专题05 三角函数与解三角形（期中真题汇编，黑吉蒙专用）高三数学上学期

专题05 三角函数与解三角形 4大高频考点概览 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 考点02 三角恒等变换 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 考点04 解三角形 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 1．（25-26学年高三上·吉林吉林九校·期中）已知，则（     ） A.  B.  C.  D.  2．（高三上·黑龙江新时代高中·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  3．（高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，且，则下列各式正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高三上·黑龙江鸡西·期中）（多选）已知点位于角的终边上，则（       ） A. 是锐角 B.  C.  D. 是奇函数 5．（高三上·内蒙古赤峰部分学校·期中）已知，且，则　　　　　． 6．（高三上·黑龙江新时代高中·期中）已知是第四象限的角，则点在第　　　　　　象限． 7．（25-26学年高三上·吉林吉林九校·期中）已知，那么　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，，则　　　　　　． 考点02 三角恒等变换 1．（25-26学年高三上·黑龙江新时代高中·期中）角的终边经过点，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·吉林吉林九校·期中）已知第二象限角满足，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（高三上·内蒙古赤峰部分学校·期中）已知，则（       ） A.  B.  C. 2 D. 3 4．（25-26学年高三上·黑龙江龙东十校联·期中）若，则（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·黑龙江鸡西·期中）已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数. （1）若，求的值域； （2）若，求的值. 6．（25-26学年高三上·黑龙江鸡西·期中）已知是锐角，，则　　　　　　　　　. 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 1．（高三上·黑龙江新时代高中·期中）（多选）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立平面直角坐标系如图（2），（单位：m）表示在时间（单位：s）时.过山车（看作质点）离地平面的高度.轨道最高点距离地平面50m.最低点距离地平面10m.入口处距离地平面20m.当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点.设，下列结论正确的是（       ） A. 函数的最小正周期为12 B.  C. 时，过山车距离地平面40m D. 一个周期内过山车距离地平面低于20m的时间是4s 2．（25-26学年高三上·内蒙古包头·期中）要得到的图象，只需要将的图象（       ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 3．（25-26学年高三上·吉林吉林九校·期中）（多选）已知函数，则（　　） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于点中心对称 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向左平移个单位长度后得到的函数为偶函数 4．（25-26学年高三上·吉林吉林九校·期中）已知函数（，），为的最小正周期，且，若在区间上恰有3个极值点，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（高三上·内蒙古赤峰部分学校·期中）（多选）设函数的最小正周期为，曲线记为，若，且为的零点，则（       ） A.  B. 曲线关于点中心对称 C. 在区间内的最大值为 D. 曲线向右平移个单位长度后与重合 6．（高三上·黑龙江新时代高中·期中）已知函数（，），满足，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的取值可以为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7．（2026·内蒙古赤峰·一模）函数的最小正周期是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（高三上·黑龙江新时代高中·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（       ） A. 当时，在上单调递增 B. 若，且，则函数的最小正周期为 C. 若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3 D. 若在上恰有4个零点，则的取值范围为 9．（25-26学年高三上·黑龙江鸡西·期中）函数的最小正周期为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高三上·黑龙江新时代高中·期中）（多选）已知函数，则（       ） A. 的最小正周期为 B. 是的对称中心 C. 在区间上单调递减 D. 是有实数根的充要条件 11．（25-26学年高三上·吉林吉林九校·期中）在平面直角坐标系中，已知向量，，． （1）若，求的值； （2）记，R． ①求的对称中心； ②若任意，求的值域． 12．（25-26学年高三上·吉林四平实验中学·期中）已知函数． （1）求； （2）设函数，求的单调区间． 13．（25-26学年高三上·黑龙江新时代高中·期中）已知函数，其中，该函数以为对称中心，且与其相邻的一条对称轴为. （1）求函数的最小正周期及表达式； （2）将函数的图象上各点横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将图象向左平移个单位得到的图象，若函数在上恰有一个零点，求实数的取值范围. 14．（25-26学年高三上·黑龙江龙东十校联·期中）已知函数图象的对称中心为，则　　　　　　 15．（25-26学年高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是奇函数. （1）求的最小值； （2）当最小时，求函数取得最大值时，的取值集合. 16．（25-26学年高三上·内蒙古包头·期中）已知函数. （1）求函数的对称中心； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 考点04 解三角形 1．（25-26学年高三上·吉林吉林九校·期中）圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（2026·内蒙古赤峰·一模）在中，若，且的面积为2，则周长的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·黑龙江鸡西·期中）如图，在扇形OAB中，半径，弧长为，点是弧AB上的动点，点分别是半径上的动点，则周长的最小值是（       ） A.  B. 4 C.  D.  4．（25-26学年高三上·黑龙江龙东十校联·期中）（多选）下列条件中，能推导出是锐角三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·内蒙古包头·期中）（多选）在斜三角形中，内角所对的边分别为，若，则（       ） A. 为锐角三角形 B.  C. 若，则 D.  6．（高三上·黑龙江哈尔滨·期中）记的内角，，的对边分别为，，，已知外接圆半径为，且. （1）求. （2）若，，求的面积. 7．（25-26学年高三上·吉林四平实验中学·期中）如图，为了测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，在点测得塔顶的仰角为，则　　　　　　　　　　，塔高　　　　　　　　　　. 8．（高三上·黑龙江哈尔滨·期中）若内一点满足，则称为的布洛卡点，为布洛卡角.三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克雷尔于1816年首次发现，1875年被法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名.若的三边长分别为，则的“布洛卡角”的正切值为　　　　　　　　　　　. 9．（25-26学年高三上·吉林吉林九校·期中）如图，平面四边形中，，，.的三个内角，，的对边分别是，，，且. （1）求角； （2）若，求的面积. 10．（高三上·内蒙古赤峰部分学校·期中）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，且的面积为，求． 11．（高三上·黑龙江新时代高中·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量. （1）求函数的最小值； （2）若，求的面积. 12．（25-26学年高三上·黑龙江鸡西·期中）在中，角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求边的大小. 13．（25-26学年高三上·吉林四平实验中学·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）若，求的值； （2）若为锐角三角形，求证：； （3）若的面积为，求边AB的最小值. 14．（25-26学年高三上·黑龙江新时代高中·期中）的内角的对边分别为，已知. （1）求的面积； （2）若，求的周长. 15．（25-26学年高三上·黑龙江龙东十校联·期中）如图，已知四边形中，，． （1）求的大小． （2）若，，记与相交于点，求的面积． 16．（25-26学年高三上·内蒙古包头·期中）在中，角的对边分别为，向量且. （1）若是边上的中线，，求三角形的面积. （2）若的平分线交边于点且，求的最小值. 17．（高三上·黑龙江新时代高中·期中）已知函数的最小正周期为. （1）求的解析式； （2）在中，为的外心，角所对边的长为，若的外接圆半径为1，且，求证：的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数与解三角形 4大高频考点概览 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 考点02 三角恒等变换 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 考点04 解三角形 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 1．（25-26学年高三上·吉林吉林九校·期中）已知，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据条件，利用“齐次式”，即可求解. 【详解】 因为，则， 故选：D. 2．（高三上·黑龙江新时代高中·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用正弦的二倍角公式、弦化切可得答案. 【详解】 . 故选：C. 3．（高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，且，则下列各式正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由，通过平方得到，再结合通过三角函数关系得到，，进而逐项判断即可. 【详解】 因为，两边平方，得，即，所以，故B错误． 由上及二倍角正弦公式，得，因为， 所以，，，又， 所以．结合，解得，，故A错误． 因为，所以，故C正确，，故D错误． 故选：C． 4．（25-26学年高三上·黑龙江鸡西·期中）（多选）已知点位于角的终边上，则（       ） A. 是锐角 B.  C.  D. 是奇函数 【答案】BD 【分析】 根据象限角以及终边相同的角的定义即可求解A，根据三角函数的定义即可求解B，结合和差角公式即可求解CD. 【详解】 对于A，是第一象限角，不一定是锐角，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，由于，，故，C错误； 对于D， ，故是奇函数，D正确， 故选：BD 5．（高三上·内蒙古赤峰部分学校·期中）已知，且，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查三角函数诱导公式的应用，解题的关键在于找出与之间的关系，然后利用诱导公式进行化简求值. 【详解】 因为，所以，所以 ； 故答案为： . 6．（高三上·黑龙江新时代高中·期中）已知是第四象限的角，则点在第　　　　　　象限． 【答案】二 【分析】 根据三角函数在各象限的符号确定即可. 【详解】 因为是第四象限的角， 所以， 故点在第二象限. 故答案为：二 7．（25-26学年高三上·吉林吉林九校·期中）已知，那么　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 通过对进行变形，利用诱导公式逐步化简，从而得到与的关系，进而求出的值. 【详解】 因为， ，所以． 故答案为： 8．（25-26学年高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用已知条件求出，从而求出，最后利用二倍角的正切公式求出． 【详解】 ，， ， ， ． 故答案为：． 考点02 三角恒等变换 1．（25-26学年高三上·黑龙江新时代高中·期中）角的终边经过点，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据三角函数定义得到的值，利用正弦二倍角公式计算可得. 【详解】 因为角的终边经过点， 则，. 所以. 故选：D. 2．（25-26学年高三上·吉林吉林九校·期中）已知第二象限角满足，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由诱导公式和同角三角函数的基本关系求出，再由两角和的正弦公式代入化简所求表达式可得，即可得出答案. 【详解】 因为，且为第二象限角，所以， 于是 . 故选：D. 3．（高三上·内蒙古赤峰部分学校·期中）已知，则（       ） A.  B.  C. 2 D. 3 【答案】A 【分析】 根据二倍角公式以及齐次式即可求解. 【详解】 ， 故选：A 4．（25-26学年高三上·黑龙江龙东十校联·期中）若，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 ，再根据诱导公式、倍角公式计算即可. 【详解】 ， 故选：. 5．（25-26学年高三上·黑龙江鸡西·期中）已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数. （1）若，求的值域； （2）若，求的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）通过三角函数恒等变换化简 ，然后根据平移和偶函数的性质求解得； （2）根据解得，然后结合公式求解； (1) 小问详解： ， 设将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为， 则， 由题意得为偶函数，所以， 解得， 又，所以，所以. 当时，， 所以， 所以，即的值域为. (2) 小问详解： 因为， 所以，即， 所以，即， 又， 所以. 所以. 6．（25-26学年高三上·黑龙江鸡西·期中）已知是锐角，，则　　　　　　　　　. 【答案】-0.5 【分析】 利用两角差的正切公式以及二倍角公式即可求解. 【详解】 已知是锐角，所以，由，解得：(负值已舍去)， 则; 故答案为： 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 1．（高三上·黑龙江新时代高中·期中）（多选）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立平面直角坐标系如图（2），（单位：m）表示在时间（单位：s）时.过山车（看作质点）离地平面的高度.轨道最高点距离地平面50m.最低点距离地平面10m.入口处距离地平面20m.当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点.设，下列结论正确的是（       ） A. 函数的最小正周期为12 B.  C. 时，过山车距离地平面40m D. 一个周期内过山车距离地平面低于20m的时间是4s 【答案】ACD 【分析】 根据题意抽象出函数的最值，列式求，根据周期求，最后根据求，再根据函数的解析式判断CD. 【详解】 由题意可知，周期满足，得， 所以，得，又 ，解得，. 所以，又，即，得，因为，所以，所以. 对于A，，A正确；对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由，得，即，，，解得，， 所以一个周期内过山车距离底面低于20m的时间是，D正确. 故选：ACD. 2．（25-26学年高三上·内蒙古包头·期中）要得到的图象，只需要将的图象（       ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】 先将函数化为，然后由正弦函数的图像平移可得答案. 【详解】 又 所以将的图像向左平移个单位长度，可得的图像 故选：A 3．（25-26学年高三上·吉林吉林九校·期中）（多选）已知函数，则（　　） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于点中心对称 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向左平移个单位长度后得到的函数为偶函数 【答案】AC 【分析】 选项A，利用周期公式直接计算判断；选项B，根据中心对称的定义，计算对称中心处的函数值判断；选项C，根据轴对称的定义，验证判断；选项D，先进行图象平移得到新函数，再根据奇偶性定义判断. 【详解】 选项A，对于函数，最小正周期，题中，所以，所以A正确； 选项B，若函数图象关于点中心对称，则有，但，所以B错误； 选项C，若的图象关于直线对称，则，又， ，所以，所以C正确； 选项D，将的图象向左平移个单位长度后得到的函数为，则， 所以，即不是偶函数，所以D错误. 故选：AC. 4．（25-26学年高三上·吉林吉林九校·期中）已知函数（，），为的最小正周期，且，若在区间上恰有3个极值点，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 依题意可得为图象的一条对称轴，即可求出，再由的取值范围，求出的取值范围，再结合极值点及正弦函数的性质得到，解得即可. 【详解】 由题意可得：的最小正周期，又， 且，所以为图象的一条对称轴， 所以（），解得（）， 又，所以，故. 当时，则，若函数在区间上恰有3个极值点， 则，解得，故的取值范围是. 故选：C. 5．（高三上·内蒙古赤峰部分学校·期中）（多选）设函数的最小正周期为，曲线记为，若，且为的零点，则（       ） A.  B. 曲线关于点中心对称 C. 在区间内的最大值为 D. 曲线向右平移个单位长度后与重合 【答案】ABD 【分析】 根据题意先确定函数，再利用代入法、整体法、图象变换判断选项. 【详解】 因为函数的最小正周期为，且， 因为，则， 则或，而，所以，A正确； 又为的零点，则， 所以，则， 又，所以，则， 当时，， 所以点是的对称中心，故B正确； 当时，，所以，C错误； 曲线向右平移个单位长度后得： ，D正确. 故选：ABD 6．（高三上·黑龙江新时代高中·期中）已知函数（，），满足，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的取值可以为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【详解】由，求得，进而得，再结合三角函数的性质，求得，，即可求解. 【详解】因为，即，所以， 又因为，所以，所以， 函数的图象向右平移个单位得到， 的图象关于直线对称，，， 即，，令，得. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的综合应用，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7．（2026·内蒙古赤峰·一模）函数的最小正周期是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先拆角后再由诱导公式和辅助角公式可得. 【详解】 ， 所以最小正周期为. 故选：D. 8．（高三上·黑龙江新时代高中·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（       ） A. 当时，在上单调递增 B. 若，且，则函数的最小正周期为 C. 若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3 D. 若在上恰有4个零点，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】 对于A，由复合函数单调性即可判断；对于B，直接可得，由此即可判断；对于C，由题意得结合的范围即可判断；对于D，根据，，得到，进一步列出不等式组即可求解. 【详解】 对于A，当时，若，则， 由于在上单调递增，故在上单调递增；故A正确； 对于B，若，且，则当且仅当，故B正确； 对于C，若的图象向左平移个单位长度后， 得到的图象所对应的函数表达式为：， 若的图象关于轴对称，则， 注意到， 所以当且仅当时，的最小值为4，故C错误； 对于D，，，得到， 若在上恰有4个零点， 则当且仅当 ，解得，即的取值范围为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】 方法点睛：正弦型函数的零点问题，关键在于利用的范围求得，进而结合正弦函数的图象特征求得的取值范围. 9．（25-26学年高三上·黑龙江鸡西·期中）函数的最小正周期为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由函数的最小正周期为 直接求解即可. 【详解】 由，得到函数的最小正周期为. 故选：B 10．（25-26学年高三上·黑龙江新时代高中·期中）（多选）已知函数，则（       ） A. 的最小正周期为 B. 是的对称中心 C. 在区间上单调递减 D. 是有实数根的充要条件 【答案】AD 【分析】 化简可得，根据周期公式，可判断A的正误；将代入检验，可判断B的正误；当时，令，则，根据余弦函数的单调性，分析可判断C的正误；根据余弦函数的值域，分析可判断D的正误. 【详解】 由题意 ， 对于选项A：的最小正周期，故A正确； 对于选项B：当时，， 所以不是的对称中心，故B错误； 对于选项C：当时，令，则， 因为函数在上单调递增， 所以在区间上单调递增，故C错误； 对于选项D：的值域是， 所以是有实数根的充要条件，故D正确. 故选：AD. 11．（25-26学年高三上·吉林吉林九校·期中）在平面直角坐标系中，已知向量，，． （1）若，求的值； （2）记，R． ①求的对称中心； ②若任意，求的值域． 【答案】（1）     （2）① 对称中心为 ；②      【分析】 （1）根据向量平行的坐标表示列等式，结合三角恒等变换求解即可. （2）① 化简，再利用正弦函数图象的性质求解即可；② 整体法求函数的值域. (1) 小问详解： 由，得， 由，得，则，， 所以. (2) 小问详解： ① 依题意， 由，得， 所以的对称中心为. ② 由，得， 则当，即时，；当，即时，． 所以的值域为． 12．（25-26学年高三上·吉林四平实验中学·期中）已知函数． （1）求； （2）设函数，求的单调区间． 【答案】（1）     （2）单调递增区间：，单调递减区间为：.      【分析】 （1）由题可知，根据可求得； （2）由（1）可知的解析式，化成的形式，根据复合函数单调区间的求法，可求得的单调区间. (1) 小问详解： 因为函数，且，所以， 又，所以. (2) 小问详解： 由（1）知：，所以， 所以. 令，显然是增函数. 因为当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减. 所以当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减. 所以函数的单调递增区间为：， 单调递减减区间为：. 13．（25-26学年高三上·黑龙江新时代高中·期中）已知函数，其中，该函数以为对称中心，且与其相邻的一条对称轴为. （1）求函数的最小正周期及表达式； （2）将函数的图象上各点横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将图象向左平移个单位得到的图象，若函数在上恰有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1），；     （2）.      【分析】 （1）根据题设描述函数的对称中心和对称轴确定函数的最小正周期，进而求出相关参数值，即可得解析式； （2）根据函数图象平移得，再由正弦型函数的区间单调性及已知函数的区间零点个数，数形结合求出参数范围. (1) 小问详解： 由于函数以为对称中心，且与其相邻的一条对称轴为， 所以，故周期，而，所以， 又由函数一条对称轴为，所以有， 又，故，所以函数的表达式为； (2) 小问详解： 由题意，得， 因为，所以，且时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且， 因为函数在上恰有一个零点， 即与的图象在上恰有一个交点， 画出图象如下：     由图可知，的取值范围为. 14．（25-26学年高三上·黑龙江龙东十校联·期中）已知函数图象的对称中心为，则　　　　　　 【答案】3 【分析】 利用辅助角公式，结合三角函数的性质可得，进而求得即可. 【详解】 由对称中心知， 的周期， ， 又，所以， 所以， 故答案为：3 15．（25-26学年高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是奇函数. （1）求的最小值； （2）当最小时，求函数取得最大值时，的取值集合. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用平移及函数的奇偶性即可得参数的取值，从而可得最小值； （2）利用三角函数恒等变形，结合余弦函数的性质即可求解. (1) 小问详解： 由，向左平移个单位长度可得： ， 因为是奇函数，所以，， 所以，， 因为，所以当时，取到最小值为. (2) 小问详解： 由（1）知， ， 所以时，取得最大值， 此时，由，得. 所以的取值集合为. 16．（25-26学年高三上·内蒙古包头·期中）已知函数. （1）求函数的对称中心； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）；     （2）最大值和最小值分别为.      【分析】 （1）三角恒等变换化简解析式，再利用整体代换法求解对称中心； （2）先求整体角的范围，再利用正弦函数的单调性求最值. (1) 小问详解： 由题意 所以， 由，得，此时 所以函数的对称中心为； (2) 小问详解： 由（1）知，， 当时，， 而函数在上递增，在上递减， 则当，即时，， 当，即时，， 所以函数在区间上的最大值和最小值分别为. 考点04 解三角形 1．（25-26学年高三上·吉林吉林九校·期中）圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出. 【详解】 由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，， 即圣.索菲亚教堂的高度约为. 故答案为：D. 2．（2026·内蒙古赤峰·一模）在中，若，且的面积为2，则周长的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用同角的三角关系以及正弦定理得出，再利用面积得出，最后利用基本不等式即可. 【详解】 因，则， 即， 由正弦定理可得，，即为直角三角形， 则的面积为，即， 则，等号成立时， 故周长的最小值为. 故选：A 3．（25-26学年高三上·黑龙江鸡西·期中）如图，在扇形OAB中，半径，弧长为，点是弧AB上的动点，点分别是半径上的动点，则周长的最小值是（       ） A.  B. 4 C.  D.  【答案】D 【分析】 利用弧长公式可得，再根据对称性分别作点关于直线，的对称点，，再利用余弦定理可得结果. 【详解】 连接，作点关于直线的对称点，关于直线的对称点， 连接分别交，与点，连接如下图所示：    则,, 此时的周长取得最小值，其最小值为的长度； 因为扇形OAB的弧长为，半径为2，所以； 根据对称性可知， 在中，由余弦定理可得， 所以. 即周长的最小值是. 故选：D 4．（25-26学年高三上·黑龙江龙东十校联·期中）（多选）下列条件中，能推导出是锐角三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 由可判断A，由正弦定理得到，进而推出可判断B，通过举例可判断C，通过不等式左侧三个括号都为正，或两个负、一个正，即可判断D. 【详解】 选项A，在非直角三角形中，因为， 所以 所以， 所以有，则均为锐角，故A正确． 选项B，在中，记角所对的边分别为， 由正弦定理有， 显然中，边最大，所以， 可得，故角为锐角，是锐角三角形，故B正确． 选项C，举例说明，取，满足，但为钝角三角形，故C错误 选项D，左边三个括号内的式子，要么三个都大于0，要么两个小于0，一个大于0． 在中，记角所对的边分别为， 因为角为锐角， 所以如果三个式子都大于0，则均为锐角，是锐角三角形， 如果两个式子小于0，一个大于0，三角形就有两个角为钝角，矛盾．故D正确 故选：ABD 5．（25-26学年高三上·内蒙古包头·期中）（多选）在斜三角形中，内角所对的边分别为，若，则（       ） A. 为锐角三角形 B.  C. 若，则 D.  【答案】BC 【分析】 根据诱导公式以及正弦定理，结合三角恒等变换以及二次函数性质，可得答案. 【详解】 由正弦定理得且，则，C正确； 由三角形内角的性质知，得是锐角, 当 时，，则，不合题意， 当 ，，解得，故A错误，B正确； 因为， ， 由，则，可得， 令，可得， 结合二次函数的性质，代入得最大值为，代入或0，得到（取不到）， 所以，故D错误. 故选：BC 6．（高三上·黑龙江哈尔滨·期中）记的内角，，的对边分别为，，，已知外接圆半径为，且. （1）求. （2）若，，求的面积. 【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）根据正弦定理和余弦定理得到，结合，求出答案； （2）先由正弦定理得到，再结合余弦定理得到，由三角形面积公式得到答案. (1) 小问详解： 因为，且， 所以， 所以， 由余弦定理，得， 又，所以； (2) 小问详解： 因为，所以， 由余弦定理得， 解得， 所以 7．（25-26学年高三上·吉林四平实验中学·期中）如图，为了测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，在点测得塔顶的仰角为，则　　　　　　　　　　，塔高　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 利用正弦定理解三角形得出，再解直角三角形即可得. 【详解】 在中，易知， 由正弦定理可知：， 即米， 且米， 因为，则，所以米. 故答案为：， 8．（高三上·黑龙江哈尔滨·期中）若内一点满足，则称为的布洛卡点，为布洛卡角.三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克雷尔于1816年首次发现，1875年被法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名.若的三边长分别为，则的“布洛卡角”的正切值为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用余弦定理求出，再由三角形相似及正弦定理、三角恒等变换求解即可. 【详解】 不妨设，的“布洛卡角”为，如图，    由余弦定理可得， 所以，所以， 由于， 所以，所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以， 所以，即， 故答案为： 9．（25-26学年高三上·吉林吉林九校·期中）如图，平面四边形中，，，.的三个内角，，的对边分别是，，，且. （1）求角； （2）若，求的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式化简，求出，即可得解； （2）利用余弦定理求出，再由正弦定理求出，即可求出，最后由面积公式计算可得. (1) 小问详解： 因为在中，， 故，而， 故， 即，又，， 可得，，又，； (2) 小问详解： 由于，，， 故， 则； 又， 故， 又为锐角， 所以 ， 故； 10．（高三上·内蒙古赤峰部分学校·期中）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，且的面积为，求． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）本题考查正弦定理以及三角函数的恒等变换，解题思路是利用正弦定理将边化为角，然后通过三角函数的性质求出角B （2）结合（1）和先求解出角,利用正弦定理得到 的关系，最后利用面积公式求出a (1) 小问详解： ，， 由正弦定理，得， 即， ， ， ， ，即， 由为三角形内角，即， ，得． (2) 小问详解： ，且，， ，解得，则， ， 由正弦定理有，， 的面积可表示为， 由的面积为，可得， ． 11．（高三上·黑龙江新时代高中·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量. （1）求函数的最小值； （2）若，求的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由平面向量的数量积与三角恒等变换知识计算可得，再结合三角函数的值域计算即可求得； （2）由题中条件计算可得，再由正弦定理得，由余弦定理可得，再由三角形的面积公式计算即可求得． (1) 小问详解： 因为，所以， 所以当，即时，有最小值； (2) 小问详解： 因为，所以，所以， 因为，所以， 由正弦定理得：， 所以，， 又因为，所以， 所以， 由余弦定理有：， 即，所以， 所以． 12．（25-26学年高三上·黑龙江鸡西·期中）在中，角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求边的大小. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据正弦定理结合三角变换公式可得，故可求的值. （2）根据面积可求，再根据余弦定理可求. (1) 小问详解： 由正弦定理与，得. 所以即. 因为，所以，又，所以， 又，所以. (2) 小问详解： 因为的面积为， 所以，即，解得. 由余弦定理，得，所以. 13．（25-26学年高三上·吉林四平实验中学·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）若，求的值； （2）若为锐角三角形，求证：； （3）若的面积为，求边AB的最小值. 【答案】（1）     （2）证明：因为， 所以， 即， 所以， 所以， 又，，所以，即， 所以， 又为锐角三角形，所以， 所以.     （3）      【分析】 （1）由正弦定理结合已知得，结合平方关系、半角公式即可求解； （2）由题意得，由乘1法即可求解； （3）由题意得，求出的范围即可. (1) 小问详解： 若，由正弦定理得， 又，所以， 又，解得 或 （舍）， 所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为，由正弦定理得， 所以， 因为的面积 ， 所以， 因为，且， 所以，所以， 所以当，即时，取得最小值， 即边AB的最小值为. 14．（25-26学年高三上·黑龙江新时代高中·期中）的内角的对边分别为，已知. （1）求的面积； （2）若，求的周长. 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据余弦定理得出，结合，得出，即可利用面积公式求解； （2）利用以及两角和差的余弦公式、即可得出，再结合正弦定理得出，进而求出. (1) 小问详解： 由余弦定理得，所以， 因为，所以，， 所以； (2) 小问详解： 因，则，即， 则， 因为，所以， 由正弦定理，得， 由（1）知，则，， 因为，所以， 故的周长为. 15．（25-26学年高三上·黑龙江龙东十校联·期中）如图，已知四边形中，，． （1）求的大小． （2）若，，记与相交于点，求的面积． 【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）由正弦定理求出，进而得到； （2）先在中求出，再利用求出，进而求出的面积． (1) 小问详解： 在中，由正弦定理得： ，即 解得：， 由于，可得，所以. (2) 小问详解： ， . 由， 可得， 又，可得， 所以的面积. 16．（25-26学年高三上·内蒙古包头·期中）在中，角的对边分别为，向量且. （1）若是边上的中线，，求三角形的面积. （2）若的平分线交边于点且，求的最小值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解，利用平面向量运算三角形面积公式即可得解； （2）根据面积公式，面积相等法和基本不等式即可求解. (1) 小问详解： 因为，所以，所以， 所以，由正弦定理得，即， 且，则，可得， 因为，所以， 由题意得，则， 即有，且，解得：，所以， 故的面积为. (2) 小问详解： 由为的角平分线，得. 又，即. 所以. 即， 当且仅当即时等号成立； 17．（高三上·黑龙江新时代高中·期中）已知函数的最小正周期为. （1）求的解析式； （2）在中，为的外心，角所对边的长为，若的外接圆半径为1，且，求证：的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再利用周期计算即可得； （2）利用正弦定理及同角三角函数基本关系可得，再设出BC边上的及，可得、、的关系，再利用面积公式可用、表示出，结合二次函数性质计算即可得解. (1) 小问详解： ， 的最小正周期为，，， ； (2) 小问详解： 已知角所对边的长为，再设角所对边的长为． 因为的外接圆半径为，所以， 因为，所以， 所以，化简得， AI 过点作交于点， 设，则， 则 即， 所以 ， 所以，当时取“等号” 此时,可求得的外接圆半径为，与外接圆半径为1矛盾， ∴的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数与解三角形 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 考点02 三角恒等变换 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 考点04 解三角形 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 1．D 2．C 3．C 4．BD 5．【答案】 【分析】 本题考查三角函数诱导公式的应用，解题的关键在于找出与之间的关系，然后利用诱导公式进行化简求值. 【详解】 因为，所以，所以 ； 故答案为： . 6．【答案】二 【分析】 根据三角函数在各象限的符号确定即可. 【详解】 因为是第四象限的角， 所以， 故点在第二象限. 故答案为：二 7．【答案】 【分析】 通过对进行变形，利用诱导公式逐步化简，从而得到与的关系，进而求出的值. 【详解】 因为， ，所以． 故答案为： 8．【答案】 【分析】 利用已知条件求出，从而求出，最后利用二倍角的正切公式求出． 【详解】 ，， ， ， ． 故答案为：． 考点02 三角恒等变换 1．D 2．D 3．A 4．C 5．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）通过三角函数恒等变换化简 ，然后根据平移和偶函数的性质求解得； （2）根据解得，然后结合公式求解； (1) 小问详解： ， 设将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为， 则， 由题意得为偶函数，所以， 解得， 又，所以，所以. 当时，， 所以， 所以，即的值域为. (2) 小问详解： 因为， 所以，即， 所以，即， 又， 所以. 所以. 6．【答案】-0.5 【分析】 利用两角差的正切公式以及二倍角公式即可求解. 【详解】 已知是锐角，所以，由，解得：(负值已舍去)， 则; 故答案为： 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 1．ACD 2．A 3．AC 4．C 5．ABD 6．B 7．D 8．ABD 9．B 10．AD 11．【答案】（1）     （2）① 对称中心为 ；②      【分析】 （1）根据向量平行的坐标表示列等式，结合三角恒等变换求解即可. （2）① 化简，再利用正弦函数图象的性质求解即可；② 整体法求函数的值域. (1) 小问详解： 由，得， 由，得，则，， 所以. (2) 小问详解： ① 依题意， 由，得， 所以的对称中心为. ② 由，得， 则当，即时，；当，即时，． 所以的值域为． 12．【答案】（1）     （2）单调递增区间：，单调递减区间为：.      【分析】 （1）由题可知，根据可求得； （2）由（1）可知的解析式，化成的形式，根据复合函数单调区间的求法，可求得的单调区间. (1) 小问详解： 因为函数，且，所以， 又，所以. (2) 小问详解： 由（1）知：，所以， 所以. 令，显然是增函数. 因为当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减. 所以当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减. 所以函数的单调递增区间为：， 单调递减减区间为：. 13．【答案】（1），；     （2）.      【分析】 （1）根据题设描述函数的对称中心和对称轴确定函数的最小正周期，进而求出相关参数值，即可得解析式； （2）根据函数图象平移得，再由正弦型函数的区间单调性及已知函数的区间零点个数，数形结合求出参数范围. (1) 小问详解： 由于函数以为对称中心，且与其相邻的一条对称轴为， 所以，故周期，而，所以， 又由函数一条对称轴为，所以有， 又，故，所以函数的表达式为； (2) 小问详解： 由题意，得， 因为，所以，且时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且， 因为函数在上恰有一个零点， 即与的图象在上恰有一个交点， 画出图象如下：     由图可知，的取值范围为. 14．【答案】3 【分析】 利用辅助角公式，结合三角函数的性质可得，进而求得即可. 【详解】 由对称中心知， 的周期， ， 又，所以， 所以， 故答案为：3 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用平移及函数的奇偶性即可得参数的取值，从而可得最小值； （2）利用三角函数恒等变形，结合余弦函数的性质即可求解. (1) 小问详解： 由，向左平移个单位长度可得： ， 因为是奇函数，所以，， 所以，， 因为，所以当时，取到最小值为. (2) 小问详解： 由（1）知， ， 所以时，取得最大值， 此时，由，得. 所以的取值集合为. 16．【答案】（1）；     （2）最大值和最小值分别为.      【分析】 （1）三角恒等变换化简解析式，再利用整体代换法求解对称中心； （2）先求整体角的范围，再利用正弦函数的单调性求最值. (1) 小问详解： 由题意 所以， 由，得，此时 所以函数的对称中心为； (2) 小问详解： 由（1）知，， 当时，， 而函数在上递增，在上递减， 则当，即时，， 当，即时，， 所以函数在区间上的最大值和最小值分别为. 考点04 解三角形 1．D 2．A 3．D 4．ABD 5．BC 6．【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）根据正弦定理和余弦定理得到，结合，求出答案； （2）先由正弦定理得到，再结合余弦定理得到，由三角形面积公式得到答案. (1) 小问详解： 因为，且， 所以， 所以， 由余弦定理，得， 又，所以； (2) 小问详解： 因为，所以， 由余弦定理得， 解得， 所以 7．【答案】①     ② 【分析】 利用正弦定理解三角形得出，再解直角三角形即可得. 【详解】 在中，易知， 由正弦定理可知：， 即米， 且米， 因为，则，所以米. 故答案为：， 8．【答案】 【分析】 利用余弦定理求出，再由三角形相似及正弦定理、三角恒等变换求解即可. 【详解】 不妨设，的“布洛卡角”为，如图，    由余弦定理可得， 所以，所以， 由于， 所以，所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以， 所以，即， 故答案为： 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式化简，求出，即可得解； （2）利用余弦定理求出，再由正弦定理求出，即可求出，最后由面积公式计算可得. (1) 小问详解： 因为在中，， 故，而， 故， 即，又，， 可得，，又，； (2) 小问详解： 由于，，， 故， 则； 又， 故， 又为锐角， 所以 ， 故； 10．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）本题考查正弦定理以及三角函数的恒等变换，解题思路是利用正弦定理将边化为角，然后通过三角函数的性质求出角B （2）结合（1）和先求解出角,利用正弦定理得到 的关系，最后利用面积公式求出a (1) 小问详解： ，， 由正弦定理，得， 即， ， ， ， ，即， 由为三角形内角，即， ，得． (2) 小问详解： ，且，， ，解得，则， ， 由正弦定理有，， 的面积可表示为， 由的面积为，可得， ． 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由平面向量的数量积与三角恒等变换知识计算可得，再结合三角函数的值域计算即可求得； （2）由题中条件计算可得，再由正弦定理得，由余弦定理可得，再由三角形的面积公式计算即可求得． (1) 小问详解： 因为，所以， 所以当，即时，有最小值； (2) 小问详解： 因为，所以，所以， 因为，所以， 由正弦定理得：， 所以，， 又因为，所以， 所以， 由余弦定理有：， 即，所以， 所以． 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据正弦定理结合三角变换公式可得，故可求的值. （2）根据面积可求，再根据余弦定理可求. (1) 小问详解： 由正弦定理与，得. 所以即. 因为，所以，又，所以， 又，所以. (2) 小问详解： 因为的面积为， 所以，即，解得. 由余弦定理，得，所以. 13．【答案】（1）     （2）证明：因为， 所以， 即， 所以， 所以， 又，，所以，即， 所以， 又为锐角三角形，所以， 所以.     （3）      【分析】 （1）由正弦定理结合已知得，结合平方关系、半角公式即可求解； （2）由题意得，由乘1法即可求解； （3）由题意得，求出的范围即可. (1) 小问详解： 若，由正弦定理得， 又，所以， 又，解得 或 （舍）， 所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为，由正弦定理得， 所以， 因为的面积 ， 所以， 因为，且， 所以，所以， 所以当，即时，取得最小值， 即边AB的最小值为. 14．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据余弦定理得出，结合，得出，即可利用面积公式求解； （2）利用以及两角和差的余弦公式、即可得出，再结合正弦定理得出，进而求出. (1) 小问详解： 由余弦定理得，所以， 因为，所以，， 所以； (2) 小问详解： 因，则，即， 则， 因为，所以， 由正弦定理，得， 由（1）知，则，， 因为，所以， 故的周长为. 15．【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）由正弦定理求出，进而得到； （2）先在中求出，再利用求出，进而求出的面积． (1) 小问详解： 在中，由正弦定理得： ，即 解得：， 由于，可得，所以. (2) 小问详解： ， . 由， 可得， 又，可得， 所以的面积. 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解，利用平面向量运算三角形面积公式即可得解； （2）根据面积公式，面积相等法和基本不等式即可求解. (1) 小问详解： 因为，所以，所以， 所以，由正弦定理得，即， 且，则，可得， 因为，所以， 由题意得，则， 即有，且，解得：，所以， 故的面积为. (2) 小问详解： 由为的角平分线，得. 又，即. 所以. 即， 当且仅当即时等号成立； 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再利用周期计算即可得； （2）利用正弦定理及同角三角函数基本关系可得，再设出BC边上的及，可得、、的关系，再利用面积公式可用、表示出，结合二次函数性质计算即可得解. (1) 小问详解： ， 的最小正周期为，，， ； (2) 小问详解： 已知角所对边的长为，再设角所对边的长为． 因为的外接圆半径为，所以， 因为，所以， 所以，化简得， AI 过点作交于点， 设，则， 则 即， 所以 ， 所以，当时取“等号” 此时,可求得的外接圆半径为，与外接圆半径为1矛盾， ∴的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $