期中真题重组卷02（上海专用，沪教版必修三第10～11章+选择性必修第一第3章）高二数学上学期模拟卷

2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1． 2． 3．或 4．直线 5．4 6．0 7． 8． 9． 10． 11．3 12． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 D A D B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．把这个三角形绕其斜边旋转一周后如图所示， 则有，，，（6分） 则其表面积；（10分） 其体积为.（14分） 18．【详解】(1)连接、，因为是中点，所以是中位线，所以，（3分） 正方体中，，由平行传递性，得，（5分） 与是两条平行直线，两平行直线确定唯一平面，所以四点在同一个平面上；（6分） (2)设正方体的棱长为2,如图，取的中点，连接、, 因为是棱的中点，是棱的中点，所以 ，，（8分） 故就是异面直线与所成的角或其补角,（9分） 在中，，, , ，， 由余弦定理，得, 于是,（13分） 因此异面直线与所成的角的大小为.（14分） 19．【详解】（1）因为平面，平面，所以，（2分） 因为，，平面，（4分） 所以平面，平面，所以平面平面；（6分） （2）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.    不妨设，则， 故，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即，可取， 设平面的法向量为， 则，即，可取， 所以， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为.（14分，建系中间错一个点全扣） 20．【详解】(1)记正方形对角线与交于点，则为中点，.（1分） 因为四边形是矩形，是中点，所以，且， 因此且，四边形是平行四边形，得.（3分） 又平面，平面， 由线面平行判定定理得平面.（4分） （2）因为平面平面，交线为，是矩形，故， 得平面，又因为，所以平面，（6分） 因此两两垂直，以为原点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系： 则，则平面的一个法向量为， ，设平面的法向量为， 由​，得，取，得. 设平面与平面的夹角为： ， ，得，即二面角的大小为.（10分，建系中间错一个点全扣） (3)，（12分） 证明如下：由（1）已证平面， 又平面，平面平面，根据线面平行的性质定理，得.（14分） 同理，平面，平面平面，（16分） 再由线面平行的性质定理，得. 由平行公理，可得.（18分） 21．【详解】．(1)证明：在棱长为2的正方体中,以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，得， 又，则， 因此，又平面，所以平面.（6分，建系中间错一个点全扣） （2）由（1）知，， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为.（10分，建系中间错一个点全扣） （3）设线段上存在点使得二面角的余弦值为， 当点与点重合时，显然二面角为钝角，余弦值小于0，不符合题意； 过作于点，取，则， 由（1）可知，，平面的法向量， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以， 则，解得，符合题意， 因此线段上存在点，使得二面角的余弦值为．（18分，建系中间错一个点全扣） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第三册第10章~第11章+选择性必修第一册第3章（空间直线与平面、简单几何体、空间向量及其应用）。 第一部分（填空题 共54分） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．（广东湛江市港城、海东、崇文三校2025-2026学年第一学期高二年级期中考试数学学科试卷）如图，二面角等于是棱上两点，，且，则的长等于_____． 2．（上海财经大学附属北郊高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷）如图，是水平放置的的直观图，且，，则的周长为______． 3．（上海财经大学附属北郊高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷）若与的两边分别平行，且，则__________. 4．（上海市嘉定区第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷）平面与平面相交于直线l，点A、B在平面α上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点R．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是______ ． 5．（上海市顾村中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）如图，在三棱锥中，平面，，则以此三棱锥的棱为边所构成的三角形中，直角三角形的个数有________个. 6．（广东深圳市松岗中学2025-2026学年第一学期高二年级期中考试数学试卷）如图，长方体中，，，、、分别是，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ______ 7．（广东深圳市松岗中学2025-2026学年第一学期高二年级期中考试数学试卷）是函数图象上任意一点，过向直线和轴分别作垂线，垂足分别为，则______. 8．（上海市上海中学2025-2026学年高二第一学期期中考试数学试题）如图，半球内有一内接正方体（即正方体的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球面上），若正方体的棱长为2，则半球的体积为____________. 9．（上海市上海中学2025-2026学年高二第一学期期中考试数学试题）如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，求球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_____. 10．（上海市顾村中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）如图，点分别是直角三角形的边上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，则阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为__________. 11．（考点2 直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系【讲】期中备考研习室（沪教版）高二上学期）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有 _____对． 12．（上海市上海中学2025-2026学年高二第一学期期中考试数学试题）如图，在正方体中，点为对角线的三等分点，点到正方体的各顶点的距离的不同取值的个数为______（个）. 第二部分（选择题 共18分） 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．（广东深圳市松岗中学2025-2026学年第一学期高二年级期中考试数学试卷）已知，，且，则（   ） A．-6 B．5 C．4 D．6 14．（上海财经大学附属北郊高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷）已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（广东深圳市松岗中学2025-2026学年第一学期高二年级期中考试数学试卷）如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（   ）    A． B． C． D． 16．（上海市上海中学2025-2026学年高二第一学期期中考试数学试题）如图，在正方体中，为棱的中点，为侧面的中心，分别在棱和上运动，为的中点，以下正确命题的个数是（   ） ①使的线段有且只有一条； ②使的直线有且只有一条； ③使的直线有且只有一条； ④若点与点不重合，则平面平面. A． B． C． D． 第三部分（简答题 共78分） 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（上海市上海中学2025-2026学年高二第一学期期中考试数学试题）一个直角三角形有一个的内角，这个内角所对直角边的长度为．把这个三角形绕其斜边旋转一周，求所得旋转体的表面积与体积． 18．（上海财经大学附属北郊高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷）如图，已知、分别是正方体的棱、的中点． (1)求证：、、、在同一个平面上； (2)求证：与是异面直线并求出异面直线与所成角的大小． 19．（重庆市为明学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）如图，在三棱柱中，为的中点，平面，，.    (1)证明：平面平面. (2)求平面与平面所成二面角的正弦值. 20．（上海市上海中学2025-2026学年高二第一学期期中考试数学试题）如图所示，已知四边形是正方形，四边形是矩形，，，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)若平面平面，求二面角的大小； (3)若平面平面，平面平面，试分析直线与的位置关系，并证明你的结论. 21．（广东湛江市港城、海东、崇文三校2025-2026学年第一学期高二年级期中考试数学学科试卷）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第三册第10章~第11章+选择性必修第一册第3章（空间直线与平面、简单几何体、空间向量及其应用）。 第一部分（填空题 共54分） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．（广东湛江市港城、海东、崇文三校2025-2026学年第一学期高二年级期中考试数学学科试卷）如图，二面角等于是棱上两点，，且，则的长等于_____． 【答案】 【详解】由二面角的平面角的定义知， 所以， 由，，得，， 又因为， 所以 ， 所以， 故答案为： 2．（上海财经大学附属北郊高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷）如图，是水平放置的的直观图，且，，则的周长为______． 【答案】 【详解】作出的图形如下图所示： 由图可知，为直角三角形，且，，， 由勾股定理可得， 所以，的周长为. 故答案为： 3．（上海财经大学附属北郊高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷）若与的两边分别平行，且，则__________. 【答案】或 【详解】 当两角的两边分别平行时，两角相等或互补，如图所示，角B为或 故答案为：或 4．（上海市嘉定区第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷）平面与平面相交于直线l，点A、B在平面α上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点R．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是______ ． 【答案】直线 【详解】根据题意，因为直线AB与直线l相交于点R，， 又平面与平面相交于直线l，所以平面β， 又点C在平面上，所以平面β， 因为平面γ，R点在直线AB上，所以平面， 又平面，所以平面， 所以与的交线是直线． 故答案为：直线． 5．（上海市顾村中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）如图，在三棱锥中，平面，，则以此三棱锥的棱为边所构成的三角形中，直角三角形的个数有________个. 【答案】4 【详解】因为平面，平面， 所以，，，即、为直角三角形， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，所以、也为直角三角形， 即以此三棱锥的棱为边所构成的三角形中，直角三角形有个. 故答案为： 6．（广东深圳市松岗中学2025-2026学年第一学期高二年级期中考试数学试卷）如图，长方体中，，，、、分别是，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ______ 【答案】0 【详解】 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 7．（广东深圳市松岗中学2025-2026学年第一学期高二年级期中考试数学试卷）是函数图象上任意一点，过向直线和轴分别作垂线，垂足分别为，则______. 【答案】 【详解】设，，则，即，解得， 所以，，则，， 所以． 故答案为： 8．（上海市上海中学2025-2026学年高二第一学期期中考试数学试题）如图，半球内有一内接正方体（即正方体的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球面上），若正方体的棱长为2，则半球的体积为____________. 【答案】 【详解】设半球底面圆圆心为，过正方体底面对角线且垂直于底面作该组合体的截面，得到图形如图所示， 则为半球的半径， 而正方体内接于半球、且正方体的棱长为２、为正方体底面对角线， 故，， 故， 因此半球的体积. 9．（上海市上海中学2025-2026学年高二第一学期期中考试数学试题）如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，求球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_____. 【答案】 【详解】 当侧面积最大时， ， 则, 10．（上海市顾村中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）如图，点分别是直角三角形的边上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，则阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为__________. 【答案】 【详解】在中，，则， 由斜边与扇形的弧相切，扇形半径， 阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体是绕直线旋转一周所得圆锥， 挖去扇形弧绕直线旋转一周所得半球， 所以所求体积为. 故答案为： 11．（考点2 直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系【讲】期中备考研习室（沪教版）高二上学期）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有 _____对． 【答案】3 【详解】 如图所示：把展开图再还原成正方体，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内 不经过该点的直线是异面直线可得，AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有： AB 和 CD，AB 和 HG，EF 和 HC，共三对， 故答案为：3． 12．（上海市上海中学2025-2026学年高二第一学期期中考试数学试题）如图，在正方体中，点为对角线的三等分点，点到正方体的各顶点的距离的不同取值的个数为______（个）. 【答案】 【详解】 不妨设正方体的棱长为， 如图，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，， ，，，， 因为点为对角线的三等分点，由正方体的对称性可知，无论靠近还是靠近，其到各顶点距离的取值集合相同，不妨设， 因为，所以， 设，则，解得， 所以，， ，， ，， ，， 综上点到各顶点的距离的不同取值有，共个不同的值． 第二部分（选择题 共18分） 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．（广东深圳市松岗中学2025-2026学年第一学期高二年级期中考试数学试卷）已知，，且，则（   ） A．-6 B．5 C．4 D．6 【答案】D 【详解】由可得，解得. 故选：D. 14．（上海财经大学附属北郊高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷）已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】“这四个点中有三点在同一直线上”，则第四点不在共线三点所在的直线上， 因为一条直线和直线外一点确定一个平面，一定能推出“这四点在同一个平面内”，从而充分性成立； “这四个点在同一平面内”时，可能有“两点分别在两条相交或平行直线上”，不一定有三点在同一直线上，从而必要性不成立， 所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的充分不必要条件. 故选：A. 15．（广东深圳市松岗中学2025-2026学年第一学期高二年级期中考试数学试卷）如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D. 16．（上海市上海中学2025-2026学年高二第一学期期中考试数学试题）如图，在正方体中，为棱的中点，为侧面的中心，分别在棱和上运动，为的中点，以下正确命题的个数是（   ） ①使的线段有且只有一条； ②使的直线有且只有一条； ③使的直线有且只有一条； ④若点与点不重合，则平面平面. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正方体棱长为，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则，，设（），（）， 因为是中点，故. 命题①：，所以​​， ，所以， 令，得（） 该方程在平面内表示一段四分之一圆弧，因此方程有无数组解，即存在无数条线段满足条件，故①错误； 命题②：若，则，即（）， 该方程在平面内表示一条线段，因此方程有无数组解，即存在无数条直线满足条件，故②错误； 命题③：若，则，则，因为第三个方程无解， 所以方程组无解，因此不存在直线满足条件，故③错误； 命题④ ：三点的坐标都为，即三点都在平面上， 该平面与底面（）平行，故平面平面，④正确. 综上，正确命题只有1个. 第三部分（简答题 共78分） 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（上海市上海中学2025-2026学年高二第一学期期中考试数学试题）一个直角三角形有一个的内角，这个内角所对直角边的长度为．把这个三角形绕其斜边旋转一周，求所得旋转体的表面积与体积． 【详解】设，则，斜边为，，（2分） 把这个三角形绕其斜边旋转一周后如图所示， 则有，，，（6分） 则其表面积；（10分） 其体积为.（14分） 18．（上海财经大学附属北郊高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷）如图，已知、分别是正方体的棱、的中点． (1)求证：、、、在同一个平面上； (2)求证：与是异面直线并求出异面直线与所成角的大小． 【详解】(1)连接、，因为是中点，所以是中位线，所以，（3分） 正方体中，，由平行传递性，得，（5分） 与是两条平行直线，两平行直线确定唯一平面，所以四点在同一个平面上；（6分） (2)设正方体的棱长为2,如图，取的中点，连接、, 因为是棱的中点，是棱的中点，所以 ，，（8分） 故就是异面直线与所成的角或其补角,（9分） 在中，，, , ，， 由余弦定理，得, 于是,（13分） 因此异面直线与所成的角的大小为.（14分） 19．（重庆市为明学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）如图，在三棱柱中，为的中点，平面，，.    (1)证明：平面平面. (2)求平面与平面所成二面角的正弦值. 【详解】（1）因为平面，平面，所以，（2分） 因为，，平面，（4分） 所以平面，平面，所以平面平面；（6分） （2）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.    不妨设，则， 故，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即，可取， 设平面的法向量为， 则，即，可取， 所以， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为.（14分，建系中间错一个点全扣） 20．（上海市上海中学2025-2026学年高二第一学期期中考试数学试题）如图所示，已知四边形是正方形，四边形是矩形，，，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)若平面平面，求二面角的大小； (3)若平面平面，平面平面，试分析直线与的位置关系，并证明你的结论. 【详解】(1)记正方形对角线与交于点，则为中点，.（1分） 因为四边形是矩形，是中点，所以，且， 因此且，四边形是平行四边形，得.（3分） 又平面，平面， 由线面平行判定定理得平面.（4分） （2）因为平面平面，交线为，是矩形，故， 得平面，又因为，所以平面，（6分） 因此两两垂直，以为原点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系： 则，则平面的一个法向量为， ，设平面的法向量为， 由​，得，取，得. 设平面与平面的夹角为： ， ，得，即二面角的大小为.（10分，建系中间错一个点全扣） (3)，（12分） 证明如下：由（1）已证平面， 又平面，平面平面，根据线面平行的性质定理，得.（14分） 同理，平面，平面平面，（16分） 再由线面平行的性质定理，得. 由平行公理，可得.（18分） 21．（广东湛江市港城、海东、崇文三校2025-2026学年第一学期高二年级期中考试数学学科试卷）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】．(1)证明：在棱长为2的正方体中,以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，得， 又，则， 因此，又平面，所以平面.（6分，建系中间错一个点全扣） （2）由（1）知，， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为.（10分，建系中间错一个点全扣） （3）设线段上存在点使得二面角的余弦值为， 当点与点重合时，显然二面角为钝角，余弦值小于0，不符合题意； 过作于点，取，则， 由（1）可知，，平面的法向量， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以， 则，解得，符合题意， 因此线段上存在点，使得二面角的余弦值为．（18分，建系中间错一个点全扣） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $