精品解析：湖北省天门中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

天门中学高二年级10月考试数学试卷 一、单选题 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 与椭圆有公共焦点的椭圆是（ ） A. B. C. D. 3. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，点在上，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 两圆与的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 1 5. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为（       ） A. B. C. D. 6. 已知三点，，，则过点的直线与线段有公共点时（公共点包含端点），直线的斜率和倾斜角的取值范围分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知向量，满足，，且满足，若正实数m，n，满足，最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为，底面ABCD为直角梯形，，，，三棱锥的外接球为球O，则平面PBC截球O所得截面圆的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知椭圆的离心率为，则实数的值可能为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 8 10. 下列判断正确的是（ ） A. 若事件A，B互斥，则 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的70%分位数是23 C. 抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数1或4”，事件“向上点数是奇数”，则 D. 若，，，则事件A与事件B相互独立 11. 如图，在直棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，，点为的中点，点为侧面内（包含边界）一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面截四棱柱所得的截面是五边形 B. C. 平面与平面ABCD所成角的余弦值为 D. 若∥平面，则点轨迹的长度为 三、填空题 12. 经过点，并且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍的直线方程为_______． 13. 已知动圆分别与圆外切和圆内切，设动圆的圆心轨迹为，过点的直线垂直于轴交曲线于两点，则弦长等于______ 14. 设，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为________． 四、解答题 15. 已知圆经过，，三点. （1）求圆的方程； （2）求过点且与圆相切的直线方程. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求的大小； （2）若，的面积为，求，的值． 17. 新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）． （1）求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求这组中至少有1人被抽到的概率． 18. 如图，四棱锥中，平面平面,//,, ,且，. （1）求证：平面； （2）求和平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点使得平面平面，请说明理由. 19. 如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为、． （1）若，求直线的方程； （2）求的最小值； （3）若两条切线，与轴分别交于、两点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天门中学高二年级10月考试数学试卷 一、单选题 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知，可知的虚部为1. 2. 与椭圆有公共焦点的椭圆是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】椭圆，，，，，焦点在y轴上. 选项A、B和D的焦点在x轴上，不符合题意，排除. 选项C：椭圆，，，，，焦点在y轴上，符合题意，所以选C. 3. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，点在上，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，， 则. 4. 两圆与的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】两圆与圆的方程相减可得公共弦所在的直线方程为，再由点到直线的距离公式能求出两圆的公共弦长． 【详解】两圆的圆心分别为,半径均为1，故圆心距离为,故两圆相交， 圆与圆的公共弦所在的直线方程为： ，即， 圆的圆心到公共弦的距离： ，圆的半径， 公共弦长． 故选：B． 5. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为（       ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出曲线与直线的图象，由题意根据图象计算可解. 【详解】由，平方得表示圆心在原点半径为1的上半圆， 表示恒过定点的直线， 直线与曲线有两个不同的交点即半圆和直线始终有两个公共点， 如图： 圆心到直线的距离为，解得， 当直线经过时由得， 当直线经过时由得， 所以实数的取值范围为. 6. 已知三点，，，则过点的直线与线段有公共点时（公共点包含端点），直线的斜率和倾斜角的取值范围分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】先计算直线AB、AC的斜率，结合图形得到斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的正切关系，结合斜率不存在的特殊情况得到倾斜角的取值范围. 【详解】直线的斜率， 直线的斜率， 结合图形可知，过点的直线与线段有公共点时，斜率满足或，即斜率取值范围为, 设直线的倾斜角为，，由, 当时，，解得；当时，，解得； 当直线斜率不存在时，倾斜角，此时直线方程为，符合要求，故也满足条件; 综上，倾斜角的取值范围为. 7. 已知向量，满足，，且满足，若正实数m，n，满足，最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的模的运算性质求出，再由基本不等式求最值即可. 【详解】因为， 所以，即， 又，，代入上式得， 所以可得，即， ， 当且仅当，即时等号成立. 8. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为，底面ABCD为直角梯形，，，，三棱锥的外接球为球O，则平面PBC截球O所得截面圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明三棱锥的外接球球心为的中点，再建立空间直角坐标系，用向量法求出平面的法向量，从而求得点到平面的距离，利用勾股定理求得截面圆的半径，从而得截面圆的面积. 【详解】如图1，分别取的中点为，的中点为， 则，，连接， 因为底面为直角梯形，，，， 所以四边形为正方形，， 因为平面，， 所以平面，平面， 所以， 所以， 而平面，平面，则， 所以， 又为的中点，所以， 所以点到三棱锥各个顶点的距离均为， 故为三棱锥的外接球球心， 如图2，以为原点，所在直线分别作轴，建立空间直角坐标系， 因为平面，平面，则， 与底面所成的角为，则为等腰直角三角形，， 则，，，， 设平面的法向量为， 因为，， 所以，可取， 因为， 所以点到平面的距离， 设截面圆的半径为，则， 所以截面圆的面积为. 故选：A. 二、多选题 9. 已知椭圆的离心率为，则实数的值可能为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 8 【答案】AD 【解析】 【详解】由，得，即，所以， 化为， 若焦点在轴上，则，所以，解得； 若焦点在轴上，则，则，解得． 所以或． 10. 下列判断正确的是（ ） A. 若事件A，B互斥，则 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的70%分位数是23 C. 抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数1或4”，事件“向上点数是奇数”，则 D. 若，，，则事件A与事件B相互独立 【答案】AC 【解析】 【详解】A：根据互斥事件的概率加法公式：若事件互斥， 即，那么，A正确； B：，数据个数， 计算分位数位置：， 当为整数时，分位数为第项和第项数据的平均值： ，B错误； C：抛掷骰子样本空间：， 事件，事件， 即，包含个基本事件， ，C正确； D：由，得， 事件独立的判定条件：， ， 已知，不满足独立条件，D错误. 11. 如图，在直棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，，点为的中点，点为侧面内（包含边界）一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面截四棱柱所得的截面是五边形 B. C. 平面与平面ABCD所成角的余弦值为 D. 若∥平面，则点轨迹的长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出截面判断A，由线面垂直的判定与性质定理判断B，用空间向量法求二面角判断C，确定出动点轨迹后判断D. 【详解】对A，取中点，连接PM，如图，则（都与平行），所以四点共面， 则平面截四棱柱所得的截面是四边形，A错误． 对B，连接，由题意可得，底面， 底面ABCD，所以，而平面， 所以平面，又平面，所以，B正确． 对C，设AC与BD交于点，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的法向量为，则 不妨取，则，易知平面ABCD的一个法向量为， 则，C正确． 对D，连接，由A项知四点共面，平面， 又平面平面，所以， 所以的轨迹为线段（不含点），，D正确． 故选：BCD. 三、填空题 12. 经过点，并且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍的直线方程为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】分截距为零和不为零两种情况求直线方程即可. 【详解】①当横纵截距为零时，直线的斜率，所以直线方程为，即； ②当横纵截距不为零时，设直线方程为，将点代入得，解得，所以直线方程为，即. 故答案为：或. 13. 已知动圆分别与圆外切和圆内切，设动圆的圆心轨迹为，过点的直线垂直于轴交曲线于两点，则弦长等于______ 【答案】## 【解析】 【分析】利用两圆外切、内切的距离条件，得到动圆圆心到两定点距离之和为定值，由椭圆定义写出椭圆方程，将代入椭圆方程求出纵坐标，上下两点纵坐标之差即为弦长． 【详解】 如图所示，设圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设动圆的半径为， 由圆分别与圆外切和圆内切， 则，，则， 即动点到两定点的距离之和为定值，且大于，满足椭圆定义， 即点是以为焦点，且，的椭圆， 所以动点的轨迹方程为，如图所示， 由轴，且过点， 设，， 将代入椭圆方程，得， 即，，所以． 14. 设，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用椭圆的定义表示，再结合直角三角形勾股定理建立与的关系，进而求得离心率. 【详解】设，则，， 根据椭圆定义，，， 又因为，所以在中， 即，解得，则，， 则在中，，即， 所以故离心率. 四、解答题 15. 已知圆经过，，三点. （1）求圆的方程； （2）求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据数量积为零可判断，从而可得圆是以为直径的圆，故可求其方程； （2）利用圆心到直线的距离为半径可求直线的斜率，从而可求切线方程. 【小问1详解】 因为，，所以，即， 所以为圆的直径，且为的中点，所以，故， 故圆的方程为. 【小问2详解】 若切线的斜率不存在，则，圆心到该线的距离为， 故直线不为切线. 设切线方程为，即； 由题意可知， 所以，即， 所求直线方程为或. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求的大小； （2）若，的面积为，求，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化即可得答案； （2）由面积公式得，再根据余弦定理得，进而得到，的值. 【小问1详解】 因为 由正弦定理得： 因为 ，所以， 所以， 所以， 所以， 所以的大小为； 【小问2详解】 因为，，所以 所以， 由余弦定理得：， 所以， 所以， 因为，，所以， 所以，的值均为. 17. 新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）． （1）求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求这组中至少有1人被抽到的概率． 【答案】（1），平均分为； （2） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1可计算出值，然后用每组区间的中点值乘以相应频率再相加可得平均值； （2）由频率分布直方图得出成绩位于和上的人数，并编号，用列举法写出随机抽取的2人的所有基本事件，由概率公式计算概率． 【小问1详解】 由频率分布直方图，，， 平均分为； 【小问2详解】 由频率分布直方图得出成绩位于和上的人数比为， 抽取的6人中成绩位于上的有4人，编号为1，2，3，4，位于上的有2人，编号为， 从这6人中任取2人的基本事件有：共15个，其中这组中至少有1人被抽到的基本事件有共9个，所以所求概率为． 18. 如图，四棱锥中，平面平面,//,, ,且，. （1）求证：平面； （2）求和平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点使得平面平面，请说明理由. 【答案】（1）证明如下： 由，. 可得． 由，且， 可得．又． 所以． 又平面平面， 平面平面， 平面， 所以平面． （2） （3）存在，理由如下： 设，． ，，. 则． 设是平面一个法向量，则，， 即 令，则． 若平面平面，则，即，. 所以，在线段上存在一点使得平面平面. 【解析】 【分析】(1)在中，求出，在中，求出， 在中，三边符合勾股定理，所以， 利用面面垂直的性质，得平面； (2)利用第一问的证明得到垂直关系，建立空间直角坐标系，得到平面BDF和平面CDE中各点的坐标，得出向量坐标，先求出平面CDE的法向量，利用夹角公式求BE和平面CDE所成的角的正弦值； (3)假设存在，使得，用表示，求出平面BEF的法向量，由于两个平面垂直，则两个法向量垂直，则， 解出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，． 设是平面的一个法向量，则，， 即 令，则． 设直线与平面所成的角为， 则． 所以和平面所成的角的正弦值． 【小问3详解】 略 19. 如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为、． （1）若，求直线的方程； （2）求的最小值； （3）若两条切线，与轴分别交于、两点，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆上一点的切线方程，由点在两条切线上，得到两点共同满足的方程，即为切点弦方程； （2）先写出通用切点弦方程，求圆心到的距离，结合弦长公式，分析距离的最大值，从而求出弦长最小值； （3）设切线斜率，由相切条件得到斜率的一元二次方程，用韦达定理与斜率差公式表示，进而求最小值． 【小问1详解】 已知圆心，设切点，取切线上任意异于点的一点，则， 故， 则，展开整理得，， 故过点的切线方程为， 点在切线上，故， 整理可得， 同理，切点也满足此方程，故切点弦的方程为． 【小问2详解】 结合（1）结论，对任意参数，切点弦的方程为：， 圆心到直线的距离， 当且仅当时取最大值， 弦长，故的最小值为． 【小问3详解】 设过点的切线斜率为，则切线方程为， 即， 由相切关系得，即，整理得 ， 两条直线对应的斜率，则 ， 切线与轴交点纵坐标为，即， 则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $