精品解析：山东省泰安第二中学2026-2027学年高二上学期10月学情调研数学试题

泰安二中2025级高二上学期10月学情调研 数学试题 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线过点和，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 三棱锥中，点面，且，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱、的中点，则点到平面的距离等于（ ） A. B. C. D. 4. 直线与直线在同一平面直角坐标系内的图形可能是（ ）． A. B. C. D. 5. 已知空间向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 点到直线：的最大距离为（ ） A. B. C. D. 7. 若是空间中的一组基，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组满足，我们把有序实数组叫作向量在基下的斜坐标.若向量在基下的斜坐标为，则向量在基下的斜坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则直线，之间的距离为 C. 直线过定点 D. 若直线在两坐标轴的截距相等，则或 10. 已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则下列结论正确的是（ ） A. 不是空间的一组基底 B. 不是空间的一组基底 C. 向量的模是2 D. 向量和的夹角为 11. 棱长为1的正方体中，点P满足，，．则下列结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 当时，平面 C. 当，时，过点P作正方体外接球的截面，截面面积的最小值为 D. 若，则与平面所成角的最小值为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 13. 过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______. 14. 如图，在正三棱柱中，为棱上的动点（包括端点），为的中点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求值. 16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，是的中点. （1）试用向量，，表示向量； （2）求直线与所成角的余弦值. 17. 如图，在中，边上的高所在的直线方程为，直线与直线垂直，若点的坐标为. 求（1）和所在直线的方程； （2）求的面积. 18. 如图，四棱锥中，侧面底面，，，，，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点，使与平面所成角的正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由. 19. 已知点和非零实数，若两条不同的直线，均过点，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中是坐标原点．规定相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角． （1）已知直线，均过点，直线，是一组“共轭线对”，且的斜率为，求的一般式方程； （2）已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值； （3）已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线，的距离之积的取值范围． （注：在平面内，两直线的夹角是两直线与所成的最小角，记为，其正切值存在时，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰安二中2025级高二上学期10月学情调研 数学试题 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线过点和，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点斜率公式以及斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，斜率为， 则，所以. 故选：A 2. 三棱锥中，点面，且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由四点共面的充要条件列方程即可得解． 【详解】由题意三棱锥中，点面，且， 所以，解得． 故选：D． 3. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱、的中点，则点到平面的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，找到平面的法向量，利用向量法求点到平面的距离求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，. 设平面的法向量为， 则，即 令，得. 又， 点到平面的距离， 故选：. 【点睛】本题用向量法求点到平面的距离，我们也可以用等体积法求点到平面的距离，当然也可以找到这个垂线段，然后放在直角三角形中去求. 4. 直线与直线在同一平面直角坐标系内的图形可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据直线方程斜截式与图像的关系进行判断即可． 【分析】对于A选项：由得，，由得，，矛盾，故A错误； 对于B选项：由得，，由得，，矛盾，故B错误； 对于C选项：由得，，由得，，矛盾，故C错误； 对于D选项：由得，，由得，．故D正确． 故选：D． 5. 已知空间向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式，代值计算即可. 【详解】因为，，所以， 所以在上的投影向量为. 6. 点到直线：的最大距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定直线恒过的定点，利用点到直线距离的几何性质，最大距离为点P到该定点的线段长度. 【详解】将直线l的方程整理为，令解得， 因此直线l恒过定点， 根据点到直线的距离性质，点到直线 l的距离，当且仅当直线l与线段垂直时等号成立， 此时d的最大值为, 由两点间距离公式得：：， 因此点P到直线l的最大距离为3 . 7. 若是空间中的一组基，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组满足，我们把有序实数组叫作向量在基下的斜坐标.若向量在基下的斜坐标为，则向量在基下的斜坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用待定系数法列出关于的方程组即可求解. 【详解】设, 又， 所以，解得, 向量在基下的斜坐标为, 故选：A 8. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用直线方程的应用求出直线的斜率，进一步求出倾斜角的范围； 【详解】直线的方程为，设直线的倾斜角为， 当时，， ②当时，直线的斜率， 由于或， 所以,,， 所以， 综上所述：； 故选：C． 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则直线，之间的距离为 C. 直线过定点 D. 若直线在两坐标轴的截距相等，则或 【答案】BCD 【解析】 【分析】由两条直线垂直的性质、结合平行线间的距离公式、直线的点斜式方程、截距的定义以及逐一判断即可. 【详解】对于，直线的斜率为，若，则直线的斜率为， 则，所以不垂直，故错误； 对于，若，所以可得，则直线， 由两平行直线距离公式可得，故正确； 对于，可化为， 所以直线恒过，故正确； 对于，当直线与轴无截距，不满足条件， 当，在两坐标轴的截距相等，分别令， 可求出与轴截距为和轴截距，即 解之可得或，故正确. 故选： 10. 已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则下列结论正确的是（ ） A. 不是空间的一组基底 B. 不是空间的一组基底 C. 向量的模是2 D. 向量和的夹角为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AB，利用共面向量定理判断，对于C，利用求解，对于D，利用向量的夹角公式计算. 【详解】假设共面，则， 所以，方程组无解，所以假设不成立， 所以空间向量不共面，所以是空间的一组基底，A错误； 假设共面，则， 即，解得， 所以三个向量共面，不是空间的一组基底，B正确； 由题意，得， 所以，C错误； ，设向量和的夹角为， 则，又，所以，D正确. 故选：BD. 11. 棱长为1的正方体中，点P满足，，．则下列结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 当时，平面 C. 当，时，过点P作正方体外接球的截面，截面面积的最小值为 D. 若，则与平面所成角的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用法向量证明直线平行于平面法向量，进而由线面垂直直接推导出面面垂直；对于B，通过证明直线的方向向量与平面的法向量数量积为零，判定该直线与平面平行；对于D，根据距离条件解析出动点的圆弧轨迹，通过寻找轨迹上距离最远的点来确定最小线面角；对于C，利用截面与球心连线垂直时面积最小的几何性质，结合勾股定理即可求得截面面积最小值. 【详解】以为原点，为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则有， 且，则， 对于A，， 设平面的法向量为， 则，令，则，即， ，即与平面的法向量平行，则平面， 因为平面，所以平面平面，故A正确； 对于B，若，则，则有，即， 则， 则， 因此，因为平面，所以平面，故B正确； 对于D，由，得， 即，因为，如图， 点的轨迹是平面内，以为圆心，1为半径的一段四分之一圆弧， 而平面， 所以与平面所成的角为， 所以在中，， 要使最小，则使最小，即求的最大值， 显然点与点或重合时，取最大值1， 所以，即，D正确； 对于C，若，则，即面的中心， 易得正方体外接球的球心位于体对角线的中点，坐标为， 外接球半径满足， 球心到点的距离的平方为， 过球内一点作截面，当截面垂直于直线时，截面圆的面积最小， 设最小截面圆的半径为，则有， 则截面面积的最小值，故C错误. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 13. 过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】联立两直线方程求交点坐标，再结合直线截距式求直线方程. 【详解】由，解得，则两直线交点. 由题意所求直线在两坐标轴上截距相等， ①当截距为0时，则过点的直线方程为，即； ②当截距不等于0时，设直线方程为 将点坐标代入，得，解得 故答案为：或. 14. 如图，在正三棱柱中，为棱上的动点（包括端点），为的中点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，建立空间直角坐标系，引入参数，设，且，得出，得出平面的一个法向量为，通过换元法，进行求解． 【详解】取中点，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，且， 因为为的中点， 故，于是， 平面的一个法向量为， ， 设，则，， 故，即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 故答案为：． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求值. 【答案】（1）7； （2）19或13. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用向量共线列式求出，再利用向量线性运算及模的坐标表示求解. （2）由向量垂直及模的坐标表示求出，进而求出向量的数量积. 【小问1详解】 向量，由，得，解得， ，而，则， 所以. 【小问2详解】 由，得，即，解得， 由，得，解得， 当时，； 当时，， 所以值是19或13. 16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，是的中点. （1）试用向量，，表示向量； （2）求直线与所成角的余弦值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由三角形法则和中点公式求解. （2）由线线角的空间向量求法求解. 【小问1详解】 因为是的中点， 所以. 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，直线，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，. 因为， 所以直线与所成角的余弦值为. 17. 如图，在中，边上的高所在的直线方程为，直线与直线垂直，若点的坐标为. 求（1）和所在直线的方程； （2）求的面积. 【答案】(1) ，；(2)12. 【解析】 【详解】试题分析：（1）先求出顶点，再利用斜率公式可得，利用点斜式可得的方程，由上的高所在直线的方程为，可得的斜率为，再由点斜式可得的方程；（2）由两点间距离公式可得，由点到直线的距离公式可得三角形的高，根据三角形面积公式可得结果. 试题解析：（1）由得顶点. 又的斜率,所在直线的方程为① 已知上的高所在直线的方程为，故的斜率为， 所在的直线方程为② （2）解①，②得顶点的坐标为. 又直线的方程是 到直线的距离， 所以的面积 18. 如图，四棱锥中，侧面底面，，，，，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点，使与平面所成角的正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由. 【答案】（1） 证明：取中点，连接，，则， 又，，， ，则，， 所以为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面. （2） （3）存在，1 【解析】 【分析】（1）取中点，可证为平行四边形，进而证明平面. （2）分别求出平面与平面的法向量，再由面面角的向量公式计算求解； （3）先设，再由线面角的正弦公式确定，进而求出的长. 【小问1详解】 取中点，连接，，则， 又，，， ，则，， 所以为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，为的中点，所以， 又因为侧面底面且交线为，侧面， 所以平面， 因为，且，所以四边形是平行四边形，所以，所以， 分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系. ，，，，，， ， 设平面的一个法向量， 则，令，得. ，， 设平面的一个法向量， 则，令，得. 设平面与平面夹角为， 所以，因此平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 因为，设， 则， 平面的一个法向量， 设与平面所成角为 所以， 解得或（舍），所以存在，满足，使与平面所成角的正弦值为， 所以，. 19. 已知点和非零实数，若两条不同的直线，均过点，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中是坐标原点．规定相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角． （1）已知直线，均过点，直线，是一组“共轭线对”，且的斜率为，求的一般式方程； （2）已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值； （3）已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线，的距离之积的取值范围． （注：在平面内，两直线的夹角是两直线与所成的最小角，记为，其正切值存在时，） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由“共轭线对”的定义可知的斜率为，且过点，求直线的方程即可； （2）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，利用基本不等式求解最小值即可； （3）设，，其中，求出，利用基本不等式求其取值范围即可. 【小问1详解】 已知直线，均过点，直线，是一组“共轭线对”， 且的斜率为，所以的斜率为， 故的方程为：，化为一般式为：. 【小问2详解】 设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为， 则， ∵，∴， 等号成立的条件是，所以直线，的夹角最小值为． 【小问3详解】 设，，其中， 故 由于（等号成立的条件是）， 故，所以. 即原点到直线，的距离之积的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $