精品解析：天津市滨海新区塘沽第二中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

塘沽第二中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】先利用斜率公式求出斜率，进而可得倾斜角. 【详解】由斜率公式可得， 故经过，两点的直线的倾斜角为60°. 故选：B. 2. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由直线斜率得到直线的一个方向向量，再对选项逐一检验即可. 【详解】因为直线可化为， 所以直线的斜率为，则直线的一个方向向量为， 对于A，与不平行，故A错误； 对于B，与不平行，故B错误； 对于C，与不平行，故C错误； 对于D，，故与平行，则也是直线的一个方向向量，故D正确. 故选：D. 3. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（ ） A. 点关于轴的对称点是 B. 点关于平面的对称点是 C. 点关于轴的对称点是 D. 点关于原点的对称点是 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标轴、坐标平面、原点的对称坐标变换规则，逐一验证各选项即可. 【详解】 选项A，任意点，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，A错误； 选项B，关于平面对称的点坐标为：因此关于平面的对称点为，B错误； 选项C，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，C正确； 选项D，关于原点对称的点坐标为：因此关于原点的对称点为，D错误. 4. 已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列点在平面内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面内向量与法向量垂直分析判断． 【详解】设为平面内的任意一点，则． 由，得，即． 对于A，代入得，A错误； 对于B，代入得，B错误； 对于C，代入得，C错误； 对于D，代入得，D正确． 5. 如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】已知，点N为BC中点， 则. 故选：C 6. 下列命题正确的个数是（ ） ①在三棱锥中，； ②对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面； ③若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底； ④已知，，则在上的投影向量坐标为． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】对①：根据向量加减法的三角形法则，，又， 因此，即，①正确； 对②：空间中，，，四点共面的充要条件为： 对任意点，存在实数满足，使得， 本题中系数和为，故，，，四点不共面，②错误； 对③：假设，，共面，则存在不全为的实数，，， 使得， 整理得， 由于是空间基底，即，，不共面， 因此，解得，与假设矛盾， 故三个向量不共面，构成空间的另一组基底，③正确； 对④：在上的投影向量计算公式为， ，， 因此投影向量为，④正确. 综上，①③④正确，共3个． 7. 已知圆的一条直径的端点分别是，则该圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，直接求出圆心和半径，即可求解. 【详解】因为，则的中点坐标为， 且，则， 所以所求圆的方程为， 故选：A. 8. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面的法向量、直线的方向向量逐项计算判断即得. 【详解】对于A，由，得，则，解得，A错误； 对于B，由，得，则，解得，B错误； 对于C，由，得，， 则，则或，C错误； 对于D，由，得，， 则，则，D正确. 故选：D 9. 若直线与直线互相平行，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线平行可得出关于的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为直线与直线互相平行， 则，解得. 故选：A. 10. 已知点在圆的外部，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】要利用圆的一般方程必须满足，再结合点在圆外可得不等式，即可求解. 【详解】由圆方程必须满足： ，解得：， 由点在圆的外部得: , 解得：或， 综上可得的取值范围是， 故选：B. 11. 空间中有三点，，，则点P到直线MN的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点线距离的向量求法即可求解. 【详解】因为，所以的一个单位方向向量为. 因为，故，, 所以点到直线的距离为. 故选：A 12. ，，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】解：直线的斜率，直线的斜率， 结合图象可得直线的斜率的取值范围是或． 故选：． 【点睛】本题考查直线斜率公式及斜率变化情况，属于基础题． 二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 13. 已知直线与直线交于点，求过点且垂直于直线的直线的一般式方程为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】联立两条直线的方程求解交点的坐标，再根据两直线垂直的斜率关系求出的斜率，利用点斜式写出方程，再转化为一般式方程. 【详解】联立方程组，解得，即. 因为直线的斜率为， 所以，则. 直线的点斜式方程为，则一般式方程为. 14. 平面的法向量，平面的法向量，已知，则等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两平面平行则对应法向量共线的性质，设数乘关系列方程组求解，的值，再计算即可． 【详解】因为，所以平面的法向量与平面的法向量共线，故存在实数，使得， 将两向量坐标代入得方程组，解得，  因此． 15. 圆心在y轴，半径为1且过点的圆的标准方程为：______ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆心坐标即可得解. 【详解】依题意，设圆心为，则，解得， 所以所求圆的标准方程是. 故答案为： 16. 直线与直线的距离为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用平行线间的距离公式直接求解，要注意的系数要相同. 【详解】直线与直线平行， 先对直线方程进行变形，直线即， 故直线与直线的距离为. 17. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为_______________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据直线过原点和不过原点设出直线方程，然后代入点即可得解. 【详解】因为直线在两坐标轴上的截距之和为零，所以设直线方程为或， 因为直线过点可得或，可得. 所以直线方程为或. 故答案为：或 18. 已知，两点到直线：的距离相等，则__________． 【答案】 或 【解析】 【详解】点到直线的距离 ； 点到直线的距离 . 所以，解得或. 19. 如图所示，在平行六面体中，，，，． （1）则______； （2）异面直线与所成角的余弦值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】选取 为基底，利用空间向量的数量积运算求出模长及夹角余弦值. 【详解】设 ， 由题意可得 ，  ， ，  ． （1）因为 ， 所以 ， 所以 ． （2）因为 ， 所以 ， 即 ． 又 ， 设异面直线与所成角为， 则， 故异面直线 与所成角的余弦值为 ． 20. 如图，正方体的棱长为，为棱的中点，为棱上的点，且（），现有下列结论： ①当时，平面； ②存在，使得平面； ③当时，点到平面的距离为； ④对任意，直线与直线都是异面直线． 其中所有正确结论的编号为______． 【答案】③④ 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，①由题知，求出来判断.②由题知，求出来判断.③利用点到直线的向量距离公式求解.④证明直线与直线都是异面直线. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系； 由题知，，，，，， 则，，，， ，，. 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以， 当平面时，，所以，解得，①错误. 若平面，则，令 ，则， 即，无解，不存在，使得平面；②错误. 当时，，，设点到平面的距离为， 由点到平面的距离公式得，，③正确. 点在平面上，且，由得平面， 对任意，直线与直线都是异面直线，④正确. 三、解答题（本大题共4小题，共50分） 21. 在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． （1）设线段的中点为，求中线所在直线的方程． （2）求边上的高所在直线的方程． （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由中点坐标公式求得，再用点斜式求中线方程； （2）根据的斜率求高的斜率，再用点斜式求方程； （3）以为底，利用点到直线的距离求三角形面积． 【小问1详解】 如图，取的中点，从向作垂线，垂足为． 由中点坐标公式，得． 因为，所以． 故中线所在直线的方程为，即． 【小问2详解】 由，，得． 因为，所以． 又经过，故高所在直线的方程为，即． 【小问3详解】 因为，，所以所在直线为，． 点到所在直线的距离为． 因此． 22. 已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点斜率为的直线与圆交于，两点，求直线被圆截得的弦的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由，，可得AB的中点坐标为， 直线AB的斜率，故AB的垂直平分线的斜率为1， 则AB的垂直平分线方程为，即. 因为圆心在直线上，联立，解得，即圆心， 半径，故圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由题意得直线的方程为，整理为一般式得， 圆心到直线的距离， 由垂径定理，弦长. 23. 如图，在棱长是的正方体中，为的中点． （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）建立如图所示的空间直角坐标系； 由题知，，，，， ，，， ，. （2） （3） 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系， （1）用向量法证明. （2）用向量法求异面直线与所成角的余弦值. （3）用向量法求直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 建立如图所示的空间直角坐标系； 由题知，，，，， ，， 设异面直线与所成角为， ，异面直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知，，，， 设平面的法向量为，， 令，，，，设直线与平面所成角为， ， 直线与平面所成角的正弦值为. 24. 在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，面，，且，为的中点，为中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：取中点，连接， 那么由为的中点可得 ， 因为，所以, 所以四边形为平行四边形，所以，， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形得到，最后证明平面； （2）取中点，连接，通过数量关系可证得，，那么为二面角的平面角，最后用余弦定理求平面与平面所成角的余弦值，再转化为正弦值； （3）连接，可证得四边形为平行四边形，通过等体积法可知，，最后求得三棱锥的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接,那么， 因为平面，由（1）可知，所以平面， 又平面，所以，， 又，所以， 又中点为点，所以， 同理可得，又，中点为点， 所以为等腰直角三角形，， 所以为二面角的平面角， 由（1）得四边形为平行四边形，又， 所以四边形为矩形，， ， ， 所以， 所以平面与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 连接，由得 四边形为平行四边形， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 塘沽第二中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（ ） A. 点关于轴的对称点是 B. 点关于平面的对称点是 C. 点关于轴的对称点是 D. 点关于原点的对称点是 4. 已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列点在平面内的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题正确的个数是（ ） ①在三棱锥中，； ②对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面； ③若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底； ④已知，，则在上的投影向量坐标为． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 已知圆的一条直径的端点分别是，则该圆的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 若直线与直线互相平行，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 已知点在圆的外部，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 11. 空间中有三点，，，则点P到直线MN的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 12. ，，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 13. 已知直线与直线交于点，求过点且垂直于直线的直线的一般式方程为____________________． 14. 平面的法向量，平面的法向量，已知，则等于__________． 15. 圆心在y轴，半径为1且过点的圆的标准方程为：______ 16. 直线与直线的距离为__________． 17. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为_______________． 18. 已知，两点到直线：的距离相等，则__________． 19. 如图所示，在平行六面体中，，，，． （1）则______； （2）异面直线与所成角的余弦值为______． 20. 如图，正方体的棱长为，为棱的中点，为棱上的点，且（），现有下列结论： ①当时，平面； ②存在，使得平面； ③当时，点到平面的距离为； ④对任意，直线与直线都是异面直线． 其中所有正确结论的编号为______． 三、解答题（本大题共4小题，共50分） 21. 在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． （1）设线段的中点为，求中线所在直线的方程． （2）求边上的高所在直线的方程． （3）求的面积． 22. 已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点斜率为的直线与圆交于，两点，求直线被圆截得的弦的长． 23. 如图，在棱长是的正方体中，为的中点． （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 24. 在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，面，，且，为的中点，为中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $