28.1 图形的旋转（分层练习）2026-2027学年人教版九年级上册

28.1 图形的旋转 分层练习 基础过关练 知识点一 判断生活中的旋转现象 1. 下列生活中的运动属于旋转的是（　　） A．升国旗时国旗的上升　　 B．秋千的来回摆动　　 C．扶梯上人的直线移动　　 D．火车在笔直轨道行驶　　 2. 下列运动属于旋转的有（　　） A．时针的转动　　 B．推拉窗的水平移动　　 C．滑雪者沿斜坡下滑　　 D．气球竖直上升　　 3.以下现象中，属于旋转变换的是（　　） A．钟摆的摆动　　 B．电梯的升降　　 C．汽车的直线行驶　　 D．冰块的融化　　 4. 有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮器来回摆动。其中属于旋转的是（　　） A．①②　　 B．②③　　 C．①④　　 D．③④　　 知识点二 判断一个图形由旋转而成的图形 5. 将一个等边三角形绕其中心旋转120°，所得图形与原图形（　　） A．完全重合　　 B．关于某轴对称　　C．由平移得到　　D．由轴对称得到　　 6.下列图形中，可以通过旋转得到自身的是（　　） A．一般平行四边形　　 B．正五边形　　 C．任意梯形　　 D．不等边三角形　　 7. 将直角三角形以一条直角边为轴旋转一周，得到的立体图形是（　　） A．圆柱　　 B．圆锥　　 C．球　　 D．长方体　　 8.一个图形经过旋转后，下列说法正确的是（　　） A．大小发生改变　　 B．形状发生改变　　 C．位置改变但大小和形状不变　　 D．方向保持不变　　 知识点三 旋转中心、旋转角、对应点 9.如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=130°，点D 在底边BC 上，如果△ABC绕点B 按顺时针方向旋转一个角度后与△DBE重合，则旋转角的度数为（） A．20° B．25° C．30° D．35° 11. 如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将△MNP旋转，得到△M ₁N₁ P₁，则旋转中心是（） A．点A B．点B C．点C D．点D 12. 如图，在菱形中，，为对角线的交点.将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，.对八边形给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点到该八边形各顶点的距离都相等；④点到该八边形各边所在直线的距离都相等。上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 知识点四 旋转的性质 13.如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 14. 如图，在中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△AB′C′，连接B′C，则△AB′C的周长为（     ） A． B．18 C． D．24 15. 如图，△ABC中，∠BAC=55°，将△ABC绕点A逆时针旋转α（0°<α<55°），得到△ADE，DE 交AC于点F ．当α=40°时，点D 恰好落在BC 上，此时∠AFE等于（） A．75° B．78° C．80° D．85° 16.平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 能力提升练 知识点一 坐标系中的旋转 17.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 18. 在直角坐标系中，将点A(1,1)绕原点按逆时针方向旋转45°到A′，则A′的坐标是（） A．(1,0) B．(0,1) C．(2,0) D．(0,2) 19. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,6 )，点C 的坐标为(3,0 )，以OA、OC 为边作矩形OABC，若将矩形OABC 绕点O逆时针旋转90°，得到矩形OA′ B ′C′，则点B′的坐标为（） A．(−9,6) B．(−6,2) C．(−6,4) D．(−6,3) 20. 如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 ． 知识点二 旋转中的规律问题 21. 如图、在平面直角坐标系中，将边长为1 的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到正方形OA₁ B₁ C₁ ,…，依此方式，绕点O连续旋转2026 次得到正方形OA₂₀₂₆B₂₀₂₆C₂₀₂₆，则点A₂₀₂₆的坐标是（ ） A．（） B．(1,0) C．（） D．(0, −1) 22. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O逆时针旋转45后得到正方形OA₁ B₁ C₁，依此方式，绕点O连续旋转2025 次得到正方形OA₂₀₂₅B₂₀₂₅C₂₀₂₅，如果点A 的坐标为A(1,0)，那么点B₂₀₂₅的坐标为（） A．(2,2) B．(0,2) C．(2,0) D．(−2,2) 23. 李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将△OAB固定在坐标系中，其中A(3,6)，B(3,0)，接着他将△OAB绕点O 逆时针旋转90°（∠AOA₁=∠BOB₁=90°）至△OA₁ B₁，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2 次旋转：将△OA₁ B₁绕点O 逆时针转动90°至△OA₂ B₂，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026 次后，点A 的坐标为（） A．(3,6) B．( −6,3) C．( −3, −6) D．(6, −3) 24.如图，∠ABC=135°，AB+BC=8，将AC绕点A逆时针旋转90°得到AD．连接BD，则BD的最小值为________． 知识点三 线段问题（旋转综合题） 25. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC =3，BC =4，将△ABC绕点B 顺时针旋转得到△A′ BC′，使点A′在BC 的延长线上，则A′ C的长为（） A．1 B．2 C．3 D．4 26.如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时， ． 27. 如图，平面直角坐标系中，已知A(6,0)，B(10,0)，P 为y 轴正半轴上一个动点，将线段PA 绕点P 逆时针旋转90°，点A 的对应点为Q，则线段BQ的最小值是（）245 A．8 B．12 C． D．6 28. 已知△ABC是腰长为4的等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是AC的中点，连接BD，将△BCD绕点B旋转，得到△BEF，点E，F的对应点分别是点C，D，连接CF．当CF∥AB时，则CF的长为_________． 知识点四 面积问题（旋转综合题） 29.如图，矩形纸片的长为4，宽为3，矩形内已用虚线画出网格线，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁，使其分成两块纸片．请在下列备用图中，用实线画出符合相应要求的剪裁线．注：①剪裁过程中，在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁；②在各种剪法中，若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况． 30. 如图，在△ABC中，AB =8，将△ABC绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A₁ BC₁，则阴影部分面积为（） A．32 B．24 C． D．16 31. 如图，两个边长都为2 的正方形ABCD 和OPQR，如果O 点正好是正方形ABCD 的中心，而正方形OPQR 可以绕O 点旋转，那么它们重叠部分的面积为（） A．4 B．2 C．1 D．1/2 32. 如图，点E 是正方形ABCD的边CD上一动点（点E 不与点C，D 重合），连接BE，以B 为旋转中心，将BE 顺时针旋转90°后，点E 与点F 对应，连接FE，FC，若AB =3，则△ECF面积的最大值为（） A． B． C．3 D． 知识点五 角度问题（旋转综合题） 33. 如图，将三角板ABC（其中∠CBA=60°，∠C=90°）绕点B 顺时针旋转得到△EBD，点A、B、D在同一条直线上，那么旋转角等于（） A．60° B．90° C．120° D．150° 34. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，将它绕点C 沿顺时针方向旋转后得到△A 'B 'C'．若点B'恰好落在线段AB 上，则旋转角的度数是（） A．40° B．50° C．70° D．80° 35. 将一副三角板如图放置（△ABC为含60°的直角三角板，∠BAC=90°，∠B=60°，△ADE为含45°的直角三角板，∠DAE=90°）将三角板ADE 绕点A 逆时针旋转α(0°<α<90°)，使得三角板ADE 的一边所在的直线与BC 垂直，则α的度数为（） A．15° B．60° C．15°或60° D．15°或75° 36. 如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连接BE，将△BCE绕点C 顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为（） A．30° B．25° C．20° D．15° 拓展培优练 37. 如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是对角线BD 上一点，连接AE，将线段AE 绕点A逆时针旋转90°得到AF，连接EF，点M 为EF 中点，MN⊥BD，垂足为N，若MN =1，则DE 为（） A．2 B．2√2 C．4√2−2 D．√2+1 38. X 射线因其极强的穿透性被广泛用于医学（如CT），工业（如金属探伤），治安（如机场安检）等领域．如图1，将一个厚度均匀的零件（图中阴影部分）放置在平面直角坐标系xOy 中．射线l₁：x＝t（y≥0）和射线l₂：y＝t（x≥0）是两条从原点开始分别沿x 轴正半轴，y 轴正半轴匀速运动的X 射线，其中t 为运动时间．当X 射线穿过零件时会发生衰减，根据衰减情况我们可以得到射线l₁与零件重合部分的所有线段长度之和为w₁，l₂与零件重合部分的所有线段长度之和为w₂．已知w₁和w₂的函数图象分别如图2，图3 所示，则说法错误的是（） A．a＝3.5 B．b＝2.5 C．零件中心的小孔是正方形 D．该零件的面积是12 39. 如图，四边形ABCD是正方形，P、N 分别为BC、CD上的点且BP =1，CN =3，将PN 绕点P 逆时针旋转30°交AD 于点M 得到PM，则AB =_________． 40. 我们定义：如图1，在△ABC中，把AC 绕点C 顺时针旋转90°得到CA′，把BC 绕点C 逆时针旋转90°得到CB′，连接A′ B′，我们称△A′ B ′C是△ABC的“旋补交差三角形”，连接AB′、A′ B，我们将AB′、A′ B所在直线的相交而成的角称之为△ABC“旋补交差角”．如图1，∠B ′OB即为△ABC“旋补交差角”．请求出这个角度；若发生改变，请说明理由． 参考答案与详细解析 1. 【答案】B 【解析】旋转是物体绕某一定点转动，秋千绕支点摆动属于旋转；A、C、D 均为平移。 2. 【答案】A 【解析】时针绕表盘中心转动，属于旋转；其余均为平移。 3. 【答案】A 【解析】钟摆绕悬挂点往复摆动是旋转；B、C 为平移，D 为物态变化。 4. 【答案】C 【解析】荡秋千、雨刮器摆动都是绕定点转动，属于旋转；滑动与传送为平移。 5. 【答案】A 【解析】正 n 边形绕中心旋转 360°/n 后与自身重合，等边三角形旋转120°重合。 6. 【答案】B 【解析】正五边形绕中心旋转72°与自身重合；其余图形一般不能旋转后与自身重合。 7. 【答案】B 【解析】直角三角形绕直角边旋转一周形成圆锥。 8. 【答案】C 【解析】旋转只改变图形位置（及方向），不改变图形的大小和形状，旋转前后图形全等。 9. 【答案】D 【解析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的．【详解】解：记与相交于一点H，如图所示：∵中，将绕点顺时针旋转得到，∴∵∴在中，∴故D选项是正确的，符合题意；设∴∵∴∴∵不一定等于∴不一定等于∴不一定成立，故B选项不正确，不符合题意；∵不一定等于∴不一定成立，故A选项不正确，不符合题意；∵将绕点顺时针旋转得到，∴∴故C选项不正确，不符合题意；故选：D 10. 【答案】见下（原《28.1 图形的旋转（分层练习）》同步题） 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质求出 ∠ABC=25°，根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∵ 绕点 B 按顺时针方向旋转一个角度后与重合， ∴ 旋转角为， ∵ 点 D 在底边 BC 上， ∴ ，即旋转角的度数为 25°． 11. 【答案】见下（原《28.1 图形的旋转（分层练习）》同步题） 【答案】B 【详解】解：如图，线段与线段的垂直平分线交于点 B， ∴ 旋转中心是点 B． 12. 【答案】B 【解析】根据菱形，，则，，结合旋转的性质得到点一定在对角线上，且，，继而得到，，结合，继而得到，可证，，同理可证，证，继而得到，得到，可以判定该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等，可以判定④正确；根据题意，得，结合，，得到，可判定②该八边形各内角不相等；判定②错误，证，进一步可得，可判定点到该八边形各顶点的距离都相等错误即③错误，解答即可.本题考查了旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质，角的平分线性质定理，熟练掌握旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质是解题的关键.【详解】向两方分别延长，连接，根据菱形，，则，，∵菱形绕点逆时针旋转得到菱形，∴点一定在对角线上，且，，∴，，∵，∴，∴，，同理可证，∵，∴，∴，∴，∴该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等，∴④正确；根据题意，得，∵，，∴，∴该八边形各内角不相等；∴②错误，根据，∴，∴，∵，故，∴点到该八边形各顶点的距离都相等错误∴③错误，故选B． 二、填空题 13. 【答案】C 【解析】本题考查了平面直角坐标系、一次函数、旋转的性质、勾股定理等知识点．找出点的坐标规律以及旋转过程中线段长度的关系是解题的关键．通过求出点的坐标，、、的长度，再根据旋转的特点逐步推导出后续点的位置和坐标，然后结合图形求解即可．【详解】轴，点的坐标为，，则点的纵坐标为3，代入，得：，则点的坐标为．，，，由旋转可知，，，，，，，．设点的坐标为，则，解得或（舍去），则，点的坐标为．故选C． 14. 【答案】A 【解析】利用勾股定理求出AC的长，根据旋转的性质得到AB′=AB=6及∠BAB′=90°，进而证得AB′∥BC，通过构造直角三角形求出B′C的长，最后计算周长即可．【详解】解：在中，∠B=90°，AB=6，BC=8， ∴，∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△AB′C′，∴AB′=AB=6，∠BAB′=90°， ∵∠ABC=90°，∴∠ABC+∠BAB′=180°， ∴AB′∥BC， 过点B′作B′H⊥BC于点H，则四边形ABHB′为矩形， ∴B′H=AB=6，BH=AB′=6， ∴HC=BC−BH=8−6=2，在中，，∴△AB′C的周长为． 15. 【答案】见下（原《28.1 图形的旋转（分层练习）》同步题） 【答案】D 【分析】根据旋转的性质得出 ，，，根据等腰三角形的性质得出 ，根据角的和差关系得出 ，根据三角形外角性质即可得答案． 【详解】解：∵ 将 绕点 A 逆时针旋转 （），得到 ，， ∴ ，，，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 16. 【答案】B 【解析】本题考查坐标系下的旋转．过点和点分别作轴的垂线，证明，得到，，据此求解即可．【详解】解：过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为，∵点的坐标为，∴，，∵将线段绕点顺时针旋转得到，∴，，∴，∴，∴，，∴点的坐标为，故选：B． 17. 【答案】C 【解析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案．【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为，∴，∵四边形是矩形，∴，∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，∴，，∴轴，∴点的坐标为，故选：C． 18. 【答案】见下（原《28.1 图形的旋转（分层练习）》同步题） 【答案】D 【分析】依据题意作平面直角坐标系，过点 A 作 轴于点 B，由 得 ，，逆时针旋转 45° 后，，与 y 轴夹角变为 0°，即 A′ 落在 y 轴正半轴，即可得出 A′ 的坐标． 【详解】解：如图，过点 A 作 轴于点 B， ∵ ， ∴ ，， 由勾股定理得 ， 又 ∵ 是等腰直角三角形， ∴ ， 由旋转的性质得 ，旋转角 ， ∴ ， ∴ 点 A′ 在 y 轴正半轴上， ∴ 的坐标为 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的旋转变换，题目未给出图形，解题时需根据题意画出图形，再结合勾股定理与旋转性质进行分析． 19. 【答案】见下（原《28.1 图形的旋转（分层练习）》同步题） 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键． 先根据题意得到 ，，再由矩形的性质可得 ，， ，由旋转的性质可得 ，， ，据此可得第二象限内 B′ 的坐标． 【详解】解：∵ 点 A 的坐标为 (0,6)，点 C 的坐标为 (3,0)， ∴ ，， ∴ ，，， ∵ 将矩形 OABC 绕点 O 逆时针旋转，得到矩形 ，点 B′ 在第二象限， ∴ ，，， ∴ 点 B′ 的坐标为 (−6,3)， 故选：D． 20. 【答案】 【解析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等，延长交y轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解．【详解】解：如图，延长交y轴于点E，中，令，则，令，解得，，，，，绕点逆时针方向旋转得到，，，，四边形是正方形．，，点的坐标为．故答案为：． 21. 【答案】见下（原《28.1 图形的旋转（分层练习）》同步题） 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探索问题、正方形的性质，找出规律是解题的关键． 根据正方形的性质得 ，再找出规律为旋转 8 次为一个周期，进而可求解． 【详解】解：∵ 正方形 OABC 的边长为 1， ∴ ， 由题意得： ，，，，，， ，，……， ∴ 旋转 8 次为一个周期， ， ∴ 点 的坐标为：(1,0)， 故选：B． 22. 【答案】见下（原《28.1 图形的旋转（分层练习）》同步题） 【答案】B 【分析】根据图形可知：点 B 在以 O 为圆心，以 OB 为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45° 后得到正方形 ，相当于将线段 OB 绕点 O 逆时针旋转 45°，可得对应点 B 的坐标，然后发现规律是 8 次一循环，进而得出答案．本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是数形结合并学会从特殊到一般的探究规律的方法． 【详解】解：∵ 点 A 的坐标为 (1,0)，四边形 OABC 是正方形， ∴ 点 B 的坐标为 (1,1)， ∴ ， ∵ 四边形 OABC 是正方形， ∴ ， 连接 OB，如图： 由勾股定理得：， 由旋转的性质得：， ∵ 将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45° 后得到正方形 ，相当于将线段 OB 绕点 O 逆时针旋转 45°，依次得到 ， ∴ ， 则 8 次为一循环， ∵ 余 1， ∴ 是第 253 组的最后一个点，是第 254 组的第一个点， ∴ 点 的坐标为 ， 故选：B． 23. 【答案】见下（原《28.1 图形的旋转（分层练习）》同步题） 【答案】C 【分析】根据每次转动 90° 可知，4 次一个循环，分别求出第一次到第四次的点的坐标，利用规律解决问题即可． 【详解】解：∵ 绕原点 O 逆时针转动 90° 至 ，，， ∴ ， ∵ 绕原点 O 逆时针转动 90° 至 ， ∴ ， ∵ 绕原点 O 逆时针转动 90° 至 ， ∴ ， ∵ 绕原点 O 逆时针转动 90° 至 ， ∴ ， 即点 与点 A 重合， ∴ 点 A 每旋转 4 次为一个循环， ∵ ， ∴ 在转动 2026 次后，点 A 在点 的位置，此时点 A 的坐标为 ． 24. 【答案】/ 【解析】首先构造辅助线与全等三角形，将BD转化为CE；再用代数表达式表示CE的长度；最后通过二次函数的性质求CE的最小值，即BD的最小值．【详解】解：过A作AE⊥AB，使AE=AB，连接CE、BE．∴∠ABE=∠AEB=45°,∵∠ABC=135°，∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=90°；又AB+BC=8，设AB=m，则BC=8−m．由旋转性质，得AD=AC，∠DAC=90°，∴∠BAD=∠CAE=90°−∠BAC，又AE=AB,，∴BD=CE．在中，，在中，由勾股定理得，CE2=BC2+BE2代入BC=8−m、，化简得：，∵3>0，∴抛物线开口向上，故当时，CE2取最小值，故，即． 25. 【答案】见下（原《28.1 图形的旋转（分层练习）》同步题） 【答案】A 【分析】在 中，利用勾股定理可得 ，再由旋转的性质可得 ，然后由 即可获得答案． 【详解】解：在 中，， ∵ ，， ∴ ， 由旋转可知，， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 26. 【答案】/ 【解析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质的综合，掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质可得的值，作，根据平行线的性质可得是等腰直角三角形，可求出的长，在直角中，根据勾股定理可求出的长度，由此即可求解．【详解】解：∵在中，，，∴，，∵点是的中点，∴，∴在中，，∵将绕点旋转得到，∴，∴，，，如图所示，过于点，∵∥，∴，∴是等腰直角三角形，且，∴，在中，，∴，故答案为：． 27. 【答案】见下（原《28.1 图形的旋转（分层练习）》同步题） 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变换−旋转，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用以及二次函数的性质，表示出点 Q 的坐标是解题的关键．设 ，则 ，证明 ，由全等三角形的性质可得 ，，可确定点 Q 的坐标，然后根据勾股定理得到 ，即可求得当 时，BQ 有最小值，即可获得答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 设 ，则 ， 作 轴于点 M，如下图， ∵ 将线段 PA 绕点 P 逆时针旋转 90°，点 A 的对应点为 Q， ∴ ，， ∴ ， ∴ ， 又 ∵ ，， ∴ (AAS)， ∴ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 当 时，BQ 有最小值，最小值为 ． 故选：A． 28. 【答案】或 【解析】第一种情况是点F在点C的右侧时，根据旋转的性质可知：△DCB≌△FEB，根据勾股定理可以求得BD的值，然后再根据平行线的性质和勾股定理，可以求得CG和GF的值，从而可以求得CF的值；还有一种情况是点F在点C的左侧时，同理可以求得CF的值．【详解】解：作BG⊥CF于点G，如图所示，∵∠ACB=90°，AC=BC=4，点D是AC的中点，∴，∠ABC=45°，∴，由旋转的性质可知：△DCB≌△FEB，∴，∵，∴∠ABC=∠BCG=45°，∴，∴，∴；当点F运动到点F′时，此时，同理可得，，，∴；综上所述，CF的长为或． 29. 【答案】见解析 【解析】本题考查的是矩形的性质，全等图形的定义与性质，同时考查了学生实际的动手操作能力，根据全等图形的性质分别画出符合题意的图形即可.【详解】解：如图， 30. 【答案】见下（原《28.1 图形的旋转（分层练习）》同步题） 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，含 30° 的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线．过 作 交 AB 于点 D，根据旋转得到 ，，，根据含 30° 的直角三角形的性质即可得到 ，即可得到答案： 【详解】解：如图，过 作 交 AB 于点 D， ∵ 绕点 B 按逆时针方向旋转 30° 后得到 ，， ∴ ，，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ，， ∴ ． 故选：D． 31. 【答案】见下（原《28.1 图形的旋转（分层练习）》同步题） 【答案】C 【分析】连 ，，设 交 BC 于 M， 交 AB 于 N，由四边形 ABCD 为正方形，得到 ，，，而四边形 ORQP 为正方形，得 ，所以 ，则 ，即可得到 ． 【详解】连 ，，设 交 BC 于 M， 交 AB 于 N，如图， ∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴ ，，， 而四边形 ORQP 为正方形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即它们重叠部分的面积为 1． 故选 C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形的性质． 32. 【答案】见下（原《28.1 图形的旋转（分层练习）》同步题） 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形判定与性质及二次函数求最值．先过点 F 作 ，先通过 AAS 证明 与 全等，得到对应边相等，再用 EC 和 CH 表示 的面积，最后通过二次函数求面积的最大值． 【详解】解：如图，过点 F 作 ，则 ． 设 （）， ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ ，． ∵ 绕点 B 顺时针旋转 90° 得到 ， ∴ ，． ∴ ． 又 ． ∴ ． 在 和 中： ∴ (AAS)． ∴ ， ∴ ， ∴ 的面积 ， ∴ 是关于 的二次函数，图象开口向下，， ∴ 当 时，面积取得最大值：， 故选：A． 知识点五 角度问题（旋转综合题） 33. 【答案】见下（原《28.1 图形的旋转（分层练习）》同步题） 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，求角度的问题，由题意可知，，旋转角，结合 的度数可得 的度数即可，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 点 A、B、D 在同一条直线上，， ∴ ， 故选：C． 34. 【答案】见下（原《28.1 图形的旋转（分层练习）》同步题） 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、角的计算依据外角的性质，解题的关键是算出 ．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据旋转的性质找出相等的角和相等的边，再通过角的计算求出角的度数是关键． 由三角形的内角和为 180° 可得出 ，由旋转的性质可得出 ，从而得出 ，再依据 计算即可得出结论． 【详解】解：∵ 在三角形 ABC 中，，， ∴ ， 由旋转的性质可知：， ∴ ， 又 ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：D． ∵BM⊥AC，∴∠PMC=∠BMC=90°，∴四边形 PMCN 是矩形。 ∵BM=EN=CN，且 BM=CM，∴CM=CN，∴矩形 PMCN 是正方形。 ②当 30°<α<60° 时，连接 CP。∵CM=CN，∠PMC=∠PNC=90°，CP=CP， ∴△PMC≌△PNC，∴PM=PN，∴MP+DP=PN+DP=DN。 在 Rt△DCN 中，∠D=30°，∴DN=CD，∴=。 当 60°<α<120° 时，同理 △PMC≌△PNC，且 DN=PN−DP=MP−DP，∴=。 35. 【答案】见下（原《28.1 图形的旋转（分层练习）》同步题） 【答案】C 【分析】本题主要考查的是旋转的性质，根据旋转的性质和已知条件进行分类讨论是解题的关键．根据题目要求，需要分两种情况讨论，第一种情况是当 时，第二种情况是当 时，再根据已知条件求解即可． 【详解】解：当 时，如图， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 旋转角为 ； 当 时，如图， ∵ ，， ∴ ， ∴ 旋转角为 ； 故选：C． 36. 【答案】见下（原《28.1 图形的旋转（分层练习）》同步题） 【答案】D 【分析】根据正方形的性质及旋转的性质可得 是等腰直角三角形，再根据 ，即得结果． 【详解】解：由旋转的性质得 ，，， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， 故选：D． 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 拓展培优练 37. 【答案】见下（原《28.1 图形的旋转（分层练习）》同步题） 【答案】C 【分析】通过构造辅助线，从而得到 ，利用全等三角形的性质及正方形的性质得 MN 与 DF 的位置关系，进而利用中位线定理建立 MN 与 DF 的数量关系，从而求解 DE 的长度． 【详解】解：如图所示，连接 ， ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ ，，， ∴ ， 由题意可知，，， ∴ ， ∴ (SAS)， ∴ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 点 M 为 EF 中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 38. 【答案】见下（原《28.1 图形的旋转（分层练习）》同步题） 【答案】D 【分析】由图 1 得：，，由图 2 得：，，即 ，，故 A，B 选项正确；再由 ，可得零件中心的小孔是正方形，故 C 选项正确；根据题意得：，延长 CB 交 y 轴于点 K，则 ，根据题意图 3，设当 时， 过直线 MQ，MQ 分别与 AB、CD 于点 M、Q，过点 M 作 于点 N，则 ，，，可得 为等腰直角三角形，可求出该零件的面积，即可判断 D． 【详解】解：如图， 根据题意得：四边形 EFGH 为矩形， 由图 1 得：，， 由图 2 得：，，即 ，，故 A，B 选项正确，不符合题意； ∴ ， ∴ 零件中心的小孔是正方形，故 C 选项正确，符合题意； 根据题意得：， 如图，延长 CB 交 y 轴于点 K，则 ， 根据题意图 3，设当 时， 过直线 MQ，MQ 分别与 AB、CD 于点 M、Q，过点 M 作 于点 N，则 ，，， ∴ ， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ， ∴ 该零件的面积是 ，故 D 选项错误，符合题意． ∵AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=30°，∴∠B=∠ACB=75°，∠APQ=∠AQP=75°。 ∵∠CAP=15°，∴∠BAP=∠BAC+∠CAP=45°，∴∠APB=180°−75°−45°=60°， ∴∠QPH=180°−∠APQ−∠APB=45°。 在 Rt△QPH 中，∠QPH=45°，∴QH=PH，PQ=QH，∴QH===2。 ∵△ABP≌△ACQ，∴∠ACQ=∠B=75°，∴∠QCH=180°−75°−75°=30°， ∴CQ=2QH=4，∴BP=CQ=4。 39. 【答案】见下（原《28.1 图形的旋转（分层练习）》同步题） 【答案】 / 【分析】设正方形 ABCD 的边长为 ，则 ，将 绕点 P 逆时针旋转 30° 得到 ，利用旋转的性质可得 ，，，，过点 C′ 作 于 H，过点 M 作 于 G，过点 C′ 作 于 K，求出 C′H 和 MK 的长度，利用 建立方程求解即可． 【详解】解：设正方形 ABCD 的边长 ，则 ， ∵ ，， ∴ ， 将 绕点 P 逆时针旋转 30° 得到 ， ∴ ， ∴ ，，，， 过点 C′ 作 于 H，过点 M 作 于 G，过点 C′ 作 于 K， ∵ 四边形 为矩形 ∴ ，， 在 Rt△PC′H 中，，， ∴ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 Rt△MKC′ 中，，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 点 M 在 AD 上，四边形 ABCD 是正方形， ∴ ， ∵ ， ∴ ，解得 ； ∴ ． 40. 【答案】（1）90 （2）不变； （3） 【分析】1）根据旋转得出 ，根据 证明 A′、C、B 三点共线，B′、C、A 三点共线，即可得出答案； （2）证明 (SAS)，得出 ，根据 ，结合三角形内角和定理得出 ，即可得出答案； 学科网（北京）股份有限公司 $