精品解析：陕西宝鸡市凤翔区某校2026-2027学年高一上学期第一次质量检测数学试卷

2026-2027学年度第一学期 高一第一次质量检测数学科试题 一、单选题 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，x + 1>0”的否定为（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 设全集，， ， 则图中阴影部分对应的集合为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. “”是“”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 在下列三个结论中，正确的有（ ） ①x2>4是x3<－8的必要不充分条件； ②在ABC中，AB2＋AC2＝BC2是ABC为直角三角形的充要条件； ③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件. A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与是同一个集合 B. 已知全集为，则和等价 C. 集合与集合是同一个集合 D. 已知命题；命题，则和都是真命题 10. 已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A. B. C. D. 11. 若正实数，满足，则（ ） A. 的最小值是8 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 三、填空题 12. 已知，则的最小值为__________． 13. 已知全集，集合与集合的关系如图所示，则阴影部分所表示的集合中元素的个数为______． 14. 已知实数集合，若，则_______． 15. 集合的真子集的个数为______. 四、解答题 16. 设,，求： （1） （2） 17. 已知集合，，，求： （1），； （2），． 18. （1）已知a＞b＞0，c＜0，求证： . （2）比较（a+3）（a﹣5）与（a+2）（a﹣4）的大小. 19. 已知，，且． （1）求的最小值； （2）若恒成立，求的最大值． 20. 已知集合，，全集． （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 21. 某企业建造一间长方体库房（如图所示），地面面积为，库房墙高为6m，库房四面墙每平方米的造价均为600元，库房屋顶的造价为72000元.若不计库房地面的费用，该库房的门忽略不计，设库房地面的一条边的长度为，库房总造价为元. （1）试写出与的等量关系式； （2）求该库房的最低总造价. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期 高一第一次质量检测数学科试题 一、单选题 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交集的概念，直接求解，即可得出结果. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：C 【点睛】本题主要考查集合交集的运算，熟记概念即可，属于基础题型. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得，然后求得. 【详解】或， 所以. 故选：C 3. 命题“，x + 1>0”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用含有一个量词的命题的否定求解作答. 【详解】命题“，x + 1>0”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“，x + 1>0” 的否定是. 故选：B 4. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举出反例可判断ABC；根据不等式性质可判断D. 【详解】取，，则，故A错误； 取，则，故B错误； 取，，，则，故C错误； 因为，，所以，故D正确. 故选：D. 5. 设全集，， ， 则图中阴影部分对应的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】图中阴影部分对应的集合为，即可得到答案. 【详解】因为， ， 所以图中阴影部分对应的集合为 故选：D 6. 函数的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】将函数变形为，再根据基本不等式即可求得最小值． 【详解】解：，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是6． 故选：C. 7. “”是“”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由解得，再由充分条件和必要条件的定义即可得出结论. 【详解】解：由，解得， 不能推出， 能推出 故是的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的概念应用，属于基础题. 8. 在下列三个结论中，正确的有（ ） ①x2>4是x3<－8的必要不充分条件； ②在ABC中，AB2＋AC2＝BC2是ABC为直角三角形的充要条件； ③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件. A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】①，证明x2>4是x3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确； ②，在ABC中，AB2＋AC2＝BC2是ABC为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误； ③,证明“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件，所以该命题正确. 【详解】①，x2>4即或，x3<－8即，因为或成立时，不一定成立，所以x2>4是x3<－8的不充分条件；因为成立时，或一定成立，所以x2>4是x3<－8的必要条件.即x2>4是x3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确. ②， AB2＋BC2＝AC2成立时，ABC为直角三角形一定成立；当ABC为直角三角形成立时，AB2＋BC2＝AC2不一定成立，所以在ABC中，AB2＋AC2＝BC2是ABC为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误. ③,即判断“”是“a2＋b2=0”的什么条件，由于a2＋b2=0即，所以“”是“a2＋b2=0”的充要条件，所以“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件，所以该命题正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，考查逆否命题和原命题的等价性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与是同一个集合 B. 已知全集为，则和等价 C. 集合与集合是同一个集合 D. 已知命题；命题，则和都是真命题 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，表示空集，不含任何元素，而是一个包含了一个元素的集合， 两者不是同一个集合，故A错误； 对于B，表示的元素一定属于，表示全集中不在中的元素构成的集合， 则也表明的元素一定属于，因此，故B正确； 对于C，：自变量是的取值，，该集合是， ：函数值的取值，集合是，故C错误； 对于D，对于命题，取，发现是假命题，则是真命题； 对于命题，取时成立，则是真命题，故D正确； 10. 已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据集合是否为空集分类讨论，结合列不等式，求得的取值范围逐一判断即可. 【详解】①当时，令，得，此时符合题意； ②当时，，得， 则或， 因为，所以，所以或， 解得或， 因为，所以 综上，的取值范围为或， 故选：BC 11. 若正实数，满足，则（ ） A. 的最小值是8 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据“1”的变形技巧及基本不等式判断A，利用基本不等式判断BC，根据条件转化为关于的二次三项式配方求最值即可判断D. 【详解】对于A，，当且仅当， 即时等号成立，所以的最小值是16，故A错误； 对于B，由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是，故C正确； 对于D，， 当时，取得最小值，故D错误． 三、填空题 12. 已知，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 利用基本不等式，即可直接求出的最小值． 【详解】因为，，所以， 当且仅当且，即时，取等号． 故答案为： 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用．利用基本不等式求最值，要把握三个条件，即“一正——各项都是正数；二定——和或积为定值；三相等——等号能取得”这三个条件缺一不可，有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过凑项、拆项、变系数等方法使之能运用基本不等式． 13. 已知全集，集合与集合的关系如图所示，则阴影部分所表示的集合中元素的个数为______． 【答案】3 【解析】 【分析】由图形可以看出，阴影部分所示的集合是，故先化简两个集合，即可求解. 【详解】由题意， 故，集合有3个元素， 故答案为：3 14. 已知实数集合，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合相等的概念求解即可. 【详解】因为，所以或. 当时，无意义，所以. 因为. 所以，即或（舍去）. 综上，，. 故答案为： 15. 集合的真子集的个数为______. 【答案】3 【解析】 【分析】求解方程，确定集合中元素个数，再结合真子集个数公式即可求解. 【详解】方程可化为，解得或1， 则，故集合的真子集的个数为. 四、解答题 16. 设,，求： （1） （2） 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交集定义,即可求得. （2）先表示出集合,根据并集与补集的运算可得,结合交集定义即可求得. 【详解】（1） 根据集合的交集定义可得 （2）因为,即 由并集运算可得 由补集定义可得 所以 【点睛】本题考查了集合交集、并集与补集的混合运算,属于基础题. 17. 已知集合，，，求： （1），； （2），． 【答案】（1）或， （2）或，. 【解析】 【分析】（1）根据集合的交并补运算即可； （2）根据集合的交并补运算即可. 【小问1详解】 由， 可得， 则或，， 【小问2详解】 由题意得或， ， 因此或， . 18. （1）已知a＞b＞0，c＜0，求证： . （2）比较（a+3）（a﹣5）与（a+2）（a﹣4）的大小. 【答案】（1）证明:∵a＞b＞0，∴＞＞0， 再由c＜0，可得. 故要证的不等式成立； （2）（a+3）（a﹣5）＜（a+2）（a﹣4）. 【解析】 【分析】（1）根据a＞b＞0，得到＞＞0，再由c＜0，根据不等式的性质可得，从而得证; （2）首先利用作差法得到，进一步化简，从而得出结果． 【详解】（1）略； （2）∵ ＝22＜0， ∴. 【点睛】本题考查不等式的基本性质，熟练理解与掌握不等式的基本性质是解题关键，注意不等式的可乘性的应用，注意符号问题，属于容易题目． 19. 已知，，且． （1）求的最小值； （2）若恒成立，求的最大值． 【答案】（1）8 （2）4 【解析】 【分析】（1）使用“1”的妙用和基本不等式求解； （2）分离参数后，将问题转化为恒成立，消元求解. 【小问1详解】 由题可知， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为8； 【小问2详解】 由，，，得， 将代入得， 所以要使恒成立， 则，即的最大值为4. 20. 已知集合，，全集． （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【小问1详解】 当时，， 因为，所以； 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 若是空集，则，得； 若不是空集，则，得， 则实数的取值范围为或 21. 某企业建造一间长方体库房（如图所示），地面面积为，库房墙高为6m，库房四面墙每平方米的造价均为600元，库房屋顶的造价为72000元.若不计库房地面的费用，该库房的门忽略不计，设库房地面的一条边的长度为，库房总造价为元. （1）试写出与的等量关系式； （2）求该库房的最低总造价. 【答案】（1） （2）216000元. 【解析】 【分析】（1）利用矩形面积公式即可求出总造价函数解析式； （2）利用基本不等式求解最小值即可得解. 【小问1详解】 根据题意可得库房左侧面和右侧面的墙面面积之和为， 库房前面和后面的墙面面积之和为， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 当且仅当，即时，等号成立. 故该库房的最低总造价为216000元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $