精品解析：湖北随州市曾都区第一高级中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

曾都一中2026年秋高二上学期10月月考数学试题 时间:2026.10.22日7:40—9:40 范围:人教版概率+空间向量立几+直线方程 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 如图是某市某年10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染．若某人随机选择10月1日至14日中某一天到达该市，则到达之日空气重度污染的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则点A到直线的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 4. 是直线：与直线：垂直的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若构成空间的一个基底，且不能构成空间的一个基底，则 A. B. C. D. 6. 已知是直线上的动点，是直线上的动点，若的中点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（ ） A. B. C. D. 8. 已知正四面体的棱长为2，空间中一点满足，其中，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列各项表述正确的是（ ） A. 表示、两事件恰有一个发生 B. 若事件与事件互斥，则 C. 若事件与事件相互独立，则 D. 若事件与事件为同一样本空间的两个事件，则 10. 已知直线：（），则下列说法正确的是（ ） A. 可能与轴平行 B. 恒过第一象限 C. 原点到的距离的最大值为 D. 若不过第四象限，则的取值范围为 11. 如图，已知正方体的棱长为2，为底面内（不包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得 C. 若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为 D. 若点是的中点，点是的中点，过作平面平面，则平面截正方体的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知事件A，B相互独立，，，则_______. 13. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是________． 14. 如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 江苏农科所在同一块试验田种植了A，B两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取100份，每份含1千粒小麦，测量其重量（g），按，，，，，分为6组（每份重量（g）均在内），两个品种小麦的频率分布直方图如图所示，两个品种的小麦千粒重相互独立. （1）求a的值； （2）求B品种小麦千粒重的中位数； （3）用频率估计概率，从A，B两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量至少有一个不低于45g的概率. 16. 已知的三个顶点的坐标为，，．求： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）边垂直平分线所在直线方程及点关于的对称点的坐标． 17. 如图，点、分别是棱长为的正四面体的边和的中点，点、是线段的三等分点． （1）用向量、、表示和； （2）求、； （3）求． 18. 已知直线，，设为坐标原点． （1）若在两坐标轴上的截距相等，求； （2）若交轴负半轴于点，交轴负半轴于点，求面积的最小值． 19. 已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模是.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段上一点. （1）求的值． （2）若为的中点，求二面角的正弦值． （3）若为线段上一点，且满足，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曾都一中2026年秋高二上学期10月月考数学试题 时间:2026.10.22日7:40—9:40 范围:人教版概率+空间向量立几+直线方程 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设直线的倾斜角为， 由，得， 所以， 因为，所以即. 2. 如图是某市某年10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染．若某人随机选择10月1日至14日中某一天到达该市，则到达之日空气重度污染的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由图可知，第5日和第8日的空气质量指数大于， 则天中有两天空气质量为重度污染， 所以所求概率为． 3. 已知，则点A到直线的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，故， 所以， 点A到直线BC的距离为. 4. 是直线：与直线：垂直的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用一般式直线垂直的充要条件，列出方程求出或，再依据充分、必要条件定义判断即可. 【详解】由直线：与直线：垂直， 得，解得或， 所以是直线与直线：垂直的充分不必要条件． 5. 若构成空间的一个基底，且不能构成空间的一个基底，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】三个向量不能构成基底，则三向量共面，利用共面向量定理以及基底向量线性无关，系数对应相等建立方程求解参数. 【详解】空间中三个向量不能构成基底的充要条件是这三个向量共面. 因为是空间的一个基底，所以不共面（线性无关）. 由共面向量定理，若，，共面，则存在实数，使得：  将等式右侧整理，按基底向量拆分： 因为线性无关，等式两边对应向量的系数必须分别相等： 的系数： 的系数： 的系数： 由得，代入得，因此. 6. 已知是直线上的动点，是直线上的动点，若的中点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用中点坐标公式将点的坐标用点的坐标表示，结合两点分别在对应直线上列方程组求解点的坐标，再由两点坐标求解直线的斜率与方程. 【详解】设点的坐标为， ∵ 是的中点， ∴ 点的坐标为. ∵ 在直线上，在直线上， ∴ ， 解得，，即. ∴ 直线的斜率， 由点斜式得直线的方程为，整理得. 7. 已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记点为，求出直线的斜率，结合斜率的变化情况可得. 【详解】记点为， 由题意可得，，， 当直线由转到与轴重合时，直线l的斜率k满足； 当直线由轴转到与直线重合时，直线l的斜率k满足， 若要保证直线与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 故选：D 8. 已知正四面体的棱长为2，空间中一点满足，其中，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，结合，可知点在平面内，所以当平面时，最小，再根据即可求得结果. 【详解】设，则 ，， 所以点在平面内， 依题意当平面时，最小， 四面体为正四面体，为底面的中心，如图，连接并延长交于点，则为的中点. 则， 所以， 即的最小值为， 又，所以，即的最小值为． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列各项表述正确的是（ ） A. 表示、两事件恰有一个发生 B. 若事件与事件互斥，则 C. 若事件与事件相互独立，则 D. 若事件与事件为同一样本空间的两个事件，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据随机独立事件，互斥事件等的概率计算规则，逐项分析即可得出结果. 【详解】对于A，表示事件发生、事件不发生，表示事件不发生、事件发生，二者的并集就是两事件恰有一个发生，故A正确； 对于B，互斥事件的概率和满足，故B错误； 对于C，根据相互独立事件概率的定义，两事件同时发生的概率等于各自发生概率的乘积，即，故C正确； 对于D，根据和事件概率的计算规则, 故D错误. 10. 已知直线：（），则下列说法正确的是（ ） A. 可能与轴平行 B. 恒过第一象限 C. 原点到的距离的最大值为 D. 若不过第四象限，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线的一般式确定所过的定点，进而判断A、B，利用点线距离公式及柯西不等式求距离最大值判断C，根据题设时直线上的点不能有，分类讨论研究的符号，即可判断D. 【详解】由题设，直线为，所以直线恒过定点， A：与轴平行的直线方程形如，但直线的系数为，不可能与轴平行，错误； B：直线恒过定点，该点位于第一象限，所以直线恒过第一象限，正确； C：原点到直线的距离为， 由，因此， 当时取等号，所以最大值为，正确； D：不过第四象限，即时，直线上的点不能有， 因为在上恒非负， 当时，最小值在处取得，所以， 当时，，符合， 当时，随着，有，必然进入第四象限，不符合， 综上，正确. 11. 如图，已知正方体的棱长为2，为底面内（不包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得 C. 若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为 D. 若点是的中点，点是的中点，过作平面平面，则平面截正方体的截面面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等体积法可计算出三棱锥的体积，可判断选项A，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，设，根据垂直得向量数量积为列式，从而判断选项B，C，利用线面垂直的判定定理得平面，再证明四点共面，从而得平面，再由面面平行的性质可得平面截正方体的截面为正六边形，根据正六边形的性质计算面积即可判断选项D. 【详解】对于A，由等体积法，三棱锥的高为， 底面积，所以， 所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，，，，， ，， 若，则， 即，令，得，设，令，得，即，即点在直线上，不在底面内，不满足题意， 所以不存在点，使得，故B错误； 对于C，，若， ，即， 所以点的轨迹就是线段，轨迹长为，故C正确； 对于D，如图取中点，连接， 由题可得，平面， 连接，因为，平面， 则，，又，     平面，则平面， 又取中点为，则， 有四点共面，则平面即为平面， 又由两平面平行性质可知，，，， 又都是中点，故是中点，是中点， 则平面截正方体的截面为正六边形， 又正方体棱长为，则， 故截面面积为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知事件A，B相互独立，，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用独立事件的乘法公式可知，结合即可求解. 【详解】相互独立，所以.由，得，即，所以. 13. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先将直线化为，再由两平行线间的距离公式计算即可. 【详解】由直线，可得：， 所以平行直线与直线的距离. 故答案为： 14. 如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】以为空间一组基底，结合四点共面，用两种方法表示出，由空间向量的基本定理求得的值. 【详解】连接并延长，交于点，以为空间一组基底， 由于是的重心，点M在上，且， 所以 ①， 连接，因为四点共面，所以存在实数，使得， 即，②， 由①②以及空间向量的基本定理可知：，，所以. 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 江苏农科所在同一块试验田种植了A，B两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取100份，每份含1千粒小麦，测量其重量（g），按，，，，，分为6组（每份重量（g）均在内），两个品种小麦的频率分布直方图如图所示，两个品种的小麦千粒重相互独立. （1）求a的值； （2）求B品种小麦千粒重的中位数； （3）用频率估计概率，从A，B两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量至少有一个不低于45g的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为求得， （2）根据中位数的求法求得品种小麦千粒重的中位数， （3）根据相互独立事件概率计算公式求得所求概率. 【小问1详解】 根据题意可得 ，解得； 【小问2详解】 设品种小麦千粒重的中位数为， 由品种小麦的频率分布直方图， 得，，则， 于是，解得，即品种千粒重的中位数为. 【小问3详解】 法一：设事件分别表示从两个品种中取出的小麦的千粒重不低于， 则， 事件表示两个样本小麦的千粒重至少有一个不低于， 则又相互独立， 所以 . 法二：设事件分别表示从两个品种中取出的小麦的千粒重不低于 则， 事件表示两个样本小麦的千粒重至少有一个不低于 又相互独立，所以相互独立， ， . 16. 已知的三个顶点的坐标为，，．求： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）边垂直平分线所在直线方程及点关于的对称点的坐标． 【答案】（1） （2）的方程为；点的坐标为 【解析】 【小问1详解】 由，，， 设的中点为，则， 所以直线的方程为，即． 【小问2详解】 由，，， 设的中点为，则， 又边所在的直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即； 设关于的对称点的坐标为， 则的中点在上，且， 即，解得， 所以对称点的坐标为． 17. 如图，点、分别是棱长为的正四面体的边和的中点，点、是线段的三等分点． （1）用向量、、表示和； （2）求、； （3）求． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用基底表示向量，再结合空间向量的线性运算可将和用基底表示； （2）利用空间向量数量积的运算性质可求得、的值； （3）利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【小问1详解】 解：连接， 因为为的中点，则， ， 故， . 【小问2详解】 解：由空间向量数量积的定义可得， ， . 【小问3详解】 解： . 18. 已知直线，，设为坐标原点． （1）若在两坐标轴上的截距相等，求； （2）若交轴负半轴于点，交轴负半轴于点，求面积的最小值． 【答案】（1）或0． （2）4 【解析】 【分析】（1）分别讨论经过点和不经过点时的情况，求出截距，由截距相等列式求解即可； （2）根据题意求出的坐标，由三角形的面积公式，再利用基本不等式求出最值即可. 【小问1详解】 ①当经过点时，两坐标轴上的截距均为0，则，解得. ②当不经过点时，． 令，得；令，得， 由题意，得，解得， 综上所述，或0． 【小问2详解】 易知，即，设，， 则，解得． 此时，， 所以． 不妨设，则，， ． 当且仅当，即时取等号，此时． 故面积的最小值为4． 19. 已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模是.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段上一点. （1）求的值． （2）若为的中点，求二面角的正弦值． （3）若为线段上一点，且满足，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间关系求出夹角的正弦值，再利用定义求即可； （2）利用空间直角坐标系法来求二面角的余弦值的绝对值，再求其正弦值即可； （3）利用定义求，再求，则可求. 【小问1详解】 由题意，底面为矩形，， 底面，底面，， 又，且平面， 平面，又平面， ，则在直角三角形中，有 . 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.， ， 又为的中点，则，， 平面的一个法向量为，设平面的法向量为， 则，令，则. 故平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，且， 则， 故. 故二面角的正弦值为. 【小问3详解】 由（1）可得，由题意，设，， 则 则， 由可知，，且， 由，则，解得； 则，则解得，， 则，又，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $