精品解析：广东东莞市东华初级中学2026－2027学年第一学期九年级数学科单元过关考试测试题　

2026—2027学年第一学期九年级数学科单元过关考试测试题 一．选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，不是一元二次方程的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】抓住一元二次方程是整式方程的核心特征，优先判断含分式的选项，再验证其余选项． 【详解】解：A．、B．、D．均为一元二次方程，不符合题意． C．是分式方程，不是一元二次方程，符合题意． 2. 若是方程的一个根，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】解：将代入方程， 得， 整理得， 解得． 3. 一元二次方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 4. 已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】需求一元二次方程两根之和，利用根与系数的关系可直接计算，无需解方程求根． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得． 5. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照配方法的一般步骤计算即可得到结果． 【详解】解：， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方得， 整理得． 6. 为了打造“清洁能源示范城市”，某地投入资金用于安装充电桩．已知第一年投入资金1200万元安装充电桩，预计第三年投入的资金为2700万元，设第二、三两年投入资金的年均增长率为x，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设第二、三两年投入资金的年均增长率为x，则第三年投入的资金为万元，据此列出方程即可． 【详解】解：设第二、三两年投入资金的年均增长率为x， 由题意得，， 故选：A． 7. 将抛物线向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平移不改变抛物线的二次项系数，利用“左加右减，上加下减”的规律即可求出平移后的解析式． 【详解】解：∵ 原抛物线的顶点坐标为，将顶点向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到新顶点坐标为，平移后抛物线二次项系数不变，仍为， ∴平移后抛物线的解析式为． 8. 已知二次函数，其中，该二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由二次函数，其中，可知函数开口向上，对称轴在轴右侧，且当时，只有A符合要求． 9. 下列关于二次函数的说法，不正确的是（ ） A. 图象关于直线对称 B. 图象开口向上 C. 图象的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据二次函数顶点式的性质，分析开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，故A、B正确，不符合题意；C错误，符合题意； ∴当时，随增大而增大，故D正确，不符合题意． 故选：C． 10. 在同一直角坐标系中，函数y=ax2-b与y=ax+b（ab≠0）的图像大致如图（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可先由一次函数y＝ax＋b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2−b的图象相比较看是否一致． 【详解】解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误； B、由抛物线可知a＜0，由直线可知a＞0，故本选项错误； C、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项正确； D、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象，解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质． 二．填空题（共5题，每小题3分，共15分） 11. 函数中自变量x的取值范围是__． 【答案】x≠3 【解析】 【详解】根据题意得x﹣3≠0， 解得x≠3． 故答案为x≠3． 12. 一元二次方程的根是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用提公因式法分解因式，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，则， ∴或， 解得，， 故答案为：，． 13. 在二次函数中，二次项系数______________，一次项系数______________，常数项______________． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】根据二次函数的一般形式（为常数，），对比给定函数即可得到对应系数． 【详解】解：二次函数，与一般形式对比可得 二次项系数， 一次项系数， 常数项． 14. 篮球联赛中，每两个球队之间进行两场比赛，设有x个球队参赛计划共打y场比赛，则y与x之间的函数关系为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意找到比赛场数与球队数量的关系即可． 【详解】解：每个球队和剩下的个球队比赛，每两个球队之间进行两场比赛， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确得出二次函数的解析式是求解本题的关键． 15. 已知二次函数，则当时，的最大值是______________． 【答案】 【解析】 【分析】已知二次函数解析式和自变量取值范围，根据二次函数的增减性求最大值． 【详解】解：，二次项系数， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 在范围内，时取得最大值， 代入得． 三．解答题一（共3题，每题8分，共24分） 16. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ∴, ∴ 17. 已知是关于的二次函数． （1）若函数有最小值，求的值； （2）在（1）的条件下，判断点是否在此函数图象上． 【答案】（1） （2）点不在此函数图象上 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的定义列方程求k的可能值，结合函数有最小值即二次项系数大于0筛选k； （2）先确定函数解析式，代入点的横坐标计算纵坐标，与点的纵坐标对比判断． 【小问1详解】 解：是关于x的二次函数， ， 解得或， 函数有最小值， ，即， ； 【小问2详解】 解：在（1）的条件下，， ∴函数解析式为， 将代入中，得， ∵， ∴点不在此函数图象上． 18. 某中学劳动教育实践活动中，同学们在一块平方米的校园农场上种植玉米．经试验发现，每平方米种植株时，每株产量是千克；每平方米每增加株，平均每株产量减少千克；每平方米最多种植株．设每平方米增加株． （1）增加后每平方米有_________株玉米，单株产量为_________千克．（用含的代数式表示） （2）如果这块农场的玉米总产量为千克，则每平方米应种植多少株？ 【答案】（1）， （2）每平方米应种植株 【解析】 【分析】（1）根据原有每平方米株数加增加株数列总株数，依据每增株单株减产千克，用原单株产量减去减产重量，列出对应代数式； （2）利用总面积乘每平方米株数再乘单株产量列总产量方程，求解后结合每平方米最多种株的限制舍去不合理解，算出每平方米种植株数； 【小问1详解】 解：增加后每平方米株数：，单株产量：； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得， 即， 解得，， ∵， ∴， ∴不合题意，舍去， （株）． 答：每平方米应种植株． 三．解答题二（共3题，每题9分，共27分） 19. 已知抛物线． （1）抛物线的对称轴为直线_________； （2）直接写出下表中，的值：_________，_________． … … … … （3）在下面的坐标系中描点，并画出抛物线； （4）由图象可知，当满足______时，随的增大而增大；当满足______时，随的增大而减小． 【答案】（1）直线 ． （2），． （3）描点并画出抛物线如图． （4）当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小． 【解析】 【分析】（1）由顶点式 直接读出对称轴； （2）把 、 分别代入解析式求出、； （3）在坐标系中描出表中五个点，并用光滑曲线顺次连接； （4）由图象（开口向下、顶点在对称轴上）判断随增大而增大、减小的范围． 【小问1详解】 解：抛物线的解析式为 ，其中 ， ∴ 对称轴为直线． 【小问2详解】 解：当 时， ． 当 时， ． 【小问3详解】 解：在坐标系中描出点、、、、， 并用光滑曲线把它们顺次连接起来，即得抛物线（见答案处图形）． 【小问4详解】 解：由图象可知，抛物线的顶点为，对称轴为直线，且开口向下． 在对称轴左侧，抛物线上升；在对称轴右侧，抛物线下降， ∴ 当 时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，请解答下列问题： （1）求的取值范围； （2）若方程的两个实数根之积为，求的值． 【答案】（1） （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）根据判别式与根的个数的关系，列不等式，求解即可； （2）根据根与系数的关系可得两根之积，结合题干列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理，得， 解得； 【小问2详解】 解：设方程的两根为、， 由根与系数的关系可得， 根据题意可得， 整理，得， 解得或，均符合， ∴的值为或． 21. 阅读下面材料，并解决相关问题： 我国古代数学家杨辉研究过一张数字三角形，称为杨辉三角，如图．规律：①每行首尾数字都是，其余每个数等于它上方左右两个数字之和．②第行共有个数，第行的第个数可以用组合数表示：（，为正整数），即代表杨辉三角第行的第3个数． （1）请计算的值． （2）若，求正整数的值． （3）学校开展社团双人结对活动，每两名同学结成一组，不重复组队．若组队总组数恰好为，是否存在这样的正整数，使参与活动的学生总人数是的倍少？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在； 理由：∵每两名同学结成一组，不重复组队，且组队总组数恰好为， ∴参与学生的总人数为，即， 由题意得：，即， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不存在满足题干要求的正整数． 【解析】 【分析】（1）利用题干的公式进行计算即可； （2）利用题干的公式列出方程，求解并舍去不符合要求的根即可； （3）根据题意，利用总人数相等列出方程，由根的判别式判断方程有无实根． 【小问1详解】 解：由题意可得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 整理，得， 解得，， ∵为正整数， ∴； 【小问3详解】 略 三．解答题三（共2题，每题12分，共24分） 22. 【综合与实践】 【问题情境】 王老师家有一块长米、宽米的长方形菜地，如图，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥． 【问题提出】 为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路． 【方案设计】 方案一：如图，在地块中间修建一个长为米，宽为米的长方形菜地，周围一圈是小路； 方案二：如图，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地． 【问题解决】 （1）方案一中，求小路的面积； （2）方案二中，若设道路的宽为米，求菜地面积（单位：）关于的函数表达式； （3）已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧米内（含米）的菜地．在方案二中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，请直接写出道路宽度（单位：米）的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据小路面积等于总面积减去菜地面积，即可求解； （2）设道路的宽为米，根据长方形面积公式，列出函数关系式，即可求解； （3）先列出关于x的不等式组，再求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得 【小问2详解】 解：设道路的宽为米，根据题意得： ， 即菜地面积关于的函数表达式； 【小问3详解】 解：根据题意得：， 解得． 23. 如图：在直角坐标系中，长方形中，，，动点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度移动；动点从原点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒 （1）如图，当时，求的面积； （2）当是的角平分线时，求的值； （3）直接写出当为何值时，？ 【答案】（1）； （2）或； （3）或. 【解析】 【分析】（1）用含的式子表示三角形底与高，将计算即可； （2）利用长方形对边平行得到，结合角平分线条件推导出，得到，用表示，在中利用勾股定理列出关于的方程求解即可； （3）由题意可知，分情况根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：如图，由题意得，， ， 当时， 【小问2详解】 解：如图， ∵四边形是长方形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得或； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ， 可知当时，点D到达点， 当时，D在线段上运动，此时， 即， 整理得， 解得：（舍去）， 当时，D在点下方运动，此时， 即， 整理得， 解得：（舍去）， 综上所述，当或时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期九年级数学科单元过关考试测试题 一．选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，不是一元二次方程的是（） A. B. C. D. 2. 若是方程的一个根，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 3. 一元二次方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 4. 已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 为了打造“清洁能源示范城市”，某地投入资金用于安装充电桩．已知第一年投入资金1200万元安装充电桩，预计第三年投入的资金为2700万元，设第二、三两年投入资金的年均增长率为x，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数，其中，该二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 9. 下列关于二次函数的说法，不正确的是（ ） A. 图象关于直线对称 B. 图象开口向上 C. 图象的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 10. 在同一直角坐标系中，函数y=ax2-b与y=ax+b（ab≠0）的图像大致如图（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5题，每小题3分，共15分） 11. 函数中自变量x的取值范围是__． 12. 一元二次方程的根是______． 13. 在二次函数中，二次项系数______________，一次项系数______________，常数项______________． 14. 篮球联赛中，每两个球队之间进行两场比赛，设有x个球队参赛计划共打y场比赛，则y与x之间的函数关系为 _____． 15. 已知二次函数，则当时，的最大值是______________． 三．解答题一（共3题，每题8分，共24分） 16. 解一元二次方程： （1）； （2）． 17. 已知是关于的二次函数． （1）若函数有最小值，求的值； （2）在（1）的条件下，判断点是否在此函数图象上． 18. 某中学劳动教育实践活动中，同学们在一块平方米的校园农场上种植玉米．经试验发现，每平方米种植株时，每株产量是千克；每平方米每增加株，平均每株产量减少千克；每平方米最多种植株．设每平方米增加株． （1）增加后每平方米有_________株玉米，单株产量为_________千克．（用含的代数式表示） （2）如果这块农场的玉米总产量为千克，则每平方米应种植多少株？ 三．解答题二（共3题，每题9分，共27分） 19. 已知抛物线． （1）抛物线的对称轴为直线_________； （2）直接写出下表中，的值：_________，_________． … … … … （3）在下面的坐标系中描点，并画出抛物线； （4）由图象可知，当满足______时，随的增大而增大；当满足______时，随的增大而减小． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，请解答下列问题： （1）求的取值范围； （2）若方程的两个实数根之积为，求的值． 21. 阅读下面材料，并解决相关问题： 我国古代数学家杨辉研究过一张数字三角形，称为杨辉三角，如图．规律：①每行首尾数字都是，其余每个数等于它上方左右两个数字之和．②第行共有个数，第行的第个数可以用组合数表示：（，为正整数），即代表杨辉三角第行的第3个数． （1）请计算的值． （2）若，求正整数的值． （3）学校开展社团双人结对活动，每两名同学结成一组，不重复组队．若组队总组数恰好为，是否存在这样的正整数，使参与活动的学生总人数是的倍少？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 三．解答题三（共2题，每题12分，共24分） 22. 【综合与实践】 【问题情境】 王老师家有一块长米、宽米的长方形菜地，如图，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥． 【问题提出】 为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路． 【方案设计】 方案一：如图，在地块中间修建一个长为米，宽为米的长方形菜地，周围一圈是小路； 方案二：如图，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地． 【问题解决】 （1）方案一中，求小路的面积； （2）方案二中，若设道路的宽为米，求菜地面积（单位：）关于的函数表达式； （3）已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧米内（含米）的菜地．在方案二中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，请直接写出道路宽度（单位：米）的取值范围． 23. 如图：在直角坐标系中，长方形中，，，动点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度移动；动点从原点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒 （1）如图，当时，求的面积； （2）当是的角平分线时，求的值； （3）直接写出当为何值时，？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $