广东惠州市惠阳区第七中学2026-2027学年第一学期第一次拓展训练九年级数学试卷

惠阳区第七中学2026至2027学年第一学期 第一次拓展训练 九年级数学试卷 满分：120分　　　　考试时间：120分钟 一、选择题：本大题共计10小题，每题3分，共计30分。 1. 下列方程中，是关于 x 的一元二次方程是（　　） A. ax² + bx + c = 0　　B. x² + y = 1　　C. x² + = 0　　D. x² + x = 4 2. 一元二次方程 9x² = 5 − 4x 化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 9，5，−4　　B. 9，4，−5　　C. 9，−5，4　　D. 9，−4，5 3. 若关于 x 的一元二次方程 x² + 2x − m = 0 的一个根是 x = −1，则 m 的值是（　　） A. 1　　B. −1　　C. 3　　D. −3 4. 用配方法解方程 x² + 6x − 8 = 0 时，配方结果正确的是（　　） A. (x + 3)² = 17　　B. (x − 3)² = 17　　C. (x − 6)² = 44　　D. (x + 3)² = 1 5. 在平面直角坐标系中，二次函数 y = 3(x − h)² 的图象可能是（　　） 6. 已知抛物线 y = −(x − 3)² + ，下列说法正确的是（　　） A. 开口向上　　　　　　　B. 对称轴是直线 x = −3 C. 顶点坐标为(3，)　　D. 当 x < −3 时，y 随 x 的增大而减小 7. 某棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，第四季度总产值达331万元，问十一、十二月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数是 x，则由题意可得方程为（　　） A. 100(x + 1)² = 331　　　　　　B. 100(x + 1) + 100(x + 1)² = 331 C. 100 + 100(x + 1)² = 331　　D. 100 + 100(x + 1) + 100(x + 1)² = 331 8. 若抛物线 y = (m + 1)xm² − 2 的开口向上，则 m 的值为（　　） A. 2　　B. −2　　C. ±2　　D. 1 9. 某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两人之间都握了一次手，所有人共握了45次手。设共有 x 位同学聚会，则 x 满足的关系式为（　　） A. x(x + 1) = 45　　B. x(x − 1) = 45 C. x(x + 1) = 45　　D. x(x − 1) = 45 10. 若 a，b，c 满足 a² − 4b = −7，b² − 6c = −14，c² − 2a = 7，则 a + b + c 的值是（　　） A. 5　　B. 6　　C. 7　　D. 8 二、填空题：本大题共计5小题，每题3分，共计15分。 11. 若点 P₁(x₁，y₁) 和 P₂(x₂，y₂) 在 y = x² 的图象上，且 x₁ < x₂ < 0，比较 y₁ 与 y₂ 的大小：y₁ ______ y₂ 12. 已知关于 x 的一元二次方程 (m − 1)x² − 2x + 1 = 0 有实数根，则实数 m 的取值范围是____________。 13. 若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程 x² − 7x + 10 = 0，则此三角形的周长为____________。 14. 如图，在一幅长80cm，宽50cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm²，则金色纸边的宽为______cm。 15. 如果关于 x 的一元二次方程 ax² + bx + c = 0 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”。若关于 x 的方程 px² + 3x + q = 0（p ≠ 0）是倍根方程，则 p，q 需满足 pq = ______。 三、解答题（一）：本大题共3小题，每题8分，共24分。 16. 用适当的方法解下列方程： (1) (x − 3)² = 4x(3 − x)　　　　(2) x² + 8x − 9 = 0 17. 计算： (1) ()⁻¹ + (2023 + π)⁰ + 3⁻² × 3³； (2) (3 + 4y)² + (3 + 4y)(3 − 4y)。 18. 先化简，再求值：( − ) ÷ ，其中 x 满足方程 x² − 2x − 2 = 0。 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19. 已知 y = (k + 2)xk² + k − 4 是二次函数，且当 x < 0 时，y 随 x 的增大而增大。 (1) k 的值为________；对称轴为________。 (2) 点 A 在该二次函数的图象上，若点 A 的坐标为(2，m)，则点 A 关于对称轴对称的点的坐标为____________。 (3) 请画出该函数图象，并根据图象写出当 −1 ≤ x < 3 时，y 的取值范围为____________。 20. 已知关于 x 的一元二次方程 x² − 2(m − 1)x + m² − 5 = 0。 (1) 当方程有两个实数根时，求 m 的取值范围。 (2) 当方程的两个根 x₁、x₂ 满足 x₁² + x₂² = x₁x₂ + 12 时，求 m 的值。 21. 素材1 某景区春日赏花专线正月初一的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激增，正月初三的客运收入达到7.2万元。 素材2 为承接赏花客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐。已知该套餐的食材成本为20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价每降低2元，平均每天就能多售出8份。若该店计划下调售价，使平均每天的销售利润达到1200元。 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率。 任务2 根据素材2，为尽可能多地售空“花田春味”套餐库存，求下调后每份套餐的售价。 任务3 根据素材2，该店平均每天能否获利1600元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由。 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分。 22. 材料1：符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为 =a₁b₂ − a₂b₁，如= 5×(−4) − 2×(−3) = −14。 材料2：我们已经学习过求解一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等方程的解法，虽然各类方程的解法不尽相同，但是蕴含了相同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知。用“转化”的数学思想，还可以解一些新的方程。例如，求解部分一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）时，我们可以利用因式分解把它转化为一元一次方程来求解。如解方程：x² + 3x + 2 = 0。∵ x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)，∴ (x + 1)(x + 2) = 0。故 x + 1 = 0 或 x + 2 = 0，因此原方程的解是 x₁ = −1，x₂ = −2。 根据材料回答以下问题。 (1) 二阶行列式= ________； (2) 求解= 12 中 x 的值； (3) 结合材料，若 m =，n =，且 m − n = 0，求 x 的值。 23. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 5cm，BC = 6cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向终点 B 以1cm/s的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向终点 C 以2cm/s的速度移动。如果点 P，Q 分别从点 A，B 同时出发，当点 Q 运动到点 C 时，两点同时停止运动，设运动时间为 t 秒（t > 0）。 (1) 填空：BQ = ______cm，PB = ______cm（用含 t 的代数式表示）。 (2) 当 t 为何值时，PQ 的长度等于5cm？并说明理由。 (3) 是否存在 t 的值，使得三角形 DPQ 为等腰三角形？若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $