3.3 抛物线 3.3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

本讲义聚焦抛物线的简单几何性质这一核心知识点，通过类比椭圆、双曲线的研究方法，从标准方程出发推导范围、对称性、顶点、离心率等性质，延伸至焦半径、焦点弦与通径，构建从定义到应用的完整学习支架。 资料特色在于设置诊断分析判断题培养推理意识，探究点结合例题与变式题发展几何直观和抽象能力，素养小结助力用数学语言表达规律。课中辅助教师清晰授课，课后学生可通过练习查漏补缺，提升问题解决能力。

3.3.2　抛物线的简单几何性质 第1课时　抛物线的简单几何性质 【学习目标】 　　能类比椭圆、双曲线几何性质的研究方法得到抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质及其代数表达. ◆ 知识点一　抛物线的简单几何性质 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 图形 焦点 坐标 准线 方程 x=- x= y=- y= 开口 方向 　　　  　　　  　　　  　　　  范围 　　　  　　　  　　　  　　　  对称轴 　　　  　　　  顶点 坐标 　　　  离心率 　　　  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)抛物线关于原点对称. (　 ) (2)抛物线只有一个焦点、一条对称轴,无对称中心. (　 ) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同. (　 ) ◆ 知识点二　抛物线的焦半径、焦点弦与通径 1.焦半径与焦点弦 (1)抛物线上一点与焦点F连接的线段叫作焦半径. (2)过抛物线焦点的直线与抛物线相交,直线被抛物线所截得的线段称为抛物线的　　　　.  设A(x0,y0)为抛物线上任意一点,则四种标准方程形式下的焦半径公式和焦点弦长|MN|(M(x1,y1),N(x2,y2))为 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 焦半径|AF| 　　  　　  　　  　　  焦点弦长 |MN| x1+x2+p -x1-x2+p y1+y2+p -y1-y2+p 2.通径 经过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线交抛物线于A,B两点,线段AB称为抛物线的通径,通径的长|AB|为　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)抛物线x2=4y,y2=4x的焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同. (　 ) (2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p(p>0). (　 ) (3)P(x1,y1)是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线的焦点,则|PF|=x1+p. (　 ) ◆ 探究点一　抛物线的几何性质 例1 已知抛物线y2=8x,求出变量x的范围及该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴. 变式 抛物线的顶点在原点,对称轴与椭圆9x2+4y2=36的短轴所在的直线重合,抛物线的焦点到顶点的距离为3,求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程. [素养小结] 运用抛物线的几何性质要把握三个要点: (1)定性:由抛物线的标准方程看抛物线的开口方向,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负. (2)定量:确定焦点到准线的距离p(p>0). (3)转化:抛物线上的一点到焦点的距离与到准线的距离相等,解题时适时转化可起到事半功倍的效果. ◆ 探究点二　焦点弦问题 例2 [2026·西安交大附中高二月考] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,过F的直线l与C交于A,B两点. (1)求抛物线C的标准方程; (2)若直线l的倾斜角为45°,求|AB|. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F作倾斜角为的直线l交抛物线C于M,N两点. 若|MN|=8,则p= (　 ) A.6 B.3 C. D. [素养小结] 抛物线焦点弦长的求法: 设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),利用弦所在直线的方程(注意方程的设法)与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2,由公式|AB|=x1+x2+p求出焦点弦长. 拓展 (多选题)[2025·深圳高二期末] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离是4,直线l过焦点F且与C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,M为弦AB的中点,则下列说法正确的是 (　 ) A.抛物线C的焦点坐标是(2,0) B.x1x2=4 C.若x1+x2=5,则|AB|=7 D.若以M为圆心的圆与C的准线相切,则AB是该圆的一条直径 ◆ 探究点三　抛物线几何性质的应用 例3 (1)已知抛物线Γ:y2=6x的焦点为F,过F的直线与Γ交于点A,B,且与Γ的准线交于点D,若|BD|=4且|AF|>|FB|,则的值为 (　 ) A. B.2 C.3 D.4 (2)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,P为抛物线C上一点,且满足|PF|=3,则△POF的面积为　　　　.  变式 以抛物线C:y2=4x的焦点F为端点的射线与C及C的准线l分别交于A,B两点,过B且平行于x轴的直线交C于点P,过A且平行于x轴的直线交l于点Q,若|AQ|=,则△PBF的周长为 (　 ) A.16 B.12 C.10 D.6 [素养小结] 利用抛物线的性质可以解决的问题: (1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围:解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点:解决焦点弦问题. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.2　抛物线的简单几何性质 第1课时　抛物线的简单几何性质 【课前预习】 知识点一 向右　向左　向上　向下　x≥0,y∈R　x≤0,y∈R y≥0,x∈R　y≤0,x∈R　x轴　y轴　(0,0)　e=1 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)√　[解析] (1)抛物线不关于原点对称. (2)抛物线只有一个焦点、一条对称轴,抛物线没有对称中心. (3)抛物线的离心率均为1. 知识点二 1.(2)焦点弦　x0+　-x0　y0+　-y0 2.2p 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)×　[解析] (1)抛物线x2=4y,y2=4x的焦点到准线的距离都是2,是相同的,离心率都是1,也相同. (2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是2p. (3)抛物线y2=2px(p>0)的焦半径长|PF|=x1+. 【课中探究】 探究点一 例1　解:由y2=8x,得p=4,变量x的范围为x≥0, ∴该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴分别为(0,0),(2,0),直线x=-2,x轴. 变式　解:椭圆的方程可化为+=1,其短轴在x轴上, ∴抛物线的对称轴为x轴, ∴设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px,其中p>0. ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,即=3,∴p=6, ∴抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x,其准线方程为x=-3或x=3. 探究点二 例2　解:(1)由题意知p=2,故抛物线C的标准方程为y2=4x. (2)由直线l的倾斜角为45°,得直线l的斜率为1,故直线l的方程为y=x-1. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由得x2-6x+1=0,Δ=36-4>0, 则x1+x2=6,故|AB|=x1+x2+2=8. 变式　B　[解析] 抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,则直线l的方程为y=.由消去y得3x2-5px+p2=0,显然Δ=25p2-4×3×p2=16p2>0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=p,所以|MN|=x1++x2+=p=8,所以p=3.故选B. 拓展　ABD　[解析] 对于选项A,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离是4,所以p=4,F(2,0),故A正确.对于选项B,当直线l的斜率不存在时,l:x=2,所以x1x2=2×2=4,当直线l的斜率存在时,设l:y=k(x-2),k≠0,由得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,所以x1x2=4,故B正确.对于选项C,|AB|=x1+x2+p=5+4=9,故C错误.对于选项D,如图所示,过A,B,M分别向准线作垂线,垂足为A1,B1,M1,因为|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=,即AB为该圆的一条直径,故D正确.故选ABD. 探究点三 例3　(1)C　(2)2　[解析] (1)如图,设准线l与x轴的交点为K,过A作AA1⊥l,过B作BB1⊥l,垂足分别为A1,B1,则BB1∥FK∥AA1.根据抛物线的定义知|BB1|=|FB|,|AA1|=|AF|.设=λ(λ>1),|FB|=m(m>0),因为BB1∥FK,所以=,即=,又p=3,m>0,故m=2,所以|AF|=λ|FB|=2λ,所以|AB|=2+2λ.因为BB1∥AA1,所以=,即=,解得λ=3.故选C. (2)因为抛物线C的方程为y2=4x,所以2p=4,可得=,所以焦点为F(,0),准线方程为x=-,又P为抛物线C上一点,且|PF|=3,所以点P到准线x=-的距离为3,所以xP=3-=2,所以=4×2=16,所以|yP|=4,所以S△POF=×|OF|×|yP|=××4=2. 变式　B　[解析] 根据题意,可得F(1,0),准线方程为x=-1.不妨设A(x,y)(y>0),∵|AQ|=,∴x+1=,∴x=,∴A,∴直线AF的方程为=,即y=-(x-1).将x=-1代入y=-(x-1)中,可得y=2,∴B(-1,2).将y=2代入y2=4x中,可得x=3,∴P(3,2).又|FB|==4,|PF|=|PB|=4,∴△PBF的周长为|FB|+|PF|+|PB|=12.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $