3.3.2抛物线的简单几何性质常用六种题型（基础卷）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.2 抛物线的简单几何性质常用六种题型（基础卷） 目　录 题型一　抛物线的定义与标准方程 题型二　焦半径与距离最值 题型三　焦点弦问题 题型四　中点弦与直线位置关系 题型五　抛物线与圆、椭圆、双曲线综合 题型六　轨迹问题与实际应用 题型一　抛物线的定义与标准方程 【解题技巧】抛物线定义是解题的钥匙：平面内与定点F和定直线l距离相等的点的轨迹（l不过F）。看到到焦点距离立即转化为到准线距离，许多最值与轨迹问题靠这一转化化斜为直。求标准方程先定开口方向，用待定系数法设y²=2px或x²=2py，p的几何意义是焦点到准线的距离，p/2才是焦点到顶点的距离。已知准线或焦点反求参数时，先由位置定开口方向，再由距离列方程，含参数时讨论符号避免漏解。 1．抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)设直线与交于两点. ①当时，求的面积； ②过点分别作抛物线的切线交于点，证明：点在定直线上. 3．已知点，，中恰有两个点在抛物线上． (1)求的标准方程 (2)若点，在上，且，证明：直线过定点． 题型二　焦半径与距离最值 【解题技巧】焦半径的核心转化：抛物线y²=2px上点P到焦点的距离等于P的横坐标加p/2。求|PA|+|PF|型最值，把|PF|换成P到准线的距离，化为垂线段最短；与圆结合时，用圆心到焦点的距离减去半径，再叠加焦半径转化逐段拆解。动点斜率、面积的最值，先把目标量表示为参数函数，再利用定义与几何意义缩小范围。涉及周长最小值时，同样用定义把两段折线拉直处理，注意验证取等条件。 1．已知抛物线的焦点为为上一点，，当的周长最小时，的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 2．已知抛物线与椭圆有一个公共的焦点为上的任意一点，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 3．抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点到轴的距离是（    ） A． B． C．1 D． 4．已知点是抛物线上的动点，焦点为F，点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 5．已知抛物线C：，焦点为F，点到在抛物线上，则（    ） A．3 B．2 C． D． 6．从抛物线上一点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，若是正三角形，则（    ） A． B．1 C． D．2 7．已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D．6 8．已知直线与抛物线：交于，两点，为抛物线上一动点，与线段交于点，且，则面积的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 9．已知抛物线的焦点为F，是抛物线C上的点，且 (1)求抛物线C的方程； (2)直线交抛物线C于M，N两点，求. 题型三　焦点弦问题 【解题技巧】过焦点的弦性质丰富：通径最短为2p；焦点弦长|AB|=x1+x2+p；两端的焦半径之和等于弦长；以AB为直径的圆与准线相切；x1x2=p²/4为定值，y1y2=-p²。焦点弦与准线交点问题常结合相似三角形或梯形中位线处理，比例关系优先用焦半径转化。遇到|AF|与|BF|的比值，设直线参数或联立后用韦达定理整体代换。垂直弦的和与积有固定结论，直接套用可大幅减少计算量。 1．直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点､，若，则弦的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则（    ） A．9 B．7 C．6 D．5 3．设抛物线，直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于两点，若S为的准线上一点，的面积为，则（  ） A． B． C． D． 4．已知等边三角形的一个顶点是抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（   ） A．或 B． C．或 D． 5．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，且，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 6．如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是的中点，且，则线段的长为（    ） A．5 B．6 C． D． 7．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线分别交于A、B两点，与'轴的正半轴交于点，与准线交于点，且，则（   ） A． B．2 C． D．3 8．直线l过抛物线（p>0）的焦点F，且交抛物线于P，Q两点，由P，Q分别向准线引垂线PR，QS，垂足分别为R，S，如果，，M为RS的中点，则（    ） A． B． C． D．2 9．过抛物线的焦点的直线交于，两点，若，则（    ） A．3 B．2 C． D．1 二、解答题 10．已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 11．已知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与该抛物线交于，两点，且． (1)求该抛物线的方程、焦点坐标、准线方程； (2)求所在的直线方程． 题型四　中点弦与直线位置关系 【解题技巧】中点弦问题优先点差法：把A、B坐标代入方程相减得斜率与中点坐标的关系，由中点直接求斜率，再用判别式确认直线存在。判断直线与抛物线公共点个数看消元后二次方程的判别式，注意二次项系数为零的退化情形，此时直线与对称轴平行恰有一个交点。弦长公式|AB|=√(1+k²)·√[(x1+x2)²-4x1x2]，配合韦达定理整体代换，避免求出交点坐标再算，既快又稳。 1．已知直线与抛物线交于两点，则等于（　　） A． B．3 C．5 D．4 2．已知过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，且为线段的中点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 3．已知直线与抛物线，则“与只有一个公共点”是“与相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知直线与抛物线相交于两点，若直线OA与OB的斜率之和为4，O为坐标原点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型五　抛物线与圆、椭圆、双曲线综合 【解题技巧】抛物线与椭圆、双曲线组合的综合题，先抓公共元素：焦点重合、顶点重合或公共点，由此建立参数关系求出各曲线方程。与圆结合时，圆心常在轴上，利用圆的对称性与焦半径转化把折线和差化为圆心距处理。椭圆双曲线的定义可与抛物线定义联用：公共点同时满足两个定义时，距离关系互相转化列方程。第二问设直线联立用韦达定理表示目标量，判别式与点在曲线上的限制最易失分。 1．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为                                  A．8 B．6 C．4 D．2 2．已知有公共焦点的椭圆（）与抛物线（）交于点． (1)求椭圆与抛物线的标准方程； (2)过与抛物线相切的直线交椭圆于另一点，求的面积． 题型六　轨迹问题与实际应用 【解题技巧】求轨迹方程先判断曲线类型：到定点与定直线距离相等为抛物线，距离差为定值为双曲线一支，动圆与定圆、定直线相切转化为圆心距关系。应用题（拱桥、隧道、天线）建模四步：建系、设标准方程、代入已知点求p、回代求解。拱桥问题以拱顶为原点设x²=-2py，天线与探照灯利用反射性质：平行于轴的入射线经反射后过焦点。最后检验轨迹是否需要除去特殊点，写明范围。 1．在平面直角坐标系中，已知圆心为C的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E． (1)求E的方程，并说明E为何种曲线； (2)已知及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为，，且，求证：直线BD经过定点． 《3.3.2抛物线的简单几何性质常用六种题型》参考答案 答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 题型一　抛物线的定义与标准方程 1．C 【详解】由题得，所以抛物线的焦点坐标为. 故选：C 2．(1) (2)①； ②联立方程组，整理得， 设，，则且，， 不妨设在第一象限，则在曲线上，则有， 则在处的切线方程为， 又由，可得在处的切线方程为， 同理可得，点在曲线上，则有， 则在处的切线方程为，且； 所以在处的切线方程为， 联立方程组，解得，所以点在定直线上. 【详解】（1）解：由题意，可设抛物线的标准方程为.， 因为点在抛物线上，可得，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）解：①当时，直线， 联立方程组，整理得， 方程的判别式， 设，，则，， 所以， 又由到直线的距离， 所以的面积； ②略 3．(1)； (2)由题意可知，直线的斜率一定存在，则设直线的方程为， 由消得：， 由韦达定理得， 所以直线，显然恒过定点． 【详解】（1）因为点，关于轴对称，抛物线也关于轴对称， 所以点，在上， 将点代入抛物线得，，即， 所以抛物线的方程为：； （2）略 题型二　焦半径与距离最值 1．A 【详解】如图，， 作垂直于的准线，垂足为，由抛物线的定义知， 所以的周长为，要使周长最小， 则必须使得三点共线，即点在过垂直于的直线上（图中点处）， 将代入中，求得点，所以， 在边上的高为1， 故其面积为. 故选：A. 2．B 【详解】因为椭圆方程为：，因此双曲线焦点为. 因为抛物线与双曲线有一个公共的焦点， 所以，所以，， 设，则， 当时， ， 当且仅当时取等号； 当时，. 故选：B. 3．D 【详解】抛物线的焦点，准线， 设点，根据点到焦点的距离为1得，，解得， 则点到轴的距离是， 故选：D 4．C 【详解】∵，则， ∴焦点，准线l方程，点在抛物线上方， 设过A作l的垂线，垂足为E，∴由抛物线的定义知，， 如图所示， ∴，当且仅当B、A、E三点共线时取等号， 当B、A、E三点共线时，，故的最小值为， 故选：C. 5．D 【详解】因为点在抛物线上，，解得， 利用抛物线的定义知 故选：D 6．D 【详解】设，，，因为是正三角形，所以，因为， 所以即， 又因为，解得或（舍），所以. 故选：D.    7．B 【详解】由消去得， 因为，所以方程无解， 即直线与抛物线无交点； 过点作于点，于点，记抛物线的焦点为，连接， 因为点到直线的距离为,为抛物线的准线，根据抛物的定义可得，， 则到直线和的距离之和为， 若，，三点不共线，则有， 当，，三点共线，且位于之间时，， 则， 又， 所以，即所求距离和的最小值为. 故选：. 8．A 【详解】由得， 设，则， ， 到直线的距离， ∴， ∵，∴， ∴当时，取最小值4． 故选：A． 9．(1) (2) 【详解】（1）对于抛物线，其准线方程为. 已知是抛物线C上的点，且， 根据抛物线的定义，可得，解得， 则抛物线C的方程为. （2）联立，解得或， 则，， 所以.    题型三　焦点弦问题 1．D 【详解】抛物线的准线方程为， 因为直线过抛物线的焦点， 且与该抛物线交于不同的两点、， 则. 故选：D. 2．A 【详解】由题设，故直线，则， 联立抛物线得：，则，得或， 由过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且，故，则， 所以. 故选：A 3．C 【详解】因为直线过焦点且轴，所以的方程为， 与抛物线方程联立可得，解得， 不妨设，，可得 又因为点S在准线上，所以边上的高的长为， 所以的面积为，解得. 故选：C. 4．A 【详解】由题可知：抛物线的焦点为，准线方程为， 假设等边三角形的边长为，如图： 由于，根据抛物线关于轴对称可知：与也关于轴对称，且满足垂直于轴. 设，所以，即， 又或， 得：或， 解得：或. 故选：A 5．D 【详解】由题知，抛物线方程为，设的直线方程为，代入抛物线方程，得， 设，，则，. 因为所以或故，即的斜率为. 故选：D 6．C 【详解】由题意是的中点，所以，， 由图知，所以， 又，所以， 所以， 而，所以直线， 联立抛物线方程得，，化简整理得， 所以，. 故选：C. 7．B 【详解】由题及图，设准线与x轴交点为D，过A，B向准线做垂线， 与y轴，准线分别交于G，C，H ，E. 则，设， 由抛物线定于可得. 因，则. 又O为DF中点，准线与y轴平行，则S为FT中点，. 又，结合抛物线定义可得： ， 则. 故选：B 8．A 【详解】如图所示，由抛物线的定义可得，， ，，由题意可得， ，， ，∴， 过点P作PN⊥QS交于点N，则， 在中，，∴． 故选：A． 9．C 【详解】方法一：如图，分别过点，作准线的垂线，，垂足分别为，，过点作于点，交轴于点．由已知条件及抛物线的定义，得，，所以．在中，因为，，所以，所以，所以焦点到准线的距离为，即． 方法二：依题意，直线不与轴垂直，设直线的方程为，将其代入抛物线的方程，得．设，，则．因为，所以，即，，所以，解得． 故选：C. 10．(1)； (2)； (3)证明：因为点在上，所以或（舍去），所以， 由（2）得，， 所以． 因为，， 所以，即为定值． 【详解】（1）根据题意可得，解得．所以的方程为． （2）设，，直线的方程为． 由消去得， 所以即，，， 所以，解得， 所以直线的方程为； （3）略 11．(1)抛物线的方程为，焦点，准线方程为：； (2)或 【详解】（1） 因点在抛物线方程上，则，所以， 所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为：； （2）显然，直线不垂直y轴，设直线方程为：， 由消去x得：， 设，则有， 因为， 则， 解得，即直线AB：， 所以所在的直线方程：或. 题型四　中点弦与直线位置关系 1．C 【详解】显然抛物线焦点坐标为，， 则直线过焦点， 将与抛物线联立得，， 设，则， 由焦点弦长公式可得：. 故选：C 2．A 【详解】设，，则， 由：作差得， 得. 故选：A 3．B 【详解】当“与只有一个公共点”时，如图，直线与抛物线的对称轴平行，与抛物线只有一个公共点，但是此时与不相切.所以“与只有一个公共点”是“与相切”的不充分条件； 当“与相切”时，与只有一个公共点，所以“与只有一个公共点”是“与相切”的必要条件. 综上，“与只有一个公共点”是“与相切”的必要不充分条件. 故选：B 4．A 【详解】法一：由，其中，得， 整理得，设， 因为直线OA与OB的斜率之和为4，由韦达定理，，解得. 法二：设A，B，且， 因为直线OA与OB的斜率之和为4， 所以， 可得，即（*）， 联立且，消去，得， 由韦达定理，， 代入（*），可得，解得. 故选：A 题型五　抛物线与圆、椭圆、双曲线综合 1．C 【详解】试题分析：如图，设抛物线方程为，交轴于点，则，即点纵坐标为，则点横坐标为，即，由勾股定理知，，即，解得，即的焦点到准线的距离为4，故选C. 考点：抛物线的性质.    2．(1) 抛物线标准方程为，椭圆标准方程为 (2) 的面积为 【详解】（1）已知在抛物线上， 代入可得，解得， 故抛物线标准方程为，焦点为， 因为椭圆与抛物线共焦点，所以椭圆半焦距，即， 又在椭圆上，代入可得 ， 化简可得，联立，解得， 所以椭圆标准方程为. （2） ， 设过点与抛物线相切的切线斜率为，则切线方程为， 即， 代入抛物线方程，可得 ， 化简可得 ， ，解得， 因此切线方程为，即， 切线方程与椭圆方程联立可得，消得， 化简可得 ，解得，， 将代入可得，即， 令切线方程，则， 所以. 题型六　轨迹问题与实际应用 1．(1)E的方程为，曲线E是抛物线. (2) 设直线：， 联立，消去并整理得， ，即， 设，，则，， 因为，， 所以， 所以， 将，代入得，即， 所以直线：，即， 所以直线BD经过定点.    【详解】（1）设圆心，半径为， 因为圆心为C的动圆过点，所以， 因为圆心为C的动圆在轴上截得的弦长为4，所以， 所以，即，所以曲线E是抛物线. （2）略 第 页 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $