专题04 平面向量与复数（期中真题汇编，黑吉蒙专用）高三数学上学期

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04平面向量与复数 2大高频考点概览 考点01平面向量 考点02复数 》 考点01平面向量 1.（高三上：黑龙江哈尔滨期中)已知向量à=cos0,sin9l,i=2,-1,若a1方，则s1n9+cos9 sin9+3cos6的 值为( B. C. 2.(高三上·内蒙古赤峰部分学校·期中)正方形ABCD的边长是2，若E是AB的中点，则EA·EC= ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 3。(25-26学年高三上：黑龙江新时代高中期中)已知向量a,6满足1a=3,=4,2ā-=6则ā6= ) A.4 B.2 C.1 D.-2 4.(25-26学年高三上·黑龙江龙东十校联期中)（多选）已知平面向量ā，b,c满足ā·b=b·c,则下列结 论错误的是( ) A.b=0 B.a=c C.(a-c)//B D.(a-c).B=0 5.(25-26学年高三上·黑龙江齐齐哈尔期中)古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等 的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳， 阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律.图2（正八边形 ABCDEFGH)是由图1（八卦模型图）抽象并以正八边形ABCDEFGH的中心O为旋转中心顺时 115 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 针旋转骨而得到，若OG=xO币+yO下，则x+y=( G H D C 图1 图2 A.▣ C.2 D.3▣ ▣ 6。(25-26学年商三上：内蒙古包头期中)已知向量ā=0,1,6=1,2r满足。+泸垂直，则实数，的 值为( B.-5 1 1 c. 7.(高三上·黑龙江哈尔滨期中)己知非零向量a,满足a=2,-1616-4a则2à-= A.2 B.20 c.V▣ D.2V▣ 8.(25-26学年高三上吉林吉林九校期中)已知平面向量a=1.6如，且（ā-26）1a则|a- ) A.9 B.3 C.4 D.16 9.(25-26学年高三上·吉林吉林九校·期中)（多选）已知△ABC中，O是BC边上靠近B的三等分点， Q为AO的中点，过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,设AB=mAM, AC=nAN,其中m>0,n>0,则下列结论正确的是：( A市-号B+号花 B.BQ=-2AB+1AC 3 6 215 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.2m+n=3 D.上+上的最小值为3+2口 m n 10.（2026内蒙古赤峰一模）向量ā，6为满足：d=26=2,à在6方向上的投影向量为-五。则 la+bl= ) A.▣ B.V▣ C.2 D.4 11.(25-26学年高三上·吉林四平实验中学·期中)在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，点P在线 段BD上.若PE=λAB+μAD,则入+μ=( 1 A.2 1 B.-2 c.3 12.(25-26学年高三上·黑龙江新时代高中·期中)（多选)下列命题中正确的是( A若。=3,4,6=0,1则向量a在向量方方向上的投影向量为0,4 B.两个非零向量a,6若a-=l+:则a与共线且反向 C.若a·b<0,则向量ā与b的夹角为钝角 D.若O为△ABC的外心，PA+PB+PC=2PO,则P为△ABC的垂心 13.(25-26学年高三上·黑龙江龙东十校联·期中)已知直角△ABC中，∠C=90°，BC=2,D为边AB 的中点，p是边AC上的动点，则|PD+2PB的最小值为( ) A.5 B.4 c.3 D.3▣ 14.(25-26学年高三上黑龙江齐齐哈尔期中)已知向量à=四石，且向量ā与6的夹角为好，则a- 的最小值为( A.1 B.V▣ c.2 D.4 15.(25:26学年高三上吉林四平实验中学·期中)设向量ā=x,-1,6=x+2,1若a/6则x= 16.(25-26学年高三上吉林吉林九校：期中)已知非零向量a,方满足（ā+26）1(a-25)》且向量6在向 315 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 量a方向的投影向量是a,则向量à与i的夹角是 4 17.(25-26学年高三上·内蒙古包头·期中)在△ABC中，AB=2,AC=3,∠BAC=60°，M为BC的 中点，AC=3AN,AM与BN交于点P,则cos∠MPN= 刀 考点02复数 1(高三上黑龙江新时代高中期中)已知2=+，侧2( A.1 B.2 c.V▣ D.5 2.(25-26学年高三上·吉林吉林九校·期中)设复数z满足z+11-3=1,则z在复平面内对应的点位于 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(高三上·内蒙古赤峰部分学校·期中)已知复数z=1·1+i)(其中i为虚数单位)，则z的虚部为 ) A.1 B.i C.-1 D.-i 4. (2026-内蒙古赤峰一模)复数2=1+21 则z·5z=( ) 3+4i A.1 B.V▣ ▣ 1 1 D.25 5.《高=上黑龙江新时代高中期中)若复数2清足2+1=3+1，则2=( A.1+i B.1-i c.-1+i D.-1-i 6.(25-26学年高三上·黑龙江龙东十校联·期中)在复平面内，复数(2+1)(1-2i)对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.（25-26学年高三上·黑龙江齐齐哈尔期中)若复数2= 品则= ) A.3-4i B.-3-4i C.3+4i D.-3+4i 8.(25-26学年高三上·内蒙古包头期中)若复数z=3+m1m∈R在复平面内对应的点在直线X-3y=0 415 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 上，则z1-i=( A.4-4i B.2-4i C.3-2i D.4-2i 9.(高三上·黑龙江哈尔滨期中) 3-51-1的虚部为( 2i A-2 B. 5-2 515函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04平面向量与复数 考点01平面向量 考点02复数 D考点01平面向量 1.B 2.B 3.A 4.ABC 5.A 6.A 7.A 8.C 9.ABC 10.C 11.B 12.ABD 13.A 14.C 15.【答案】-1 【分析】 由向量平行的坐标表示计算可得. 【详解】 由题意可得x×1--1×x+2=0→x=-1 故答案为：1. 16.【答案】 3 【分析】 由垂直关系得出=2卧血向量6在向量方方向的投影向量得出因0sa,6=由两式得出 4 osa,6=号 进而得出夹角. 113 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】 因为a+2b)1(a-2i所以（ā+26-(a-2b=a-4=0即1a=20 因为向年5在向6方向的投影向量是点。 所以6osa,6哥 cosa,6=1②， 4 将①代入②得，cosa,6=号又a,6e0,所以a,6=号 放答案为：号 17.【答案】-叵 【分析】 用AB和AC表示AM和BN,根据cos∠MPN=cos<AM,BN>以及AB=2,AC=3, ∠BAC=60,可求出结果. 【详解】 因为M是BC的中点，所以A应=号AB+AC. 2 AM=0=▣=a=▣， 因为AN=}A元，BN=A-AB=AC-AB, BN=▣=V▣=V叵=' 所 以 不.8-归店+号花}a就--引a+君c-×号 -4+君×9日2×3是 6 6 213 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 AM·BN 2 所以cos∠MPN=cos<AM,BN>= AMBN 0 故答案为： ▣ B M 》 考点02复数 1.A 2.B 3.A 4.A 5.A 6.D 7.A 8.D 9.A 313 专题04 平面向量与复数 2大高频考点概览 考点01 平面向量 考点02 复数 考点01 平面向量 1．（高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知向量，，若，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由向量垂直的坐标表示得，再应用齐次式运算，由弦化切求目标式的值. 【详解】 由题设， 而. 故选：B 2．（高三上·内蒙古赤峰部分学校·期中）正方形的边长是2，若是的中点，则（       ） A.  B.  C. 1 D. 2 【答案】B 【分析】 ，利用向量数量积公式计算出结果． 【详解】 边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，故， ． 故选：B． 3．（25-26学年高三上·黑龙江新时代高中·期中）已知向量满足，则（       ） A. 4 B. 2 C. 1 D. -2 【答案】A 【分析】 将左右同时平方，根据向量的运算法则，化简整理，即可得答案. 【详解】 因为， 所以. 故选：A. 4．（25-26学年高三上·黑龙江龙东十校联·期中）（多选）已知平面向量满足，则下列结论错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABC 【分析】 通过反例可说明ABC错误；根据向量数量积的运算律可知D正确. 【详解】 对于A，若，，，则，此时，A错误； 对于B，若，，则，B错误； 对于C，若，，，则， 此时，与不平行，C错误； 对于D，，，D正确. 故选：ABC. 5．（25-26学年高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律.图（正八边形）是由图（八卦模型图）抽象并以正八边形的中心为旋转中心顺时针旋转而得到，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 方法一：作，，可知四边形为正方形，根据长度关系和向量线性运算可求得的值，进而得到结果； 方法二：以为坐标原点建立平面直角坐标系，根据向量坐标运算可求得的值，进而得到结果. 【详解】 方法一：过作，，垂足分别是， ，四边形为正方形， ，又， ，即，； 方法二：分别以射线为轴，轴的正半轴建立直角坐标系， 设，则， ，，， 由得：， ，解得：，. 故选：A. 6．（25-26学年高三上·内蒙古包头·期中）已知向量，满足与垂直，则实数的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据数量积的坐标表示，列出方程，求解即可. 【详解】 由题意知向量，满足与垂直， 故，，即得， 则，解得， 故选：A 7．（高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知非零向量满足，，则（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先通过向量垂直的条件得出与的关系，再计算，最后开方得到的值. 【详解】 已知，根据向量模长公式可得：， 因此， 因为，根据向量垂直的性质有：，即， 所以， 将和代入得：， 由，所以. 故选：A. 8．（25-26学年高三上·吉林吉林九校·期中）已知平面向量，且，则（       ） A. 9 B. 3 C. 4 D. 16 【答案】C 【分析】 根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积运算律求得，进而求出目标值. 【详解】 由，得，由，得 则，而，所以. 故选：C 9．（25-26学年高三上·吉林吉林九校·期中）（多选）已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（     ） A.  B.  C.  D. 的最小值为 【答案】ABC 【分析】 对于AB，根据平面向量的线性运算求解判断即可；对于C，由A知，，利用三点共线可得，即可判断；对于D，由C知，，根据基本不等式“1”的妙用求解判断即可. 【详解】 对于A，由题意得，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A知，， 由于M、O、N三点共线，可知，即，故C正确； 对于D，由C知，，且，， 所以， 当且仅当 ，即时取得等号， 所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC 10．（2026·内蒙古赤峰·一模）向量为满足：在方向上的投影向量为，则（     ） A.  B.  C. 2 D. 4 【答案】C 【分析】 先根据投影向量的定义求得，再利用数量积求模即可得解. 【详解】 因为在方向上的投影向量为， 所以， ， ， . 故选：C. 11．（25-26学年高三上·吉林四平实验中学·期中）在平行四边形中，是的中点，点在线段上．若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设，结合向量的线性运算将用和表示出来即可求解. 【详解】 设，所以， 则，，故; 故选：B 12．（25-26学年高三上·黑龙江新时代高中·期中）（多选）下列命题中正确的是（       ） A. 若，则向量在向量方向上的投影向量为 B. 两个非零向量，若，则与共线且反向 C. 若，则向量与的夹角为钝角 D. 若为的外心，，则为的垂心 【答案】ABD 【分析】 对于A根据已知坐标及投影向量的定义求投影向量的坐标；对于B应用向量数量积的运算律和定义化简条件得判断；对于C由向量数量积的定义确定夹角余弦值符号，即可判断；对于D根据已知得，再应用向量数量积的运算律和垂直表示得，同理有判断. 【详解】 对于A：若，则，所以向量在向量方向上的投影向量为，A正确； 对于B：将两边平方，化简得，所以，结合向量夹角的范围得夹角为，B正确； 对于C：因为，即，所以向量与的夹角为钝角或平角，C错误； 对于D：因为为的外心，， 则， 所以， 所以，同理可得，故为的垂心，D正确. 故选：ABD 13．（25-26学年高三上·黑龙江龙东十校联·期中）已知直角△ABC中，，，为边的中点，是边上的动点，则的最小值为（     ） A. 5 B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 通过建立平面直角坐标系，将向量坐标化，再根据向量的模长公式求解最小值即可. 【详解】 因为，所以以为原点， 所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，    则，设，， 则，得到， 所以， 当且仅当，即时，， 所以. 故选：. 14．（25-26学年高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知向量，且向量与的夹角为，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由平面向量数量积的定义、平面向量数量积的运算性质结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】 因为，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. 15．（25-26学年高三上·吉林四平实验中学·期中）设向量，若，则　　　　　　　　　　. 【答案】-1 【分析】 由向量平行的坐标表示计算可得. 【详解】 由题意可得. 故答案为：-1. 16．（25-26学年高三上·吉林吉林九校·期中）已知非零向量 满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由垂直关系得出，由向量在向量方向的投影向量得出，由两式得出，进而得出夹角. 【详解】 因为，所以，即①. 因为向量在向量方向的投影向量是， 所以.所以② ， 将① 代入② 得，，又，所以. 故答案为： 17．（25-26学年高三上·内蒙古包头·期中）在中，，为的中点，，与交于点，则　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 用和表示和，根据以及，，，可求出结果. 【详解】 因为是的中点，所以， ， 因为，， ， 所以， 所以. 故答案为：. 考点02 复数 1．（高三上·黑龙江新时代高中·期中）已知，则（       ） A. 1 B. 2 C.  D. 5 【答案】A 【分析】 利用复数的商的运算法则可求得，进而可求得，可求. 【详解】 ，所以. 故选：. 2．（25-26学年高三上·吉林吉林九校·期中）设复数满足，则在复平面内对应的点位于（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【分析】 根据复数的运算化简，然后结合共轭复数的概念和复数的几何意义可得. 【详解】 因为，所以， 所以，故， 因此在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B 3．（高三上·内蒙古赤峰部分学校·期中）已知复数（其中为虚数单位），则的虚部为（       ） A. 1 B. i C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查虚数的概念及其运算，直接求解即可. 【详解】 因为，所以的虚部为1. 故选：A 4．（2026·内蒙古赤峰·一模）复数，则（     ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先由复数的乘除运算化简，再求出共轭后复数，然后利用乘法运算再求模即可. 【详解】 ， 所以， 所以. 故选：A. 5．（高三上·黑龙江新时代高中·期中）若复数z满足，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据复数除法运算，即可求得答案. 【详解】 由， 得， 故选：A 6．（25-26学年高三上·黑龙江龙东十校联·期中）在复平面内，复数对应的点位于（     ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【分析】 根据复数的乘法及复数的几何意义即可判断. 【详解】 因为， 所以它对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 7．（25-26学年高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若复数，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用复数的运算法则，结合的性质将分母实数化，从而求解． 【详解】 ， 故选：A． 8．（25-26学年高三上·内蒙古包头·期中）若复数在复平面内对应的点在直线上，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用复数的几何意义得出对应点坐标，代入直线方程可得，进而得出复数，最后利用复数乘法运算即可. 【详解】 因为， 所以复数在复平面内对应的点为 又点在直线上， 所以，解得， 所以复数， ， 故选：D. 9．（高三上·黑龙江哈尔滨·期中）的虚部为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据复数混合运算得，进而可得解． 【详解】 依题意，，故所求虚部为． 故选：A． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $