3.4 相似三角形的性质（七大题型）专项练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以相似三角形性质为核心，通过七类题型构建从基础应用到综合创新的知识逻辑链，突出几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质求解|3题|直接应用相似比、面积比|性质基础应用| |判定与性质综合|3题|结合平行四边形等判定相似|性质与判定融合| |证明线段成比例|2题|利用相似推导比例关系|逻辑推理训练| |网格作图|2题|格点相似三角形作图|几何直观应用| |动点问题|3题|动态相似分类讨论|空间观念培养| |实际应用|3题|标杆、影长等测量问题|应用意识体现| |折叠问题|3题|折叠与相似结合|转化思想渗透|

3.4相似三角形的性质 题型一利用相似三角形的性质求解 DE 1.如图，△ABC中，点D是AB的中点，DE∥BC,则BC的值为( A D C A.2 B.3 C.1 D.2 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质.利用平行线的性质得到两组对应 角相等，从而证明三角形相似，再结合中点条件得到相似比，进而求出线段的 比值 【详解】解：，DE‖BC, ∴.∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB, ∴.△ADEn△ABC, 点D是AB的中点， 、AD_DE_I .ABBC2· 故选：A. 2.已知△ABCADEF,△ABC与△DEF的面积之比为I4,则△ABC与△DEF的周长 之比为 【答案】1：2 【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，先求出 两个三角形的相似比，即可得到周长之比. 【详解】解：：MBCADEF,△MBC与△DEF的面积之比为l:4, ·△4BC与△DEF的相似比为V4 =1:2 相似三角形的周长比等于相似比， ÷△1BC与ADEF 1:2 的周长之比为. 3.如图，在△ABC中，D为边AC上一点，∠DBC=∠A. B (I)求证：△3DCAABC; (2)若CD=l,AC=4,求BC的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是 解决问题的关键。 (1)由两组对应角相等的三角形相似直接判定即可得到答案； BC DC (2)由(1)中BDC∽AABC得到ACBC,代入值计算即可得到答案 【详解】(1)证明：：∠DBC=∠A,∠BCD=∠ACB, .△BDC一△ABC (2)解：由(1)知ABDCAABC, BC DC :AC BC' .CD=1,AC=4 BC 1 .4BC, ∴BC=V4=2 题型二相似三角形的判定与性质综合 4.如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别为BC,CD边的中点，连接AE,BF PE 交于点P则4P的值为( ) D E A.3 B.4 0.5 D. 3 【答案】B EG BE 1 【分析】过点E作EG∥CD交BF于点G,证明BEG6BCF,则FC=BC2: EG EG 1 PE_EG_1 进一步得到CD=AB4:证明△APB∽△EPG,即可得到APAB4: 【详解】解：过点E作EG∥CD交BF于点G, D G ∴.∠BEG=∠BCF,∠BGE=∠BFC, ∴.△BEG∽ABCF ,E是BC的中点， EG BE 1 .FC=BC2· ,F是CD的中点， .CF=CD 2 在平行四边形ABCD中，AB∥CD,AB=CD EGEG 1 ∴.CD=AB4·AB∥GE .∠EGP=∠ABP,∠PEG=∠BAP ∴.△APB∽△EPG, PE EG 1 .APAB4· 5.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,BC上的点，且DEI‖AC,AE,CD交于点 F,若5e=2:5 SADEF:S△AFC= ，则 B E 4 【答案】4：49/ 【分析】先根据已知得到BE:CE=2:5,则BE:BC=2:7,证明△BDE∽aBCA, △DEF∽ACAF 利用相似三角形的性质求解即可. 【详解】解：，SaE:SADEC=2:5, .BE:CE=2:5, ∴.BE:BC=2:7, .DE∥AC, ∴△BDE∽aBCA,△DEF∽ACAF, .'DE:AC=BE:BC=2:7, 则SDBr:S4c=22:72=4:49 6.如图，在△ABC中，AB=AC,E,F分别是边AB,BC上的点，连接CE, F,相交于点D,已知B nBF=CF∠B+∠EDF=180 5 D F (I)求证：△ABF∽△CBE: (2)若BC=6,AF=6,求△BCE的面积. 【答案】(1)证明：AB=AC,BF=CF, .AF⊥BC .∠AFB=90° 1 ∠B+∠EDF=180° ,四边形BEDF内角和为360°， .∠CEB=180°-∠AFB=180°-90°=90° ∴.∠AFB=∠CEB ∠B=∠B .△ABF∽△CBE 36 (2)5 【分析】(1)根据等腰三角形的性质证明∠AFB=90°，再由∠B+∠EDF=180°证 明∠CEB=90°，从而得到∠AFB=∠CEB,则△ABF∽aCBE可证； (2)先求出AB再利用△ABF∽△CBE求出 BE=6V5 5，求出两个三角形的相似比和 △ABF 的面积，利用相似三角形面积之比等于相似比求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：BC=6,BF=CF, .BF=3 ∠AFB=90° 由(1)知 小由勾股定理得，B=VBF2+AF=3+6=3V5 ,△ABFACBE E D BF AB B C BE BC 33V5 BE 6, .BE= 5, BF 35 BE 652 'S△ABF= AF.BF_6x3=9 2 2 7 36 5 BE 题型三证明三角形的对应线段成比例 7.如图，平行四边形ABCD中，AB=9,AD=6,点E,F分别在AD,AB上， 若DE=3,△3CFADCE,则BF=() A E D F B A.1 B.2 C.4 D.5 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形中的性质，相似三角形的对应边成比例.先根据 平行四边形的性质得到BC=AD=6,CD=AB=9,然后根据相似三角形的对应 边成比例解答即可. 【详解】解：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.BC=AD=6,CD=AB=9, .△BCF∽△DCE, 8 BF BC BF 6 ∴DE=DC,即3-9， 解得BF=2, 故答案为：B. 8.如图，在△ABC中，点D在边BC上，AElIBC,BE与AD,AC分别相交于点 F,G,AF2=FG·FE, E (I)求证：△CAD∽aCBG; (2)若AC=6,BC=7,G为AC的中点，求CD的长. 【答案】（①） 证明：，AEIIBC, ∴.∠E=∠CBG, ..AF2=FG.FE, AF FE FG AF' .∠GFA=∠AFE, ∴.△GFASAAFE, .∠GAF=∠E,即∠CAD=∠E, ∴.∠CAD=∠CBG, .∠C=∠C, .△CADP△CBG 8 (2)7 【分析】此题重点考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导 出∠CAD=∠CBG,进而证明△CADACBG是解题的关键. (1)由AElBC,得∠E=∠CBG,由AF2=FG·FE,∠GFA=∠AFE,所以 △GFA-.AFE,则CMD=∠E,所以<CD=∠CBG,而 C=∠C ，即可根据“两 角分别相等的两个三角形相似”得到结论： (2)曲4C=6,6为AC的中点，符QG=4G=号4C=3,而BC-7,申相似三角 CD AC 6 形的性质得CGBC=7,求出cD长即可. 【详解】(1)略 (2)解：：AC=6,BC=7,G为AC的中点， 、.CG=4G=AC=2x6=3, .ACADACBG, CD AC 6 :.CG AB 7' 7, 10 18 ·CD的长是7. 题型四在网格中画已知三角形相似的三角形 9.如图，△ACD的三个顶点均在1×3网格的格点上，请选三个格点组成一个格点 三角形，它与△ACD有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是 H 【答案】△ECA(答案不唯一) 【分析】本题考查相似三角形的判定，由CDAC=AC:CE,∠ACD=∠ACE,判定 △ACDAECA 【详解】解：这个格点三角形可以是aECA(答案不唯一)，理由如下： H G F D E 由勾股定理得：AC=V?+P=√2， .CD=1,CE=2, CD.AC=1:2,AC.CE=2:2=1:2, 11 .'CD.AC=AC:CE, .∠ACD=∠ACE, ∴.△ACDP△ECA. 故答案为：△ECA(答案不唯一)· 10.图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方 形的顶点叫格点（网格线的交点）.△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直 尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹. 图① 图② (1)在图①中，分别在边AB、AC上画点DE,连接DE,使△ADE一△ABC,且 AD_3 AB4· (2)在图②中，分别在边BC、AB上画点F、G,连接FG,使△BFG△BCA,且 BF 2 BC3· 【答案】(1)见解析 (2)见解析 12 【分析】本题考查格点图中画相似三角形. (1)根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； (2)根据相似三角形的判定和相似比，画图即可. 【详解】(1)解：如图，DE即为所求： A E 图① (2)如图，FG即为所求； F 图② 题型五相似三角形一一动点问题 11.如图所示，△ABC中，AB=6厘米，BC=8厘米，∠B=90°，点P从点A开始 沿AB边向B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米 /秒的速度移动.如果P、分别从A、B同时出发，若以点P、Q、B为顶点的 三角形与△ABC相似，则点P运动的时间为( 13 8cm B 6cm 18 2 1812 A.11 B.2 C.5 D.1i或5 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，利用分类思想解决问题是本题的关键.分 PB BO PB BO 两种情况讨论，可得ABBC或BCAB, 据此解答即可. 【详解】解：：∠ABC=∠PBg=90°， ①设经过s后，△PBQ∽△ABC, 根据已知条件，可得AP=t,BO=2t,则BP=6-t, :△PBO∽△ABC, PB BO :AB BC' 6-t_2t .68’ 12 解得=5； ②设经过S后，△PBO∽△CBA, △PBQ∽△CBA, PB BO :BC AB' 14 6-t=21 .86 18 解得=1i· 1812 故经过或5S后，△PBQ与a4BC相似. 故选：D 12.如图，在RaA0C中，∠A0C=90°，A0=8,0C=6,点P从点0出发以1 个单位长度/秒的速度向终点A运动，同时点Q从点A出发以4个长度单位/秒的 速度向终点C运动，运动时间为t秒，当∠OP№的平分线恰好经过OC的中点 时，t的值为 【答案】5 【分析】如图，过点C作CFⅡAO交P的延长线于点F,记OC的中点为M,过点 M作ME⊥PF于点E,连接PM,FM,可证明△FCO∽aPAg,△CFM∽△OMP,利用 对应边成比例即可求解. 【详解】解：如图，过点C作CF‖AO交P的延长线于点E,记OC的中点为M, 过点M作ME⊥PF于点E,连接PM,MF, 15 E M ←—0.0C=6 ∴.OM=MC=二OC=3 在RtAAOC中，∠AOC=90°， :4C=VO+0C2=82+6-=10 .CFIl AO ∴.∠FCQ=∠PAQ,∠CFQ=∠APQ .△FCQ△PAQ FC CO PA AO' :PA=8-4,40=4,CQ=AC-A0=10-5 5 4 4， FC 10- 4 8-t5 4 FC=8-) t, :PM平分∠OPO,MO⊥PO,ME⊥PF, EM=OM,LEPM=∠MPO=∠FPO .CM=OM, 16 ∴.CM=EM, .CF‖AO, ∠FCM+∠COA=180°， ∴.∠FCM=90°=∠FEM, ∴.FM平分∠CFP, ∠CFM=∠MFP=' ∠CFP .∠MPF+∠PFM=.x180°=90° ∠FMP=180°-（∠MPF+∠PFM）=90° ∴.∠FMC=∠MPO=90°-∠OMP, 又.∠C=∠0=90°， ∴.aCFM∽△OMP, CM CF OP OM, (8-t2 3-1 t 3 (8-t)}2=9 t≤8 ∴t=5 ∴.当∠OP№的平分线恰好经过OC的中点时，t=5, 17 13.如图，在矩形ABCD中，AB=l2cm,BC=6cm,点E自点A出发，以每秒 的速度向点D移动，同时点F从点D出发，以每秒2cm的速度向点C移动， 若移动时间为t且0<t<6. (1)当t是多少时，DE=2DF; (2)四边形DEBF的面积是否为定值？如果是，请求出这个值，如果不是，请说 明理由. (3)△DEF能否与△BCD相似？如果能，请求出所有t的值，如果不能，请说明理 由. 【答案】① (2)是，36 6 (3)1=5或t=3 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解 题的关键： (1)根据题意，列出方程进行求解即可； 18 (2)用矩形的面积减去两个直角三角形的面积进行求解即可； (3)分△EDF∽aBCD和△FDE∽aBCD,两种情况进行讨论求解即可. 【详解】(1)解：，矩形ABCD, ∴.AD=BC=6cm,CD=AB=12cm,∠A=∠ADC=∠C=∠ABC=90°， 由题意，AE=tcm,DF=2icm, 、DE=AD-AE=(6-t)cm 当E-2Dr时，则6-1，解得-： (2)解：是定值： .AE tcm,DF 2tcm CF CD-DF=(12-2t)cm ∴.四边形DEBF的面积=SABCD-SABE-S,BCr 1 =12×6-2×121-2x612-2） =72-6t-36+6t =36 (3)解：能， 矩形ABCD, .∠EDF=∠C=90°，CD=AB=12cm, 由题意，得AE=cm,DF=2cm, 19 DE=(6-t)cm DE DF 当CD-BC时，△FDEABCD, 6-t2t 6 12=6,解得1=j 5; DE DF 当BC=CD时，EDFABCD' 6-t_2t .612,解得1=3： 综上：当I=5或1=3时，ADEF能与ABCD相似. 题型六相似三角形实际应用 14.如图，小红利用标杆DE测量学校旗杆BC的高度，标杆DE高3m,测得 AE=6m BE=18m BC 则旗杆的高度是（ D 63m 46mE 18m B A.9m B.12m C.18m D.24m 【答案】B 【分析】可证△ADE∽△ACB,根据相似三角形对应边成比例即可求出旗杆BC的 高度. 【详解】解：DE⊥AB,BC⊥AB, ∴.DElIBC 20 ,∴.△ADEP△ACB AE DE AB BC .DE=3m AE=6m BE=18m .AB=AE+BE=6+18=24m 63 24BC, ∴BC=12m 15.在某一时刻，测得竹竿DF的影长EF为0.6m, DF=1.8m,同时测得旗杆 AC 的影长BC为3m,则旗杆1C的长为」 m 【答案】9 【详解】由题意知：DF⊥EF,AC⊥BC, .∠DFE=∠ACB=90° 由平行投影知：DE∥AB, .∠DEF=∠ABC ,∴.△DEFP△ABC 21 EF BC DF=AC 0.6-3 即1.8AC, 解得：AC=9, 则旗杆AC的长为9m. 16.如图，小明和小亮打算用不同的方法测量学校操场边一个垂直于路面的路 灯PH的高度.他们分别在白天和晚上利用太阳光和路灯的灯光进行测量. B ACE 图1 图2 (1)如图1，若垂直于地面的标杆MW的长为2m,在太阳光下小明测得它的影长 G为n,同一时刻，小亮测病路灯的影长0为，求路灯”的高度。 (2)如图2，小亮在晚上路灯亮后来到路灯附近，他先蹲在点A处，在路灯的照 射下，小亮的头顶最高处B的影子落在点C处，AB⊥AH,小明测得 4B=0.9m,4C=1.2m,接下来小亮站起来，在路灯的照射下，小亮的头顶最高 处D的影子落在点E处，AD⊥AH,小明测得AD=1.6m,AE=2.4m,求路灯PH 的高度. 22 【答案】(1)路灯PH的高度为7.2m (2)路灯PH的高度为7.2m 【分析】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在 太阳光的照射下形成的影子就是平行投影，也考查了相似三角形的判定与性 质 (1)由题意得△PQH∽aMG,再根据相似的性质求解即可； AB AC AD AE (2)根据题意，先证CBAPACPH,EDAPAEPH,得到PHCH'PHEH,再 代入相关值求解即可. 【详解】(1)解：由题意得△PH∽aMGN, PH HO PH3.6 M=NG,即2=1，解得PH=7.2 答：路灯PH的高度为7.2m (2)解：AB⊥AH,AD⊥AH, ∴.ACBA∽ACPH,EDASAEPH AB AC AD AE PH CH'PH EH, 0.91.21.62.4 即PHCH'PHEH, :.CH=PH EH-PH, 3 2 H-CH-名H=cE=E-Ac=12, 23 PH=7.2 答：路灯PH的高度为7.2m. 题型七折叠问题 17.如图，在四边形ABCD中，ADI川BC,BC=3AD,过点A作AE DC交BC于 点E,将△ABE沿AE翻折，得到△AB'E.BA,B'E分别与直线DC交于M,N 两点，则△MB'N与△ABE的面积之比为( ) 1 c.4 1 A. B.3 D.8 【答案】C 【分析】首先证明四边形AECD是平行四边形，得到AD=EC,推出BE=2EC, 由折叠得，E=BE,S=Sr·∠BBA=∠BEA,得到N=8N=BE,证明 △B'MN∽AB'AE 然后利用相似三角形的性质求解， 【详解】解：：ADBC,AEII DC ∴.四边形AECD是平行四边形 24 .'AD=EC ∴.BC=3AD=3EC=BE+EC .BE=2EC 由折叠得，BE=BE,SBE=S.BE,，∠BEA=∠B'EA ..AE DC ∴.∠ENC=∠B'EA,∠BEA=∠C ∴.∠ENC=LC ∴.EN=EC ∴.B'E=BE=2EN EN-BN-IBE ..AE lI DC ∴.∠B'MN=∠B'AE,∠B'NM=∠B'EA ∴.△B'MN∽△BAE S.BMN ∴.S。BAE S.MAN=1 S.BAE 4 18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90,AC=8,BC=6.将Rt△ABC折叠，使点A 25 落在边BC上，记为点A',折痕为EF,E,F分别在边AC,AB上，若△ABF 为等腰三角形，则BF的长为 F 60 【答案】5或50-20W5或11 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰 三角形的定义，分类讨论；分三种情况：BF=A'F;BF=AB;AB=AF,利用 相似三角形的性质及勾股定理即可求解. 【详解】解：由折叠知：AF=AF, 由勾股定理得：4B=VAC2+BC=10 当BF=A'F时，则AF=BF=AF, .BF 2AB=5 当BF=AB时，如图，过点A'作A'D⊥AB于点D, 则∠A'DB=∠ACB=90°， ∠B=∠B, ∴.△ABD∽△ABC, 26 A'B BD A'D :AB BC AC' 设BF=x,则AF=A'F=AB-BF=I0-x, x BD A'D .1068’ 3 .BD=2 4D=4x 4 5 , .DF=BF-BD 5, 在Rt△ADF中， 4F-AD+DF-25 2√5 即5x=10-x 解得：x=50-205: D A人- E 即BF=50-20v5 当AB=AF时，如图，过点A作AD⊥AB于点D, 同理得：△ABDP△ABC, A'B BD A'D ·.ABBC AC' 设A'B=x,则AB=A'F=AF=x,BF=AB-AF=10-x, xBD A'D .10=68’ 27 .BD=3 AD=4 , .DF=BF-BD=10-8 x, 在RIA4DF中，DF=VAP2-AD=3x 5 即r=10-8 3 5, 解得：9， BF=10-50-60 1111: B D 60 综上，BF的长为5或50-20N5或1i. 19.如图，在△ABC纸片中，∠BAC=90°，D是斜边BC上一点，将△ACD沿AD折 叠，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E,己知DF⊥AB. A B (I)求证：△DEBP△FEA; (2)若AC=6,AB=8,且BD=4,求BE. 【答案】(1)见解析 28 16 (2)5 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股 定理，折叠的性质等知识，灵活运用所学是解题的关键。 (1)利用同角的余角相等可证明∠C=∠EDB,由折叠的性质结合等量代换得到 ∠EDB=∠F 结合对顶角相等即可得证； (2)先证明四边形ACDF是菱形，推出AF=CD=AC=6,由(1)知 AFAE △DEBSAFEA， 得到BD=BE,即可求解. 【详解】(1)证明：：∠BAC=90°， .∠B+∠C=90° DF⊥AB .∠B+∠EDB=90°， .∠C=∠EDB 又由折叠可知∠C=∠F, ∴，∠EDB=∠F 又~∠DEB=∠FEA, ∴.△DEB∽△FEA (2)解：由(1)知∠F=∠EDB,∠C=∠EDB, 29 .AClI DF,AF II CD ∴.四边形ACDF是平行四边形， 由折叠的性质得AC=AF, .四边形ACDF是菱形， .'AF=CD=AC=6, 由（1)知△DEBAFEA, AF AE BD BE' .BD=4,AB=8, 6 AB-BE 8-BE ∴.4BE BE :BE=16 5· 30 3.4 相似三角形的性质 题型一 利用相似三角形的性质求解 1．如图，中，点是的中点，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 2．已知，与的面积之比为，则与的周长之比为______． 3．如图，在中，为边上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型二 相似三角形的判定与性质综合 4．如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，连接交于点P，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在 中，分别是上的点，且，交于点 ，若，则______． 6．如图，在中，，，分别是边，上的点，连接，，相交于点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 题型三 证明三角形的对应线段成比例 7．如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 8．如图，在中，点D在边上，，与，分别相交于点F，G，． (1)求证：； (2)若，，G为的中点，求的长． 题型四 在网格中画已知三角形相似的三角形 9．如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是_______． 10．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点（网格线的交点）．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边上画点D、E，连接，使，且． (2)在图②中，分别在边上画点F、G，连接，使，且． 题型五 相似三角形——动点问题 11．如图所示，中，厘米，厘米，，点从点开始沿边向以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，若以点、、为顶点的三角形与相似，则点运动的时间为（    ） A． B．2 C． D．或 12．如图，在中，，，，点P从点O出发以1个单位长度/秒的速度向终点A运动，同时点Q从点A出发以个长度单位/秒的速度向终点C运动，运动时间为t秒，当的平分线恰好经过的中点时，t的值为_______ 13．如图，在矩形中，，，点自点A出发，以每秒的速度向点D移动，同时点F从点D出发，以每秒的速度向点C移动，若移动时间为t且． (1)当t是多少时，； (2)四边形的面积是否为定值？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由． (3)能否与相似？如果能，请求出所有t的值，如果不能，请说明理由． 题型六 相似三角形实际应用 14．如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 15．在某一时刻，测得竹竿的影长为，，同时测得旗杆的影长为，则旗杆的长为________． 16．如图，小明和小亮打算用不同的方法测量学校操场边一个垂直于路面的路灯的高度．他们分别在白天和晚上利用太阳光和路灯的灯光进行测量． (1)如图1，若垂直于地面的标杆的长为，在太阳光下小明测得它的影长为，同一时刻，小亮测得路灯的影长为，求路灯的高度． (2)如图2，小亮在晚上路灯亮后来到路灯附近，他先蹲在点处，在路灯的照射下，小亮的头顶最高处的影子落在点处，，小明测得，接下来小亮站起来，在路灯的照射下，小亮的头顶最高处的影子落在点处，，小明测得，求路灯的高度． 题型七 折叠问题 17．如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 18．如图，在中，，，．将折叠，使点落在边上，记为点，折痕为．，分别在边，上，若为等腰三角形，则的长为__________． 19．如图，在纸片中，，D是斜边上一点，将沿折叠，使点C落在点F处，线段与相交于点E，已知． (1)求证：； (2)若，，且，求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $