3.3.2抛物线的简单几何性质常用六种题型（过关卷）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.2 抛物线的简单几何性质常用六种题型（过关卷） 目　录 题型一　抛物线的定义与标准方程 题型二　焦半径与距离最值 题型三　焦点弦问题 题型四　中点弦与直线位置关系 题型五　抛物线与圆、椭圆、双曲线综合 题型六　轨迹问题与实际应用 题型一　抛物线的定义与标准方程 【解题技巧】抛物线定义是解题的钥匙：平面内与定点F和定直线l距离相等的点的轨迹（l不过F）。看到到焦点距离立即转化为到准线距离，许多最值与轨迹问题靠这一转化化斜为直。求标准方程先定开口方向，用待定系数法设y²=2px或x²=2py，p的几何意义是焦点到准线的距离，p/2才是焦点到顶点的距离。已知准线或焦点反求参数时，先由位置定开口方向，再由距离列方程，含参数时讨论符号避免漏解。 1．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点到坐标原点的距离为（   ） A．3 B． C． D． 2．设抛物线的焦点为，准线为，点为上一动点，为定点，则下列结论错误的是（    ） A．准线的方程是 B．的最大值为2 C．的最小值为5 D．以线段为直径的圆与轴相切 3．若抛物线的准线方程是，则抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 题型二　焦半径与距离最值 【解题技巧】焦半径的核心转化：抛物线y²=2px上点P到焦点的距离等于P的横坐标加p/2。求|PA|+|PF|型最值，把|PF|换成P到准线的距离，化为垂线段最短；与圆结合时，用圆心到焦点的距离减去半径，再叠加焦半径转化逐段拆解。动点斜率、面积的最值，先把目标量表示为参数函数，再利用定义与几何意义缩小范围。涉及周长最小值时，同样用定义把两段折线拉直处理，注意验证取等条件。 1．已知抛物线：，若上一点到准线的距离为3，则该点到原点的距离为（    ） A． B． C． D．4 2．已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线交于、两点，若点满足，求直线的方程. 4．已知是抛物线的焦点，是上一点，且在的准线上的射影为. (1)求的方程； (2)过点作斜率大于的直线与交于另一点，若的面积为3，求的方程. 题型三　焦点弦问题 【解题技巧】过焦点的弦性质丰富：通径最短为2p；焦点弦长|AB|=x1+x2+p；两端的焦半径之和等于弦长；以AB为直径的圆与准线相切；x1x2=p²/4为定值，y1y2=-p²。焦点弦与准线交点问题常结合相似三角形或梯形中位线处理，比例关系优先用焦半径转化。遇到|AF|与|BF|的比值，设直线参数或联立后用韦达定理整体代换。垂直弦的和与积有固定结论，直接套用可大幅减少计算量。 1．已知过抛物线的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若以AB为直径的圆过点，则（    ） A． B． C． D．2 2．已知是抛物线上的两点，且直线经过的焦点，若，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 3．已知抛物线，其焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线C于点A，B（其中A在x轴上方），A，B两点在抛物线的准线上的投影分别为M，N，若，，则（    ） A． B．2 C．3 D．4. 4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 5．已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于两点，其中在第一象限，若，的面积为，则（   ） A．2 B． C． D． 6．已知抛物线的焦点为，点在上且均位于第一象限，若，且直线的斜率为，则（   ） A．6 B． C． D．8 7．已知抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于两点，则说法不正确（ ） A．线段长度的最小值为 B．当直线斜率为时，中点坐标为 C．以线段为直径的圆与直线相切 D．存在点，使得 8．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于A（点A在第二象限），两点，则（    ） A． B． C．4 D．5 9．已知过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，若线段的中点的横坐标为3，则线段的长度为(   ) A．6 B．8 C．10 D．12 10．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10 11．已知抛物线的焦点是，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过，两点作直线的垂线，垂足分别为，．若，则直线斜率（    ） A． B． C． D． 12．已知抛物线的焦点为，过的直线的倾斜角为锐角，且与交于两点，，则的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 题型四　中点弦与直线位置关系 【解题技巧】中点弦问题优先点差法：把A、B坐标代入方程相减得斜率与中点坐标的关系，由中点直接求斜率，再用判别式确认直线存在。判断直线与抛物线公共点个数看消元后二次方程的判别式，注意二次项系数为零的退化情形，此时直线与对称轴平行恰有一个交点。弦长公式|AB|=√(1+k²)·√[(x1+x2)²-4x1x2]，配合韦达定理整体代换，避免求出交点坐标再算，既快又稳。 1．已知直线交抛物线于、两点，且的中点为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 2．已知抛物线与直线无公共点，则实数可以为（   ） A． B． C． D．2 3．已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知上存在三点，且关于直线对称． ①求的取值范围； ②若为等边三角形，求． 4．已知直线：. (1)若直线：与垂直，求的值； (2)若直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，求证：. 5．已知直线与抛物线相交于、两点. (1)若直线过点，且倾斜角为，求的值； (2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程. 第 页 第 页 学科网（北京）股份有限公司 题型五　抛物线与圆、椭圆、双曲线综合 【解题技巧】抛物线与椭圆、双曲线组合的综合题，先抓公共元素：焦点重合、顶点重合或公共点，由此建立参数关系求出各曲线方程。与圆结合时，圆心常在轴上，利用圆的对称性与焦半径转化把折线和差化为圆心距处理。椭圆双曲线的定义可与抛物线定义联用：公共点同时满足两个定义时，距离关系互相转化列方程。第二问设直线联立用韦达定理表示目标量，判别式与点在曲线上的限制最易失分。 1．已知抛物线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 2．已知椭圆的左右焦点分别为，，抛物线与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线E与椭圆C在第一象限内的交点，直线与抛物线E相切，则椭圆C的长轴长为（    ） A． B． C．4 D． 3．已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是双曲线的右顶点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线相交于A、B两点，解决下列问题： （i）求弦长； （ii）求证：. 题型六　轨迹问题与实际应用 【解题技巧】求轨迹方程先判断曲线类型：到定点与定直线距离相等为抛物线，距离差为定值为双曲线一支，动圆与定圆、定直线相切转化为圆心距关系。应用题（拱桥、隧道、天线）建模四步：建系、设标准方程、代入已知点求p、回代求解。拱桥问题以拱顶为原点设x²=-2py，天线与探照灯利用反射性质：平行于轴的入射线经反射后过焦点。最后检验轨迹是否需要除去特殊点，写明范围。 1．已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 3．已知动点到定点的距离与动点P到定直线的距离之比为1，若动点P的轨迹记为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)不过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，且，若AB的垂直平分线交x轴于点N，求点N的坐标. 《3.3.2抛物线的简单几何性质常用六种题型》参考答案 答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 题型一　抛物线的定义与标准方程 1．B 【详解】在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为， 点到坐标原点的距离为. 故选：B. 2．B 【详解】对于选项A，可知，所以焦点，准线方程为，故A正确； 对于选项B，， 当点M在射线EF上时等号成立，即的最大值为，故B错误； 对于选项C，过点M，E分别作准线的垂线，垂足分别为A，B，则，当点M在线段EB上时等号成立， 所以的最小值为5，故C正确； 对于选项D，设，线段MF的中点为D，则， 所以线段为直径的圆与轴相切，故D正确. 故选：B 3．D 【详解】准线方程为，则说明抛物线的焦点在轴的正半轴 则其标准方程可设为： 则准线方程为： 解得： 则抛物线的标准方程为： 故选：D 题型二　焦半径与距离最值 1．C 【详解】由题得的准线方程为，设该点坐标为， 则，解得，所以， 所以该点到原点的距离为. 故选:C. 2．B 【详解】设，则，所以 ， 因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立， 当时显然恒成立，当时恒成立， 所以，则，又，所以，即实数的取值范围为. 故选：B 3．(1)； (2). 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 因为点在抛物线上，且， 由抛物线的定义可得，解得， 因此，抛物线的方程为. （2）若直线轴，则直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意， 故可设直线的方程为，设点、， 由，整理得，则， 由韦达定理可得，， 因为，， 所以， 即，即， 即，解得， 因此，直线的方程为，即. 4．(1)； (2). 【详解】（1）是上一点， ，则， 由抛物线的定义，知， ，则， 的方程为. （2）由（1），知. 设直线，即， 代入，整理得， ， ， 又点到的距离为， ， 即，解得或（舍去）， 直线的方程为，即. 题型三　焦点弦问题 1．D 【详解】由题设，抛物线的焦点，易知直线斜率不为0，可设，联立抛物线， 则，若，显然，则，， 所以，， 由题意， 所以，整理得，可得， 所以.    故选：D 2．C 【详解】. 故选：C. 3．A 【详解】如图， 由题意知，，，则, 由轴，可知，则， ，，， . 故选：A. 4．B 【详解】因为直线AB过焦点F(1，0)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8. 故选：B． 5．D 【详解】设点， 根据焦半径公式可得，所以， 由于在第一象限，则， 由题意得， 解得. 故选：D. 6．C 【详解】 如图，作垂直于准线上两点，作于， 由抛物线的定义可知， 所以， 又直线的斜率为，所以，即， 所以在中，. 故选：C. 7．B 【详解】对于A：的焦点坐标为，直线的斜率不为，设，， 联立，可得，且， 所以，所以，且， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：因为，所以，所以， 所以，所以，即中点纵坐标为，故B错误； 对于C：抛物线的准线方程，设中点为，过点向准线作垂线， 垂足分别为，如下图： 由抛物线的定义可知：， 即等于以为直径的圆的半径长，故C正确； 对于D：当时，. 所以， 由选项A可知：，所以，所以此时， 所以的倾斜角互补，所以，故D正确； 故选：B 8．A 【详解】抛物线方程为，故焦点坐标为，则直线方程为， 与联立得：， 即， 设， 则，， ， 则，， 所以. 故选：A 9．B 【详解】由抛物线的方程可得， 设， 由中点坐标公式得， 由抛物线定义得. 故选:B. 10．A 【详解】设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知 ，当且仅当（或）时，取等号. 点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以 . 11．A 【详解】根据题意可得直线斜率一定存在，设直线的方程为，，，, 因为，由抛物线的定义知，① 作垂直轴，垂足为，作垂直轴，垂足为，则， 从而，得到，所以②，由①②解得， 因为在抛物线上，所以，解得， 则． 12．A 【详解】由题意可知，设， 联立可得， 且， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，解得（负值舍去）， 所以直线的斜率， 故选：A. 题型四　中点弦与直线位置关系 1．A 【详解】若直线的斜率不存在，则该直线的方程为， 此时直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 所以直线的斜率存在， 设点、， 因为的中点为，则， 则，这两个等式作差得， 即， 故直线的斜率为. 故选：A. 2．C 【详解】由题意有：， 所以，解得， 故选：C. 3．(1) (2)①；② 【详解】（1）设点． 因为直线的斜率与直线的斜率的差是2，所以， ， 化简得：． （2）①因为关于直线对称，所以直线的斜率为-2． 设直线的方程为， 联立消去可得． 所以 所以中点坐标． 因为点在直线上，所以． 因为，所以， 因为曲线方程，即曲线上要挖掉两点， 即直线不能经过点， 若直线过点，则， 若直线过点，则． 综上所述：的取值范围是． ②因为为等边三角形，所以点在直线上． 设，则， ． 所以，即， 化简得，①． 因为点在直线上，所以②． 由①②消得，． 因为，所以， 所以． 4．(1) (2) 直线：与抛物线的方程联立， 消去，得，， 设，，则， 所以，所以. 【详解】（1）由题知直线的斜率， 设直线的斜率为，则， 因为，所以，解得. （2）略 5．(1) (2) 【详解】（1）因直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又因直线过点， 所以直线的方程为：，即， 联立得， 设，， 所以，， 所以 （2）因、在抛物线上， 所以，， 两式相减得：， 得， 故直线的斜率为4， 所以直线的方程为：，即 题型五　抛物线与圆、椭圆、双曲线综合 1．C 【详解】由对称性易得A，B横坐标相等且大于0，联立得，解得， 则，将代入可得，则. 故选：C. 2．B 【详解】椭圆的左右焦点分别为，， 抛物线与椭圆C有相同的焦点，则，， 设直线的方程为， 由，可得①， 则，解之得或（舍）， 由①可得可得，则， 则，， 则椭圆C的长轴长为. 故选：B. 3．(1)； (2)（i）； （ii）显然，， 则，显然，即， 所以.    【详解】（1）双曲线，即，其右顶点为，则抛物线的焦点为， 而抛物线的顶点是坐标原点，所以抛物线的方程：. （2）（i）设，， 由消去x得：，则，， 于是， 所以. （ii）略 题型六　轨迹问题与实际应用 1．D 【详解】由题意动点P到定点的距离比它到直线的距离大1， 则动点P到定点的距离与它到直线的距离相等， 故动点P的轨迹为以F为焦点的抛物线，其方程为， 设，则， 则，则, 由于线段AB的中点为且在抛物线含焦点的一侧区域内，则直线AB的斜率存在，， 故， 故直线的方程为，即， 故选：D 2．(1)或； (2)证明：由不过点的动直线与曲线恒有两个交点，，则动直线与只抛物线相交， 可设点，直线的方程为：， 联立，得， 所以，即． 因为，所以， 代入得：，整理得：， 即或． 当时，直线的方程：过定点，舍去； 当时，直线的方程：过定点． 所以直线过定点． 【详解】（1）设，由点到点的距离比它到轴的距离大可得， ，平方得：， 当时，上式化简可得：， 当时，上式化简可得：， 即曲线的轨迹方程是或； （2）略 3．(1) (2) 【详解】（1）由题可知：动点P的轨迹为焦点在x轴，开口朝右的抛物线，且，曲线C的方程为：； （2）设直线AB的方程为，，， 直线与抛物线联立：， ，，，即， ，，     又，即， 又， ，即，         又记点M为AB的中点，则，直线MN的方程为， 令，则，故点N为定点，坐标为. 第 页 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $