3.3.2抛物线的简单几何性质常用六种题型讲义（提高）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.2 抛物线的简单几何性质常用六种题型（提高卷） 目　录 题型一　抛物线的定义与标准方程 题型二　焦半径与距离最值 题型三　焦点弦问题 题型四　中点弦与直线位置关系 题型五　抛物线与圆、椭圆、双曲线综合 题型六　轨迹问题与实际应用 题型一　抛物线的定义与标准方程 【解题技巧】抛物线定义是解题的钥匙：平面内与定点F和定直线l距离相等的点的轨迹（l不过F）。看到到焦点距离立即转化为到准线距离，许多最值与轨迹问题靠这一转化化斜为直。求标准方程先定开口方向，用待定系数法设y²=2px或x²=2py，p的几何意义是焦点到准线的距离，p/2才是焦点到顶点的距离。已知准线或焦点反求参数时，先由位置定开口方向，再由距离列方程，含参数时讨论符号避免漏解。 1．曲线经过的一点是（   ） A． B． C． D． 2．对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 3．已知拋物线的顶点在原点，对称轴为​轴，且经过点​. (1)求抛物线方程; (2)若直线 ​与抛物线交于​两点，且满足​，求证: 直线​恒过定点，并求出定点坐标. 题型二　焦半径与距离最值 【解题技巧】焦半径的核心转化：抛物线y²=2px上点P到焦点的距离等于P的横坐标加p/2。求|PA|+|PF|型最值，把|PF|换成P到准线的距离，化为垂线段最短；与圆结合时，用圆心到焦点的距离减去半径，再叠加焦半径转化逐段拆解。动点斜率、面积的最值，先把目标量表示为参数函数，再利用定义与几何意义缩小范围。涉及周长最小值时，同样用定义把两段折线拉直处理，注意验证取等条件。 1．已知点是抛物线上的动点，则直线的斜率的最大值是（    ） A． B． C．1 D． 2．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点， 若， 则 (为坐标原点)的面积是（    ） A． B．1 C．2 D．4 3．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 A．2 B．3 C． D． 4．已知抛物线C：，点M在C上，直线l：与x轴、y轴分别交于A，B两点，若面积的最小值为，则（    ） A．44 B．4 C．4或44 D．1或4 5．已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．已知抛物线上一点与焦点的距离为4，点到轴的距离为. (1)求的方程； (2)点为的准线上一动点，直线（为坐标原点）与交于另一点，过点作轴的垂线与交于点.若，求的面积. 7．已知抛物线（）过点，其焦点为F，若. (1)求m的值以及抛物线C的方程； (2)过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，C与B，D四点，求四边形ABCD面积的最小值. 8．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线C的方程； (2)已知过点的直线交抛物线C于两点，的面积为，求以线段为直径的圆的方程． 题型三　焦点弦问题 【解题技巧】过焦点的弦性质丰富：通径最短为2p；焦点弦长|AB|=x1+x2+p；两端的焦半径之和等于弦长；以AB为直径的圆与准线相切；x1x2=p²/4为定值，y1y2=-p²。焦点弦与准线交点问题常结合相似三角形或梯形中位线处理，比例关系优先用焦半径转化。遇到|AF|与|BF|的比值，设直线参数或联立后用韦达定理整体代换。垂直弦的和与积有固定结论，直接套用可大幅减少计算量。 1．斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（    ） A．2 B． C．1 D． 2．抛物线上有两个点，焦点，已知，则线段的中点到轴的距离是（    ） A．1 B． C．2 D． 3．如图所示，过抛物线的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若，且，则拋物线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．如图，过拋物线的焦点的直线与拋物线交于两点，与其准线交于点（点位于之间）且于点且，则等于（    ） A． B． C． D． 5．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，则 A． B． C． D． 6．抛物线，直线过抛物线焦点且与抛物线交于两点，，则中点到轴的距离为（  ） A．3 B． C． D．4 7．设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为 A． B． C． D． 8．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，与交于两点、，，为的准线上的一点，则的面积为（    ） A．18 B．24 C．36 D．48 9．设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 10．已知是抛物线的焦点，过的直线与交于两点，则的最小值为（    ） A．36 B．24 C．18 D．9 11．已知抛物线的方程为，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，（    ） A． B．3 C． D．2 12．设抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A、B两点. (1)求F的坐标和抛物线C的准线方程； (2)设在抛物线C的准线上，若，求的面积. 13．已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于两点． (1)当直线的倾斜角为时，直线被圆所截得的弦长为，求的值； (2)若点在轴上，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，求直线的斜率． 题型四　中点弦与直线位置关系 【解题技巧】中点弦问题优先点差法：把A、B坐标代入方程相减得斜率与中点坐标的关系，由中点直接求斜率，再用判别式确认直线存在。判断直线与抛物线公共点个数看消元后二次方程的判别式，注意二次项系数为零的退化情形，此时直线与对称轴平行恰有一个交点。弦长公式|AB|=√(1+k²)·√[(x1+x2)²-4x1x2]，配合韦达定理整体代换，避免求出交点坐标再算，既快又稳。 1．直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（    ）． A． B． C． D． 2．已知直线与抛物线交于两点，若的中点在圆上，则（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线上的点到焦点的距离的最小值为，过点的直线与抛物线只有一个公共点，则焦点到直线的距离为（    ） A．或或 B．或或 C．或 D．或 题型五　抛物线与圆、椭圆、双曲线综合 【解题技巧】抛物线与椭圆、双曲线组合的综合题，先抓公共元素：焦点重合、顶点重合或公共点，由此建立参数关系求出各曲线方程。与圆结合时，圆心常在轴上，利用圆的对称性与焦半径转化把折线和差化为圆心距处理。椭圆双曲线的定义可与抛物线定义联用：公共点同时满足两个定义时，距离关系互相转化列方程。第二问设直线联立用韦达定理表示目标量，判别式与点在曲线上的限制最易失分。 1．已知点为抛物线的焦点，，点为抛物线上一动点，当最小时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的实轴长为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，抛物线的焦点与F重合，是与的一个公共点． (1)求与的标准方程； (2)过点A的直线l与交于D，E两点，若E是的中点，求直线l的斜率． 题型六　轨迹问题与实际应用 【解题技巧】求轨迹方程先判断曲线类型：到定点与定直线距离相等为抛物线，距离差为定值为双曲线一支，动圆与定圆、定直线相切转化为圆心距关系。应用题（拱桥、隧道、天线）建模四步：建系、设标准方程、代入已知点求p、回代求解。拱桥问题以拱顶为原点设x²=-2py，天线与探照灯利用反射性质：平行于轴的入射线经反射后过焦点。最后检验轨迹是否需要除去特殊点，写明范围。 1．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（    ） A． B． C．13 D．15 《3.3.2抛物线的简单几何性质常用六种题型》参考答案 答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 题型一　抛物线的定义与标准方程 1．A 【详解】，，，， 只有A满足． 故选：A． 2．A 【解析】将抛物线方程改写为标准方程形式，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标. 【详解】由题知，该抛物线的标准方程为， 则该抛物线开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 3．(1) (2)定点，证明如下： 如图， 设直线 ​的方程为:​， 联立方程 ​ 消 ​有：​ 由于交于​两点，设​， 则 ​，即​， ​， 由 ​. 则 ​. 解得: ​，验证满足条件. 所以直线 ​的方程为​， 即证直线​恒过定点. 【详解】（1）由题可知，拋物线的开口向右， 设拋物线方程为 ​， 因为经过点​， 所以 ​，解得​ 所以，抛物线的标准方程为: ​. （2）略 题型二　焦半径与距离最值 1．D 【详解】设直线的斜率为k，则直线的方程为， 由题意得直线与抛物线C有交点，联立方程， 得， 当时，，即； 当时，，解得且， 综上所述，k的最大值为． 故选：D． 2．A 【详解】由题可得，因为， 所以，， 所以为坐标原点)的面积是. 故选：A. 3．A 【详解】直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线．由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2．    4．B 【详解】不妨设，，由，， 知．设， 则， 故，故. 故选：B． 5．C 【详解】解：抛物线：的焦点为，准线的方程为， 如图，过作于， 由抛物线的定义可知，所以 则当三点共线时，最小为. 所以的最小值为. 故选：C. 6．(1) (2) 【详解】（1）设点，由，得， 由点到轴的距离为，得， 又，则，解得， 所以抛物线的方程为. （2）不妨设点在第二象限，可设，，则， 将其与联立，解得，代入，可得，即得， 又轴，且点在抛物线上，故，代入，可得，即得， 则，由， 又，可得， 故的面积为. 7．(1)， (2)8 【详解】（1）因抛物线的焦点为F，则 ∴，即抛物线C的方程： 又因为抛物线过点,代入抛物线方程，可得，解得. 综上：，抛物线C的方程：； （2）由题知，过F点的两条互相垂直的直线斜率均存在，且不等于零，如下图：      因此设直线：，直线： 设点、、、， 联立直线与抛物线C的方程，得， 则有，∴， 又∵， 同理，联立直线与抛物线C的方程，得， 则有，∴， 又∵，∴， 又∵， ∴ ， 当且仅当，即时，四边形ABCD面积的最小值是8. 8．(1) (2) 当时，以线段为直径的圆的方程为； 当时，以线段为直径的圆的方程为. 【详解】（1）依题意，点在抛物线上，， 且，所以． 所以抛物线方程为．    （2）抛物线方程为，焦点坐标为， 设直线的方程为， 由，消去并化简整理得， 则，则， 所以． 原点到直线的距离为， 所以，解得． 所以 当时，以线段为直径的圆的方程为； 当时，以线段为直径的圆的方程为. 题型三　焦点弦问题 1．B 【详解】由题意，抛物线的焦点为，， 故斜率为且过点的直线方程为， 设，， 联立，整理得， 根据韦达定理得， 所以. 故选：B. 2．B 【详解】由已知可得抛物线的准线方程为， 设点的坐标分别为和， 由抛物线的定义得，即， 线段中点的横坐标为， 故线段的中点到轴的距离是. 故选：. 3．B 【详解】如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点， 设，则由已知得：，由定义得：，故 在直角三角形中，， ，，从而得 ，，求得 所以抛物线的方程为． 故选：B 4．B 【详解】设于点，准线交轴于点G， 则，又， ∴，又于点且， ∴BE∥AD， ∴，即， ∴， ∴等于. 故选：B. 5．D 【详解】根据题意，过点且斜率为的直线方程为， 与抛物线方程联立，消元整理得：. 解得，又， 所以， 从而可以求得. 6．B 【详解】因为中点坐标为，， 所以中点到轴的距离为. 故选：B 7．D 【详解】由题意可知：直线AB的方程为，代入抛物线的方程可得： ，设A、B ，则所求三角形的面积为= ，故选D. 考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力. 8．C 【详解】 设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0）， 则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=- ∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点， 又∵AB⊥x轴 ∴|AB|=2p=12 ∴p=6 又∵点P在准线上 ∴DP=（+|-|）=p=6 ∴S△ABP=（DP✖AB）=×6×12=36 故选：C． 9．A 【详解】， 设， 则，所以，则， 故， 所以， 则直线的倾斜角， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 联立，消得， ， 设， 则， 所以.    故选：A. 10．A 【详解】由题意， 由题意可设直线的方程为，， 联立，消得， 恒成立， 则， ， 当时，取得最小值. 故选：A. 11．C 【详解】如下图所示：    易知，不妨设； 设直线的方程为，与联立消去得， , 由韦达定理可知； 由可得；联立解得，即； 根据焦点弦公式可得； 代入计算可得. 故选：C 12．(1)F的坐标为，准线方程为； (2) 【详解】（1）因为抛物线C的方程为， 所以抛物线C焦点F的坐标为，准线方程为； （2）    因为在抛物线C的准线上，所以，即， 此时，因为，所以，解得， 所以直线l的方程为， 设，， 联立，消去y并整理得， 由韦达定理得， 所以， 因为 则 13．(1)或 (2) 【详解】（1）因为直线的倾斜角为，所以． 由题意，抛物线的焦点坐标为． 所以直线的方程为． 因为圆的方程为，即， 所以圆心坐标为，半径为2． 所以圆心到直线的距离． 由垂径定理得，解得或． 故或． （2）由题意，直线斜率存在，如图所示．    设直线，， 由消去得， 故中点坐标为， 由得， 即，整理得．① 由得， 即， 代入整理得．② 由①②消去得， 即， 整理得． 所以，解得． 综上，直线的斜率． 题型四　中点弦与直线位置关系 1．B 【详解】联立，则， 设直线与抛物线交点， 则，故， 所以线段的中点坐标是. 故选：B. 2．C 【详解】设的中点为，联立得，则， 故，，所以， 代入，得，解得． 故选：C 3．B 【详解】由题意可知，即， 所以抛物线的方程为，焦点坐标为， 当直线斜率不存在时，，由抛物线的图形可知直线与抛物线只有一个公共点，此时焦点到直线的距离为； 当直线斜率为0时，直线与抛物线只有一个公共点，此时焦点到直线的距离为； 当直线斜率不为0是，设直线方程， 联立直线方程与抛物线方程可得：， 整理可得， 直线与抛物线只有一个交点，则， 解得，，此时直线方程为， 焦点到直线的距离为：， 综上可得，焦点到直线的距离为或或 . 故选：B. 题型五　抛物线与圆、椭圆、双曲线综合 1．D 【详解】由题意是抛物线的准线与轴的交点，过作，垂足为，则， ，由题意最小，是锐角，因此最小时，是抛物线的切线， 设直线方程为， 由，得（*），，， 由对称性，不妨取，方程（*）为，，， 所以， 故双曲线的实轴长为， 故选：D． 2．(1)的标准方程为，的标准方程为． (2)． 【详解】（1）因为，所以， 解得，所以的标准方程为． 因为抛物线的焦点与F重合，所以，． 又，解得， 所以的标准方程为． （2）由（1）知．设直线l的方程为，，． 因为E是的中点，所以①． 联立，得， 则，②，． 由①②解得，， 所以，解得，即， 经验证，此时满足，所以直线的斜率为． 题型六　轨迹问题与实际应用 1．D 【详解】抛物线的焦点为，由轴，点，得， 由抛物线的光学性质，得点共线，设，则， 解得，点，于是，，， 所以的周长为. 故选：D 第 页 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $