上海市崇明中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

2026学年崇明中学高二学期期中考试 高二年级 数学试卷 一、填空题（共12小题；共54分） 1. 在空间中，已知一个正方体是 条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于 ，则  ． 2. 在棱长为 的正方体 中，点 为等边三角形 中线 上一点，记点 到平面 、平面 以及平面 的距离的平方和为 ，则 的最小值为  ． 3. 若一圆柱的侧面积为 ，则经过圆柱的轴的截面积为  ． 4. 在正方体 中，与 异面且与 所成角为 的面对角线共有  条． 5. 若正四棱锥的体积为 ，底面边长为 ，则该正四棱锥的侧棱与底面所成角的大小为  ．（结果用反三角函数表示） 6. 已知直三棱柱 的侧棱 ，在底面 中，，，则点 到平面 的距离为  ． 7. 如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体，则截面图形可能是  ．（填序号） 8. 如图，在直三棱柱 中，，，，则异面直线 与 所成角的余弦值是  ． 9. 已知 ，，， 四点不共面，且 ，，，，，，则四边形 是  四边形． 10. 已知底面圆的半径为 ，母线长为 的圆柱， 是该圆柱的一条母线，一蜘蛛从 绕圆柱一周爬到 ，则该蜘蛛爬行的最短路程为  ． 11. 设 ，， 分别为长方体的对角线与共顶点的三个侧面所成的角，则 的取值范围为  ． 12. 已知二面角 为 ，动点 、 分别在面 、 内， 到 的距离为 ， 到 的距离为 ，则 、 两点之间距离的最小值为  ． 二、单选题（共4小题；共18分） 13. 在正方体 中，下列四个结论中错误的是 A. 直线 与直线 所成的角为 B. 直线 与平面 所成的角为 C. 直线 与直线 所成的角为 D. 直线 与直线 所成的角为 14. 如图，正方体 中，， 分别是 和 的中点，则平面 与平面 所成的角的余弦值为 A. B. C. D. 15. 已知 是各条棱长均等于 的正三棱柱， 是侧棱 的中点，则点 到平面 的距离为 A. B. C. D. 16. 已知正方体的棱长为 ，每条棱所在直线与平面 所成的角相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为 A. B. C. D. 三、解答题（共5小题；共78分.） 17. 如图，在圆柱 中，它的轴截面 是一个边长为 的正方形，点 为棱 的中点，点 为弧 的中点．求： （1）异面直线 与 所成角的大小； （2）直线 与圆柱 底面所成角的大小； （3）三棱锥 的体积． 18. 在长方体 中，，，点 是棱 上的点，． （1）求异面直线 与 所成角的大小． （2）求点 到平面 的距离． 19. 已知 ，，，， 为 中点，过点 分别作平行于平面 的直线交 ， 于点 ，． （1）求直线 与平面 所成的角； （2）证明：平面 ，并求直线 到平面 的距离． 20. 已知圆锥 的底面半径 ，高 ． （1）求圆锥 的母线长． （2）设圆锥 的内接圆柱 的高为 ，当 为何值时，内接圆柱 的轴截面面积最大?求出最大值． 21. 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，，，．以 的中点 为球心、 为直径的球面交 于点 ． （1）求证：平面 ； （2）求直线 与平面 所成的角； （3）求点 到平面 的距离． 答案 一 填空题 1. 【解析】画出几何图形，可知面 与 条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于 ． 因为正方体 ． 所以 ， 所以 与面 所成的角为 ． 不妨设正方体棱长为 ，故 ． 在 中，由勾股定理可得 ， 所以 ， 所以 ． 2. 3. 【解析】设圆柱的底面面积半径为 ，高为 ，则 ，即 ， 因此圆柱的轴的截面积为 ． 4. 5. 【解析】如图，正四棱锥 中，过点 作 于 ，连接 ， 则 是 在底面 上的射影， 即为所求角． 因为 ， 所以 ． 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ． 6. 7. ①⑤ 8. 9. 平行 【解析】因为 ，平面 ，平面 ， 所以 ，， 所以 ，同理 ， 所以四边形 是平行四边形． 故答案为：平行． 10. 【解析】圆柱的侧面展开图是矩形 ， 如图所示， 则爬行的最短路程是 ． 所以 ，， 所以 ， 即爬行的最短路程是 ． 11. 【解析】在长方体中有 ， 注意到 因为 ， 均为锐角， 所以 ． 从而 ， 即 ． 同理 ，． 又 在 上为凸函数， 由琴生不等式有 则 ， 即 ． 另一方面，， 由 ， 均为锐角，则 ． 从而 ． 又 ，，，有 ． 综上，． 12. 【解析】如图： 分别作 于 ， 于 ， 于 ， 于 ，连接 ，，则 ，，，所以 又 ，，所以 为矩形，，即 点轨迹为平面 上平行于 的一条直线，且与直线 的距离为 ．因为 ，所以 ，所以 当 ，即点 与点 重合时， 取最小值 ． 二 单选题 13. B 14. B 【解析】以点 为坐标原点，，， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为 ， 则 ，，，， 所以 ，， 所以平面 的一个法向量为 ． 设平面 与平面 的夹角为 ． 因为 是平面 的一个法向量， 所以 ． 15. B 16. A 三 解答题 17. （1） 以点 为原点，直线 ， 分别为 ， 轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 则相关点的坐标为 ，，，，，，． 于是 ，． 从而 ． 因此，异面直线 与 所成角的大小为 ．       （2） 由于 是圆柱 底面的一个法向量，又 ， 设直线 与圆柱 底面所成角的大小为 ，则 于是，直线 与圆柱 底面所成角的大小为 ．       （3） 由于三棱锥 的顶点 到面 的距离为 ， 而 故 ． 18. （1） 作 交 于 ，连接 ， 则 为异面直线 与 所成角， 因为 ，， 所以 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 而 ， 所以 为正三角形，， 从而异面直线 与 所成角的大小为 ．       （2） 设点 到平面 的距离为 ， ，， 由 得 ． 所以 ． 19. （1） 连接 ， 即求 的大小，，， 所以 ，即直线 与平面 所成的角为 ．       （2） 由 ，，， 所以 ，直线 到平面 的距离，即 ． 20. （1） 因为圆锥 的底面半径 ，高 ， 所以圆锥 的母线长 ．       （2） 作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示， 其中 ，，（）． 设圆柱底面半径为 ，则 ， 即 ． 设圆柱 的轴截面面积为 ， 则 （）． 所以当 时， 有最大值，最大值为 ． 21. （1） 依题设， 在以 为直径的球面上，则 ． 因为 ，则 ，又 ， 所以 ，则 ，因此有 ， 所以平面 ．       （2） 方法一： 设平面 与 交于点 ， 因为 ，所以 ，则 ， 由（1）知，，则 是 在平面 上的射影， 所以 就是 与平面 所成的角，且 ，所以 所求角为 ． 方法二： 如图所示，建立空间直角坐标系，则 ，，，，，． 设平面 的一个法向量 ，由 可得 令 ，则 即 设所求角为 ，则 所求角的大小为 ．       （3） 方法一： 因为 是 的中点，则 点到平面 的距离等于 点到平面 的距离的一半． 由（1）知， 于 ，则 就是 点到平面 的距离． 因为在 中， ，所以 为 中点， 则 点到平面 的距离等于 ． 方法二： 设所求距离为 ，由 得 第1页（共4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $