精品解析：山东省潍坊市寿光市第一中学2026-2027学年高二上学期10月测试数学试题

高二数学月考试卷10.21 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 点关于平面的对称点为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于平面对称点的坐标的变化特征可直接写出结果. 【详解】由对称关系可知，点关于平面对称的点为 故选 【点睛】本题考查空间直角坐标系中点的对称问题，需明确点关于平面对称点的坐标为，属于基础题. 2. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 计算，根据向量垂直得到答案. 【详解】，，则， 与互相垂直，则，. 故选：B. 【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，属于简单题. 3. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰长为2，上底长为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，再计算平面图形的面积即可. 【详解】由已知用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图如下图： 则， 则把直观图还原为平面图形如下图： 这个平面图形的面积为. 故选：C. 4. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间线面位置关系依次分析各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，若，，则或异面，故A选项错误； 对于B选项，若，，则，故B选项正确； 对于C选项，若，，则或或相交，故C选项错误； 对于D选项，若，，则或，故D选项错误； 故选：B 5. 已知，，．若，，三向量共面，则实数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】若，，三向量共面，则存在唯一一对实数，使得， 又因为，，， 所以， 所以，解得，所以实数等于. 6. 如图，长方体中，，，那么异面直线与所成角的余弦值是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可证得四边形为平行四边形，得到，将所求的异面直线所成角转化为；假设，根据角度关系可求得的三边长，利用余弦定理可求得余弦值. 【详解】连接， 四边形为平行四边形 异面直线与所成角即为与所成角，即 设 ， ， ，， 在中，由余弦定理得： 异面直线与所成角的余弦值为： 本题正确选项： 【点睛】本题考查异面直线所成角的求解问题，关键是能够通过平行关系将问题转化为相交直线所成角，在三角形中利用余弦定理求得余弦值. 7. 如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为（ ） A. B. 7 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据式子，即可求出的长为. 【详解】因为，所以， 因为二面角为，所以，即， 所以 ， 所以，即的长为. 故选：C. 8. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】证明平面，分割三棱锥为共底面两个小三棱锥，其高之和为AB得解. 【详解】取中点，连接，如图， 是边长为2的等边三角形，， ，又平面，， 平面， 又，， 故，即， 所以， 故选：A 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．） 9. 以下说法正确的是（ ） A. 在四面体中，若，，则 B. 已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得. C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 若，则是钝角 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间向量数量积及运算律判断A，根据空间向量基本定理判断B、C，根据向量夹角与数量积的定义判断D； 【详解】解：对于A：，，则， 所以，所以，所以，所以，即，即，即，所以，故A正确； 对于B：由空间向量基本定理，可知，只有当三个向量不共面的时候，由它们做基底，才有后面的结论，故B错误； 对于C：由是空间中的一组基底，则向量不共面，可得向量也不共面，所以也是空间中的一组基底，故正确； 对于：若，则为钝角或，故错误． 故选：AC 10. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）． A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性. 【详解】依题意，，，所以， A选项，圆锥的体积为，A选项正确； B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误； C选项，设是的中点，连接， 则，所以是二面角的平面角， 则，所以， 故，则，C选项正确； D选项，，所以，D选项错误. 故选：AC. 11. 已知等边三角形ABC的边长为6，M，N分别为AB，AC的中点，如图所示，将△AMN沿MN折起至，得到四棱锥，则在四棱锥中，下列说法正确的是（ ） A. 当四棱锥的体积最大时，二面角为直二面角 B. 在折起过程中，存在某位置使BN⊥平面 C. 当四棱锥体积的最大时，直线与平面MNCB所成角的正切值为 D. 当二面角的余弦值为时，的面积最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】由四棱锥的体积最大，即高最大即可判断A选项；令BN⊥平面，则，推出矛盾即可判断B选项；由线面角的定义即可判断C选项； 由面面角的定义求得，进而求出为等腰直角三角形即可判断D选项. 【详解】 如图，取中点，易得，由于四边形的面积为定值，要使四棱锥的体积最大， 即高最大，当面时，此时高为最大，二面角为直二面角，A正确； 若BN⊥平面，则，又，，则， 又，，故不成立，即不存在某位置使BN⊥平面，B错误； 由上知，当四棱锥体积的最大时，即二面角为直二面角，面， 此时直线与平面MNCB所成角即为，易得四边形为等腰梯形，取中点，易得，且， 故，又，故，C正确； 如图，取中点，易得，取中点，易得，故即为二面角的平面角，即， 故，又，解得，又， 故，又，此时为等腰直角三角形，面积最大为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 12. 设，向量，，，且，，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据空间向量平行和垂直的坐标表示求出和的值，进而可得的坐标，再由模长的坐标表示计算模长即可求解. 【详解】因为，，，且，， 所以，，可得，， 所以，，， 所以. 故答案为：. 13. 已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，，，是不共面的四点，则对平面内任一点都存在唯一的有序实数组，使，其中，即可求解. 【详解】解：因为，且，，，四点共面， 则，解得， 故答案为：. 14. 如图，在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱外接球的表面积为______；设P为线段上的动点，则的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意将直三棱柱补成长方体，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，从而可求出直三棱柱外接球的表面积，将绕展开至与平面垂直的位置，则共面，连接，则的长就是的最小值，然后利用余弦定理可求得结果 【详解】因为直三棱柱中，， 所以将直三棱柱补成长方体，如图所示， 所以直三棱柱的外接球就是长方体外接球， 因为，，， 所以外接球的直径为， 所以外接球的半径为， 所以直三棱柱外接球的表面积为， 直三棱柱中，侧面与底面垂直， 因为，平面平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 将绕展开至与平面垂直的位置，则共面，如图所示， 连接，则的长就是的最小值， 在中，，则， 在中，， 在中，由余弦定理得 , 所以， 所以的最小值为， 故答案为：， 四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在棱长为4的正方体中，E是上的动点，F是CD的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）若E是的中点，求证：平面. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由正方体的性质可知平面，即点到平面的距离为，最后根据锥体的条件公式计算可得. （2）连接交于点，连接，，，即可得到四边形是平行四边形，从而得到，即可得证. 【小问1详解】 解：在正方体中，平面， 所以点在上运动时，到平面的距离为4， 所以. 【小问2详解】 解：连接交于点，连接，，， 因为，且，，且，所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 16. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，，. （1）用，，表示和. （2）求直线与夹角的余弦值. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用平行六面体的性质及空间向量基本定理求解. （2）利用空间向量数量积及空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 在平行六面体中，， 由M为与的交点，得是的中点， 则， . 【小问2详解】 依题意，，，则， 于是， ， 因此， 所以直线AB与的夹角的余弦值为. 17. 在正四棱柱中，，为的中点. （1）求直线与平面所成的角； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，利用向量法直接求解线面夹角的正弦值，即可得到结果； （2）利用向量法直接求解点面之间的距离即可. 【小问1详解】 由题知，，为的中点， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则, 所以， 设平面的一个法向量为，且直线与平面所成的角为， 则，故可取， 所以， 因，则， 即直线与平面所成的角为. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 设平面的一个法向量为，且点到平面的距离为， 则，故可取， 所以， 即点到平面的距离为. 18. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长． 【答案】（1）证明如下： 证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系， 依题意可得，，，， ，，，， 又因为，分别为和的中点，得，． 可得为平面的法向量，， 由此可得， 又因为直线平面，所以平面． （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，可得为平面的法向量，可求得即可证明； （2）求出平面和平面的法向量，即可由向量关系求出； （3）设，可得，结合为平面的法向量，再由即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 设为平面的法向量，则，即 不妨设，可得． 设为平面的法向量，则， 又，得， 不妨设，可得． 因此有， 所以，平面与平面的夹角的余弦值为． 【小问3详解】 依题意，可设，其中， 则，从而， 又为平面的法向量， 由已知，得， 整理得， 又因为，解得， 所以，线段的长为． 【点睛】利用空间向量求解立体几何问题的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 19. 已知三棱柱中，. （1）求证: 平面平面. （2）若，在线段上是否存在一点使平面和平面所成角的余弦值为 若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 在三棱柱中，四边形是平行四边形， 而，则是菱形，连接，如图， 则有，因，，平面， 于是得平面， 而平面，则， 由得，，平面， 从而得平面，又平面， 所以平面平面. （2）在线段上存在一点，且P是靠近C的四等分点. 【解析】 【分析】(1)连接，根据给定条件证明平面得即可推理作答. (2)在平面内过C作，再以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断作答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内过C作，由(1)知平面平面，平面平面， 则平面，以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图， 因，， 则， 假设在线段上存在符合要求的点P，设其坐标为， 则有， 设平面的一个法向量， 则有， 令得，而平面的一个法向量， 依题意， ，化简整理得： 而，解得， 所以在线段上存在一点，且P是靠近C的四等分点，使平面和平面所成角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学月考试卷10.21 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 点关于平面的对称点为（　　） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ）． A. B. C. D. 3. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰长为2，上底长为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）． A. B. C. D. 4. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知，，．若，，三向量共面，则实数等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，长方体中，，，那么异面直线与所成角的余弦值是 A. B. C. D. 7. 如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为（ ） A. B. 7 C. D. 9 8. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．） 9. 以下说法正确的是（ ） A. 在四面体中，若，，则 B. 已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得. C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 若，则是钝角 10. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）． A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 11. 已知等边三角形ABC的边长为6，M，N分别为AB，AC的中点，如图所示，将△AMN沿MN折起至，得到四棱锥，则在四棱锥中，下列说法正确的是（ ） A. 当四棱锥的体积最大时，二面角为直二面角 B. 在折起过程中，存在某位置使BN⊥平面 C. 当四棱锥体积的最大时，直线与平面MNCB所成角的正切值为 D. 当二面角的余弦值为时，的面积最大 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 12. 设，向量，，，且，，则__________. 13. 已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则实数______． 14. 如图，在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱外接球的表面积为______；设P为线段上的动点，则的最小值为______． 四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在棱长为4的正方体中，E是上的动点，F是CD的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）若E是的中点，求证：平面. 16. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，，. （1）用，，表示和. （2）求直线与夹角的余弦值. 17. 在正四棱柱中，，为的中点. （1）求直线与平面所成的角； （2）求点到平面的距离. 18. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长． 19. 已知三棱柱中，. （1）求证: 平面平面. （2）若，在线段上是否存在一点使平面和平面所成角的余弦值为 若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $