精品解析：天津市宁河区芦台第一中学2026-2027学年高二上学期第一次测评数学试卷

26-27学年芦台一中高二数学上学期第一次测评卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：（每小题5分，共45分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若直线的方程为，则直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（ ） A. B. 20 C. D. 3. 如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 设，已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知直线的斜率为，直线，且直线在轴上的截距为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 直线与直线在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 7. 已知两点，，直线：与延长线段得到的以B为端点的射线（不含点）相交，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线l：，则下列说法不正确的是（ ） A. 直线l恒过点 B. 若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C. 直线l的斜率可以等于0 D. 若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 9. 直线的方程为，若在轴上的截距为，且，则下列说法正确的个数是（ ） ①直线关于点对称的直线经过点； ②直线与的交点坐标为； ③已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则的方程为； ④已知动直线经过与的交点，当原点到的距离最大时，点到的距离为． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 点到直线的距离为_______ 11. 设直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的一般式方程为_________； 12. 若直线l过点且到点和点的距离相等，则直线l的方程为________. 13. 若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是______． 14. 已知正方体的边长为，点是的中点，则点到直线的距离为___________. 15. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且.则下列结论中正确的有___________.    ①当向运动时，二面角的大小不变 ②二面角的最小值为 ③当向运动时，总成立 ④在方向上的投影向量为 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 三角形的三个顶点是. （1）求边所在的直线方程； （2）求边上的高所在的直线方程； （3）求经过两边和中点的直线的方程. 17. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点． （1）求证:平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知直线过点． （1）若直线与两坐标轴截距之和为，求直线的方程； （2）若直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，的面积为，求的最小值并求此时直线的方程． 20. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 26-27学年芦台一中高二数学上学期第一次测评卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：（每小题5分，共45分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若直线的方程为，则直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线的倾斜角的概念计算即可. 【详解】由题意可知直线平行于纵轴，即其倾斜角为. 2. 已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（ ） A. B. 20 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用线面垂直可知直线方向向量与平面的法向量平行即可求解. 【详解】直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 因为直线平面，所以，解得. 故选：A. 3. 如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示， ∵M为的中点，，， ， ． 4. 设，已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求得，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】当时，，解得或， 当时，两直线分别为，符合题意， 当时，两直线分别为，重合不符合题意， 所以, 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 5. 已知直线的斜率为，直线，且直线在轴上的截距为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直关系可得直线的斜率为，结合截距式方程运算求解即可. 【详解】因为直线的斜率为，直线，可知直线的斜率为， 又直线在轴上的截距为，所以的方程为，即. 故选：B. 6. 直线与直线在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据a的符号，分类讨论，利用数形结合思想和排除法能求出结果． 【详解】直线ax+y+a＝0与直线x+ay+a＝0不可能平行，故B错误； 当a＞0时，直线ax+y+a＝0是减函数，直线x+ay+a＝0是减函数，故A错误； 当a＜0时，直线ax+y+a＝0是增函数，与y轴交于正半轴，直线x+ay+a＝0是增函数，与y轴交于负半轴，故C错误．综上，正确答案是a＞0，直线ax+y+a＝0与直线x+ay+a＝0在同一坐标系中的图象可能是D． 故选D． 【点睛】本题考查函数图象的判断，考查直线的图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7. 已知两点，，直线：与延长线段得到的以B为端点的射线（不含点）相交，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线所过的定点，再计算该定点与点所在直线的斜率，根据题意得到直线斜率的取值范围，进而得到实数的取值范围. 【详解】直线：的斜率为， 直线可变形为，所以直线恒过定点， 直线的斜率为， 线段所在直线的斜率为， 由直线与线段的延长线相交（不含点）可得：， 即，所以. 故选：A 8. 已知直线l：，则下列说法不正确的是（ ） A. 直线l恒过点 B. 若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C. 直线l的斜率可以等于0 D. 若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 【答案】C 【解析】 【分析】将方程化为判断直线过定点，判断A的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；讨论和时直线的斜率和截距情况，判断CD的正误. 【详解】直线的方程可化为， 所以直线过定点，故A正确； 因为直线与轴的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 而直线的斜率为，所以或， 所以或，故B正确； 当时，直线，斜率不存在， 当时，直线的斜率为， 不可能等于，故C错误； 当时，直线在轴上的截距不存在， 当时，令，得， 令，得，令， 得，故D选项正确. 故选：C. 9. 直线的方程为，若在轴上的截距为，且，则下列说法正确的个数是（ ） ①直线关于点对称的直线经过点； ②直线与的交点坐标为； ③已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则的方程为； ④已知动直线经过与的交点，当原点到的距离最大时，点到的距离为． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，由题可得方程，可得过点，据此可判断正误； 对于②，联立两条直线方程，解方程组可得交点坐标； 对于③，考虑直线过原点及直线横纵截距全不为0两种情况，可判断正误； 对于④，由题可得方程，然后由点到直线距离公式可判断正误. 【详解】对于①，由，，可知，由在轴上的截距为知过点， 所以直线的方程为，即．令，得，即直线过点， 所以直线关于点对称的直线经过点，故①正确； 对于②，联立，解得，即直线与的交点坐标为．故②正确； 对于③，当直线经过与的交点且过原点时，方程为，即，满足题意； 当直线不过原点时，设直线的方程为， 将点代入可得，所以直线的方程为． 综上，满足条件的直线的方程为或．故③错误； 对于④，由题意过点的动直线中，到原点距离最大的直线与原点和的连线垂直，故此时直线的斜率为， 所以直线为，即，所以点到的距离为，故④正确. 故选：B 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 点到直线的距离为_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式直接计算可得结果. 【详解】由点到直线距离公式计算可得. 故答案为： 11. 设直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的一般式方程为_________； 【答案】或 【解析】 【分析】利用直线的截距式方程分类讨论计算即可 【详解】若两坐标轴上的截距都是0，则直线过原点，即其一般式方程为； 若两坐标轴上的截距都不为0，不妨设截距为，则， 将代入可得，即其一般式方程为. 综上所述，满足题意的直线l的一般式方程为或 12. 若直线l过点且到点和点的距离相等，则直线l的方程为________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据直线的点斜式方程的概念，以及点到直线的距离公式，根据点到直线距离相等，列出方程，求出结果，再讨论斜率不存在时的情况是否符合条件，求出结果即可. 【详解】当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即. 由题意知，即，解得， 所以直线l的方程为，即. 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时点到直线的距离都为3，也符合题意. 故答案为：或. 13. 若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】解方程组求得交点坐标，再结合已知建立不等式并求解. 【详解】由，解得，即直线与直线交于点， 依题意，，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 14. 已知正方体的边长为，点是的中点，则点到直线的距离为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设点到直线的距离为，则 . 故答案为： 15. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且.则下列结论中正确的有___________.    ①当向运动时，二面角的大小不变 ②二面角的最小值为 ③当向运动时，总成立 ④在方向上的投影向量为 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据已知条件建系结合二面角定义及二面角余弦的坐标公式计算判断①②，再应用数量积为0判断垂直判定③，最后应用投影向量定义计算判断④. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，， 因为在上，且，故可设，，， 所以，. 对于①，连接，平面即为平面，而平面即为平面， 故当向运动时，二面角的大小不变，①对； 对于②，设平面的法向量为，又， 所以， 所以 取，则，所以是平面的一个法向量， 又平面的一个法向量为，所以， 设二面角的平面角为，则为锐角，故， 因为，故，所以， 当且仅当时取最大值，此时取最小值，②对； 对于③，因为， 故不恒为零，③错； 对于④，因为，，所以， 故在方向上的投影向量为，④对. 故答案为：①②④. 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 三角形的三个顶点是. （1）求边所在的直线方程； （2）求边上的高所在的直线方程； （3）求经过两边和中点的直线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据两点坐标求直线斜率，结合直线的点斜式方程计算即可求解； （2）根据两直线的位置关系，结合直线的点斜式方程计算即可求解； （3）根据中点坐标公式，两点坐标求直线斜率，结合直线的点斜式方程计算即可求解； 【小问1详解】 由题意知，， 所以所在直线方程为，即. 【小问2详解】 由（1）知， 所以边上的高所在的直线斜率为， 则其方程为，即. 【小问3详解】 由题意知，的中点为，的中点为， 所以， 所以直线的方程为，即. 17. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据两直线平行的公式计算出，再由两直线间的距离公式求解即可； （2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可. 【小问1详解】 由得，解得， 此时直线：，：，不重合， 则直线，之间的距离为； 【小问2详解】 当时，：， 联立，解得， 又直线斜率为， 故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为， 即. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点． （1）求证:平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图. 则，，，，，； ，，. 设平面的法向量为，则，得，即. 令，则，得平面的一个法向量为. ，得. 平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行； （2）利用空间向量求线面角的正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设直线与平面所成的角为. 由（1）得平面的一个法向量为. 由，，得. . 直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知直线过点． （1）若直线与两坐标轴截距之和为，求直线的方程； （2）若直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，的面积为，求的最小值并求此时直线的方程． 【答案】（1）或 （2）的最小值为，此时直线的方程为 【解析】 【分析】（1）分直线过原点、不过原点两类讨论，利用截距条件建立方程组求直线； （2）设截距式，代入定点，利用基本不等式求面积最小值，并求出对应直线． 【小问1详解】 ①当直线过原点时，直线在两坐标轴截距均为，满足截距之和为， 设直线的方程为，由直线过点，得，解得， 所以直线的方程为，即， ②当直线不过原点时，设直线的截距式方程为， 所以，解得，， 所以直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或； 【小问2详解】 设直线的截距式方程为， 将代入得，的面积， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 因为，所以，即，所以， 则，即的最小值为， 由，得， 所以此时直线的方程为，即． 20. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：因为平面，平面，则， 在正方形中，，因，平面， 则平面，因平面，则， 又，点是的中点，则， 又因为，平面，故平面. （2） （3）在线段上存在一点H，使得点H到平面的距离为，或 【解析】 【分析】（1）先由条件证明平面，进而得，由等腰三角形三线合一证得，最后利用线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）结合图形利用线面垂直的判定定理和性质定理证明平面，得到，再证，求得，从而可得，依题建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量的坐标，利用空间向量夹角公式计算即得； （3）假设线段上是存在一点，满足条件，则，表示出的坐标，结合平面的法向量，利用点到平面的距离坐标公式列方程，求解即得的值，从而得到点H的坐标. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）平面，因平面，则， 因平面，平面，则， 又，，平面，所以平面， 因平面，则， 又因为是的中点，，则， 因，平面，则平面， 因平面，则， 因，平面，则平面， 因为平面，则，即， 即由（1）平面，因平面，则，即， 又，则，则， 因为，，， 则，即，即. 以点为原点，分别以所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以 ， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， 而平面的法向量可取为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）可得，则， 假设线段上是存在一点，使得点到平面的距离为， 则，则， 所以，则，即，则， 由（2）已得平面的一个法向量为， 则点H到平面的距离，解得或， 则或， 即在线段上存在一点H，使得点H到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $