3.4 相似三角形的性质 同步分层练习 -2026-2027学年北师大版数学九年级上册

3.4 相似三角形的性质 同步分层练习 （北师大版 九年级上册 第三章 图形的相似） 满分：100 分 时间：60 分钟 一、基础巩固（共 40 分） （一）选择题（每题 3 分，共 18 分） 1. （2025 秋·沈阳大东区期中改编）若两个相似三角形对应角平分线的长度之比为 2∶3，则它们的对应边之比为（　　） 　　A. 2∶3　　　 B. 3∶2　　　 C. 4∶9　　　 D.∶ 2. （2025·绥化中考改编）已知 △ABC∽△DEF，且对应边上的高之比为 1∶2，则 △ABC 与 △DEF 的面积之比为（　　） 　　A. 1∶2　　　 B. 1∶4　　　 C. 2∶1　　　 D. 4∶1 3.若两个相似三角形的面积之比为 9∶16，则它们的周长之比为（　　） 　　A. 3∶4　　 　B. 4∶3　　 　C. 9∶16　　　 D. 81∶256 4. 如图，在 △ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，AD∶DB=1∶2。若 DE=2，则 BC 的长为（　　） 　　A. 3　　 　B. 4　　　 C. 5　　 　D. 6 5. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 BC 的中点，AE 交对角线 BD 于点 F，则 △BEF 与 △DAF 的面积之比为（　　） 　　A. 1∶2　　　B. 1∶3　　　C. 1∶4　　　D. 2∶3 6.如图，身高 1.6 m 的小明同学晚上从路灯 AB 的底部 A 处向前走了 3 m 到达点 D 处，发现自己在地面上的影子 DE 长为 2 m，则路灯 AB 的高度为（　　） 　　A. 3.2 m　　　 B. 4.0 m　　 　C. 4.8 m　　 　D. 6.4 m （二）填空题（每题 3 分，共 12 分） 7. （2025 秋·佛山顺德区期中）若 △ABC∽△，相似比为 2∶3，△ABC 的周长为 8，则 △ 的周长为 ______。 8. （2024 秋·苏州期末）已知两个相似三角形的一组对应边的长分别为 6 cm 和 9 cm，若它们的面积之差为 10 cm²，则较小三角形的面积为 ______ cm²。 9. （2025 秋·南京玄武区期中改编）如图，在 △ABC 中，DE∥BC。若 ∶ =1∶8，则 AD∶DB=______。 10.若 △ABC∽△，一组对应高 AD、 的长分别为 3 cm 和 4.5 cm，BC=4 cm，则对应边 =______ cm。 （三）解答题（共 10 分） 11. （5 分）（2025 春·温州期末改编）如图，已知 △ABC∽△，AD、 分别是 △ABC、△ 的中线，AD=4，A′D′=6。 （1）求 △ABC 与 △A′B′C′ 的相似比； （2）若 △ABC 的周长为 12，求 △A′B′C′ 的周长； （3）求这两个三角形的面积之比。 12. （5 分）如图是小孔成像原理示意图。在小孔成像实验中，点燃的蜡烛 AB 到小孔 O 的水平距离为 12 cm，所成的像 到小孔 O 的水平距离为 4 cm。若蜡烛 AB 的高度为 12 cm，求像 的高度。 二、综合运用（共 40 分） （一）选择题（每题 3 分，共 9 分） 13. （2025·重庆中考模拟改编）已知 △ABC∽△DEF，下列说法：①对应中线的比等于相似比；②对应角平分线的比等于相似比；③周长的比等于相似比的平方；④面积的比等于相似比的平方。其中正确的个数为（　　） 　　A. 1 个　　 　B. 2 个　　 　C. 3 个　　 　D. 4 个 14. （2025 秋·上海闵行区期中改编）两个相似三角形的最长边分别是 5 cm 和 15 cm，它们的周长之和为 48 cm，则较小三角形的周长为（　　） 　　A. 12 cm　　　 B. 18 cm　　 　 C. 24 cm　　 　D. 36 cm 15.如图，在 △ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 的中点，连接 DE、BE。则 △ADE 与 △ABC 的周长之比以及 △BDE 与 △BCE 的面积之比分别为（　　） 　　A. 1∶2 和 1∶2　　　B. 1∶2 和 1∶1　　　C. 1∶4 和 1∶2　　　D. 1∶4 和 1∶1 （二）填空题（每题 3 分，共 9 分） 16.已知 △ABC∽△，它们的周长之差为 4，相似比为 2∶3，则 △ABC 的周长为 ______。 17. （2025·东莞二模改编）若 △ABC∽△DEF，S△ABC∶S△DEF=4∶9，则 △ABC 与 △DEF 对应角平分线的比为 ______。 18. （2024 秋·武汉江汉区期末改编）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，DE 交 AC 于点 F。若 △AEF 的面积为 1，则 △CDF 的面积为 ______。 （三）解答题（共 22 分） 19. （6 分）（2025 秋·西安高新区期中改编）如图，在 △ABC 中，DE∥BC，AD∶AB=2∶5。若四边形 DBCE 的面积为 42，求 △ADE 的面积。 20. （8 分）有一块三角形余料 ABC，边 BC=120 mm，BC 边上的高 AD=80 mm。现要把它加工成一个矩形零件 EFGH，使矩形的长 EF 在 BC 上，点 G、H 分别在 AC、AB 上，且长∶宽=2∶1（如图）。求所加工的矩形零件的长和宽。 21. （8 分）如图，在 △ABC 中，AB=AC=8，BC=6，点 D 在 BC 上，BD=2，连接 AD，在 AC 上取点 E，使 ∠ADE=∠B。 （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）求线段 CE 的长； （3）求 △CDE 与 △ABD 的面积之比。 三、拓展题（共 20 分） 22. （6 分）（2025 春·合肥蜀山区期末改编）如图，直线 ₁∥₂∥₃，直线 AC、DF 被这三条平行线分别截于点 A、B、C 和 D、E、F。已知 AB∶BC=2∶3，DE=4，求 EF 的长。 23. （6 分）（2025 秋·长沙雨花区期末改编）如图，在 △ABC 中，DE∥BC，BE、CD 交于点 O。若 S△DOE∶S△COB=4∶9，求 AE∶EC 的值。 24. （8 分）（2025·温江区校级期末）已知：如图，是等边三角形点、分别在边、上，． （1）求证：； （2）如果，  ，求的长。 参考答案与解析 选择、填空题答案速查表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 14 15 16 17 18 A B A D C B 12 8 1∶2 6 C A A 8 2∶3 4 1. 【答案】C 【解析】相似三角形对应角平分线的比、对应高的比、对应中线的比都等于相似比。因为对应角平分线之比为 2∶3，所以对应边之比为 2∶3。故选 A。 2. 【答案】B 【解析】相似三角形对应高的比等于相似比，由对应高之比为 1∶2 得相似比为 1∶2。又面积的比等于相似比的平方，所以面积之比为 1²∶2²=1∶4。故选 B。 3. 【答案】A 【解析】面积的比等于相似比的平方，由面积之比为 9∶16 得相似比为 √9∶√16=3∶4。周长的比等于相似比，故周长之比为 3∶4。故选 A。 4. 【答案】D 【解析】因为 DE∥BC，所以 △ADE∽△ABC。由 AD∶DB=1∶2 得 AD∶AB=1∶3，相似比为 1∶3，所以 DE∶BC=1∶3。由 DE=2 得 BC=6。故选 D。 5. 【答案】C 【解析】在平行四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD=BC。因为 E 为 BC 中点，所以 BE=BC=AD。由 BE∥AD 得 △BEF∽△DAF，相似比为 BE∶AD=1∶2，面积比为 1∶4。故选 C。 6. 【答案】B 【解析】设路灯高 AB=h m。由 CD⊥BE，AB⊥BE 得 CD∥AB，△ECD∽△EBA，所以 =，即 ==，解得 h=4。故选 B。 7. 【答案】12 【解析】相似三角形周长的比等于相似比 2∶3。设 △A′B′C′ 的周长为 x，则 =，解得 x=12。 8. 【答案】8 【解析】由对应边之比 6∶9=2∶3 得相似比为 2∶3，面积比为 4∶9。设较小三角形面积为 4k，较大三角形面积为 9k，则 9k−4k=10，k=2，故较小三角形的面积为 8 cm²。 9. 【答案】1∶2 【解析】由 S△ADE∶S 四边形 DBCE=1∶8，得 S△ADE∶S△ABC=1∶(1+8)=1∶9，相似比为 1∶3，所以 AD∶AB=1∶3，故 AD∶DB=1∶2。 10. 【答案】6 【解析】相似三角形对应高的比等于相似比，所以 BC∶B′C′=AD∶A′D′=3∶4.5=2∶3。由 BC=4 得 B′C′=6。 11. 【答案】（1）2∶3；（2）18；（3）4∶9 【解析】（1）相似三角形对应中线的比等于相似比，所以 △ABC 与 △A′B′C′ 的相似比为 AD∶A′D′=4∶6=2∶3。 （2）周长的比等于相似比 2∶3。设 △A′B′C′ 的周长为 x，则 =，解得 x=18。 （3）面积的比等于相似比的平方，为 2²∶3²=4∶9。 12. 【答案】4 cm 【解析】由光沿直线传播及 AB∥A′B′ 得 △OAB∽△OA′B′，所以 ===，即 A′B′=AB=×12=4（cm）。 13. 【答案】C 【解析】相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比、对应高的比、周长的比都等于相似比；面积的比等于相似比的平方。故①②④正确，③错误。正确的有 3 个。故选 C。 14. 【答案】A 【解析】两个相似三角形最长边之比 5∶15=1∶3，即相似比为 1∶3，所以周长之比为 1∶3。设较小三角形的周长为 x，则较大三角形的周长为 3x，由 x+3x=48 得 x=12。故选 A。 15. 【答案】A 【解析】因为 D、E 分别为 AB、AC 的中点，所以 DE 是 △ABC 的中位线，DE∥BC，DE=BC，故 △ADE∽△ABC，相似比为 1∶2，周长之比为 1∶2。 又 D 为 AB 中点，△BDE 与 △ADE 同高等底，故 S△BDE=S△ADE=S△ABC。由 E 为 AC 中点得 S△BCE=S△ABE=S△ABC，所以 S△BDE∶S△BCE=1∶2。故选 A。 16. 【答案】8 【解析】相似比为 2∶3，则周长之比为 2∶3。设 △ABC 的周长为 2k，△A′B′C′ 的周长为 3k，由 3k−2k=4 得 k=4，故 △ABC 的周长为 8。 17. 【答案】2∶3 【解析】由面积之比 4∶9 得相似比为 √4∶√9=2∶3。又相似三角形对应角平分线的比等于相似比，故对应角平分线之比为 2∶3。 18. 【答案】4 【解析】在平行四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB=CD。因为 E 为 AB 中点，所以 AE=AB=CD。由 AE∥CD 得 △AEF∽△CDF，相似比为 AE∶CD=1∶2，面积比为 1∶4。由 S△AEF=1 得 S△CDF=4。 19. 【答案】8 【解析】因为 DE∥BC，所以 △ADE∽△ABC。又 AD∶AB=2∶5，相似比为 2∶5，所以 S△ADE∶S△ABC=4∶25。 设 S△ADE=4k，S△ABC=25k，则 S 四边形 DBCE=25k−4k=21k=42，k=2。所以 S△ADE=4k=8。 20. 【答案】长为 {480/7} mm，宽为 {240/7} mm 【解析】设矩形的宽 EH=x mm，则长 EF=2x mm。设 AD 交 HG 于点 P，则 AP=AD−PD=(80−x) mm。 由 HG∥BC 得 △AHG∽△ABC，所以 =。又 HG=EF=2x，故 =，解得 x=，2x=。 所以矩形零件的长为 mm，宽为 mm。 21. 【答案】（1）见解析；（2）CE=1；（3）1∶4 【解析】（1）证明：因为 AB=AC，所以 ∠B=∠C。又 ∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，且 ∠ADE=∠B，所以 ∠BAD=∠CDE。结合 ∠B=∠C，得 △ABD∽△DCE（AA）。 （2）由 BD=2，BC=6 得 DC=BC−BD=4。由 △ABD∽△DCE 得 =，即 =，解得 CE=1。 （3）△ABD 与 △DCE 的相似比为 AB∶DC=8∶4=2∶1，所以它们的面积之比为 4∶1，即 S△CDE∶S△ABD=1∶4。 22. 【答案】EF=6 【解析】因为 l₁∥l₂∥l₃，由平行线分线段成比例定理，得 =，即 =，解得 EF=6。 23. 【答案】AE∶EC=2∶1 【解析】因为 DE∥BC，所以 △DOE∽△COB。由 S△DOE∶S△COB=4∶9 得相似比 DE∶BC=2∶3。 又 DE∥BC，故 △ADE∽△ABC，相似比为 2∶3，即 AD∶AB=AE∶AC=2∶3，所以 AE∶EC=2∶1。 24. 【答案】（1）见解析；（2）1 或2 【解析】（1）证明： 是等边三角形，， ，，，，； （2）解：由（1）证得，，设，则，，或，或． 学科网（北京）股份有限公司 $