27.1反比例函数的概念（分层作业，8大知识点）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 练习以反比例函数概念为核心，通过基础辨析、情境应用、参数求解到规律探索的三层递进设计，覆盖从概念理解到综合应用的完整巩固路径，适配新授课“基础夯实+能力适度提升”需求，培养抽象能力、模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|反比例函数定义、简单数量关系描述|以选择填空为主，如定义判断、行程问题，强化概念辨析与直接应用| |提升层|参数求解、点坐标规律探索|结合几何情境，如矩形动点问题，渗透数形结合思想，提升推理能力| |拓展层|跨知识点综合应用|设置新定义与规律探究，如“对换函数”判断，发展创新意识与数学表达能力|

27.1 反比例函数的概念 知识点一 反比例函数的定义 1．（25-26九年级上·山东滨州·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东河源·阶段检测）下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，是的反比例函数的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（25-26九年级上·宁夏银川·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是的反比例函数的有 ________ ．（填序号） 知识点二 用反比例函数描述数量关系 1．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知菱形的面积为5，菱形的两条对角线的长分别为，，则关于的表达式是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产x只（x取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 5．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在矩形中，，，为边上一动点，于点，，则关于的函数解析式为_________（写出自变量的取值范围）． 知识点三 判断反比例函数是否经过点 1．（25-26九年级下·重庆璧山·自主招生）反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·云南红河·一模）反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·内蒙古赤峰·一模）反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）下列各点中，在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 知识点四 求反比例函数值 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）函数，当时，函数值y为（   ） A．3 B． C．12 D． 2．（25-26九年级下·重庆·阶段检测）已知点在反比例函数的图象上，则m的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2026·云南楚雄·一模）双曲线经过点，则的值为（    ） A． B．10 C． D．5 4．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则m的值为（   ） A．4 B． C． D．2 知识点五 由反比例函数值求自变量 1．（2026·安徽安庆·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 2．（2026·江苏无锡·一模）已知点在反比例函数的图像上，则_______． 3．（2026·重庆·一模）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·安徽六安·期末）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B．3 C． D．48 知识点一 根据反比例函数的定义求参数 1．（25-26九年级下·广东潮州·阶段检测）若是反比例函数，则m的值为_______． 2．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）若函数是反比例函数，则m的值为_____． 3．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）若函数是反比例函数，则的值为__________． 知识点二 反比例函数过定点求参数 1．（25-26九年级下·湖南株洲·阶段检测）反比例函数经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东湛江·期末）已知反比例函数的图象过点，则k的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 3．（25-26九年级下·重庆·阶段检测）若反比例函数的图象经过，两点，则a的值为（    ） A． B．3 C．2 D． 4．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）已知点在反比例函数（为常数）的图象上，则的值为（   ） A．7 B．9 C．10 D．15 知识点三 反比例函数中点的坐标规律探索 1．（2026·广东汕头·一模）如图，取直线上一点，①过点作x轴的垂线，交于点；②过点作y轴的垂线，交于点；如此循环进行，按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山东聊城·一模）两个反比例函数，在第一象限内的图象如图所示，点、、在反比例函数的图象上，它们的横坐标分别是，，，纵坐标分别是1，3，5…，共2026个连续奇数，过点、、分别作y轴的平行线，与的图象的交点依次为，，，的长为________． 1．（2026·浙江温州·二模）已知反比例函数的图象经过点，，且，则下列选项正确的是（   ） A．当时， B．当， C．当时， D．当时， 2．（2026·江苏南通·一模）定义：若实数满足（为常数，且），则在平面直角坐标系中称点为点的“级变点”．例如：为的“3级变点”． （1）若点的“级变点”的坐标为，则的值为___； （2）若点是点的“级变点”，且点在函数的图象上，则线段的最小值为_____． 3．（2026·山东临沂·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们约定：不重合的两点与为一对对换点；若某函数图象上至少存在一对对换点，则称该函数为对换函数．某数学兴趣小组围绕该定义，进行了相关探究后，得出下列结论： ①反比例函数是对换函数；②一次函数是对换函数，且有无数对对换点；③若关于的一次函数是对换函数，则的值是1． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 4．（25-26九年级下·山东烟台·期中）若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：①函数与函数不具有“对偶关系”；②函数与函数的“对偶值”为；③函数与函数具有“对偶关系”；④若1是函数与函数的“对偶值”，则．其中正确的是（   ） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.1 反比例函数的概念 知识点一 反比例函数的定义 1．（25-26九年级上·山东滨州·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般形式为（为常数，且），只需根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：是正比例函数， 不符合反比例函数定义， 故A不合题意． 符合（）的形式， 是反比例函数， 故B符合题意． 的分母是，不是单独的， 不符合反比例函数定义， 故C不合题意． 是二次函数， 不符合反比例函数定义， 故D不合题意． 2．（25-26九年级上·广东河源·阶段检测）下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数的定义为形如（为常数，）的函数， ∴对各选项分析如下： A、是正比例函数，不符合反比例函数定义，不合题意； B、符合反比例函数的形式，是反比例函数，符合题意； C、分母不是单独的，不符合反比例函数定义，不合题意； D、不符合反比例函数定义，不合题意； ∴答案选B． 3．（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，是的反比例函数的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，即形如（为常数，）或（为常数，）的函数为反比例函数，逐一分析各函数即可． 【详解】解：∵反比例函数的定义为（为常数，）或可变形为该形式， ①，符合（），是反比例函数； ②，是正比例函数，不是反比例函数； ③，符合（），是反比例函数； ④可变形为，符合（），是反比例函数； ⑤，分母为不是，不符合反比例函数定义，不是反比例函数； ⑥，不是的形式，不是反比例函数； ∴是反比例函数的有①③④，共3个． 故选：B． 4．（25-26九年级上·宁夏银川·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是的反比例函数的有 ________ ．（填序号） 【答案】②④⑥ 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，即形如（为常数，），或可转化为（）、（）形式的函数为反比例函数，逐一分析各函数即可． 【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数， ②可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ③中自变量的次数为，不符合反比例函数定义，不是反比例函数， ④可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ⑤是二次函数，不是反比例函数， ⑥可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ⑦是正比例函数，不是反比例函数， 综上所述，反比例函数有②④⑥． 故答案为：②④⑥． 知识点二 用反比例函数描述数量关系 1．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握路程、速度、时间的数量关系是解题的关键． 根据去程的速度和时间求出路程，返回时根据路程不变，速度与时间成反比例关系列函数关系式即可． 【详解】解：∵ 去程速度 ，时间 ， ∴ 路程 ， 返回时，路程不变，且匀速返回， ∴ ， ∴ ， 即函数关系式为 ． 故选：A． 2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知菱形的面积为5，菱形的两条对角线的长分别为，，则关于的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，根据面积公式列出方程，解出y关于x的关系式解答即可． 【详解】解：∵ 菱形的面积 ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 3．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产x只（x取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数在实际问题中的应用，熟练掌握“总成本、单只成本与数量之间的等量关系”是解题的关键． 根据“总成本每只成本数量”的等量关系，列出与的关系式． 【详解】解：∵总成本为5000元，每只成本为元，数量为只， ∴， ∴， 故选：C． 4．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 【答案】 【分析】本题考查了列函数表达式．根据“阻力阻力臂动力动力臂”即可得到函数表达式． 【详解】解：∵阻力阻力臂动力动力臂，阻力和阻力臂分别是和， ∴， 即． 故答案为：． 5．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在矩形中，，，为边上一动点，于点，，则关于的函数解析式为_________（写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】连接，利用的两种表示方法来推导函数解析式，再确定自变量的取值范围． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 即， ∴． 当点与点重合时，，此时最短； 当点与点重合时，，此时最长； ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题关键是作辅助线，找到等量关系． 知识点三 判断反比例函数是否经过点 1．（25-26九年级下·重庆璧山·自主招生）反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于反比例函数，图象上任意点的横纵坐标乘积等于，只需计算各选项点的横纵坐标乘积，判断是否等于本题的即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴函数图象上的点满足， 验证选项： 选项A：，不满足条件； 选项B：，满足条件； 选项C：，不满足条件； 选项D：，不满足条件． 2．（2026·云南红河·一模）反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，只需将各选项点的横坐标代入解析式，求出对应纵坐标，和选项中给出的纵坐标对比即可判断点是否在函数图象上． 【详解】解：∵反比例函数解析式为 当时，，∴点不在函数图象上，A不符合要求； 当时，，∴点不在函数图象上，B不符合要求； 当时，，和选项纵坐标一致，∴点在函数图象上，C符合要求； 当时，，∴点不在函数图象上，D不符合要求． 3．（2026·内蒙古赤峰·一模）反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质，反比例函数图象上的点满足横纵坐标的乘积等于常数，本题中，只需计算各选项的点的横纵坐标乘积，判断结果是否等于即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴函数图象上的点满足， ∵，，，， ∴反比例函数的图象一定经过的点是． 4．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）下列各点中，在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用反比例函数的性质，反比例函数图象上的点，横纵坐标的乘积恒等于k，据此计算乘积即可判断. 【详解】解：∵ ∴在反比例函数图象上的是. 知识点四 求反比例函数值 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）函数，当时，函数值y为（   ） A．3 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】本题考查已知函数解析式求函数值，将给定的自变量的值代入解析式计算即可． 【详解】∵ 函数解析式为， ∴ 将代入解析式得， 因此函数值为3， 故选：A． 2．（25-26九年级下·重庆·阶段检测）已知点在反比例函数的图象上，则m的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入，即可求得m的值． 【详解】点在反比例函数的图象上， ∴． 3．（2026·云南楚雄·一模）双曲线经过点，则的值为（    ） A． B．10 C． D．5 【答案】C 【分析】将代入双曲线求解即可． 【详解】解：∵双曲线经过点， ∴， 解得． 4．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则m的值为（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】将点的坐标代入解析式即可求出m的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴． 知识点五 由反比例函数值求自变量 1．（2026·安徽安庆·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点坐标代入解析式即可求出的值 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上 ∴， 解得 2．（2026·江苏无锡·一模）已知点在反比例函数的图像上，则_______． 【答案】 【分析】若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 3．（2026·重庆·一模）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点坐标代入解析式即可计算出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ，解得． 4．（25-26九年级上·安徽六安·期末）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B．3 C． D．48 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，利用“图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点的坐标代入反比例函数解析式即可求解k的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将，代入，得， ， 解得， 故选：B． 知识点一 根据反比例函数的定义求参数 1．（25-26九年级下·广东潮州·阶段检测）若是反比例函数，则m的值为_______． 【答案】3 【分析】反比例函数的一般形式为 (, 为常数)，可得分母中的次数为，据此列方程计算即可得到的值． 【详解】解：根据反比例函数的定义，可得， 解得． 2．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）若函数是反比例函数，则m的值为_____． 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义得到x的指数和系数需要满足的条件，列方程求解即可. 【详解】解：∵ 函数 是反比例函数， 根据反比例函数的定义，形如（为常数，）的函数叫做反比例函数，可变形为， 因此可得， 解一元二次方程，移项得，开方得或， 验证，，，均满足系数不为0的条件， 故m的值为或． 3．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）若函数是反比例函数，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如（其中k为常数，且）的函数叫做反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得， 故答案为：． 知识点二 反比例函数过定点求参数 1．（25-26九年级下·湖南株洲·阶段检测）反比例函数经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式的性质，将已知点坐标代入解析式即可求出k的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上 ∴将代入得 解得． 2．（25-26九年级上·广东湛江·期末）已知反比例函数的图象过点，则k的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的基本性质，已知反比例函数图象上的点，将点的坐标代入函数解析式即可求出参数k的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴将，代入中， 得， ∴， 故选：D． 3．（25-26九年级下·重庆·阶段检测）若反比例函数的图象经过，两点，则a的值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于常数k，先求出k的值，再代入B点坐标计算得到a的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴； ∵点在该反比例函数图象上， ∴， 解得． 4．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）已知点在反比例函数（为常数）的图象上，则的值为（   ） A．7 B．9 C．10 D．15 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征． 利用“图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点的坐标代入函数式求解即可 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将，代入解析式得：， 解得：． 故选：A． 知识点三 反比例函数中点的坐标规律探索 1．（2026·广东汕头·一模）如图，取直线上一点，①过点作x轴的垂线，交于点；②过点作y轴的垂线，交于点；如此循环进行，按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可以写出点、、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为， ……， ∴四个点一个循环， ∴， ∴点的坐标与点的坐标相同，即． 2．（2026·山东聊城·一模）两个反比例函数，在第一象限内的图象如图所示，点、、在反比例函数的图象上，它们的横坐标分别是，，，纵坐标分别是1，3，5…，共2026个连续奇数，过点、、分别作y轴的平行线，与的图象的交点依次为，，，的长为________． 【答案】 【分析】根据题意先总结出的纵坐标为，根据，的关系，即可求解． 【详解】∵的纵坐标分别是1，3，5，是连续奇数， ∴的纵坐标为， ∴的纵坐标为4051， ∵在反比例函数图象上， ∴的横坐标为， ∴的横坐标为， ∵在反比例函数图象上， ∴的纵坐标为， ∴的纵坐标为， ∴． 1．（2026·浙江温州·二模）已知反比例函数的图象经过点，，且，则下列选项正确的是（   ） A．当时， B．当， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题先利用反比例函数图象上点的坐标特征，将，用表示，再结合得到 ，分别计算和的符号，结合的取值范围判断选项正误． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，，即，， 又∵， ∴ ， ∴， ∴，， 分情况讨论： 当时，，， ∴ ，得 ， ，故A正确，C错误； 当时，，， ∴ ，得 ， ，故B，D错误． 2．（2026·江苏南通·一模）定义：若实数满足（为常数，且），则在平面直角坐标系中称点为点的“级变点”．例如：为的“3级变点”． （1）若点的“级变点”的坐标为，则的值为___； （2）若点是点的“级变点”，且点在函数的图象上，则线段的最小值为_____． 【答案】 【分析】（1）根据“级变点”的定义列出方程，整理得，即可解答； （2）设点P的坐标为，则点Q的坐标为，根据点Q在反比例函数图象上，代入后推出，再根据两点间距离公式和配方法解出最值即可． 【详解】解：（1）∵点的“级变点”的坐标为， ∴，， ∵为常数，且， ∴将两边乘以k，得， ∴， ∴； （2）设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∵点在函数的图象上， ∴， 整理得， 设，则， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 则， ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为． 3．（2026·山东临沂·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们约定：不重合的两点与为一对对换点；若某函数图象上至少存在一对对换点，则称该函数为对换函数．某数学兴趣小组围绕该定义，进行了相关探究后，得出下列结论： ①反比例函数是对换函数；②一次函数是对换函数，且有无数对对换点；③若关于的一次函数是对换函数，则的值是1． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】A 【分析】根据对换点和对换函数的定义，逐个验证三个结论是否成立，用到的思路是：若和都是函数图象上的点，代入函数解析式推导，判断是否存在不重合的解即可． 【详解】解：根据定义，若函数为对换函数，则存在不重合的两点，都在函数图象上， ①对于反比例函数： 在函数上， ∴ 将代入函数，右边左边，满足等式 且若重合，则，得，无实数解，因此所有点对都不重合，存在对换点，故①正确； ②对于一次函数： 在函数上， 将代入函数，得右边左边，等式恒成立， 仅当，即得时，两点重合，其余无数个点对都不重合，因此有无数对对换点，故②正确； ③对于一次函数： ，都在函数上， ∴ 将第一个式子代入第二个式子整理得： 若，则，，得，此时，两点重合，不符合要求； 若，等式对任意成立，，且仅当，即，即时两点重合，其余点对都不重合， 故存在无数对不重合的对换点，符合要求，因此，故③正确； 综上，①②③都正确． 4．（25-26九年级下·山东烟台·期中）若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：①函数与函数不具有“对偶关系”；②函数与函数的“对偶值”为；③函数与函数具有“对偶关系”；④若1是函数与函数的“对偶值”，则．其中正确的是（   ） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据“对偶关系”的定义，若在，在，、关于轴对称，则横坐标为时，横坐标为，二者纵坐标相等，据此逐一验证每个结论即可，用到一次函数、反比例函数的点坐标特征和一元二次方程根的判别知识。 【详解】解：根据定义，设，则关于轴的对称点为，若两函数具有“对偶关系”，则在图象上，满足，纵坐标为“对偶值”， ①对于，，代入得，， 令，解得， 存在实数解，因此两函数具有“对偶关系”，故①错误； ②由①得，对偶值为，故②正确； ③对于，，代入得，， 令，整理得， ， 方程有实根，存在满足条件的点， 因此两函数具有“对偶关系”，故③正确； ④是“对偶值”， 纵坐标为， 在上，令，得，即， 与关于轴对称， ，将代入得，解得，故④正确； 综上，②③④正确. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $