四川省重庆市大足中学2026-2027学年高二上学期10月考试数学试题

大足中学高2028届高二上期第一次月考 数学试题 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1、直线l:x+√3y-1=0的倾斜角为() A.30° B.60 C.120 D.150 2、从1,2,4,7中随机选取两个不同的数，则这两个数之和大于5的概率为() A青 B. e D.Z 3、若直线I过点(3,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线1的条数为() A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 4、已知圆台下底面的半径为上底面半径的2倍，高为2，母线长为√5，则这个圆台的体积 为() 14」 A.3元 B.2 5、如图，在正三棱柱ABC-ABC,中，AB=AA,则异面直线AC与AB所成角的余弦值 是() A.0 B.2 4 c.6 4 D. 6、已知直线1：ax+y-2a-1=0(a为参数)，A(3,2),B(5,-1),若直线1与线段AB（包 括端点)恒有公共点，则a的取值范围为() A到 B13 c (小匠) 7、在四面体S-ABC中，AB⊥BC,AB=BC=1,△SAC为正三角形，二面角S-AC ~B的余弦值为-5 ,则四面体S-ABC的外接球表面积为() A.3π B.4元 C.5π D.6元 8、四棱能P-ABCD中，AB=AD=ViD,CB=CD=5,∠BAD=子PB=4、PC=3, △PBC内部一点Q满足四棱锥Q-ABCD和三棱锥Q-PAD的体积相等，则PQ长度 的最小值为0 A、 B,3 c35 D.6V13 5 13 5 13 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 9、设m,n为空间中两条不同直线，x,B为空间中不同的平面，下列说法正确的是( A、m∥o,o⌒B=n,则ml∥n B.m⊥a,n⊥a,则mlln c.axlB,mlla,则mllB或mcB D.m⊥，n⊥B,m⊥n,则a⊥B 10、一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球从袋中不放回 地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件A=“两次都摸到红球”，事件B=“两 次都摸到白球”，事件C=“两次摸到的小球颜色不同，事件D=“两次摸到的小球颜色相同”， 事件=“至多摸到一个红球”。则下列事件互为互斥且不对立事件的是() A.A与B B.C与E C.A与C D.C与D 11、己知正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，动点P满足CP=CC,其中2∈[0，I.经 过A,B,P三点的平面α与正方体表面的交线构成多边形Y,则() A.当九=0时，直线BD与平面a垂直 B.32∈(0,1)，使得多边形Y为五边形 C.∈(0,1)，使得AP+PD=2V7 2π D.平面截正方体内切球所得截面的面积最小值为 3 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12、设=(1，-2,3)，万=（-31,2)，ka+b与6垂直，则k等于 13、在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，E,F分别为线段BC,DD的中点， 则点F到直线AE的距离为 14、甲、乙两个转盘均标有数字1,2,3，甲转盘指向1的概率为p,指向2,3的概率相等；乙转盘指向的 概率为q,指向2,3的概率相等，其中p,q∈(0,1)，若“甲转盘指向”与“两个转盘指向不同的数字” 相互独立，则q= 四、解答题（本大题共5个小题，共77分。解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.甲、乙两人参加某公司的招聘，招聘过程分为笔试和面试，笔试共有3道题，这3道题 都解答正确才能进入面试环节.己知甲答对这3道题的概率依次为亏2,3 311 ,乙答对每道 慰的概率均为2，且甲、乙两人每道题是否答对互不影响，甲、乙两人是否进入面试环节 也互不影响. (1)求甲进入面试环节的概率： (2)求甲、乙两人中恰有一人进入面试环节的概率. 16.如图，正四棱柱ABCD-AB,CD,中，AB=2,AA=4,点M,N分别是棱AB,AD 的中点， (I)求证：直线BM/平面ACN; (2)求直线BM到平面ACN的距离. 17、平面直角坐标中，一直线1过点M(2,1) (1)A(1,-1),B(4,2),若与直线AB垂直，求直线的方程（结果化为一般式) (2)若l与x轴和轴的正半轴分别交于A,B两点，求MAMB的最大值及此时直线的方程（结果 化为一般式) 18.如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点，△OCD 是边长为1的等边三角形，且y,o=点 6 (1)证明：OA⊥CD: (2)求直线CD和平面ABC所成角的正弦值； (3)在线段AD上（不包括端点）是否存在点E,使平面BCA和平面BCE夹角余弦值为5？ 5 若存在，并求出 的值.若不存在，请说明理由 DE 19.如图1，在梯形ABCD中，ABIICD,E是线段AB上的一点，BE=CD=CE=√2， BC=2,将△ADE沿DE翻折到APDE的位置. M 图1 图2 图3 (1)如图2，若M是BC的中点，二面角P-ED-B为直二面角，证明：平面PM⊥平面 PED (2)如图2，若二面角P-ED-B为直二面角，M,N分别是BC,PE的中点，若直线MN 与平面PBC所成角为0，si咖0>5 求平面PEC与平面PBC所成锐二面角余弦值的取 6 值范围。 (3)我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点K为线段CE 的中点，G,H分别在线段PK,CD上（不包含端点），且GH为PK,CD的公垂线，如图3 所示，记体CKGH约内切球华华为r,正明：→2G 21 大足中学高2028届高二上期第一次月考 数学试题（参考答案） 参考答案 一、单选题14DCCA 5-8 DBAD 二、多选题 9、BCD 10、AC 11、ACD 二、填空题12、1413、√105 14、1 5 3 三、解答题 15、解折1)设事件4为甲答对第道题，i=1,23,则P(4)=号P(4,)=方，P(4)=3 设事件A为“甲进入面试环节’，则A=A44, 所以P-P4P4)-P4)-20 6分 (2)设事件8为乙答对第道题，i=12,3,则P(B,)=P(B,)=P(8,)=2 设事件B为“乙进入面试环节”，则B=BB2B, 则到=2aPra)ra-分号有回-i@=1-日 由知P=品所以P国=1-P-8 由题意可知，事件A,B相互独立，事件A,B相互独立， 设事件C为“甲、乙两人恰有一人进入面试环节”，则C=ABUAB, 南似PG=例+r=P④r回+同r(=+品×-号1s分 16、解(1)如图所示，以D为坐标原点，DA,DC,DD为x,y,z轴建立空间直角坐标系一一一一1分 M B A B 则A(2,0,0),C(0,2,0),(1,0,4),B(2,2,0),M(2,1,4),N(1,0,4) AC=(-2,2,0),A=(-1,0,4),AB=(0,2,0),BM=(0,-1,4), 设平面4Cv的法向量为=，以)，则4C万=0，。 -2x+2y=0 即 W=0 -x+4z=0】 设z=1,解得x=4,y=4,则平面ACN的一个法向量为元=(4,4,1)， -7分 则BM·=0-4+4=0,得BM⊥n, -8分 又直线BM不在平面ACN内，则直线B.MH平面ACN.一 一9分 AB.n P (2)点B到平面ACN的距离d= 8vV33 -15分 例 V16+16+133 17、解析：(1）k4B=1,则k,=-1 所以1：x+y-3=06分 (2、设1的方程为：+Y=1(a>0,b>0) ab 因为2+-l,MM=5-(2a+b月 -9分 由基本不等式可知a+b=(+bX2+月 -5+2a+2b25+22a.25=9.放0MAM=-4 b a b a --12分 当且仅当b,即a=b=3等号成立 -14分 b a 此时的方程为：x+y-3=0一一一15分 18、解析：(1)“AB=AD,O为BD的中点：OA⊥BD, 又：平面ABD⊥平面BCD,平面ABDO平面BCD=BD,OAC平面ABD, :OA⊥平面BCD, :CDc平面BCD,·.OA⊥CD; 一一3分 (2)分别取CB、CD的中点为F、G,连结OF、OG, :O为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形， :△BCD是直角三角形，BD=2OD=2,CD=1,BC=(BD2-(CD)}=V3, ·CB、CD的中点为F、G,OFICD,OGI/BC,OF⊥OG, 由(1)得，AO是三棱锥A-BCD底面BCD的高，△AOB是直角三角形， 2 40x840分51-g.40= 以O点为坐标原点，分别以OF、OG、OA所在的直线为x,y,z轴， 如图建立空间直角坐标系， -5分 则aa叭.F传o9小4a.g90小c传90小n9小 m-(a0.成-o0.a-合5-小 设n=(x,,Z)是平面ABC的一个法向量， 则 R·BC=0 V3y=0 (n4B=0' 即15 2-2片-名=0 令乙=1，则x=2,元=(2,01)，问=5，CD=1, cosn,CD h·CD 2N5 --9分 CD 5 :直线CD和平面ABC所成角的正弦值等于25， -10分 (3)在棱AD上存在点E,使平面BCD和平面BCE夹角的大小为45° 设AE=元AD(0≤≤1)， 血，c-a0.a-5小 而9小亚-而刘 面BCA的法向量1=(2,0,1) -12分 3 2·BC=0 设元=(x,2,2)是平面BCE的一个法向量，则 %2·BE=0 [+1.5(+1, 即2 -x2十 2 2+(-元+1)22=0 N3y2=0 取x2=2(九-1)，22=-元-1，h=(21-2,0,-元-1)， 一14分 由平面BCD和平面BCE夹角余弦值， Icosnz,nl= 9 5 即 λ+1 25 2-22+(+1) 51 整理得，112+61-5=0 解得，入=或1=-1（舍去）， -16分 所以，正=而，AE=品AD 所以，在棱AD上存在点五，使平面BCD和平面BCE夹角的余弦值为5，是-。 一一一17分 19解析：(1)证明：由题意知∠BEC=∠ECD=∠AEC=90°，∠PED=∠AED=45°， 而BE=CE,M是BC的中点， 所以ME⊥ED, 又平面PED⊥平面BCDE, 平面PED∩平面BCDE=DE,MEC平面BCDE, 所以ME⊥平面PED,MBC面PEM,所以面PEM⊥面PED-3分 (2)在平面PDE内作ED的垂线作为z轴，所以ME⊥z轴， B M 如图以E为坐标原点，分别以EM,ED为x,y轴正半轴建立空间直角坐标系： 因为BE=CD=CE=N2,BC=2,设PE=t(t>0) 所以E(0,0,0),M(1,0,0),B(1,-1,0),C(11,0),D(0,2,0): 号 4 所以M 9 sc-a2叭m-号2-0s分 设平面PBC的法向量%=(x,,Z) [z·BC=24=0 得 取乃= 2501 h·N 2+ 4 sine= n MN 1 12 121+ Vt4+62+86 4 解得V2<t<2 一7分 设平面PEC的法向量乃2=(x22,22), 元EC=x2+y2=0 8% 得 ，取为2=1，得2=(1，-1,1)， 、z2=0 2 设平面PBC与平面PEC所成锐二面角为C,则 12 2 -t+1 t+1 2 1 2V2 1+ 9分 3 12+1 V3 .2 t+ 由于y=+子在（迈，2上单调递，枚22<+子<3. 2 -10分 所以平面PBC与平面PEC所成锐二面角余弦值的取值范围是 2+16 3’3 -11分 (3)证明：S是四面体的表面积，Vx-cGw= Sr,令异面直线KG与CH所成角为a, 3 5 Vx-cw-GH.CH.KGsin@3-GH.CH.KG. 一--一12分 6 6 wl-6,m-K&6, -一13分 因为GH是公垂线，CD上的点和PK上的点的最短距离是GH, ScxG>SkGH,SKH>S,cG(取不到等号)，----15分 ..S>CH.GH +KG.GH=GH.(CH +KG), GH-CH.KG>GH-(CH+KG)-r. 可G+ 一一一一一一17分