精品解析：重庆市第七中学校2026-2027学年高二上学期十月月考数学试题

重庆市第七中学校2025—2026学年度上期 高2028届月考考试数学试题 （考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定的位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题卡区域均无效. 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（ ）. A. 或 B. C. D. 3. 已知四棱柱的底面为平行四边形，为与的交点.若=，=，=，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 4. 四棱锥中，底面是平行四边形，，，，则直线与底面的关系是 A. 平行 B. 垂直 C. 在平面内 D. 成60°角 5. 若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，，是的垂心，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方体中，点P在线段上运动（包含端点），则直线与所成角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. 直线的倾斜角为 C. 直线在轴上的截距为 D. 原点到的距离为 10. 若平面的一个法向量为，，，则（ ） A. 若与共线，则 B. 向量在向量上的投影向量为 C. 点到平面的距离为 D. 直线与平面所成的角的余弦值为 11. 如图，在三棱锥中，平面平面，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与平面所成的角为 C. 二面角的余弦值为 D. 若，则到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线l经过点，且与直线平行，则l的方程为________. 13. 正四面体的所有棱长都是2，分别是，的中点，则______. 14. 在四棱锥中，平面，底面为矩形，，点在线段上运动，则点到距离的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线l的倾斜角为，，且经过点. （1）求直线的方程. （2）若直线与直线互相垂直，求它们的交点坐标. 16. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，且，.设，，. （1）试用基底表示向量. （2）设M为的中点，点N在直线上，且，若A，M，N，C四点共面，求实数的值.并说明此时N点的位置. 17. 已知三棱柱中，，，，. （1）求证：平面平面； （2）若，点为线段上的四等分点（靠近点），求二面角的余弦值. 18. 如图（1），平面五边形中，，，.，将沿翻折，使得平面平面，如图（2）. （1）求证：平面； （2）记直线与平面所成的角为，若，求的长. 19. 已知动直线恒过定点. （1）求点的坐标. （2）设动直线与直线交于点，与轴交于点，过点作轴的垂线，垂足为，求证：直线过定点. （3）已知点和，设是边上一动点，且点到，的距离分别为，，若是定值，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第七中学校2025—2026学年度上期 高2028届月考考试数学试题 （考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定的位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题卡区域均无效. 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间中点的对称性结合题设可得答案. 【详解】若两点关于平面对称，则两点的纵坐标、竖坐标分别相等，横坐标互为相反数， 则点关于平面对称的点的坐标为. 2. 过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（ ）. A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率和倾斜角的关系，列出等式求解即可． 【详解】由题知，直线的斜率存在，所以A点和B点的横坐标不一样，即， 则，所以，解得或， 又，所以． 故选：B． 3. 已知四棱柱的底面为平行四边形，为与的交点.若=，=，=，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的运算法则求解即可. 【详解】由题意，根据空间向量的运算法则，可得 . 故选：C. 4. 四棱锥中，底面是平行四边形，，，，则直线与底面的关系是 A. 平行 B. 垂直 C. 在平面内 D. 成60°角 【答案】B 【解析】 【分析】 求得，计算求得，由此证得平面. 【详解】依题意，而，所以，而，所以平面. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用空间向量法判断直线和平面的位置关系，属于基础题. 5. 若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量共面的判定定理，结合基底的性质（不共面），对每个选项逐一分析向量是否共面，即可得出结果. 【详解】选项A，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，进而则可得， 得到共面，与已知矛盾，所以A正确； 选项B，因为，所以共面，所以B错误； 选项C，因为，所以共面，所以C错误； 选项D，因为，所以共面，所以D错误. 故选：A. 6. 已知点，，，是的垂心，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设，因为，且，所以. 又因为，， 所以，解得，因此. 7. 如图，在正方体中，点P在线段上运动（包含端点），则直线与所成角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】要求直线所成角，转化为方向向量所成角，建立如图所示空间直角坐标系，所以（），又，设则直线与所成角为，则，结合的范围即可得解. 【详解】 以为建立如图所示空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则，，，， 所以（） ， 则设直线与所成角为， 则， 由，所以， ，所以， 故选：B 8. 在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知平面，直线，故当、最短时，平面，，再根据向量的关系计算即可得答案. 【详解】，， ∴ ，， 即:，； 平面，直线， 所以当、最短时，平面，， 为的中心，为线段的中点， 如图： 又正四面体的棱长为1， ， 平面， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查空间向量的数量积运算，共面向量定理，共线向量定理，解题的关键在于结合共面向量定理与共线向量定理得平面，直线，进而当当、最短时，平面，，再求解. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. 直线的倾斜角为 C. 直线在轴上的截距为 D. 原点到的距离为 【答案】BCD 【解析】 【详解】由题意得，取两点，， 对于A，可得，则直线的一个方向向量为， 因为，所以与不平行，故A错误， 对于B，对于，可得， 设直线的倾斜角为，，而，得到，故B正确， 对于C，令，则，解得， 可得直线在轴上的截距为，故C正确， 对于D，设原点到的距离为，由点到直线的距离公式得，故D正确. 10. 若平面的一个法向量为，，，则（ ） A. 若与共线，则 B. 向量在向量上的投影向量为 C. 点到平面的距离为 D. 直线与平面所成的角的余弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用法向量定义可求得，根据共线向量定义可构造方程组求得的值，知A正确；根据投影向量的求法可求得B错误；根据点面距离的向量求法可求得C正确；根据线面角的向量求法可求得D错误. 【详解】因为平面，则， 可得，解得，即， 对于选项A：若与共线， 则存在实数，使得， 可得，解得：， 所以，故A正确； 对于选项B：在上的投影向量为，故B错误； 对于选项C：点到平面的距离，故C正确； 对于选项D：因为直线与平面所成角为， 则， 可得， 所以直线与平面所成角的余弦值为，故D错误. 11. 如图，在三棱锥中，平面平面，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与平面所成的角为 C. 二面角的余弦值为 D. 若，则到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：若为中点，连接，易证△△，则△、△都为等腰三角形，有，再应用线面垂直的判定、性质证结论； B：由面面垂直的性质知在面上的射影在直线上，找到线面角，再求其大小； C：构建空间直角坐标系，求面、面的法向量，应用空间向量夹角运算求二面角余弦值； D：应用等体积法求点面距离. 【详解】若为中点，连接， 由，，易得△△，所以， 故△、△都为等腰三角形，则， 又，面，故面，面， 所以，A正确； 因为平面平面，且平面平面， 所以在面上的射影在直线上， 连接，，则面，故为直线与平面所成角的平面角， 面，故，由题意， 故，即， 所以直线与平面所成角为，B错误； 令，由上分析知：，故，， 由上易知：△△，即，且面，故， 构建如下空间直角坐标系，则，，， 所以，，若是面的一个法向量， 则，令，则， 而是面的一个法向量， 所以，故钝二面角的余弦值，C正确； 若，则，，且， 所以，， 又，令到平面的距离为， 所以，可得，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线l经过点，且与直线平行，则l的方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】设与直线平行的直线为，代入点可得答案. 【详解】设与直线平行的直线为，代入点， 得，则直线方程为：. 13. 正四面体的所有棱长都是2，分别是，的中点，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】以向量为空间向量的基底，求出，再利用空间向量的数量积运算即得. 【详解】正四面体的所有棱长都是2，分别是，的中点， 则， ， 因此 . 故答案为： 14. 在四棱锥中，平面，底面为矩形，，点在线段上运动，则点到距离的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】在线段上作一点，线段上作一点，使得四边形是矩形，由相关性质可将点到直线距离最小值转化为点到点距离最小，最后计算可得. 【详解】因为点在线段上运动，设，， 在线段上作一点，使得， 在线段上作一点，使得如图所示， 由三角形性质可知，在中，，且， 因为底面是矩形，所以，所以且， 所以四边形是平行四边形， 因为平面，平面， 所以，因为， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以四边形是矩形， 所以点到点的距离即为点到线段的距离 因为，所以当为中点时，最小， 即， 所以点在线段上运动，点到距离最小为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线l的倾斜角为，，且经过点. （1）求直线的方程. （2）若直线与直线互相垂直，求它们的交点坐标. 【答案】（1） （或）； （2） . 【解析】 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式求出直线方程； （2）根据两直线垂直列方程求，联立两直线方程求交点坐标. 【小问1详解】 由题可得，，则，则， ∴直线的斜率，且直线过点， ∴由直线的点斜式方程得， 即； 【小问2详解】 因为直线与直线互相垂直， 所以，所以， 联立，解得，， 所以直线与直线的交点坐标为. 16. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，且，.设，，. （1）试用基底表示向量. （2）设M为的中点，点N在直线上，且，若A，M，N，C四点共面，求实数的值.并说明此时N点的位置. 【答案】（1）. （2）,是线段的中点. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可； （2）先根据中点条件、向量数乘表示出相关向量，再由四点共面的向量共面定理，得到共面向量之间的线性关系式，依托空间基底向量不共面，建立系数方程组求解参数，进而确定点的位置. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为是中点， 所以， 而， ， 因为四点共面，所以存在实数，使得， 则， 由于不共面，则，解得，，， 则，即，说明是线段的中点. 17. 已知三棱柱中，，，，. （1）求证：平面平面； （2）若，点为线段上的四等分点（靠近点），求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：在三棱柱中，四边形是平行四边形, 又，所以四边形为菱形，连接，则， 又因，平面，所以平面， 因为平面，所以， ，，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）. 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 取中点，连接， 由，，是等边三角形，故， 由(1)可知，平面平面，交线为，平面， 所以平面， 以为原点，为轴，过作平行于的方向为轴，为轴建立空间直角坐标系， ， 是上靠近的四等分点，，得， 则， 平面就是平面，该平面的一个法向量可取为， 设平面的法向量为， ，则可取， ， 由图知二面角为锐二面角， 故二面角的余弦值为. 18. 如图（1），平面五边形中，，，.，将沿翻折，使得平面平面，如图（2）. （1）求证：平面； （2）记直线与平面所成的角为，若，求的长. 【答案】（1）因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为平面， 所以平面. （2）或. 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面，再由线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证得平面； （2）设，建立空间坐标系，由线面角的向量求法求得的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为.，所以. 所以过点作直线的垂线，垂足为， 所以，. 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面. 以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，过点作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，则. 所以， 设平面的一个法向量为， 所以， 令，则， 所以平面的一个法向量为， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以或. 即或. 19. 已知动直线恒过定点. （1）求点的坐标. （2）设动直线与直线交于点，与轴交于点，过点作轴的垂线，垂足为，求证：直线过定点. （3）已知点和，设是边上一动点，且点到，的距离分别为，，若是定值，求实数的值. 【答案】（1） （2）由，得， 解得，所以. 所以. 所以. 对， 令，得， 得. 所以. 所以直线的方程为， 化简得，， 即， 由，得. 所以直线恒过定点. （3） 【解析】 【分析】（1）对直线分离参数，得，令，可得点的坐标； （2）分别表示出的坐标，从而得的方程，分离参数，可证得直线过定点； （3）分别求得边，直线的方程，设 ，用表示出，根据是定值，得的系数为，从而求得实数的值. 【小问1详解】 由， 得. 由，得. 所以动直线恒过定点，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，，， 所以边的方程为， 即. 直线的方程为，即； 直线的方程为，即. 设，则， 所以， ， 若是定值，则为定值， 所以，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $