精品解析：福建龙岩市高级中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

龙岩高中2026—2027学年九年级上学期10月阶段性评价数学 一、单选题（共40分，每题4分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的三个要素：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是．据此判断即可． 【详解】解：A．该方程是一元二次方程，故此选项符合题意； B．该方程未知数的最高次数是，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C．该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D．该方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选：A． 2. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式得到，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 3. 若是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， 故选：C． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线顶点坐标的求法，根据抛物线顶点式的顶点坐标为 ，直接求解即可． 【详解】解：因为是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为； 故选：D． 5. 已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向下，则解析式中对应的二次项系数为负数，据此列式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴， 故选：A． 6. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定抛物线的对称轴与开口方向，将左侧点对称到右侧，利用右侧的增减性比较函数值大小． 【详解】解：由二次函数得，抛物线开口向上，对称轴为直线． 点关于对称轴的对称点为． ∵当时，随的增大而增大，且， ∴． 7. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 其图象的顶点坐标为 B. 函数的最小值为 C. 其图象的开口向上 D. 其图象的对称轴为直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点)中各项参数与函数性质的关系成为解题的关键． 根据二次函数顶点式的性质以及a的值确定开口方向，由h，k的值确定最大值、对称轴、顶点坐标逐项判断即可解答． 【详解】解：A．该函数的顶点坐标为，故该选项错误，不符合题意； B．该函数的最大值为2，故该选项错误，不符合题意； C．由，所以该二次函数图象开口向下，故该选项错误，不符合题意； D．该函数的对称轴为直线，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 8. 如图，二次函数的图像与轴的一个交点坐标为，那么关于的一元二次方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的图像可得，二次函数的对称轴是直线，又图像与轴的一个交点坐标为，结合对称性可得图像与x轴的另一个交点坐标为，即，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，根据函数的图像可得，二次函数的对称轴是直线， 又图像与轴的一个交点坐标为， ∴图像与轴的另一个交点坐标为，即． ∴关于的一元二次方程的解为，． 9. 关于y的方程，下面解法完全正确的是（ ） 甲 乙 丙 丁 整理得； ∴，， ∴ ∴ 两边同时除以 得 移项得： ∴ ∴或 ∴， 整理得： 配方得： ∴ ∴ ∴， A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【详解】解：原方程为． ∵展开移项整理得，甲写为，常数项符号错误． ∴甲解法错误． ∵乙两边同时除以，未考虑的情况，会漏解． ∴乙解法错误． ∵丙移项时符号错误，正确移项应为，丙写为． ∴丙解法错误． ∵丁整理得，配方得，即． ∴． ∴，，解法完全正确． 10. 若二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的对称轴计算公式，熟记二次函数的性质是解题的关键． 首先根据已知抛物线的解析式确定对称轴和开口方向，然后结合对称轴和开口方向确定抛物线的增减性，由此即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y 值会随着 x 的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴． 故选：C． 二、填空题（共24分，每题4分） 11. 边长为的正方体，表面积为，则y与x之间的函数关系式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形，这6个正方形的面积和就是该正方体的表面积． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数关系式，理解两个变量之间的关系是得出关系式的关键． 12. 若关于的方程是一元二次方程，则的值为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，列式计算即可求得． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 解得 故， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握和运用一元二次方程的定义是解决本题的关键． 13. 在一次同学聚会中，大家一见面就相互握手（每两人只握一次），参加这次聚会的同学共有人，共握手次，则所列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】设参加这次聚会的同学共有x人，则每个人握手（x−1）次，而两个人之间握手一次，因而共握手． 【详解】解：设参加这次聚会的同学共有x人， 根据题意得，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据题意列一元二次方程解实际问题的能力，列方程解应用题的关键是寻找等量关系． 14. 二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题，根据图象，找到直线在抛物线下方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，当时，或； 故答案为：或 15. 如果m是方程的一个根，那么代数式的值为______． 【答案】36 【解析】 【分析】利用m是方程的一个根，求得，将原式整理得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 16. 已知二次函数的图像如图所示，对称轴是直线．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是___________．（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式． 根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图像确定当和时，的范围，确定代数式的符号． 【详解】解：由题图知，， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ，故正确； 对称轴为直线， ，即， ，故错误； 当时，， ，故正确； 当时，，对称轴为直线， 当时，， ，故正确． 故答案为：①③④． 三、解答题（共86分） 17. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： 或 ，． 18. 已知二次函数 （1）求出该函数的顶点坐标； （2）当x______时，y随着x的增大而增大． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将表达式配方成顶点式即可求解； （2）求出抛物线开口向下，对称轴为直线，即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴该函数的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随着x的增大而增大． 19. 二次函数中的，满足下表． … … … … （1）观察表中信息，发现______，抛物线的对称轴为直线______； （2）在平面直角坐标系中画出这条抛物线； （3）当时，取值范围是______． 【答案】（1）， （2）如图，抛物线即为所求： （3） 【解析】 【分析】（1）根据表中数值解答即可求解； （2）根据表中数值描点、连线即可作出图象； （3）结合图象即可求解； 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点， ， 与的函数值相等， 对称轴为直线； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图可知，当时，取值范围是． 20. 已知：关于关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一根是另一根的2倍，求k的值． 【答案】（1） 证明：在方程中， ∵ ∴程总有两个实数根 （2）k的值0或3 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由偶次方的非负性可得出，进而可证出方程总有两个实数根； （2）根据求根公式表示方程的两个根，再根据2倍关系，分类讨论列方程解之即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，． ∵方程的一根是另一根的2倍， ∴或． 解得或． ∴k的值0或3． 【点睛】本题考查根的判别式以及求根公式，解题的关键是：（1）熟知“当时，方程有两个实数根”；（2）牢记求根公式：． 21. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，墙的最大可用长度为，且的长不超过墙的长度．设． （1）的长用含的代数式表示为______； （2）现要围成面积为的花圃能行吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：不能，理由如下： 根据题意，得， 整理，得， 解得， 当时，，不符合题意， 答：不能围成面积为的花圃． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意，列方程求得方程的根，检验即可得到答案． 【小问1详解】 解：设， 则； 【小问2详解】 略 22. 一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为． （1）求抛物线的函数解析式（不写自变量x的取值范围）； （2）求小球在斜坡上的落点A的坐标； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由最高点坐标知抛物线顶点为且经过原点，用顶点式设解析式、代入原点求待定系数； （2）落点既在抛物线上又在斜坡所在直线上，把两式联立求解（舍去表示抛出点的解）即可． 【小问1详解】 解：由题意，抛物线经过原点，且最高点（顶点）坐标为， 设抛物线的解析式为． 抛物线经过点， ，即，解得． 抛物线的解析式为，化为一般式得． 【小问2详解】 解：设落点的坐标为，点既在抛物线上，也在斜坡所在直线上，联立得   ， 移项整理得，即． 解得（舍去），． 当时，． 小球在斜坡上的落点的坐标为． 23. 圣女果，常被称为小西红柿，中文正式名称为樱桃番茄，是一年生草本植物，属茄科番茄属．某水果店对一款成本价为每盒20元的圣女果进行销售，如果按每盒40元销售，每天可卖出60盒．通过市场调查发现，每盒圣女果售价每上涨1元，则日销售量减少2盒，设每盒圣女果涨价x元，圣女果的日销售量为y盒． （1）写出圣女果的日销售量y与涨价x的函数关系式______； （2）求每盒圣女果的涨价为多少元时，该水果店销售圣女果可以获得最大日利润？并求出最大日利润． 【答案】（1）（） （2）每盒圣女果涨价5元时，获得最大日利润，最大日利润为1250元． 【解析】 【分析】（1）根据“每盒圣女果售价每上涨1元，则日销售量减少2盒”，即可求解； （2）设日利润为，列出与的函数关系式，再化为顶点式，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得，， ∵ ∴； 【小问2详解】 解：设日利润为， 根据题意得，， ∵二次项系数， ∴时，有最大值为， ∴每盒圣女果涨价5元时，获得最大日利润，最大日利润为1250元． 24. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为如，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． （1）若方程为，求出该方程的衍生点的坐标； （2）若关于的一元二次方程为的衍生点为，过点向轴和轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求的值； （3）是否存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图像上？若有，请求出的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】解方程后，根据定义即可求点坐标； 求出方程的解为或，再分情况讨论：当时，此时；当时，此时，当时，；再由题意分别求出的值即可； 由直线经过定点，则方程的衍生点为，即可求 【小问1详解】 解：的解为或， ， ， 该方程的衍生点的坐标； 【小问2详解】 解：的解为或， 当时，， 此时， 由题意可得， 解得； 当时，， 此时， ， ； 当时，， 此时， 解得； 综上所述：的值为或； 【小问3详解】 存在满足条件，理由如下： ， 直线经过定点， 方程的衍生点为， 【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，点为该一元二次方程的衍生点的定义，解题的关键是理解新定义衍生点，熟练掌握一次函数的图像及性质，学会用分类讨论的思想解决问题． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1．点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）面积的最大值为，此时点的坐标为 （3）存在，点Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答； （2）先求出直线的解析式，证明为等腰直角三角形，则，设，则，可得，即可求解； （3）分两种情况：当点Q在上方时， 当点Q在下方时，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：对于， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 当时，取得最大值，此时点，的面积最大，最大值为； 【小问3详解】 解：存在． 当点Q在上方时，作点关于y轴的对称点，过点B作交抛物线于点Q，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，此时点Q符合题意， 设直线的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为； 当点Q在下方时，作点，直线与抛物线交于点， 同理直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩高中2026—2027学年九年级上学期10月阶段性评价数学 一、单选题（共40分，每题4分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 3. 若是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 其图象的顶点坐标为 B. 函数的最小值为 C. 其图象的开口向上 D. 其图象的对称轴为直线 8. 如图，二次函数的图像与轴的一个交点坐标为，那么关于的一元二次方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. 9. 关于y的方程，下面解法完全正确的是（ ） 甲 乙 丙 丁 整理得； ∴，， ∴ ∴ 两边同时除以 得 移项得： ∴ ∴或 ∴， 整理得： 配方得： ∴ ∴ ∴， A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 10. 若二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分，每题4分） 11. 边长为的正方体，表面积为，则y与x之间的函数关系式为__________． 12. 若关于的方程是一元二次方程，则的值为_______． 13. 在一次同学聚会中，大家一见面就相互握手（每两人只握一次），参加这次聚会的同学共有人，共握手次，则所列方程为________． 14. 二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是__________． 15. 如果m是方程的一个根，那么代数式的值为______． 16. 已知二次函数的图像如图所示，对称轴是直线．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是___________．（填序号） 三、解答题（共86分） 17. 解方程： （1） （2）． 18. 已知二次函数 （1）求出该函数的顶点坐标； （2）当x______时，y随着x的增大而增大． 19. 二次函数中的，满足下表． … … … … （1）观察表中信息，发现______，抛物线的对称轴为直线______； （2）在平面直角坐标系中画出这条抛物线； （3）当时，取值范围是______． 20. 已知：关于关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一根是另一根的2倍，求k的值． 21. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，墙的最大可用长度为，且的长不超过墙的长度．设． （1）的长用含的代数式表示为______； （2）现要围成面积为的花圃能行吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 22. 一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为． （1）求抛物线的函数解析式（不写自变量x的取值范围）； （2）求小球在斜坡上的落点A的坐标； 23. 圣女果，常被称为小西红柿，中文正式名称为樱桃番茄，是一年生草本植物，属茄科番茄属．某水果店对一款成本价为每盒20元的圣女果进行销售，如果按每盒40元销售，每天可卖出60盒．通过市场调查发现，每盒圣女果售价每上涨1元，则日销售量减少2盒，设每盒圣女果涨价x元，圣女果的日销售量为y盒． （1）写出圣女果的日销售量y与涨价x的函数关系式______； （2）求每盒圣女果的涨价为多少元时，该水果店销售圣女果可以获得最大日利润？并求出最大日利润． 24. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为如，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． （1）若方程为，求出该方程的衍生点的坐标； （2）若关于的一元二次方程为的衍生点为，过点向轴和轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求的值； （3）是否存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图像上？若有，请求出的值；若没有，请说明理由． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1．点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $