-21_PH ACAB,即10=6， 解得：PH=30-6 cm 5 :△CQP的面积等于3.6cm2, 2PH.C0=x3 130-6tx1=3.6, 25 4=2,42=3 解得： 即此时t的值为2或3 【详解】(1)解：在矩形ABCD中，∠B=90°， AB=6cm,BC=8cm, :4C=4B2+BC2 =10cm 根据题意得：AP=2cm,CQ=tcm, :CP=(10-2z)em Co CP 当ACOP∽ACAB时，CACB, t10-2t .108, 25 解得：1=气； Co CP 当ACOP∽△CBA时，CBCA· t_10-2t .810· 潮粉1贺 2540 综上所述，当运动时间为7或13秒时，△COP与ACAB相似； (2)略 题型五相似三角形的实际应用 1.B 【详解】解：根据题意做出示意图，则CD⊥EF,CE⊥CF,DE=2m,DF=8m, D .∠EDC=∠CDF=∠ECF=90°， ∴.∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90° .∠E=∠DCF, .RtAEDC∽RtACDF, DECD 2 CD CD-DF,即cD=8, .CD2=2×8=16, .CD=4m(负值舍去). 故选：B. 2.A 【详解】解：DE=2.7m,CE=8.7m, ∴.CD=CE-DE=8.7-2.7=6m, 设BC=m,则 AC=BC+AB=(x+1.8)m 太阳光线是平行的， .BDI‖AE ∴.△BCDP△ACE. BC CD ACCE,即x+1.88.7, 解得x=4, 经检验，x=4是原方程的解，且符合题意， ∴.BC=4m」 3.A 【详解】解：设正方形城池的边长为x步， 由题意知.B=CE=分步，B40步，DC=810步，∠BMB=∠BCD=90, .∠D+∠DEC=90° 由正方形性质可知，∠BEA+∠DEC=180°-∠AEC=90°， .∠D=∠BEA, ..△ABE∽CED :BA、AE EC DC, 402 即1810，解得 (舍负) x=360 ∴.正方形城池的边长为360步。 4.5 【详解】解：设BC=x,则AB=AC-BC=7.2-x, :FC⊥AD,GA⊥AD, .∠BCF=∠BAG=90°， ,GB在点B处反射后为BF, .∠CBF=∠ABG .△CBF∽△ABG. AGAB1.6_7.2-x CF=BC即2=x, 解得x=4,即BC=4,则AB=3.2, ,ED⊥AD,∠CBF=∠DBE,CD=6, .∠BCF=∠BDE=90°，BD=CD+BC=10, ..ACBFADBE BC FC 42 BDED,即10ED, 解得ED=5 5. 解：按图1加工的正方形面积大. 理由：在RIAABC中，AC=1.5,△ABC面积=1.5， .BC=2. 在图1中， 图一 ,△ABC是直角三角形，四边形CDEF是正方形， ∴.DElICB, AD DE ·AC=CB, 设DE=x,则AD=1.5-x, 1.5-x-x 6 ·152,解得x=7 在图2中，作CP⊥AB,垂足为P,交DE于点Q. c B E 图二 ,四边形EFGD是正方形， .DEI∥AB, ∴.△CDE∽ACAB DE CO .AB CP 4B=AC2+BC2=2.5 ∴.CP=1.2 设DE=x,则P2=x,CQ=12-x. x1.2-x 30 251.2,解得x= 37. 63030 :73537’ .按图1加工的正方形面积大。 【详解】略 么-凸 6.(1)解：112，理由如下： D∥PD2 ∴△DOAPD,0 RD_PD 4-凸 D0D0,即112： (2)25cm (3)镜长至少为0.32m 【详解】(1)略 bb2 (2)解：`14，且么=1.6cm,b,=lcm,4=40cm, .1.61 …4012, .l2=25 ②号“E的测量距离为25cm (3)解：如图，延长CM至A',使A'M=AM,延长CN至B,使B'V=BN,连接A'B,作CF⊥A'B 于F,交MN于E, M E 则AB'=AB=0.8m,'B'∥MN. ∴.CE⊥MN,aCMN∽ACA'B', CE_MN CFB’ 由题意得：CE=2m,EF=3m, ..CF=5m. .2 MN 50.8 ∴.MN=0.32m, .镜长至少为0.32m 7.清虚阁AB的高度为25米 【详解】解：AB⊥BC,EF⊥BC,GH⊥BC, .∠ABD=∠FED=90°，∠ABD=∠HGC=90° ∴.ABIFE,ABIIGH ∴.△FEDr△ABD,△HGCAABC ·EF ED GH CG AB ED+BE'AB CG+EG+BE ED CG 2 4 ED+BE CG+EG+BE 2+BE-4+23+BE .2(27+BE)=4(2+BE) 解得BE=23 :2 2 AB2+23· 解得AB=25, 答：清虚阁AB的高度为25米. (1)△ABC-△ADE BC⊥AE.DE⊥AE, .∴.∠ACB=∠AED=90° ∠A=∠A, ∴.△ABC△ADE: (2)16m 【详解】(1)略 (2)由(1)得△ABC-△ADE, AC BC ·AEDE ,AC=2L,AE-2+18=20L,BC1.6L, 21.6 .20DE' .∴.DE-16L, 即古塔的高度为16m 题型六位似图形与网格作图 1.c 【详解】解：在平面直角坐标系中，△MBC的顶点A在第二象限，点B的坐标为 -3,0) 点C的坐标为 (-1,0) 5-3),点B的对应点N的坐标为 ,0) 点A的对应点M的坐标为 ,分别过点A、M作x轴的垂 线，垂足分别为D、E,如图： .BC=2,CN=4,ME=3,CE=6. ,在x轴的下方作△ABC的位似图形△MNC, ∴.△ACBr△MCN, BC AC 1 NC MC 2' .∠ADC=∠MEC=90°，∠ACD=∠MCE, ∴.△ACD∽aMCE. AD CD AC 1 ME CE MC2 AD2:CD=3 故选：C. 2.B 【详解】解：与△OPO相似的是△BCD;理由如下： 连接BC、BD,如图所示： Q D 则∠BCD=90°+45°=135°=∠Q0P △ACD.△CDE和△MDE均找不出S的角，不可能与 135° OPQ 和 相似， 由勾股定理得：OP=BC=√2， 09=2,CD=1. 0P_0g-2 .CD BC ∴.AOPOACDB 3.(1)∠C=90° (2)BC=4 【详解】(I)解：：△ADE和△ABC是位似图形， .△ADE∽△ABC DE垂直平分AC, ∴.∠AED=90° ∠C=∠AED=90°： (2)解：△ADE和△ABC是位似图形， ∴.△ADE∽△ABC :DE垂直平分AC, .AE-EC-TAC, 2 AE1_DE AC2BC· DE=2, ∴BC=4 4.(1)△ABD如图所示： 图1 △ABC (2) 如图所示： B B 的面积为5. 图2 △AB,C 【详解】(1)略： (2)根据图形可知△AB 的三边长分别为V2,2.V10 相似三角形对应边成比例， △AB, 设 的三边分别为2k.2k,V10kk≠0 正方形网格中最长线段长5+子-V50-5V5 k 5 的最大值为 A8G的三边分别为0,25,55， 此时 画图略； SMBc=5×2×1=1, 2 S.4G=2Sc=5x1=5 5.(1) ,四边形ABCD都是矩形， ADI‖BM, ∴.△AED∽△BEM, AE AD :.EB BM :.AE=2BE: (2) 由作图可知CT=1,FT-2.5, D 图2 BC=2,CD=5 BCCT CD TF' BC CD ·CTTF· .∠DCB=∠CTF=90°， ∴.△BCD∽aCTF, ∴.∠CDB=∠CFT, :∠CFT+∠FCT=90°， .∠CDB+∠FCT=90°， .∠C0D=90°， .CQ⊥BD 【详解】(1)略 (2)略 6.(1)如图， △AB,G 即为所求作，12 C 图2 (2)如图， △AB,C即为所求作， 4+V10+3v2 B A 图3 【详解】(1)解：作△4BC略， △48G的面积为2×6x4=12。 (2)解： △AB,C略 .△4B,C∽△BC 面积之比为2：1 △AB,C和△AB 的相似比为V2:1 AB=V2+2=22,AC=V22+P=5BC=3 :48,=v2x22=4,4G=2x5=10B,G,=3W2 △4B,C的周长48+4G+8,G=4+i0+35 7.(1)3 (2)①如图，△DBE即为所求； D ②如图，△4BC即为所求 (B)B 【详解】(1)解：根据题意得：AB∥CD, ∴.△ABP∽△DCP. PA AB 3 :PD CD 3 (2)①证明：根据网格可得：∠BDE=∠BAC=45° .DEll AC ∴.△BDEABAC: ②：AB=P+P=V2,AC=2.BC=P+3=10 AB=V1+2=V5AC=V12+32=V10B,C=V32+42=5 AB-V2-10AC-2=10BC=0 .AB,V55,AC105,B,C15, AB AC BC ..AB AC BC, △ABC∽△ABC 题型七相似三角形的综合应用 1.B 【详解】解：DE是△ABC的中位线， F C..DE//BCBC=2DE =10(cm) 由折叠的性质可得：AF⊥DE,△DEF≌ADEA, .AF⊥BC .S.Mc=)BC×AF=)×10×8=40(cm2）. 2 .DE∥BC, .△ADE∽△ABC -. 故选：B. 2.A 【详解】解：依题意补全图形，如图： B G A F 由题可知，GF LAC,△GFP是以GF为斜边的等腰直角三角形， 在Rt△ABC中，BC⊥AC, ∴.GFBC, .∴.∠GFP=LFPC-45°， .∠C-90° ∴.∠PFC=LFPC-45°， ∴△FPC是等腰直角三角形， P=2x,GF=2FP=2x 设CP-CF=x,则 AC=3, .AF=3-X, .GF∥BC, ∴△AFG-△ABC, FG AF 2x 3-x BC=AC,即5=3， 同：点 故选：A. 3.B 【详解】当点D在B点时，连按B,延长4C至，使行 EF=BE ;当D运动到C点时，延长BE至 使得 CE=EF ,则直线 ,连接 为太的医动执选：山5，则1远小 .2W3+2 A E- B 沿P为a,则2,1B、了 2 c=5120=6 29、 玉之之—今工 QE-照，=5+2，k=谷+公-得+0-a 众 RIFFE RIAFFA,∠AFF=∠EFF3∠EFA=∠FEF,=9O° 和 中， △FEE~△FAF FE-FE ..FA AF 1 a =20 ∴.V5+123+2, 2 -a √3+1 a=2W3+2 .4 .a=8; 故选B 12 4.2或7 【详解】解：根据△BFC与△ABC相似时的对应关系，有两种情况： ①△B'FC∽△ABC时， BF CF AB BC' 又：AB=AC=3,BC=4,B'F=BF, B'F 4-BF .34 12 解得BF=7; ②△B'CF∽△BCA时， BF CF BA CA AB=AC=3,BC=4,B'F=CF,BF=B'F, 而BF+FC=4,即2BF=4, 解得BF=2 12 故BF的长度是2或7· 5.(1) 证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.ADIIBC,ABIICD .∠ADE=∠DEC,∠B+∠C=180°， 又，'∠AFE=∠B,∠AFE+∠AFD=180°， .∠AFD=∠C, .△ADFADEC: (2)16 3)45 【详解】(1)略 4 (2)解：AE⊥BC,anB=3, 'tanB=4E4 BE 3 设AE=4,则BE=3k, 在直角三角形ABE中，AB=I0, BE2+AE2=AB2, 由勾股定理得： .(3k)+(4k)2=102 解得k=2, AE=8,BE=6」 ,四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,CD=AB=EC=10. .AD=BC=BE+EC=6+10=16: (3)解：在R△MDE中，由勾股定理得： ED=VAD2+AE2=V162+82=8V5 .ADESADEC 、ADAF 16 AF DEDc,即85=10， ..AF=45 6.(1) 证明：AB=AC, .∠B=∠C, ·∠BDA=∠C+∠CAD=∠BDE+∠ADE,∠ADE=∠C ·.∠CAD=∠BDE」 .∴.ACADABDE: (②BE=9 4 【详解】(1)略 (2)ACAD-△BDE, .BE CD BD AC .AB=AC=16,DB=4,CD=9, BE、9 416, 9 .BE= 4· AC 7.()∠ACD,AD· 9 (2)04: ②证明：由①知△ACE∽AAFC, AC AE AFAC, .AC2=AF.AE」 由(1)得AC2=AD·AB, AF·AE=AD·AB, AF AD ·ABAE· 【详解】(1)解：∠ACB=90°， .∠A+∠B=90°， ,CD⊥AB ∠ADC=90°， ∠A+∠ACD=90° ∠B=∠ACD :∠A=∠A, ..△ABC∽△ACD AB AC AC AD .AC2=AD.AB (2)解：①如图：连接CE, D .∠ACE=∠AFC,∠CAE=∠FAC, ∴.△ACE∽△AFC, :.SAFC 〔- ②略. 8.(1) 证明：，AE/BC, .∠E=∠CBG, AF2=FG.FE, AF FE ·FGAF, .∠GFA=∠AFE, .△GFA△AFE, .∠GAF=∠E,即∠CAD=∠E, .∠CAD=∠CBG, .∠C=∠C, ∴.△CADACBG. 18 27 【详解】(1)略 (2)解：：AC=6,BC=7,G为AC的中点， CG=4G=4C=x6=3 2 ACADOACBG CD AC 6 ·CGAB7, 4CD=cG=6x3=18 7 Γ7 7 18 CD的长是7 9.(1)AB的长为13cm (2)此时t的值为4或9 13312169 (3)2或37或37 【详解】(1)解：(I)设AC=AB=cm,则 AD=AC-CD=(x-1)cm 在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD+BD-AB, (x-1)+52=x2 解得x=13」 .AB的长为l3cm; (2)如图，过点Q作QE1AC于点E, BD是边AC上的高， BD⊥AC, .∴QE∥BD ∴△AQE△ABD 根据题意，得A0=CP=cm,A0=CP=1cm,AC=AB=13cm, 0e-02-cm 90cm, :AP=AC-CP=(13-)cm,△APg的面积为13S -0培8 解得1=44=9 答：此时t的值为4或9： (3)△AP是等腰三角形， ..AO=APAP=PO AO=PO 或 或 ①当40=AP时，t=13-t, ②当AP=P№时，过P作PH1Ag于H, D AH=QH=A0=,∠AHP=∠ADB=90° 21 2 :∠A=∠A」 ∴△PHABD, :H、AP ADAB· 1 213-4 13-1-131 解得，1=312 37, ③Ag=P№=1，如图，过Q作QG⊥AC于G, A -HG 则OG∥BD, AG=PG=1 ∴△AQGr△ABD 4g、4G AB AD 13312169 综上所述，当。4PQ是等腰三角形时，t的值为2或37或37 10.()证明：由旋转的性质可知：AB=AE,AC=AF，∠BAE=∠CAF, AB AE AC AF 在△ABE和△ACF中， AB AE :AC=AF,且LBAE=∠CAF, .△ABE∽△ACF @56 (3)①证明：连接AG,由旋转的性质得，AB=AE,∠AEF=∠ABC=90°， .∠AEG=180°-∠AEF=90°， .∠AEG=∠ABC=90° 又AG=AG ,Rt△ABG≌Rt△AEG(HL) .∴BG=EG 13 ②22 【详解】(1)略 (2)解：过点C作CG⊥AF于点G, 由折叠知，∠BAE=∠CAF, ,矩形ABCD中，∠ABC=90°」 ..CG=BC=4. .AC=AC, ,RIAABCS≌Rt△AGC(HL) .AG=AB=3, .∠ABC=90°， 4C=V32+42=5 .AF=5, ..FG=AF-AG=2. cF=CG+FG=25 由(1)知，△ABE△ACF, BE AB CF AC' BE=6V5 5. (3)①略 ②解：，矩形ABCD中，∠ABC=90°，AB=CD. 以点B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图， y C 设BG=a,CM=b,则CG=2BG=2a,DM=2CM=2b. ∴.BC=3a,CD=3b, ∴.AB=3b :40,36,G(a,0.M3a.b) 设直线GF的解析式为y=ax+l, ak+1=0 则3ak+1=b, b k= 2a 解得 6, I=- 2 .y= 设直线AC的解析式为y=K+3b 则3ak'+3b=0, 解得K、b a' y=-6x+36 a 「bb y= 2a2 联立 y=-bx+36 a 7 3 x 解得 2b’ y-3 设AC与FG交于点N, w-3到-F+ow--时-+ 4C=VAB+BC=32+ :1F=AC=3+尔 ∠AFE=∠ACB,∠ANF=∠GNC, ∴.△AFN∽aGCN, AN AF GNGC' a+b 3 3Va2+b2 Va 2a, .a>0,b>0. 7 3 ..14a2+b2 a, 7a=3V4a2+b2 49a2=36a2+9b2 .13a2=9b2, b213 小7=9 由(1)知△ABE∽△ACF」 AB 3b ·ACV9a2+9b2Va2+b2, S=AB2b21313 S,AC02+b9+1322 11.(1) 证明：AC平分∠DAB, .∠DAC=∠CAB, :∠ADC=∠ACB=90°」 .:AADC△ACB: (2)6 【详解】(1)略 (2)解：，△ADCAACB AD AC ·ACAB .AD=4,AB=9, 4AC AC9 .AC=6(负值舍去). 12.(1)2 (2)2 (3)不变， 证明如下：如图3， CB CD 1 .CA CE 2' CB CA ∴CDCE, :∠BCA=∠DCE=60° ∴.∠BCA-∠DCA=∠DCE-∠DCA,即∠BCD=∠ACE, ∴.△BCDn△ACE」 ..AE:BD=AC:BC=2, AE:BD的值不变； 35 (④V5或5 【详解】(1)在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=60°， .∠A=30° .AC=2CB=12 '△DCE与△BCA的相似比为l:2, :c0-2c8=3.e-专4c-6, 2 ∴.BD=3,AE=6, ..AE:BD=2. 故答案为：2： (2)如图2，BD=BC+CD=6+3=9,AE=12+6=18. .AE BD=2. 故答案为：2； (3)略 (4)如图3-1中，当点E在AB的延长线上时， D B 图3-1 在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4,BC=2, 则4C=VBC2+AB2=2V5 点D、点E分别是边BC、AC的中点， D-c-1.E-4c-5,0s-4B=2, ..BE=CE2 -CB2 =1 ∴，AE=AB+BE=5 :∠BCA=∠DCE, ∴.∠BCA+∠ECB=∠DCE+∠ECB,即∠ECA=∠DCB DC BC CE AC, ABCD∽△ACE, :AE:BD=5 BD=5 如图3-2中，当点E在线段AB上时，AE=AB-BE=3, B E A 图3-2 ·,'△BCD∽△ACE .AE:BD=5 025 3v5 综上所述，BD的长为V5或5， 35 故答案为：V5或5， 13.(1) 证明：~四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC ABIICD ∴.∠ADF=∠DEC,∠B+∠C=180° ∠AFD=∠B,∠AFD+∠AFE=180°， '∠AFD=∠C, .△ADF∽△DEC: 24 ②7 【详解】(1)略 (2)解：四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD=4. △ADF△DEC,AD=6,DE=7 AD AF .DE DC 6 AF .74, 4-9 14.(1) 证明：，四边形ABCD是菱形， .ABI‖CD ∴.∠ABE=∠CEB ∠AEB=∠C, △ABE ABEC: gv5 【详解】(1)略 (2)解：，四边形ABCD是菱形， .AB=BC=CD .·△ABE∽ABEC」 AB AE BE BE BC CE' AE=4,BE=8 BC4 8 .8 BC CE' BC=4V2CE=8√2 解得： 15.(1)8,6 a6-100或是0 【详解】(1)解：因为OA,OB的长是关于x的一元二次方程x2-14x+48=0的两个根， x1=6,x2=8 解方程得， 因为OA>OB, 所以OA=8,OB=6, 故答案为：8,6： (2)解：设点E的坐标为(m,0), 则OE=m 因为OA=8,OB=6, 所以1B=V8+6=10 因为四边形ABCD是菱形， 所以AD=AB=10 当△AOE∽aDAO时， OA OE ·AD=OA' 8 ml …108, :m侧32 5 :mt32 5 点卫为x轴负半轴上的点， “点B的坐标为：（←5 0) 当△EOA∽aDAO时， OE OA AD=OA' m 8 .1081 :例=10 ∴.m=t10 ,点E为x轴负半轴上的点， ∴点E的坐标为：（-10,0)： 32 综上，点B的坐标为：(10,0或（亏，0）， 16.(1) 证明：，AB=AC, .∠B=∠C, .∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=∠ADE+∠CDE,∠ADE=∠B, ∴.∠BAD=∠CDE .△ABD∽aCDE: (2)3或8 【详解】(1)略 (2)解：：AB=AC,AC=12 .AB=12, 由(I)知，△ABDACDE AB BD 12 BD ∴CD=CE,即11-BD2 BD=3或8 17.(1) 证明：在矩形ABCD中，∠B=90°，AD‖BC, :DF⊥AE, ∠AFD=90°， ..∠B=∠AFD=90° 又ADII BC .∠DAE=∠AEB, ∴ABESADFA. (2)7.2. 【详解】(1)略 (2)解：AB=6,BE=8,∠B=90°， .AE=AB2+BE2=10 △ABE∽△DFA, AB AE DE AD' 610 即DF12' .DF=7.2 18.(1) 证明：由题意，得，DP=31 BD=7 ∴.BP=BD-BP=7-3t 当t=1时，DP=3,BP=4 AB=2,CD=6, .AB2 BP 4 2 PD3,CD6=3· AB BP 2 PD CD3 AB⊥BD .∠ABP=∠ABE=90°， CD⊥BD .∠D=90°. ∴.∠ABP=∠D=90°， .△ABPAPDC d刀 47 (2②)线段BE长为3或4 【详解】(1)略 (2)AE∥CP .∠E=∠CPD ∠ABE=∠D=90°， .△AEB∽△CPD AB EB “CDPD 2 EB 即631· .EB=t, ①当△ABE∽△ABP时， ∠E=∠APE .AE=AP AB⊥BD .BE=BP, ∴.t=7-3t 7 14 ②当△ABEAPBA时， .AB EB PBAB· ∴.4=t(7-3) 4 4=3,62=1 1>1, .t=1舍 47 综上所述：线段BE长为3或4 19.EF-cm 【详解】解：设矩形EFGH的长EF=HG=2x,则宽EH=FG=x, :四边形EFGH是矩形， ∠HEF=∠EHG=90°，EF∥BC, .∴△AEFD△ABC, :AD是△ABC的高， ∠HDK=90°， ∴.四边形EHDK是矩形， :.DK=EH=x, :△AEF∽△ABC, :张EF ADBC(相似三角形对应边上的高的比等于相似比)， .BC=16cm,AD=12cm, .AK =(12-x)cm 12-x2x 1216, 解得：x=24 5, EF=2x=48。 20.(1)0,0,4 21 (②4m3 【详解】(1)解：原式=-(-2x+)+4=-(x-+4 (x-12≥0 -(x-s0 .-(x-102+4≤4 .-x2+2x+3的最大值为4. (2)解：如图， M H ,直角三角形木板ABC的面积为13.5m2,一条直角边AB长为4.5m, ∴24BBC=13.5,即：2×45BC=13.5,解得：BC=6m :.4C=VAB2+BC=V4.52+6=7.5m BH⊥EF, &B.4C:m即45x6=75解得：B班8 5m, 在矩形DEFG中有：DG=EF,DE=MH=GF,DG∥EF, .BH⊥DG, .DG∥EF, ∴.∠BDM=∠BAC,∠BGM=∠BCA, .∠BMD=∠ABC=∠GMB=90°， ∴.△OMBAABC,△BMGP△ABC BM BC BM AB ∴DM=AB,GM=BC, 设DE=MH=GF=x,则BM=BH-HM=1 5x, 18 5t6 18 5x45 DM 4.5'GM 6 DM=273 ,GM=244 104, 53, .DG=DM+GM=15_25 212 设矩形DEFG的面积为S,则： 12x-5 25(92 12-3≤0 27 m2 ∴矩形台面面积的最大值为4 21. 证明：·DE∥BC」 ∴.△ADMP△ABN,△AEMP△ACN, .DM AM EM AM BNAN CNAN, DM BN EM CN .DE∥BC .△DMP∽aCNP及△EMP∽aBNP DM MP EM MP CN NP:BN NP DM EM ·CNBW, .DM CN EM BN, BN CN CN BN, .'BN=CN,DM=EM, 即MN分别为DEBC的中点. 【详解】略 22.(1) ,四边形ABCD为正方形， .AB=BC=9,∠ABE=∠ECF=90°， ∴.∠BAE+∠AEB=90° ,EF⊥AE, ∠AEF=90°， .∠AEB+∠CEF=90°， .∠BAE=∠CEF, 又：∠ABE=∠ECF=90°， ∴，△ABE∽AECF 20 (②)CF的长是 【详解】(1)略 (2)解：BE=5, .CE=BC-BE=4. △ABESAECF, BE AB :.CF EC 59 即CF=4, 解得CF=20 23.(1) 明：能8- BC AB AC DE AD AE· △ABC∽△ADE (2)55 【详解】(1)略 (2)解：由(1)知，△ABCAADE, ∴.∠DAE=∠BAC=125° :∠EAC=70° ∴.∠CAD=∠DAE-∠EAC=125°-70°=55° 24.(1)证明：四边形ABCD是正方形， .∠A=∠FDC=90°，AD=CD. 在△AED与△DFC中， AE=DF ∠A=∠FDC AD=CD :.△AED≌aDFC(SAS) (2)证明：在正方形ABCD中，∠A=90°， .∠ADE+∠AED=90° ·△AED≌ADFC, ∴.∠DFC=∠AED」 ∴.∠DFC+∠ADE=90° .DE⊥CF: CE _3 (3)BD4 ④DE= 8 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如图2，设BD与CE交于点G, E D G 四边形 是矩形， 图2 ABCD ∠A=∠EDC=90°，AB=CD, CE⊥BD ∠DGC=90°， ∴.∠CDG+∠ECD=90°，∠ADB+∠CDG=90°， ∴.∠ECD=∠ADB ∠CDE=∠A, .△DEC∽AABD CE DEDE ..BD AB CD' tan∠DCE= DE 3 CD 4 CE 3 ..BD 4: (4)解：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H, D 图3 CG⊥EG .∠G=∠H=∠A=∠B=90° ∴四边形ABCH为矩形， ∴.AB=CH,∠FCH+∠CFH=∠DFG+∠FDG=90°， .∠FCH=∠FDG=∠ADE,∠A=∠H=90°， .△DEA∽aCFH, DE AD .CF CH, DE AD .CF AB, AB=5,AD=3,CF=6, DE 3 .65 .DE=18 5· 25.④日22+2 b b_5+3v5 (2)a2 b_10+V10 (3)a3 【详解】(I)解：：四边形ABCD是矩形， .AB=CD=a,AD=BC=b,∠A=∠D=90°」 由折叠性质得：PF=BF,PH=CH,A'E=AE,D'G=DG,PA=AB=a,PD'=CD=a, ∠A=∠A=90°，∠D'=∠D=90°； ∵∠FPH=90°. .∠A'PD'=∠FPH=90°， .∠APE+∠DPG=90°， 又：∠A'=90°， .∠APE+∠AEP=90°， .∠D'PG=∠AEP 又：∠D'=∠A'=90°， .∴AD'PGn△AEP, SAAEP =SADGP S.KEP=1 SDPG’ ..EAP DP-DG-1, .A'E=D'P=a.A'P=D'G=a, .AE=a,DG=a, 在Rt△APE中，∠A=90°，AE=a,AP=a, :PE=A'E2+A'P2=a+a=2a 在RtaD'PG中，∠D'=90°，DP=a,D'G=a, ..PG-D'P2+D'G2-d+d=a :.AD=AE+EP+PG+DG=a+a+2a+a=(2+22)a .b4D.2+25e-2+25, a AB a (2)当∠FPH=90°时，由(1)已证aD'PG∽aAEP, SAREP=1 SADGP=4 、S△Me=I S.DGP 4 AE A'P 1 DP-D'G 2' E-DP-7d,DG-24P-28 1 2 1 AE=4,DG-2a' 在RtA4PE中，∠=9o,AE=20,p= :PE=√NE2+Ap2= 在RtaD'PG中，∠D'=90°，D'P=a,D'G=2a, :.PG=D'P2+D'G2=/a2+(2a)=Va2+4a2=5a AD-AE+EP+PG+DG-5 2 a+v5a+2a=5+35 a+ 5+35 2a5+35】 a AB 0 2 (3):四边形ABCD是矩形， :AD∥BC,∠A=∠D=90°，AD=BC, ∴.∠PEF=∠EFB,∠PGH=∠GHC, 由折叠可知：CH=PH,BF=PF,∠EFP=∠EFB,∠PHG=∠GHC,∠A=∠A=90°， ∠D'=∠D=90°，PA'=AB=a,PD'=CD=a,A'E=AE,D'G=DG: :∠PEF=∠EFB,∠EFP=∠EFB,∠PGH=∠GHC,∠PHG=∠GHC, ∠PEF=∠EFP,∠PGH=∠PHG, .PE=PF,PG=PH, AE=x(x0) 姿1 LAE-AP LAE-d E=1 1 D'P.D'G ID'G.a D'G4, 故D'G=4x, :.PG=PH=CH=\D'P2+D'G2=a+(4x)'=Va+16x2 :FH=PH=CH=a2+16x2 在Rt△APE中，∠A=90°，A'E=x,A'P=a, PE=4E2+A'P2=x2+a2 :.BF=PF=PE=x2+a .BC=BF+FH+CH=Va2+x2+2a2+16x2 AD=AE+EP+PG+GD=x+a2+x2+a2+16x2+4x AD=BC, Va2+x+2W2+16x2=x+V2+x2+Va2+16x2+4x 整理得： Va2+16x2=5x a2+16x2=25x2 解得：5=号<舍去)，名=号 3 V10,10 b BC=3 +3+10 a+ a AB a 3 26.(1)1; n n (20m:②m: (3)CE=25或 CE-25 5 【详解】(1)解：当m=n时，即：BC=AC, :∠ACB=90 ∴.∠A+∠ABC=90° ,CD⊥AB, ∴.∠DCB+∠ABC=90 ∴.∠A=∠DCB :∠FDE=∠ADC=90° .∠FDE-∠CDE=∠ADC-∠CDE, 即∠ADE=∠CDF, ∴.△ADE∽△CDF. :DE、AD DFDC· :∠A=∠DCB∠ADC=∠BDC=90° ..AADC∽ACDB AD_AC=I」 DC BC DE=1 DF (2):∠ACB=90°， ∴.∠A+∠ABC=90° CD⊥AB, ∴.∠DCB+∠ABC=90° ∴.∠A=∠DCB :∠FDE=∠ADC=90 .∠FDE-∠CDE=∠ADC-∠CDE. 即∠ADE=∠CDF, .△ADE∽△CDF, DE AD DFDC· :∠A=∠DCB∠ADC=∠BDC=90° .AADCSACDB AD-AC=”:DE=n DC BC m' DF m ② 成立如图3， D B 图3 :∠ACB=90 .∠A+∠ABC=90° 又：'CD⊥AB ∴.∠DCB+∠ABC=90° ∴.∠A=∠DCB .:∠FDE=∠ADC=90° ∴.∠FDE+∠CDE=∠ADC+∠CDE, 即∠ADE=∠CDF, ∴.△ADE∽△CDF, DE AD DF DC .∠A=∠DCB∠ADC=∠BDC=90 .AADC∽aCDB AD_AC=” DC BC m' DE_n DFm·