2026-2027学年高二上学期数学期中复习讲义（拔尖篇）（9大考点+50题专练）

2026-2027学年高二数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 期中复习提分讲义（培优篇） 考点01：平面及其基本性质 1. 若，且，则______（填数学符号） 【答案】 【分析】根据点线、点面位置关系，结合平面的基本性质即可得答案. 【详解】由且，即. 故答案为： 2. 空间四个点中，三点共线是这四个点共面的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，利用平面的性质和充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】空间四个点中，有三个点共线，根据“一条直线与直线外一点可以确定一个平面”得到这四个点共面，即充分性成立； 反之，当四个点共面时，不一定有三点共线，即必要性不成立， 所以空间四个点中，三点共线是这四个点共面的充分不必要条件． 故选：A. 3.下列命题正确的是（   ） A．如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内 B．若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面 C．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行 D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行 【答案】C 【详解】对于A，一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线一定在这个平面内，故A错； 对于B，若三条直线两两相交交于一点时，例如三棱锥的侧棱，则三条直线可以不共面，B错； 对于C，过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行，且过一条直线可作无数个平面与已知直线平行，故C正确； 对于D，一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行或在平面内，故D错. 故选：C 4.下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据空间中点和线的位置关系，即可求解. 【详解】对于（1），四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故（1）错误， 对于（2），若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；（2）正确， 对于（3）,若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，（3）错误， 对于（4），若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 假若其中三个点共线，则第四个点要么与这三点在一条直线上，要么在直线外 ，根据直线和直线外一点可确定一个平面可知，这四点共面，矛盾，故任意三点不共线，（4）正确 故选：B 考点02：空间中位置关系辨析（文字） 5.已知平面平面，直线，直线，，则与的位置关系是________． 【答案】异面或平行 【详解】因为，，平面平面，所以， 因为，所以与的位置关系是异面或平行. 6. 设，是两个不同的平面，则“内至少有一条直线与平行”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据面面平行的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由“内至少有一条直线与平行”，可得平面与平面平行或相交，即充分性不成立； 反之：若“”，则“平面内任一条直线与平行”，即必要性成立， 所以“内至少有一条直线与平行”是 “”的必要不充分条件. 7. 设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“且”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线与平面垂直的判定与性质可直接解决本题. 【详解】由于题干未指定与n为平面内两条相交直线，故且不能必然推出， 故“且”是“”的不充分条件； ，故“且”是“”的必要条件. 所以，“且”是“”的必要不充分条件. 8. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，其中下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据空间直线、平面间位置关系判断． 【详解】若，则或，A错； 若，与不一定垂直，因此不正确，B错误； 由面面垂直的判定定理知C正确； 若，则或，D错误． 故选：C． 9. 已知、、为空间中三条不同的直线，、、为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，若，则 C．若，、分别与、所成的角相等，则 D．若m//α，m//β，，则 【答案】B 【分析】对于ACD，通过举反例说明其错误；利用线面平行的性质可判断B选项. 【详解】对于A，如图1，若，，，则可以与平行，故A错误； 对于B，因为，，，且，，则， 因为，，则，故，B正确； 对于C，如图2，若，、分别与、所成的角为时，与可以相交、平行或异面，故C错误；    对于D，如图1，m//α，m//β，，，则与相交，D错误. 故选：B. 10.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，若，则或与为异面直线，故A错误； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，由线面平行性质定理得存在直线,使得， 因为，则，又因为，则，故C正确； 对于D，若，则或与相交，故D错误. 11.（2024·上海·高考真题）空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】根据题意，由空间中线面关系逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，若，，则或， 当时，，则或者与斜交或者， 当时，，则或者与斜交或者，故A错误； 对于B，若，，，可在取作为的法向量， 由于，故，即，则，故B正确； 对于C，若，，，则可能平行可能相交，也可能异面，故C错误； 对于D，若，，，则或，故D错误； 故选：B 考点03：空间中位置关系辨析（图形） 12.正方体中，M、N分别为棱、的中点，有以下四个结论： （1）直线AM与是相交直线；（2）直线AM与BN是平行直线； （3）直线BN与是异面直线；（4）直线AM与是异面直线. 其中正确的结论为____________.（把你认为正确结论的序号都写上） 【答案】（3）（4） 【详解】对于（1）：因为与为异面直线，可知四点不共面， 所以直线AM与是异面直线，故（1）错误； 对于（2）：因为与为异面直线，可知四点不共面， 所以直线AM与是异面直线，故（2）错误； 对于（3）：直线BN与是异面直线，故（3）正确； 对于（4）：因为与为异面直线，可知四点不共面， 所以直线AM与是异面直线，故（4）正确. 13. 如图，在四面体中，分别为的中点，分别在上，且.给出下列四个命题： ①平面；②平面；③平面；④直线交于一点. 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】依题意可得且，且，即可得到平面，再判断与为相交直线，即可判断②③，由四边形为梯形，所以与必相交，设交点为，即可得到，从而判断④； 【详解】解：因为，所以且，又分别为的中点，所以且，则，又平面，平面，所以平面， 因为为的中点，为的一个三等分点，所以与为相交直线，故与平面必不平行，也不平行平面， 因为为梯形，所以与必相交，设交点为， 又平面，平面， 则是平面与平面的一个交点， 所以，即直线交于一点， 故选：B. 14.如图，，，分别是菱形的边，，，上的点，且，，，，现将沿折起，得到空间四边形，在折起过程中，下列说法正确的是（     ） A．直线，有可能平行 B．直线，一定异面 C．直线，一定相交，且交点一定在直线上 D．直线，一定相交，但交点不一定在直线上 【答案】C 【分析】由已知可得四边形为平面四边形，且，，然后逐一分析四个选项得答案． 【详解】解：，， ，则，且， 又，， ，则，且， ，且， 四边形为平面四边形，故直线，一定共面，故错误； 若直线与平行，则四边形为平行四边形，可得，与矛盾，故错误； 由，且，，，可得直线，一定相交，设交点为， 则，又平面，可得平面，同理，平面， 而平面平面，，即直线，一定相交，且交点一定在直线上，故正确，错误． 故选：． 15.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，（1）与平行；（2）与是异面直线；（3）与成角；（4）与垂直. 以上四个命题中，正确的命题的序号是：_________． 【答案】③④ 【分析】把平面展开图还原成正方体，由异面直线的定义判断①；证得为平行四边形即可判断②；（或其补角）为与所成角，求解可判断③；由题意，，可得平面，即可判断④． 【详解】把平面展开图还原成正方体，如图， 由异面直线的定义可知，与是异面直线，故①错误； 因为，，，所以且， 则四边形为平行四边形，则，故②错误； 因为，所以（或其补角）为与所成角， 连接，可知为正三角形，则，故③正确； 因为平面，平面，所以， 又，,平面，故平面， 又平面，所以，则④正确． 故答案为：③④． 16.如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（   ） A．直线与直线始终异面 B．直线与直线始终垂直 C．存在点使得直线与平面垂直 D．直线与平面始终平行 【答案】D 【分析】A. 由点M与点D重合时判断；B.由点M与点重合时判断；C.由垂直于同一平面的两条直线平行判断；D.先证平面平面，再由平面判断. 【详解】对于A：当点M与点D重合时，直线即为BD，而BD与直线相交，故A错误； 对于B：当点M与点重合时，是等边三角形，则直线与直线成，故B错误； 对于C：如图所示： 连接，因为，且， 所以平面，又平面，所以， 同理，又，则平面， 若平面，则，而，故C错误； 对于D：易知，又平面，平面，所以平面, 同理平面，又，所以平面平面， 又平面，所以平面，故D正确； 17. 已知正方体中，点P、Q、R分别是线段上的动点，观察直线CP与与，得出下列结论： ①对于任意给定的点，存在点，使得； ②对于任意给定的点，存在点，使得； ③对于任意给定的点，存在点，使得； ④对于任意给定的点，存在点，使得； 其中正确的结论是_______________．（请填写所有你认为正确结论的序号） 【答案】①④ 【分析】根据直线与直线，直线与平面的位置关系，结合正方体的性质，分别分析选项，利用排除法可得结论． 【详解】①当点与重合时， ，，且，平面， 所以平面，因为对于任意给定的点，都有平面， 所以对于任意给定的点，存在点，使得，所以①正确； ②当点与重合时，若，因为，， 平面，故平面， 而平面，故，但，矛盾， 所以②错误； ③当与重合时，若，因，故， 而，故，当在变化时，，矛盾；所以③错误； ④若在之间，则在平面，过作的垂线，交线段于， 在上截取，连接，则四边形为平行四边形， 故，故，故四边形为平行四边形， 设平面，在平面中，过作，交于， 因为平面平面，故， 而，平面，故平面， 而平面，故，故，故④正确. 若与重合，则取为的中点，由正方体性质可得； 若与重合，则取为的中点，由正方体性质可得； 故此时④也正确. 综上，④正确. 18.如图，在正三棱柱中，点分别是的中点，下列结论正确的个数是（   ） ①平面；②；③平面；④与相交 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】取的中点，证明，结合线面平行判定定理证明平面，即可判断①；若，则，连接，为的中点，证明，设，，求，推出矛盾②；根据线面垂直判定定理证明结论即可判断③；证明，，由此即可判断④. 【详解】对于①，取的中点D，连接，在中，由P为的中点， 得，且，在直三棱柱中，， 由Q为棱的中点，得，且，则， 四边形为平行四边形，因此，又平面，平面，则平面，①正确， 对于②，为的中点，若，则，连接，为的中点， 则，又平面，则平面，平面， 于是，设，则，， ，与矛盾，因此不成立，②错误； 对于③，在直三棱柱中，平面，又平面，则， 由，D为中点，得，由①知，则，， 又，平面，因此平面，③正确； 对于④，由为的中点，四边形为矩形，得点为的中点，又为的中点， 则，又分别为的中点，则， 即，因此四边形为平行四边形，与相交，④正确. 19.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（    ） A． B．平面平面ABN C．直线GB与AM是异面直线 D．直线GB与平面AMD无公共点 【答案】D 【分析】根据给定条件，证明判断A；利用线面、面面平行的判定推理判断B；取DM中点O，证得四边形是梯形判断CD作答. 【详解】因为平面ABCD，平面ABCD，则， 取的中点，连接，如图，点G为MC的中点， 则，且，于是四边形是平行四边形， ，在正方形中，，则， 因此四边形为平行四边形，，而，点G为MC的中点， 有，所以，A正确； 因为，平面，平面，则平面， 又，平面，平面，则平面， 而平面，所以平面平面ABN，B正确； 取DM中点O，连接，则有，即四边形为梯形， 因此直线必相交，而平面AMD，于是直线GB与平面AMD有公共点，D错误； 显然点平面，点平面，直线平面，点直线，所以直线GB与AM是异面直线，C正确. 故选：D 考点04：空间中线、面平行垂直关系的证明 20. 如图，在三棱锥中，，，，，，，的中点分别为，，，点在上，． （1）求证：平面； （2）若，求三棱锥的体积． 【解析】 （1）证明：在中，作，垂足为，设，则， 因为，所以，所以，即，解得， 又因为，所以，且， 所以，所以，即，解得， 即，所以是的中点，是的中点， 又因为是的中点，所以，同理，，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）解：过作垂直的延长线交于点，因为，是中点，所以，在中，，，所以， 因为，，所以，又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 又，，平面， 所以平面，即三棱锥的高为， 因为，所以， 所以， 的面积为， 所以三棱锥的体积为． 21. 如图，在直四棱柱中，底面是矩形，，点分别是棱的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)如图，连接，交于点，连接. 在直四棱柱中，四边形是矩形，因为对角线与交于点， 所以为的中点， 又点是棱的中点，所以， 又平面平面， 所以平面. (2)连接. 因为底面是矩形，所以， 因为点分别是棱的中点，， 所以， 所以四边形是正方形，所以. 在直四棱柱中，平面， 又平面，所以. 因为平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 22. 在三棱柱中，，平面，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 【解析】证明：（1），分别是，的中点． 所以，因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面． 23.如图，，且，，，且，且，平面，．点、分别为、的中点． （1）设为上一点，确定点的位置，使平面平面，并证明； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）当为的中点时，平面平面，理由如下： 由平面ABCD知，，，又， 则建立以D点为原点的空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，，， 则， 设上存在一点，设， 则， 设平面的法向量为 则， 令，则， 设平面的法向量为， 则，令，则 若平面平面，则， 所以，解得：， 所以当为的中点时，平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）假设上存在点使得平面平面，设出坐标，求得平面的法向量，与平面的法向量应共线，验证是否存在即可. （2）利用空间中点到平面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，平面的法向量， 所以点到平面的距离 24. 如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为是的直径，是圆周上不同于的一动点， 所以，又因为平面，平面，所以， 又因为平面， 所以平面. （2）因为平面，平面， 所以平面平面. （3）过作于，连接，如图所示， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以是直线与平面所成的角， 在中，由等面积法得 而 所以， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为. 25. 如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)8 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （3）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证出平面，结合等体积法求解即可. 【详解】（1）连接，交于，连接. 直三棱柱中，侧面为矩形，所以点为中点. 因为点是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）直三棱柱中，平面，因为平面，所以. 在中，，，，则，所以. 因为，平面，， 所以平面. （3）过点作. 在中，，即. 直三棱柱中，平面，因为，平面，所以，， 因为，平面，，所以平面， 则即为点到平面，也即平面的距离. 又， . 故三棱锥的体积为8. 26. 如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于、的点． （1）证明：平面平面； （2）若是线段的中点，求证：平面． 【答案】（1）矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，即平面平面， 平面平面，，平面， 所以平面，且平面，所以， 因为，所以， 又是上异于，的点，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）由是的中点，连接交于点，连接，如图所示： 由中位线定理得；又平面，平面， 所以平面． 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，再证明平面平面； （2）利用中位线定理和直线与平面平行的判定定理证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，． （1）求三棱锥的体积； （2）已知为棱上的点，证明：． 【解析】（1）在直三棱柱中，， 又，，，平面， 平面， ， 平面， ， 又，故， ， 而侧面为正方形， ， ，即三棱锥的体积为； （2）证明：如图，取中点，连接，，设， 点是的中点，点时的中点， ， ， 、、、四点共面， 由（1）可得平面， 平面， ， ，且这两个角都是锐角， ， ， ， 又，，平面， 平面， 又平面， ． 28.如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，． （1）证明：平面平面； （2）设，圆锥的侧面积为，求三棱锥的体积． 【解析】（1）连接，，，是底面的内接正三角形， 所以． 是圆锥底面的圆心，所以：， 所以， 所以， 由于， 所以， 所以，， 由于， 所以平面， 由于平面， 所以：平面平面． （2）设圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为， 所以． 由于圆锥的侧面积为， 所以，整理得， 解得． 所以． 由于，解得 则：． 考点05：简单几何体的表面积与体积 29.下列关于空间几何体的说法，错误的是（    ） A．棱柱的侧棱都互相平行且相等 B．正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心 C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体一定是棱台 D．圆柱的侧面展开图是矩形 【答案】C 【详解】A：根据棱柱的定义，其侧棱互相平行且相等，对； B：根据正棱锥的定义，其底面是正多边形且顶点在底面的射影是底面中心，对； C：由棱台的定义，用一个平行于棱锥底面的平面截去上面的小棱锥得到，即各侧棱的延长线交于一点， 如上图，上下底面是两个全等的矩形，且相互平行，上底的长与下底的宽对应平行，四个侧面都是等腰梯形， 此时四条侧棱所在直线不交于同一点，故仅通过两个面互相平行，其余各面都是梯形不能保证侧棱延长交于一点，错， D：圆柱侧面展开图，即沿一条母线展开侧面为矩形，对. 30.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合圆锥的侧面积公式求得侧面积．根据题意求得圆锥的底面圆的半径，最后利用圆锥的表面积公式即可求解． 【详解】因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形， 所以圆锥的侧面积为 设圆锥的底面半径为，底面圆的周长等于扇形的弧长可得：，解得 所以圆锥底面的面积为 因此圆锥表面积为． 故选：B. 31.若用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知求出圆锥筒的高和底面半径，应用圆锥的体积公式求体积即可. 【详解】由题设，所得圆锥的底面周长为，易知圆锥的底面半径为，母线长为， 所以圆锥的高为，故圆锥筒的体积为. 故选：B 32. 已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，为上底面圆的一条直径，是下底面圆周上的一个动点，则的面积的取值范围为 　　． 【解析】如图1，上底面圆心记为，下底面圆心记为， 连接，过点作，垂足为点， 则， 根据题意，为定值2，所以的大小随着的长短变化而变化， 如图2所示，当点与点重合时，， 此时取得最大值为； 如图3所示，当点与点重合，取最小值2， 此时取得最小值为． 综上所述，的取值范围为． 故答案为：． 33.已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球表面积为，则圆锥的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知圆锥底面半径，内切球表面积为，设内切球半径为，则 ，解得， 设圆锥的母线长为，高为， 则， ，即，解得或（舍去）， ， 设圆锥表面积为， 则． 34.在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，三棱锥与四棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用线面平行的性质定理可确定Q点位置，再利用等体积转换法，可知只需表示出即可得出比值. 【详解】如图所示，连接对角线交于点，连接. 因为正四棱锥的底面是正方形，所以是的中点. 因为平面，⊂平面，且平面平面，由线面平行的性质得. 因此是的中位线，故是的中点，即. 设正四棱锥的底面积为，高为h，则总体积， 因为 的面积是正方形面积的一半，即 ， 因为是中点，所以到底面的距离为. 所以，所以 . 考点06：空间中角与距离的求解 35.已知正方体，则下列结论错误的是（       ） A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为 【答案】C 【解析】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角， 因为四边形为正方形，则 ，故直线与所成的角为，A正确； 连接，因为平面，平面，则， 因为 ，，所以平面， 又平面，所以，故B正确； 连接，设，连接， 因为平面，平面，则， 因为，，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 设正方体棱长为，则，，， 所以，直线与平面所成的角为，故C错误； 因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确. 故选：C 36.已知正四棱锥的底面边长和侧棱长相等，记异面直线与所成角为，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成的二面角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据异面直线所成角的概念，线面角，二面角的平面角的概念，构造出，，，求出它们的三角函数，利用三角函数的单调性，比较它们的大小. 【详解】如图： 不妨设.取和的交点为，中点，连接，，. 则，，. 因为，所以为异面直线与所成的角，为，所以，所以. 因为平面，所以为直线与底面所成的角，所以，所以. 因为，，所以为侧面与底面所成的二面角，所以. 因为，且在上单调递减. 所以. 故选：A 37.如图所示，是长方体，其中，，点是棱上一点，若异面直线与互相垂直，则_________．    【答案】/0.5 【分析】构造平行使异面直线夹角化为共面直线夹角，在平面中解边长即可. 【详解】如图所示，作，连接AF，则，且AD=EF， 即四边形ADEF为平行四边形，所以AF⊥， 故在矩形中， 解得 故答案为：    38.已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球的表面积为，则到平面的距离为　　 A． B． C．1 D． 【解析】由题意可知图形如图：是面积为的等边三角形，可得， ， 可得：， 球的表面积为， 外接球的半径为：；所以，解得， 所以到平面的距离为：． 故选：． 39.已知正方形的边长为，平面，，，分别是，的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为正方形的边长为，，分别是，的中点， 则，，， 又平面，平面，所以， 又，所以，易知， 取中点，连接，易知，则， 所以， 设点到平面的距离为，由，得到，解得. 40.已知，为平面外一点，，点到两边，的距离均为，那么到平面的距离为　　． 【解析】，为平面外一点，， 点到两边，的距离均为， 过点作，交于，作，交于， 过作平面，交平面于， 连结，，则， 由题意得， ． 到平面的距离为． 故答案为：． 41.如图，在长方体中，为上一点，已知，，，． （1）求直线和平面的夹角； （2）求点到平面的距离． 【解析】（1）依题意：平面，连接，则与平面所成夹角为， ，， △为等腰三角形， ， 直线和平面的夹角为， （2）（空间向量），如图建立坐标系， 则，0，，，4，，，0，，，0，， ，4，，，4，，，4．， 设平面的法向量，，， 由，可得，1，， 点到平面的距离． 42.如图，四面体中，，，，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设，，点在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 【解析】（1）证明：，为的中点．， 又，，，， ，又为的中点．，又，平面，平面， 平面，又平面，平面平面； （2）解：连接，由（1）知，， 故最小时，的面积最小，时，的面积最小， 又平面，平面，，又，平面，平面， 平面，又平面，平面平面， 过作于点，则平面， 故，即为直线与平面所成的角， 由，，知是2为边长的等边三角形， 故，由已知可得，，又，， ，所以， ，， 在中，由余弦定理得， ． 故与平面所成的角的正弦值为． 43. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段上的一点，为线段的中点． （1）求证：； （2）若为线段的中点，求二面角的大小． 【答案】（1）因为底面，底面，所以. 因为底面为正方形，所以. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以. 因为，为线段的中点，所以. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质证明即可. （2）根据二面角的定义找出二面角的平面角，结合线面垂直的判定定理、线面垂直的性质、相似三角形及三角函数求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，设，取中点，连接， 则，，. 因为底面，所以底面. 过点作，交于点，连接. 因为底面，所以，. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以. 所以即为二面角的平面角. 在中，，. 因为，，所以， 所以，即，所以. 在中，，所以. 故二面角的大小为. 考点07：空间中最值与范围问题 44.圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，母线长为16．已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为_______    【答案】 【分析】将圆台沿着母线剪开后展开得到平面图形，根据题意即可求出两个扇形的半径以及圆心角，最后根据最短路径的意义求出即可. 【详解】将圆台沿着母线剪开后展开得到平面图形如图， 分别设小扇形和大扇形的半径为，圆心角为， 则由题意可知，弧长为，弧长为，， 则，得，则， 因为该圆台某条母线的中点，则， 因为等腰直角三角形，且腰长为，则， 故该质点运动的最短路径长为.    45.如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】将侧面沿展开，使得侧面与侧面在同一平面内，根据平面上两点间线段最短可求得答案. 【详解】 将侧面沿展开，使得侧面与侧面在同一平面内， 如图，连接交于，则的最小值为此时的， ， 的最小值为. 故答案为：. 46.如图，在棱长为4的正方体中．点是棱的中点，动点在面内，包括边界），若平面，则线段长度的取值范围是_____．    【答案】 【分析】通过构造面面平行的方法，判断出点的轨迹，从而求得的取值范围. 【详解】设分别是的中点，连接. 根据正方体的性质可知， 由于平面，平面， 所以平面， 又因，可得，则得， 由于平面，平面，所以平面， 由于平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面， 而平面，平面，平面平面， 故点的轨迹即线段. ， 三角形是等腰三角形，底边上的高为， 所以的取值范围是. 故答案为：    47. 在正方体中，，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 　　． 【解析】设球的半径为， 当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大， 若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点， 正方体的外接球直径为体对角线长， 即，，故， 分别取侧枝，，，的中点，，，， 则四边形是边长为4的正方形，且为正方形的对角线交点， 连接，则， 当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径最小， 即的最小值为， 综上，球的半径的取值范围是，． 故答案为：，． 考点08：空间中平行垂直关系的探究 48.如图，在四棱锥中， 为梯形，． (1)在侧面内是否存在直线与平行？如果存在，作出直线并给出证明；如果不存在，请说明理由； (2)在图中作出平面与平面的交线，并给出证明； (3)在侧面内是否存在直线与平行？说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）取中点分别为，连接，结合中位线定理以及平行线的传递性即可得证； （2）由点线面的位置关系作出图形，并直接证明即可； （3）由直线与平面的位置关系直接证明即可. 【详解】（1）如图所示：取中点分别为，连接，则在侧面内存在直线与平行， 证明如下：因为中点分别为，所以平面， 又因为，所以， 所以在侧面内存在直线与平行； （2）如图所示：过点作直线平行于，则平面与平面的交线即为， 证明如下：因为，，平面，所以平面， 而，所以， 且注意到，平面，所以平面， 所以平面平面； （3）在侧面内不存在直线与平行 证明如下：如图所示：过点作，交于点， 因为平面，， 所以直线与平面也相交， 即与平面内的任何一条直线都不可能平行. 49.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点. (1)求证：点，，，四点共面 (2)求证：平面平面. (3)在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，. 【分析】（1）易得，进而可得，再由平面公理即可证明； （2）先利用线线平行证明线面平行，再根据线面平行证明面面平行即可； （3）取中点，连接，，，利用中位线定理，结合平行四边形性质证明四边形是平行四边形，即证，再根据线面平行的判定定理即证结果. 【详解】（1）证明：，分别为，的中点，， 底面是平行四边形，. ，所以点，，，四点共面. （2）由（1）知，因为平面，平面，平面. ，分别为，的中点，， 因为平面，平面，平面. 又，，平面，所以平面平面. （3）线段上存在一点，使得平面，且. 证明如下：取的中点，连接，，， 因为，，分别是，，的中点，，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面，此时． 50.在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，平面，若，E为的中点，M，N分别为的中点， (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，平面与平面是否垂直？ 如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)垂直，证明见解析 【分析】（1）方法一：连接，利用线面平行的判定定理即可得证； 方法二：取的中点为，连接，利用面面平行的性质定理即可得证； （2）利用面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】（1）方法一：连接，如图， 因为分别是的中点，所以 . 又平面平面， 所以 平面. 方法二：如图，取的中点为，连接，则 . 又平面平面， 所以 平面. 同理可证 平面， 因为平面， 所以平面 平面. 又平面，所以 平面. （2）平面与平面垂直. 证明如下：因为底面底面，所以. 由题意知为直角三角形且，所以. 又平面， 所以平面 又平面，所以. 因为为的中点，所以. 又平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 考点09：综合压轴题 51. 如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． (1)若，证明：平面； (2)若，且，证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值的最小值． 【答案】(1)如图，作出符合题意的图形， 连接，相交于点，连接， 四边形为菱形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面． (2)如图，作出符合题意的图形， 因为，有， 所以，得， 有是靠近的三等分点，则， 又，，，所以， ，， 则，即，， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； (3) 【分析】（1）利用三角形中位线得到线线平行，依据线面平行判定定理完成证明； （2）利用等体积转化由体积比确定点的位置，通过勾股定理证线线垂直，推证线面垂直，进而证面面垂直； （3）建立空间直角坐标系，设出动点坐标，求解平面法向量，得到二面角的余弦表达式，结合三角函数有界性求出二面角余弦的最小值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示． 可得，，，， 由题意得平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，，， 由，得，令，则解得，， ，令， 因为，所以，令，， 则有，得， 有，得， 即 即二面角的余弦值的最小值为． 52.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.如图，在三棱锥中. （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离； （3）在（2）的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度. 【答案】（1）2； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据离散曲率的定义分别计算各个顶点处的离散曲率，再利用三角形内角和计算即可； （2）利用线面垂直的性质和判定证得，即，根据离散曲率的定义计算得，根据点面距离的定义作出点到平面的距离线段，根据边角关系求解即可； （3）法一：根据定义作出线面角，设，则，利用余弦定理计算得，利用构造关于的方程，求解即可； 法二：如图建立空间直角坐标系，利用向量法计算线面角的正弦值，即可得解. 【小问1详解】 由离散曲率的定义得： ， ， 因为，同理可得其他三个三角形内角和为， 所以； 【小问2详解】 由平面平面，得， 又平面，则平面， 由平面，得，即， 又，即， 解得， 过点作于点，由平面平面，得， 又平面，则平面，因此点到平面的距离为线段的长. 在中，， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 方法一：过点作交于点，连接， 由平面，得平面，则为直线与平面所成的角， 依题意，， 设， 则， ， 在中，根据余弦定理，， 由，得， 因此，整理得，即， 解得或，因为，所以. 方法二：由（2）知，平面平面，过作的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得：， 所以，， 设，则， 设与平面所成的角为，因为，所以， 取平面的法向量， 则， 整理得，即，解得：或（舍）， 所以，所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 期中复习提分讲义（培优篇） 考点01：平面及其基本性质 1. 若，且，则______（填数学符号） 2. 空间四个点中，三点共线是这四个点共面的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.下列命题正确的是（   ） A．如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内 B．若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面 C．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行 D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行 4.下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点02：空间中位置关系辨析（文字） 5.已知平面平面，直线，直线，，则与的位置关系是________． 6. 设，是两个不同的平面，则“内至少有一条直线与平行”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7. 设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“且”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，其中下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9. 已知、、为空间中三条不同的直线，、、为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，若，则 C．若，、分别与、所成的角相等，则 D．若m//α，m//β，，则 10.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11.空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 考点03：空间中位置关系辨析（图形） 12.正方体中，M、N分别为棱、的中点，有以下四个结论： （1）直线AM与是相交直线；（2）直线AM与BN是平行直线； （3）直线BN与是异面直线；（4）直线AM与是异面直线. 其中正确的结论为____________.（把你认为正确结论的序号都写上） 13. 如图，在四面体中，分别为的中点，分别在上，且.给出下列四个命题： ①平面；②平面；③平面；④直线交于一点. 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14.如图，，，分别是菱形的边，，，上的点，且，，，，现将沿折起，得到空间四边形，在折起过程中，下列说法正确的是（     ） A．直线，有可能平行 B．直线，一定异面 C．直线，一定相交，且交点一定在直线上 D．直线，一定相交，但交点不一定在直线上 15.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，（1）与平行；（2）与是异面直线；（3）与成角；（4）与垂直. 以上四个命题中，正确的命题的序号是：_________． 16.如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（   ） A．直线与直线始终异面 B．直线与直线始终垂直 C．存在点使得直线与平面垂直 D．直线与平面始终平行 17. 已知正方体中，点P、Q、R分别是线段上的动点，观察直线CP与与，得出下列结论： ①对于任意给定的点，存在点，使得； ②对于任意给定的点，存在点，使得； ③对于任意给定的点，存在点，使得； ④对于任意给定的点，存在点，使得； 其中正确的结论是_______________．（请填写所有你认为正确结论的序号） 18.如图，在正三棱柱中，点分别是的中点，下列结论正确的个数是（   ） ①平面；②；③平面；④与相交 A．1 B．2 C．3 D．4 19.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（    ） A． B．平面平面ABN C．直线GB与AM是异面直线 D．直线GB与平面AMD无公共点 考点04：空间中线、面平行垂直关系的证明 20. 如图，在三棱锥中，，，，，，，的中点分别为，，，点在上，． （1）求证：平面； （2）若，求三棱锥的体积． 21. 如图，在直四棱柱中，底面是矩形，，点分别是棱的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 22. 在三棱柱中，，平面，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 23.如图，，且，，，且，且，平面，．点、分别为、的中点． （1）设为上一点，确定点的位置，使平面平面，并证明； （2）求点到平面的距离． 24. 如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 25. 如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 26. 如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于、的点． （1）证明：平面平面； （2）若是线段的中点，求证：平面． 27. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，． （1）求三棱锥的体积； （2）已知为棱上的点，证明：． 28.如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，． （1）证明：平面平面； （2）设，圆锥的侧面积为，求三棱锥的体积． 考点05：简单几何体的表面积与体积 29.下列关于空间几何体的说法，错误的是（    ） A．棱柱的侧棱都互相平行且相等 B．正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心 C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体一定是棱台 D．圆柱的侧面展开图是矩形 30.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 31.若用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为（    ） A． B． C． D． 32. 已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，为上底面圆的一条直径，是下底面圆周上的一个动点，则的面积的取值范围为 　　． 33.已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球表面积为，则圆锥的表面积为（ ） A． B． C． D． 34.在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，三棱锥与四棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 考点06：空间中角与距离的求解 35.已知正方体，则下列结论错误的是（       ） A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为 36.已知正四棱锥的底面边长和侧棱长相等，记异面直线与所成角为，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成的二面角为，则（    ） A． B． C． D． 37.如图所示，是长方体，其中，，点是棱上一点，若异面直线与互相垂直，则_________．    38.已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球的表面积为，则到平面的距离为　　 A． B． C．1 D． 39.已知正方形的边长为，平面，，，分别是，的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 40.已知，为平面外一点，，点到两边，的距离均为，那么到平面的距离为　　． 41.如图，在长方体中，为上一点，已知，，，． （1）求直线和平面的夹角； （2）求点到平面的距离． 42.如图，四面体中，，，，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设，，点在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 43. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段上的一点，为线段的中点． （1）求证：； （2）若为线段的中点，求二面角的大小． 考点07：空间中最值与范围问题 44.圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，母线长为16．已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为_______    45.如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点，则的最小值为______． 46.如图，在棱长为4的正方体中．点是棱的中点，动点在面内，包括边界），若平面，则线段长度的取值范围是_____．    47. 在正方体中，，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 　　． 考点08：空间中平行垂直关系的探究 48.如图，在四棱锥中， 为梯形，． (1)在侧面内是否存在直线与平行？如果存在，作出直线并给出证明；如果不存在，请说明理由； (2)在图中作出平面与平面的交线，并给出证明； (3)在侧面内是否存在直线与平行？说明理由． 49.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点. (1)求证：点，，，四点共面 (2)求证：平面平面. (3)在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 50.在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，平面，若，E为的中点，M，N分别为的中点， (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，平面与平面是否垂直？ 如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 考点09：综合压轴题 51. 如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． (1)若，证明：平面； (2)若，且，证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值的最小值． 52.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.如图，在三棱锥中. （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离； （3）在（2）的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $