第27章 反比例函数--反比例函数与几何综合 重点知识点归纳 专项练（1） 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第27章 反比例函数--反比例函数与几何综合 重点知识点归纳 专项练（1） 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 一、基础面积定值问题（k几何意义直接用） 1．如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点 在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在 轴的正半轴上，则平行四边形的面积是_______． 3．如图，是边长为2的等边三角形，反比例函数的图象经过点A，过点B作交反比例函数的图象于点C，轴于点D，连接． (1)点A的坐标为_____，k的值为___； (2)求四边形的面积． 4．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点A在反比例函数上，顶点B在反比例函数上，点C在x轴的正半轴上，求平行四边形的面积． 二、基础定值求K值问题（k几何意义直接用） 5．如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 6．如图，双曲线经过正方形的顶点，已知，则________． 7．如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．若轴，垂足为，面积为6． (1)求值； (2)求的面积． 8．如图，一次函数的图象与反比例函的图象分别交于第二、四象限内的点，，过点A作轴，垂足为点C，的面积为3． (1)求a，b的值； (2)结合图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)在y轴上取一点P，使的值最大，求出点P的坐标． 三、反比例函数与割补法求三角形面积 9．如图，垂直于轴，为垂足，反比例函数与的两边，分别交于，两点．，若三角形的面积为3，则三角形的面积是（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 10．如图，点为函数（）图象上一点，连结，交函数（）的图象于点，点是轴上一点，且，则三角形的面积为_________.    11．如图，三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点在轴上，反比例函数经过的中点，交边于点，已知点． (1)点的坐标为______，反比例函数解析式为______； (2)连接，求的面积． 12．如图，已知一次函数与反比例函数 的图象相交于点C 与点． (1)求反比例函数的表达式及 C 点坐标． (2)求三角形的面积． 四、反比例函数与矩形、正方形综合 13．如图，正方形和矩形的面积相等，反比例函数在第一象限的图象经过B、E两点，则的长为（   ） A．16 B．8 C． D． 14．已知矩形，，，函数的图象经过矩形对角线交点，交于，则的值为（   ） A． B． C． D． 15．如图，已知矩形的顶点，都在直线上，边轴，反比例函数（，且）的图象经过点和点，若点的横坐标为1，且矩形的面积为，则的值为______． 16．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AD∥x轴，A（，），AB=1，AD=2． （1）直接写出B、C、D三点的坐标； （2）将矩形ABCD向右平移m个单位，使点A、C恰好同时落在反比例函数（）的图象上，得矩形A′B′C′D′．求矩形ABCD的平移距离m和反比例函数的解析式． 17．在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中点，． (1)当反比例函数（）的图象和矩形有交点时，求k的最大值； (2)如图，反比例函数（）的图象与,分别交于点D，E，连接，，．当时，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 5 9 13 14 答案 D D C C B 1．D 过点作轴于点，过点作轴于点，证明四边形和四边形是矩形，且，，，则，据此即可求出答案． 解：过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∵轴且交轴于点， ∴， ∴四边形和四边形是矩形，且， ∵矩形的顶点A，矩形的顶点B分别在反比例函数和的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 2．4 作轴于，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积． 解：如图，作轴于，延长交 轴于， 四边形是平行四边形， ，， 轴， ， ， 根据系数k的几何意义可知：，， ∴四边形的面积为：． 3．(1)， (2) 本题主要考查了反比例函数的几何综合，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）过点A作轴于点E，根据直角三角形性质得出，根据勾股定理得出，求出点A的坐标为，根据点在反比例函数的图象上，求出k的值即可； （2）过点A作轴，连接，根据，得出，根据求出结果即可． （1）解：过点A作轴于点E，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴点A的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； （2）解：如图，过点A作轴，连接， ， ， ． 4． 本题考查反比例函数中系数k的几何意义以及平行四边形的性质，解题的关键是通过作辅助线，利用平行四边形的性质得到相关线段的关系，再结合系数k的几何意义来求解平行四边形的面积．作轴于D，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积． 解：如图作轴于D，延长交y轴于E， ∵四边形是平行四边形， ∴，； ∴轴， ∴， ∴， 根据系数k的几何意义，，， ∴四边形的面积． 5．D 先设点坐标为，用、表示出的面积，再根据四边形的面积列方程求得的值便可． 解：设点坐标为，则，，， ， ， ， 轴于， ， 四边形的面积为3， ， 解得． 6． 根据反比例函数的“”的几何意义求解即可． 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵点在双曲线上， ∴， 又∵双曲线在第三象限， ∴． 7．(1) (2) （1）根据反比例函数的几何意义，即可求解； （2）根据（1）得出反比例函数解析式为，进而求得，，直线的解析式为，进而得出，再根据三角形的面积公式，即可求解． （1）解：∵轴，垂足为，面积为6 ∴ ∵反比例函数图象在第一象限 ∴ ∴； （2）解：由（1）可得反比例函数解析式为 ∵，在图像上， ∴，， 解得： ∴， 设直线的解析式为，代入，得 ，解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得： ∴ ∴ ∴ 8．(1)， (2)或 (3) （1）根据的面积为3，求出反比例函数的关系式为，把点，代入反比例函数解析式求出结果即可； （2）根据函数图象，求出不等式的解集即可； （3）取点A关于y轴的对称点，连接，并延长，交y轴于点P，连接，根据轴对称，三角形三边关系和轴对称的性质得出此时的值最大，求出直线的关系式为，再求出结果即可． （1）解：∵的面积为3， ∴， 解得：或（舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点，代入， 解得：，； （2）解：根据图象，可知不等式的解集为：或； （3）解：取点A关于y轴的对称点，连接，并延长，交y轴于点P，连接，如图所示： ∵点， ∴点， 根据轴对称可知：， ∴， ∵， ∴， 设直线的关系式为， 则， 解得， ∴直线的关系式为， ∴直线与y轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，求反比例函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，求出反比例函数解析式． 9．C 连接，设，则得点D的坐标，根据三角形的面积为3求得k的值，再由得点C的坐标，由点C在反比例函数的图象上，求得的值，即可求得结果． 解：如图，连接， 设， ∵垂直于轴，为垂足，点D在的图象上， ∴， ∴， ∵三角形的面积为3， ∴， 即， ∴， 即， ∵， ∴点C是的中点， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．12 设点A的坐标为，点B的坐标为，由可得点C的坐标为，根据点B在直线上，可得A、B的横坐标之间的关系， 最后根据三角形面积公式即可求解． 解：设点A的坐标为，点B的坐标为， 点是轴上一点，且， 点C的坐标为， 设直线的解析式为，则， ， 直线的解析式为， ， ， （负值不合题意，舍去）， ， 故答案为：12． 【点睛】本题考查反比例函数，正比例函数，三角形面积等，解题的关键是求出A、B的横坐标之间的关系． 11．(1)， (2) （1）连接，根据等腰直角三角形的性质结合轴，可得，易证是等腰直角三角形，可得，进而得到，利用待定系数啊即可求出反比例函数解析式； （2）连接，由（1）知，求出直线的解析式为，联立，求出，由即可求解． （1）解：如图，连接， ∵三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点为的中点， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴， 解得： ∴反比例函数解析式为； 故答案为：，； （2）解：如图，连接， 由（1）知， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）； ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数交点问题，三角形的面积，解一元二次方程，综合应用以上知识点是解题的关键． 12．(1)反比例函数解析式为；C点坐标为 (2)16 本题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点问题： （1）把A点坐标代入一次函数可求得a的值，再代入反比例函数解析式可求得k的值，联立两函数解析式可求得C点的坐标； （2）求出一次函数与x轴的交点坐标，根据，利用三角形的面积公式即可求出的面积． （1）∵A点在一次函数图象上， ∴， ∴A点坐标为， 又∵A点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为； 联立两函数解析式可得， 解得，或， ∴C点坐标为； （2）设直线与x轴的交点为B， 对于，令，则， ∴点B的坐标为， ∴ ． 13．C 本题考查反比例函数与几何的综合应用，根据正方形的性质结合反比例函数的解析式，求出点坐标，设，根据两个图形的面积相等，求出点坐标，代入反比例函数解析式，求出的值即可． 解：∵正方形，反比例函数在第一象限的图象经过B、E两点， ∴， ∴， ∴， 设， ∵正方形和矩形的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：或（舍去）； 经检验是原方程的解； ∴． 故选C． 14．B 本题考查了反比例函数的综合题，矩形的性质和用待定系数法求反比例函数的解析式． 先求得对角线的交点坐标，再求得反比例函数的解析式，求出点的坐标，即可得出的值． 解：四边形为矩形， 对角线的交点坐标， 反比例函数的解析式为， 点是与的交点， ， ． 故选：B． 15．4 本题主要查了矩形的性质，反比例函数的图象和性质，解一元二次方程，利用数形结合思想解答是解题的关键． 根据矩形的性质可得轴，轴，再由点的横坐标为1，可得点的纵坐标为，点D的纵坐标为，点B的横坐标为，从而得到，然后根据矩形的面积为，即可求解． 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵轴， ∴轴，轴， ∵点的横坐标为1， ∴点D的横坐标为1， ∵点在直线上， ∴点的纵坐标为， ∴点B的纵坐标为， ∵反比例函数（，且）的图象经过点和点， ∴点D的纵坐标为，点B的横坐标为， ∴， ∵矩形的面积为， ∴， 解得：或4， ∵， ∴的值为4． 故答案为：4 16．（1）B（，），C（，），D（，）；（2）m=4，． 试题分析：（1）由矩形的性质即可得出结论； （2）根据平移的性质将矩形ABCD向右平移m个单位，得到A′（，），C（，），由点A′，C′在反比例函数（）的图象上，得到方程，即可求得结果． 试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=1，BC=AD=2，∵A（，），AD∥x轴，∴B（，），C（，），D（，）； （2）∵将矩形ABCD向右平移m个单位，∴A′（，），C（，），∵点A′，C′在反比例函数（）的图象上，∴，解得：m=4，∴A′（1，），∴，∴矩形ABCD的平移距离m=4，反比例函数的解析式为：． 考点：1．反比例函数综合题；2．坐标与图形变化-平移． 17．(1) (2) 本题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）由反比例函数的性质可得，再根据反比例函数图象和矩形有交点，即，，进而得到当，时，k有最大值； （2）先根据题意得到，，连接，，由，得到，，求得，，，，然后利用割补法即可求得答案． （1）解：∵反比例函数（）， ∴． ∵反比例函数（）的图象和矩形OABC有交点，其中，， ∴，， ∴当，时，k有最大值． （2）∵，，且四边形OABC为矩形， ∴， ∴，． ∵反比例函数的图象与AB，BC分别交于点D，E， ∴，． ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $