期中（第13章～15章）阶段复习解答题考点汇总训练（九大类型） 《典例全解·题型通关》2026-2027学年人教版数学八年级上册

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解：题型通关》 期中（第13章~15章）阶段复习解答题考点汇总训练 (九大类型) 目录 考点一三角形的概念 考点二与三角形有关的线段 考点三三角形的内角与外角… .3 考点四全等三角形及其性质 顶………5 考点五全等三角形的判定 考点六角的平分线 考点七图形的轴对称 考点八画轴对称的图形 10 考点九等腰三角形 11 考点一三角形的概念 1.如图，在△ABC中，D,E分别是BC,AC上的点，连接BE,AD交于点F. B (1)以AB为边的三角形有几个？用符号表示： (2)以点F为顶点的三角形有几个？用符号表示. 2.观察下面的三角形，其中哪些是锐角三角形，哪些是直角三角形，哪些是钝角三角形？ 2 ① ③ ⑤ ⑥ ⑦ 3.等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”·若等腰三角形 ABC 的周长为20，其中一边长为8，求它的“优美比”的值. 2/14 考点二与三角形有关的线段 4.已知：△ABC的三边长分别为a,b,C. (1)化简： a+b-c-la-b-c (2)△ABC的两边长为2和7，周长为偶数，求出周长， 5.如图，在△ABC中，AB=AC,AC边上的中线把三角形的周长分为9和21的两部分，求BC 的长 AB 6.如图AE,CD是AABC的高，AE=6,CD=4,求BC的值. 3/14 考点三三角形的内角与外角 7.如图，从E点观测C处、D处的仰角分别为30°，75°，从C处观测D处的仰角为30°，则从 处观测，两处的视角∠CDE C E 是多少度？ D 30>C 75入x30° B 8.如图，把△ABC的纸片沿着DE折叠 D 图1 图2 (1)若点A落在四边形BCDE的内部点的位置（如图1），且∠I=40°，∠2=24°，请求出 LA的度数： (2)若点A落在四边形BCDE的外部BE的上方点A的位置（如图2)，求证： 4/14 A=(2-2), 9.探究以下问题： E A A 3 B C D B D 图1 图2 (1)问题发现：如图1，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于E. ①若∠B=50°，∠E=30°，求LBAC的度数： ②请用等式表示∠BAC,∠E,∠B之间的数量关系，并说明理由： (2)拓展研究：如图2，点D,E分别在△ABC的两边BC,BA的延长线上，若 2∠1=∠B+3∠E 直接写出252 之间的等量关系. 考点四全等三角形及其性质 10.写出下列每组全等图形中的对应边和对应角. 5/14 11.玩具店有AB、C三种型号的拼板（如图所示），其中A型板每块3元，B型板每块4 元，C型板每块5元.小明现在想拼一个与图中6×6的正方形全等的图案，且只选一种型号的 材料，那么小明选哪种材料最省钱，要用多少元？ A型 B型 C型 12.如图，已知△ABC≌△DAE,点A、C、D在同一条直线上. E D C B (I)请判断AB与DE的位置关系，并说明理由： 6114 (2)若ED=7,CD=9,求线段AB的长. 考点五全等三角形的判定 13.如图，点A,F,C,E在同一条直线上，AB∥DF,AB=DF,AF=CE.求证： △ABC≌△FDE D 14.如图，已知：∠D=∠B,AD∥BC,AE=CF. D E B (1)求证：△ADF≌△CBE (2)若AC=20,CE=17,求EF的长. 7114 15. 【初步探索】 M E D C B D D 图1 图2 图3 (1)如图1，AD是△ABC的中线，探究AB+AC与2AD的大小关系. 小明同学探究此问题的方法是：延长AD至点E,使DE=AD,连接BE,先证明 △ADC≌△EDB 可得出结论，他的结论应是 【灵活运用】 (2)如图2，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF,求证： BE+CF>EF 【拓展延伸】 (3)如图3，AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于点A.点E为MN上一点（与点A不 重合)，△ABC周长记为a,△EBC周长记为b,比较a与b的数量关系并证明， 8/14 考点六角的平分线 16.如图，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D,∠B=62°，∠C=58°， B (1)用尺规作出线段AD.(不写作法，保留作图痕迹) (2)求∠ADB的度数： 17.如图，在RtAACE中，∠E=9O°，AD是∠EAC的平分线，DF⊥AC于点F,DB=DC. E B (1)求证：△BDE≌△CDF (2)∠C=40°，求∠ADB的度数. 9/14 18.△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°， D B C(0 (I)如图，若M与C重合，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延长线上，试探究BE 与CD的数量关系，并证明你的结论： （2若M在线段BC上且不与A,C重合，D在线段B上，且∠8D-AC0,ELDM 垂足E在MD的延长线上，则BE与MD的数量关系是什么？画图并说明理由. 考点七图形的轴对称 19.如图，△ABC的边CB关于CA的对称线段是CB,边CA关于CB的对称线段是CA',连接 B那，点1恰好落在BB的延长线上，1C与BB的交点为O,若4BB=56°，求4CB的度 数. 10/14 B A 20.如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与外角∠CBM的平分线相交于点D,射线BD交AC的 延长线于点N,连接CD M D (1)若AB=14,BC=8,CN=12,△BCN的面积为20，求△ABD的面积： (2)若BC是AN的垂直平分线，求∠ADC的度数. 21.如图，点D在AB上，点E在AC上，BE与CD交于点O,AB=AC,∠ABE=∠ACD 11/14 (1)求证：AD=AE; (2)求证：过点AO的直线垂直平分线段BC, 考点八画轴对称的图形 22.从镜中看到的一串数字如图所示，这串数字应为多少？ òT00I8 23.已知点PB-)与点020)： 山若八、Q关于y拍对称，求-9的值： (2)若PO∥x轴，且PQ=6,求p、q的值. 24.如图，已知△ABC与△DCB关于直线MN成轴对称，∠A=90°， 12/14 D M (1)当∠DBC=34°时，求∠ABC的度数： (2)若AB=12,BM=13,则△BCM的面积为 考点九等腰三角形 25.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D. (1)若∠B=39°，求∠CAD的度数： (2)若点E在边AC上，EFI‖AB交AD的延长线于点F,求证：△AEF为等腰三角形. 26.如图，△ABC中AB=AC,△ABD和△ACE分别为等边三角形，BE与CD相交于点F,连 MF并延长交C于点G. BC 13/14 B G B G 备用图 (I)求证：BE=CD: (2)求证：G为BC的中点： (3)已知∠BAC=&,求∠BDC的大小（用含的式子表示）. 27.探究以下问题： E D 图1 图2 (1)如图1，在△ABC中，AB=4,BC=2,求△ABC的高CD与AE的比. (2)如图2，在△ABC中，∠C=90°，点D,P分别在边AB,AC上，且BP=AP,DE⊥BP, DFLP,垂足分别为BF.若BC=10,求DF+DE的值. 14/142026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第13章～15章）阶段复习解答题考点汇总训练 （九大类型） 目录 考点一三角形的概念 1 考点二与三角形有关的线段 3 考点三三角形的内角与外角 5 考点四全等三角形及其性质 8 考点五全等三角形的判定 10 考点六角的平分线 15 考点七图形的轴对称 19 考点八画轴对称的图形 22 考点九等腰三角形 23 考点一三角形的概念 1．如图，在中，，分别是，上的点，连接，交于点． （1）以为边的三角形有几个？用符号表示； （2）以点为顶点的三角形有几个？用符号表示． 【答案】（1）个， （2）个， 【分析】本题考查认识三角形，熟记三角形的定义是解决问题的关键． （1）根据三角形的定义，由图数出以为边的三角形即可； （2）根据三角形的定义，由图数出以点为顶点的三角形即可． 【详解】（1）解：以为边的三角形有个， 用符号表示：； （2）解：以点为顶点的三角形个， 用符号表示：． 2．观察下面的三角形，其中哪些是锐角三角形，哪些是直角三角形，哪些是钝角三角形？ 【答案】锐角三角形：③ ⑤；直角三角形：① ④ ⑥；钝角三角形：② ⑦ 【分析】根据三角形按角分类的定义：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，据此对图中三角形逐个分类即可求解． 【详解】解：观察图形可得①，④，⑥中都有一个标注直角符号的内角，说明有一个内角是直角，因此①④⑥是直角三角形； ②，⑦中都有一个内角是钝角，因此②⑦是钝角三角形； ③，⑤中三个内角都是锐角，因此③⑤是锐角三角形． 3．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为20，其中一边长为8，求它的“优美比”的值． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，①长为8的边为腰时，求出底边长，根据“优美比”的定义求解；②长为8的边为底时，求出腰长，根据“优美比”的定义求解． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当长为8的边为腰时， 等腰三角形的周长为20， 的底边长为， “优美比”为． ②当长为8的边为底边时，的腰长为， “优美比”为． 综上所述，它的“优美比”的值为或． 考点二与三角形有关的线段 4．已知：的三边长分别为，，． （1）化简：； （2）的两边长为2和7，周长为偶数，求出周长． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用三角形三边关系，判断绝对值内部代数式的正负，去掉绝对值符号，再合并同类项化简． （2）利用三角形三边关系求出第三边取值范围，结合周长是偶数的条件确定第三边长度，计算周长． 【详解】（1）解：是的三边长， ，． ，． ； （2）解：设第三边长为． 根据三角形三边关系： ， 即， 三角形边长为整数，且周长为偶数， 已知两边和，是奇数，奇数+奇数=偶数， 第三边必须是奇数． 在范围内的奇数只有． 周长． 答：的周长为16． 5．如图，在中，，边上的中线把三角形的周长分为和的两部分，求的长． 【答案】 【分析】先根据中线性质得出，再结合，设，分两种情况根据周长列出方程组求解，最后验证三边能否构成三角形． 【详解】解：∵是边上的中线， ， ， ， 设， 分两种情况： 当时，即， 解得：， ∴，， ∵， ∴该三角形不存在，故舍去； 当时，即， 解得：， ∴，，经检验，符合题意， ∴的边长为， 综上所述：的长为． 6．如图，是的高，，，求的值． 【答案】 【详解】解：，是的高， ． ，， ． 考点三三角形的内角与外角 7．如图，从点观测处、处的仰角分别为，，从处观测处的仰角为，则从处观测，两处的视角是多少度？ 【答案】 【分析】两直线平行，内错角相等，先求出的度数，再利用平角定义求出的度数，最后用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：如下图所示， ， ， ， ， ， ． 8．如图，把的纸片沿着折叠． （1）若点A落在四边形的内部点的位置（如图1），且，，请求出的度数； （2）若点A落在四边形的外部的上方点的位置（如图2），求证：． 【答案】（1） （2） 证明：由折叠的性质得，，， ， ， ， ， ， ， ，即． 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义：本题解题的关键在于理解和掌握折叠的性质以及能够熟练运用三角形的内角和定理； （1）由折叠的定义得到，，，再由平角的定义求出，的度数，即可根据三角形内角和定理求出的度数； （2）先由折叠的性质得到，，，再由平角的定义得到，则由三角形内角和定理得到，则，进而得到，即． 【详解】（1）解：由折叠的性质得，， ，， ， 同理，， ， （2）解：略． 9．探究以下问题： （1）问题发现：如图1，是的外角的平分线，且交的延长线于E． ①若，求的度数； ②请用等式表示之间的数量关系，并说明理由； （2）拓展研究：如图2，点D，E分别在的两边，的延长线上，若，直接写出之间的等量关系． 【答案】（1）①；②∵， 又∵CE是的外角的平分线， ， （2） 【分析】（1）根据三角形的外角的性质结合角平分线的定义，进行求解即可； （2）根据三角形的外角的性质，结合已知条件进行推导即可. 【详解】（1）解：①∵是的一个外角， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∵， ∴； ②略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴. 考点四全等三角形及其性质 10．写出下列每组全等图形中的对应边和对应角． 【答案】 图（1）中的对应边分别是：与，与，与， 对应角分别是：与，与，与； 图（2）中的对应边分别是：与，与，与，与， 对应角分别是：与，与，与，与． 【分析】本题主要考查全等图形的概念，熟练掌握其概念是做题的关键．根据全等图形的概念和图示即可得出答案． 【详解】略 11．玩具店有三种型号的拼板（如图所示），其中A型板每块3元，B型板每块4元，C型板每块5元．小明现在想拼一个与图中的正方形全等的图案，且只选一种型号的材料，那么小明选哪种材料最省钱，要用多少元？    【答案】选用A型材料最省钱，要用36元 【分析】本题考查全等图形的定义和性质，方案选择问题，全选A型板时，要与的正方形全等，需满足所选A型板中小正方形的总数与的正方形中小正方形的总数相等． 【详解】解：拼成的正方形全等的图案： 用A型板12块，每块3元，花费（元）， 用B型板12块，每块4元，花费（元）， 用C型板9块，每块5元，花费（元）． 所以，选用A型材料最省钱，要用36元． 12．如图，已知，点、、在同一条直线上． （1）请判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）解：，理由如下： ， ， ； （2） 【分析】（1）利用全等三角形的对应角相等，结合内错角相等判定两直线平行； （2）利用全等三角形的对应边相等，结合线段和的关系求出的长． 【详解】（1）略 （2）解： ，， ， ， ， ， ． 考点五全等三角形的判定 13．如图，点A，F，C，E在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴． 【分析】本题主要考查三角形全等的证明，根据等式的性质可得，根据平行线的性质可得，然后根据证明即可． 【详解】略 14．如图，已知：，，． （1）求证： （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2） 【分析】（1）由平行线的性质得到，再证明，即可利用证明； （2）根据线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 15．【初步探索】 （1）如图1，是的中线，探究与的大小关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长至点E，使，连接，先证明，可得出结论，他的结论应是___________ 【灵活运用】 （2）如图2，是的中线，E、F分别在、上，且，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，为的角平分线，直线于点A．点E为上一点（与点A不重合），周长记为a，周长记为b，比较a与b的数量关系并证明． 【答案】（1） （2）证明：延长至G，使得，连接，，如图： 在和中， ， ， ， 在和中 ， ， ， 在中，两边之和大于第三边， ， 又，， ； （3）①点E在点A右侧时，延长到F，使，连接，如图： 由图可得，， 在和中， ， ， ， ，，为三边， ， ， ， ，即； ②点E在点A左侧时，延长到F，使，连接，如图： 由图可得，， 在和中， ， ， ， 为三边， ， ， ， ，即， 综上所述，． 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系解答即可； （2）延长至G，使得，连接，，根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系解答即可； （3）分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：延长至点E，使，连接，如图： 在和中， ， ， ， ， ； （2）略 （3）略 考点六角的平分线 16．如图，中，平分交于D，，． （1）用尺规作出线段．（不写作法，保留作图痕迹） （2）求的度数； 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据角平分线的作图方法得到； （2）根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵在中，，，， ∴． ∵是的角平分线， ∴， 在中，，， ∴． 17．如图，在中，，是的平分线，于点，． （1）求证： （2），求的度数． 【答案】（1）证明：∵是的平分线，， ， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【分析】（1）先证明，即可证明全等； （2）求出，，再得出，根据三角形内角和求出结论； 【详解】（1）略 （2）解：在中，，，是的平分线， ∴， ， ∵， ∴， ， ． 18．中，，． （1）如图，若M与C重合，平分，，垂足E在的延长线上，试探究与的数量关系，并证明你的结论； （2）若M在线段上且不与B，C重合，D在线段上，且，，垂足E在的延长线上，则与的数量关系是什么？画图并说明理由． 【答案】（1） ， 理由：延长交延长线于N点， ∵，， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2） ， 过M作交延长线于N点，交于Q点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理， （1）延长交延长线于N点，根据题意证明出，得到，然后证明出，得到，即可证明出； （2）过M作交延长线于N点，交于Q点，首先证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：，，，，．全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等． 【详解】（1）略 （2）略 考点七图形的轴对称 19．如图，的边关于的对称线段是，边关于的对称线段是，连接，点恰好落在的延长线上，与的交点为，若，求的度数． 【答案】 【分析】根据折叠的性质，三角形内角和，求解即可； 【详解】解：∵关于的对称线段是， ∴． ∵， ∴， ∵关于的对称线段是， ∴， ∴， ∴， 又∵点落在所在的直线上，， ∴， ∴， ∴． 20．如图，在中，的平分线与外角的平分线相交于点D，射线交的延长线于点N，连接． （1）若，，，的面积为20，求的面积； （2）若是的垂直平分线，求的度数． 【答案】（1）14 （2） 【分析】（1）过点D分别作，，的垂线，垂足分别为E，F，G，则，根据的面积为20，即与的面积和为20，计算出，再用面积公式计算的面积即可； （2）根据是的垂直平分线推导，再结合平分得到，利用角平分线的判定得到平分，从而利用外角的性质推导 ，从而得解． 【详解】（1）解：过点D分别作，，的垂线，垂足分别为E，F，G， ∵和分别平分和，且，，， ∴． ∵的面积为20， ∴ ，即 ∴， ∴， ∴ ． （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵平分， ∴=， ∴． ∵且，， ∴平分， ∴． ∵， ∴ ． ∵， ∴ ． 21．如图，点在上，点在上，与交于点，，． （1）求证：； （2）求证：过点的直线垂直平分线段． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴点都在的垂直平分线上， ∴过点的直线垂直平分线段． 【分析】（）证明即可求证； （）证明，得到，再根据线段垂直平分线的判定即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 考点八画轴对称的图形 22．从镜中看到的一串数字如图所示，这串数字应为多少？ 【答案】 【分析】关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字． 【详解】解：∵是从镜子中看， ∴对称轴为竖直方向的直线， ∵镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， ∴这串数字应为． 23．已知点与点． （1）若P、Q关于y轴对称，求的值； （2）若轴，且，求p、q的值． 【答案】（1） （2），或， 【详解】（1）解：点与点关于y轴对称， ∴，， ∴； （2）解：轴，且，点，点， ∴，， ∴，或，． 24．如图，已知与关于直线成轴对称，， （1）当时，求的度数； （2）若，，则的面积为________. 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，解题的关键是掌握对称的性质． （1）根据对称的性质可得，再根据三角形的内角和即可求解； （2）根据对称的性质可得，，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：与关于直线成轴对称， ， ， ; （2）与关于直线成轴对称， ，，即， ， ， 故答案为：． 考点九等腰三角形 25．如图，在中，，于点D． （1）若，求的度数； （2）若点E在边上，交的延长线于点F，求证：为等腰三角形． 【答案】（1） （2）证明：， ； 由（1）得，， ， ， 是等腰三角形． 【分析】（1）由，则，根据，然后通过等腰三角形的“三线合一”性质即可求解； （2）根据，得，然后由（1）得，，所以，最后通过等腰三角形的判定即可得证． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）略 26．如图，中，和分别为等边三角形，与相交于点F，连并延长交于点G． （1）求证：； （2）求证：G为的中点； （3）已知，求的大小（用含的式子表示）． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵和为等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴G为的中点； （3） 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质得出，，，证明出，即可得出； （2）根据得，再根据线段垂直平分线的判定即可证明； （3）根据和是的垂直平分线得，再借助和为等边三角形得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）可知，是的垂直平分线， ∵，， ∴， ∵和为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 27．探究以下问题： （1）如图1，在中，，，求的高与的比． （2）如图2，在中，，点分别在边，上，且，，，垂足分别为．若，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用面积相等，把高表示成面积和高对应的边的关系式，即可求出与的比； （2）分别求出的面积，根据各三角形的面积之间的关系，最后得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得，， ， ． （2）解：由题意得． ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $