安微省阜阳市界首一中派位部2026～2027学年高一上学期10月月考数学试卷

高一派位部10月月考数学试题 参考答案 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1.设集合U={x∈N1x≤5}，A=1,3},B=1,2,4,则AU(B)=() A.红，3,5} B.{0,1,3,5} C.{0,1,2,4 D.1,2,4,5} 【答案】A 【分析】先写出全集与补集，再求并集。 【解答】 U={1,2,3,4,5},B=1,2,4},所以CB={3,5}, 故AU(CuB)=1,3}U{3,5}={1,3,5}.故选A. 2.命题“neN,√m+1eN"的否定是() A.3nEN,Vn2+1eN B.∀neN,Vn2+1eN C.VnEN,n2+1EN D.3neN,√n+1∈N 【答案】A 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题：改量词、否结论 【解答】 命题“neN,√m+leN的否定是“neN,Vn2+lEN”, 四个选项中与之相符的是A(选项中以N表示，含义相同)，故选A. 3.设0<w<,0≤B≤花，则2a-的范围是() (。5π B. (π5π A. 6’6 C.(0,π) D（ 【答案】D 【分析】先分别求2与卫的范围，再由“减去转化为加上相反数后用同向不等式相加。 3 【解答】 由0<<元得0<2a<π： 由0≤psF得0≤s5,即-Ts-Es0. Γ36 63 两式相加得吾2a号≤，即范用为（君小放益D, 4.已知a>b>0,c<d<0,则下列不等式中正确的是() A.-- a b B.c2<cd C.a+c<b+d D. 【答案】D 【分析】逐项用不等式性质判断，注意c,d为负时乘、除要变号. 高一数学十月月考（答案）第1页（共8页） 【解答】 A项由ab0得台公故日名错误： B项：由c<d<0及c<0得c2>cd,错误； C项：取a=5,b=1,c=-3,d=-1,则a+c=2>b+d=0,错误； D项：ac-bd=c(a-b)+b(c-d),其中c(a-b)<0,b(c-d<0,所以ac<bd,两边同除以cd>0 行异：正确 故选D. 5.设a、b是实数，集合A={1,b,a2},B={-1,2+b,2a+3},若A=B,则a+b202?的值为() A.-4 B.0 C.2 D.4 【答案】C 【分析】由集合相等得元素对应关系，再检验元素的互异性。 【解答】 因为1∈A且A=B,所以1∈B:由-1≠1知1=2+b或1=2a+3. 又-1∈B且A=B,注意到a2≥0，故-1=b. 此时B={-1,1,2a+3},A=1,-1,a},于是a=2a+3,解得a=3或a=-1. 当a=-1时ad=1,A={红，-11}不满足互异性，舍去：当a=3时A=1,-1,9},B={-1,19},符合. 所以a+b01=3+(-1)221=3-1=2.故选C. 6.已知关于x的不等式公+：-2>0的解架为(m2小八传则不等式公1的解架为 () 手 c.（mm D. 【答案】D 【分析】由解集的两端点用韦达定理求αb,再解分式不等式. 【解答】 因为am2+-2>0的解架为(2)行+小所以a>0且2号是m2+c-20的两根 由韦达定理：-2+：-b,2×2,解得4=2，b=3. 2 a 2 a 原不等式即2-1≤1，即2-1-3+≤0，即3-4≤0， 3-x 3-x 3-x 等价于专之0，解得x号或x>3, x-3 即解失为（引1）.夜选D 高一数学十月月考（答案）第2页（共8页） 7.为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计 算，16人参加绘图.测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人 既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有2人三项工作都参加了.这支测 绘队有()人. A.44 B.43 C.40 D.41 【答案】A 【分析】三个集合的容斥原理. 【解答】 由容斥原理，总人数为24+20+16-8-6-4+2=44.故选A. 8.若关于x的不等式x2-(a+3)x+2a+2<0的解集中恰有3个整数，则实数a的取值范围为() A.{a|-3≤a<-2} B.{a-3≤a<-2或4<a≤5} C.{a-3<a<-2或4<a<5} D.c{a-3≤a≤-2或4≤a≤5} 【答案】B 【分析】因式分解得两根2与α+1，按两根大小分类数整数解. 【解答】 原不等式即(x-2)(x-a-1)<0. 当a+1>2,即a>1时，解集为(2，a+1),其中整数为3,4，…，恰有3个需5<a+1≤6，即4<a≤5； 当a+1<2,即a<1时，解集为(a+1,2),其中整数为…，1，恰有3个需-2≤au+1<-1,即 -3≤a<-2: 当a=1时解集为空集，不合题意， 所以a∈[-3，-2)U(4,5].故选B. 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9.下列说法正确的是（) A.空集是任意一个集合的真子集 B.集合{a,b}共有4个子集 C.集合{xx=3+1,n∈Z={x|x=3-2,n∈Z D.√5的近似值的全体构成一个集合 【答案】BC 【分析】逐项判断：空集与真子集、子集个数、数集相同、集合的确定性. 【解答】 A项：空集是任意非空集合的真子集，但它不是自身的真子集，错误： B项：{a,b的子集为o,{a,{b},{a,b},共4个，正确： C项：两个集合都表示被3除余1的整数组成的集合，正确： D项：“近似值”精确到哪一位并不确定，不满足确定性，不能构成集合，错误. 故选BC. 高一数学十月月考（答案）第3页（共8页） 10.对于所有实数x,使得不等式x2+m+>0恒成立的一个充分不必要条件可以是() A.a>0 B.a>-1 C.a<0 D.a<2 【答案】AC 【分析】先求恒成立”的充要条件（α≠0），再找它的真子集对应的条件. 【解答】 当a=0时，不等式为x2>0,对x=0不成立，不合题意： 当a≠0时，△=a2-4=-32<0,且㎡>0，不等式恒成立. 所以“恒成立”的充要条件是a≠0. A项：a>0→a≠0，且a≠0时不一定有a>0,是充分不必要条件，正确： B项：a>-1包含a=0,不充分，错误； C项：a<0→a≠0，且不必要，正确： D项：a<2包含a=0,不充分，错误. 故选AC 11.己知正实数a,b满足a+b=2,则下列结论正确的是() A.b的最大值为1 B.a2+b2的最小值为4 c.1+2的最小值为3+25 D.20+36-2的最小值为3+22 a b ab 2 【答案】AD 【分析】用基本不等式逐项求最值，注意等号成立的条件. 【解答】 A项：abs+b2 =1,当a=b=1时取等号，正确： 2 B项：4+≥a+b-2,最小值为2，错误 2 c原立号a+o)+5，最小值% 2 ,错误： D项： 2a+3动-2.2+30-(a+0_a+边-+名，由c项知最小值为3+25，正确 ab ab ab b a 2 故选AD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.己知集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|x<1},则A∩(CRB)= 【答案】[1,2] 【分析】先求补集，再与A取交集。 【解答】 因为B={xx<1},U=R,所以RB={xx≥1， 又A={x|-1≤x≤2， 所以An(CB)={x|1≤x≤2}=[1,2] 高一数学十月月考（答案）第4页（共8页） 13.已知集合A={x|(a-1)x2+3x-2=0},B={x|x2-3x+2=0},若A三B,求实数a的取值范围 是」 【答案】a<-}或a=0 8 【分析】B=红，2}，按a-1是否为0、判别式的符号分类讨论A的元素情况. 【解答】 B={x|x2-3x+2=0}={1,2}. 当a=1时，方程化为3x-2=0,A= 3 4B,不合题意 当a≠1时，△=9+8(a-1)=8a+1. ①△<0，即a<-1时，A=0∈B,符合题意： 8 ②△=0，即a=时，A= B,不合题意： 8 3 ③△>0，即a>-】且a≠1时，A有两个元素，由4cB知两根为1,2， 8 则1+23且这2三42：都解得4=0，行合。 a-1 综上，a<日或a=0. 14.如图，某规划组计划建设一个矩形花草园，在矩形ABCD的中心位置建造一个面积为50m2的矩形 EGH(EF>EH)花园，在矩形EFGH的四周铺设草坪，要求南北两侧的草坪宽O.5m,东西两侧的 草坪宽1m,则矩形ABCD面积的最小值为 .m. 北 0.3m 50m m 南 【答案】72 【分析】设花园的长、宽，把外框面积表示出来，用基本不等式求最小值. 【解答】 设花园EFGH的东西长为x米，南北宽为y米，则y=50. 由题意，矩形ABCD的东西长为x+2,南北宽为y+1, 所以S=(x+2)(y+1)=xy+x+2y+2=52+x+2y252+2V2xy=52+20=72, 当且仅当x=2y且xy=50,即y=5,x=10时取等号（此时EF=10>EH=5,符合)· 故矩形ABCD面积的最小值为72m. 高一数学十月月考（答案）第5页（共8页） 四、解答题（共77分） 15.(13分) (1)比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小. 2)已知a,b都是正数，求正：Q+日0+副产4。 【答案】(1)(x+3)(x+7)<(x+4)(x+6):(2)证明见解析 【分析】(1)作差比较；(2)两次用基本不等式. 【解答】 (1)(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)=(x2+10x+21)-(x2+10x+24)=-3<0, 所以(x+3)(x+7)<(x+4)(x+6): (2)因为a>0,b>0,由基本不等式a+1≥2，b+1≥2， a b 两式相乘得 a8动4 当且仅当a=1且b=1时取等号. 16.(15分) 已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤3}，B={x|2<x<10}· (1)求AUB: (2)求(CA)OB: (3)求(CA)U(CB). 【答案】(1)「-2,10)：(2)(3,10)；(3)(-0,2]小U(3,+∞) 【分析】先明确两个集合，再按交、并、补的定义逐问求解，注意端点的开闭 【解答】 (1)AUB={x|-2≤x<10}=「-2,10). (2)因为CA={x|x<-2或x>3},所以(CA)nB={x3<x<10=(3,10) (3)(CA)U(CB)=Cu(AOB),而AOB={x|2<x≤3}=(2,3]， 所以(Gu)U(GB)=(←∞，2]U(3,+∞) 17.(15分) 已知集合A={x-3≤x≤2}，集合B={x|21-1≤x≤+2}· (1)若m=1,求A∩B; (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)1,2]：(2)[1,0]小U(3,+∞) 【分析】(1)代值求交集；(2)“x∈A”是“x∈B的必要不充分条件即B二A,注意B=☑的情形. 【解答】 (1)当m=1时，B={x|1≤x≤3}=[1,3]，又A=[-3,2], 高一数学十月月考（答案）第6页（共8页） 所以AnB=L,2]. (2)由题意BA. ①当2-1>m+2,即m>3时，B=②A,符合题意： ②当m≤3时，B=[2-1,m+2]≠0，由B≤A得2-1≥-3且m+2≤2，解得-1≤m≤0，此时 B≠A,符合. 综上，m∈[-1,0]U(3,+w): 18.(17分) 设命题P:对任意x∈[0,1]，不等式2x-3≥-4恒成立. (1)若P为真命题，求实数m的取值范围： (2)记P真时m的所有取值构成集合A,B=x-(a++1≤0(a>0),若AnB=A,求 a 正数a的取值范围。 【答案】(1)[1,3]：(2) 【分析】(1)“恒成立转化为最小值；(2)A⌒B=A即A∈B,再按a与1的大小讨论B. 【解答】 (1)2x-3在[0,1]上单调递增，最小值为2×0-3=-3， 所以m2-4≤-3，即2-4m+3≤0，解得1≤m≤3，即A=[1,3] 2)B=6-ax-日0，由AnB=A得4c. @当a≥1时，B=[日a,由创[日a得1且a23,即a≥3： ②当0ca<1时，B=a由到=a月得as1且3，即0sas 综上，ae0[B+) 19.(17分) 对于基本不等式，即当a>0,b>0时有a+也≥b(当且仅当a=b时不等式取“=")，我们称 2 a+b为正数a,b的算术平均数，√而为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几 2 何平均数.这只是均值不等式的一个简化版本.均值不等式的历史可以追溯到l9世纪，由Chebycheff 在1882年发表的论文中首次提出.均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重 要公式.它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系.它表明： 个正数x,x2,x3…x的平方平均数 高一数学十月月考（答案）第7页（共8页） +++飞大于等于它们的算术平均数+西++…+区大于等于几何平均数…成大 n 于等于调和平均数 1’且当，y这些数全部相等时，等号成立 11++ Xn 心请直接运用上述不等式链中某个n的情形求y=x+(>0)的最小值 (2)写出=3时调和平均数与几何平均数之间的关系，并证明： (3)如图，把一块长为6的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一 个无盖的方底盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 3 【答案】(1)最小值为3：（2)1≤c,证明见解析：(3)切去边长为1时容积最大 a b c 【分析】1)把：拆成两个营凑成三项用”-3的均位不等式：(2)对三个正数的倒数用整本不等式： (3)写出容积函数后凑成三项之积为定值. 【解答】 4=+￥+4≥ 922=3浙=3， ⑩+227站 当且仅当、=4，即x=2时取等号，故最小值为3. (2)n=3时，调和平均数与几何平均数的关系为 3smc(ab,c>0),当且仅当a=b=c时取等号. 111 a b c 证明：由基本不等式++之3 1 a b c abc 两边取倒数（均为正数）得， 3 3 ≤ 1,1,1 abc,当且仅当a=b=c时取等号. 1 33引 (3)设切去的小正方形边长为x(0<x<3),则盒子的底面是边长为6-2x的正方形，高为x, 容积V=x(6-2x)=4x(3-x). 因为7=223-3-x刃s22x+3-+3- =2×23=16, 3 当且仅当2x=3-x,即x=1时取等号， 所以切去边长为1的小正方形时，盒子的容积最大，最大容积为16. 高一数学十月月考（答案）第8页（共8页）高一派位部10月月考数学试题 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。) 1.设集合U={x∈N|x≤5}，A=1,3},B=1,2,4,则AU(CB)=() A.{1,3,5} B.{0,1,3,5} C.{0,1,2,4 D.{12,4,5} 2.命题“neN,Vm2+1eN”的否定是() A.3nEN,vn2+1eN B.VneN,Vn2+1eN C.VnEN,Vn2+1EN D.3neN,√m+1eN 3.设0<u<，0≤Bs二，则2a-B的范围是() 3 B. π5π 6’6 C.(0,x) 4.已知a>b>0,c<d<0,则下列不等式中正确的是() A.-11 B.c2<cd C.a+c<b+d D.ab a b 5.设a、b是实数，集合A={1,b,a2},B={-1,2+b,2a+3},若A=B,则a+b22的值为() A.-4 B.0 C.2 D.4 6.已加关于x的不等式四+加-20的解失为(2公心小则不等式公1的解类为 () A[制 c.（mu6*m) 7.为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计 算，16人参加绘图.测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人 既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有2人三项工作都参加了，这支测 绘队有()人. A.44 B.43 C.40 D.41 高一数学十月月考第1页（共4页） 8.若关于x的不等式x2-(a+3)x+2a+2<0的解集中恰有3个整数，则实数a的取值范围为() A.{a|-3≤a<-2} B.{a-3≤a<-2或4<a≤5} C.{a-3<a<-2或4<a<5} D.c{a-3≤a≤-2或4≤a≤5} 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9.下列说法正确的是() A.空集是任意一个集合的真子集 B.集合{a,b}共有4个子集 C.集合{x|x=3n+1,n∈Z={x|x=3-2,n∈Z D.√的近似值的全体构成一个集合 10.对于所有实数x,使得不等式x2+x+㎡>0恒成立的一个充分不必要条件可以是() A.a>0 B.a>-1 C.a<0 D.a<2 11.己知正实数a,b满足a+b=2,则下列结论正确的是() A.b的最大值为1 B.a2+b2的最小值为4 C.+2的最小值为3+25 D.2a+3-2的最小值为3+22 a b ab 2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.己知集合A={x-1≤x≤2}，B={xx<1},则A∩(C?B)= 13.己知集合A={x|(a-1)x2+3x-2=0},B={xx2-3x+2=0},若A∈B,求实数a的取值范围 8 14.如图，某规划组计划建设一个矩形花草园，在矩形ABCD的中心位置建造一个面积为50m2的矩形 EGH(EF>EH)花园，在矩形EFGH的四周铺设草坪，要求南北两侧的草坪宽0.5m,东西两侧的 草坪宽1m,则矩形ABCD面积的最小值为·m. 北 50m 高一数学十月月考第2页（共4页） 四、解答题（本题共5小题） 15.(13分) (1)比较(x+3)(x+7）和(x+4)(x+6)的大小. (2)已知a,b都是正数，求证：a+日6+动4 16.(15分) 已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤3}，B={x|2<x<10}. (1)求AUB: (2)求(CA)nB; (3)求(CuA)U(CB). 17.(15分) 已知集合A={x|-3≤x≤2}，集合B={x|2l-1≤x≤m+2}. (1)若m=1,求A∩B; (2)若“x∈A”是“x∈B的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 18.(17分) 设命题P：对任意x∈[0,1]，不等式2x-3≥-4恒成立. (1)若P为真命题，求实数m的取值范围： 2)记P真时m的所有取值构成集合A,B=x二a+月+1≤0(a>0),若AB=A,求一 正数a的取值范围. 19.(17分) 厨于基本不等式，即当a>0,b>0时有Q,≥V(当宜仅当a=b时不等式取“=”)，我们称 +b为正数a,b的算术平均数，√而为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几 2 何平均数.这只是均值不等式的一个简化版本.均值不等式的历史可以追溯到l9世纪，由Chebycheff 在1882年发表的论文中首次提出.均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重 要公式.它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系.它表明： 个正数1，x,x3x的平方平均数 高一数学十月月考第3页（共4页） +++飞大于等于它们的算术平均数+，++…+玉大于等于几何平均数…元大 于等于调和平均数 1’且当内…x这些数全部相等时，等号成立. 11+…+ 为X2X (1)请直接运用上述不等式链中某个n的情形求y=x+号(x>0)的最小值： (2)写出=3时调和平均数与几何平均数之间的关系，并证明： (3)如图，把一块长为6的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一 个无盖的方底盒子.问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 高一数学十月月考第4页（共4页） 高一派位部 10 月月考数学试题 参考答案 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1．设集合 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出全集与补集，再求并集． 【解答】 ，，所以 ， 故 ．故选A． 2．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题：改量词、否结论． 【解答】 命题“，”的否定是“，”， 四个选项中与之相符的是A（选项中以 表示，含义相同）．故选A． 3．设 ，，则 的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求 与 的范围，再由“减去”转化为加上相反数后用同向不等式相加． 【解答】 由 得 ； 由 得 ，即 ． 两式相加得 ，即范围为 ．故选D． 4．已知 ，，则下列不等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐项用不等式性质判断，注意 为负时乘、除要变号． 【解答】 A项：由 得 ，故 ，错误； B项：由 及 得 ，错误； C项：取 ，，，，则 ，错误； D项：，其中 ，，所以 ，两边同除以 得 ，正确． 故选D． 5．设 、 是实数，集合 ，，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合相等得元素对应关系，再检验元素的互异性． 【解答】 因为 且 ，所以 ：由 知 或 ． 又 且 ，注意到 ，故 ． 此时 ，，于是 ，解得 或 ． 当 时 ， 不满足互异性，舍去；当 时 ，，符合． 所以 ．故选C． 6．已知关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由解集的两端点用韦达定理求 ，再解分式不等式． 【解答】 因为 的解集为 ，所以 ，且 是 的两根． 由韦达定理：，，解得 ，． 原不等式即 ，即 ，即 ， 等价于 ，解得 或 ， 即解集为 ．故选D． 7．为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要 人参加测量， 人参加计算， 人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有 人既参加了测量又参加了计算，有 人既参加了测量又参加了绘图，有 人既参加了计算又参加了绘图，另有 人三项工作都参加了．这支测绘队有（　　）人． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】三个集合的容斥原理． 【解答】 由容斥原理，总人数为 ．故选A． 8．若关于 的不等式 的解集中恰有 个整数，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D．c 【答案】B 【分析】因式分解得两根 与 ，按两根大小分类数整数解． 【解答】 原不等式即 ． 当 ，即 时，解集为 ，其中整数为 ，恰有 个需 ，即 ； 当 ，即 时，解集为 ，其中整数为 ，恰有 个需 ，即 ； 当 时解集为空集，不合题意． 所以 ．故选B． 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9．下列说法正确的是（　　） A．空集是任意一个集合的真子集 B．集合 共有 个子集 C．集合 D． 的近似值的全体构成一个集合 【答案】BC 【分析】逐项判断：空集与真子集、子集个数、数集相同、集合的确定性． 【解答】 A项：空集是任意非空集合的真子集，但它不是自身的真子集，错误； B项： 的子集为 ，共 个，正确； C项：两个集合都表示被 除余 的整数组成的集合，正确； D项：“近似值”精确到哪一位并不确定，不满足确定性，不能构成集合，错误． 故选BC． 10．对于所有实数 ，使得不等式 恒成立的一个充分不必要条件可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先求“恒成立”的充要条件（），再找它的真子集对应的条件． 【解答】 当 时，不等式为 ，对 不成立，不合题意； 当 时，，且 ，不等式恒成立． 所以“恒成立”的充要条件是 ． A项：，且 时不一定有 ，是充分不必要条件，正确； B项： 包含 ，不充分，错误； C项：，且不必要，正确； D项： 包含 ，不充分，错误． 故选AC． 11．已知正实数 ， 满足 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的最大值为 B． 的最小值为 C． 的最小值为 D． 的最小值为 【答案】AD 【分析】用基本不等式逐项求最值，注意等号成立的条件． 【解答】 A项：，当 时取等号，正确； B项：，最小值为 ，错误； C项：，最小值为 ，错误； D项：，由C项知最小值为 ，正确． 故选AD． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知集合 ，，则 　　　　　　． 【答案】 【分析】先求补集，再与 取交集． 【解答】 因为 ，，所以 ， 又 ， 所以 ． 13．已知集合 ，，若 ，求实数 的取值范围是　　　　　　． 【答案】 或 【分析】，按 是否为 、判别式的符号分类讨论 的元素情况． 【解答】 ． 当 时，方程化为 ，，不合题意． 当 时，． ①，即 时，，符合题意； ②，即 时，，不合题意； ③，即 且 时， 有两个元素，由 知两根为 ， 则 且 ，都解得 ，符合． 综上， 或 ． 14．如图，某规划组计划建设一个矩形花草园，在矩形 的中心位置建造一个面积为 的矩形 （）花园，在矩形 的四周铺设草坪，要求南北两侧的草坪宽 ，东西两侧的草坪宽 ，则矩形 面积的最小值为　　　　　．　． 【答案】 【分析】设花园的长、宽，把外框面积表示出来，用基本不等式求最小值． 【解答】 设花园 的东西长为 米，南北宽为 米，则 ． 由题意，矩形 的东西长为 ，南北宽为 ， 所以 ， 当且仅当 且 ，即 ， 时取等号（此时 ，符合）． 故矩形 面积的最小值为 ． 四、解答题（共77分） 15．（13分） （1）比较 和 的大小． （2）已知 ， 都是正数，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）作差比较；（2）两次用基本不等式． 【解答】 （1）， 所以 ． （2）因为 ，，由基本不等式 ，， 两式相乘得 ， 当且仅当 且 时取等号． 16．（15分） 已知全集 ，集合 ，． （1）求 ； （2）求 ； （3）求 ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】先明确两个集合，再按交、并、补的定义逐问求解，注意端点的开闭． 【解答】 （1）． （2）因为 ，所以 ． （3），而 ， 所以 ． 17．（15分） 已知集合 ，集合 ． （1）若 ，求 ； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）代值求交集；（2）“”是“”的必要不充分条件即 ，注意 的情形． 【解答】 （1）当 时，，又 ， 所以 ． （2）由题意 ． ①当 ，即 时，，符合题意； ②当 时，，由 得 且 ，解得 ，此时 ，符合． 综上，． 18．（17分） 设命题 ：对任意 ，不等式 恒成立． （1）若 为真命题，求实数 的取值范围； （2）记 真时 的所有取值构成集合 ，（），若 ，求正数 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）“恒成立”转化为最小值；（2） 即 ，再按 与 的大小讨论 ． 【解答】 （1） 在 上单调递增，最小值为 ， 所以 ，即 ，解得 ，即 ． （2），由 得 ． ①当 时，，由 得 且 ，即 ； ②当 时，，由 得 且 ，即 ． 综上，． 19．（17分） 对于基本不等式，即当 ， 时有 （当且仅当 时不等式取“”），我们称 为正数 ， 的算术平均数， 为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．这只是均值不等式的一个简化版本．均值不等式的历史可以追溯到 世纪，由 Chebycheff 在 年发表的论文中首次提出．均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式．它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系．它表明： 个正数 的平方平均数 大于等于它们的算术平均数 大于等于几何平均数 大于等于调和平均数 ，且当 这些数全部相等时，等号成立． （1）请直接运用上述不等式链中某个 的情形求 （）的最小值； （2）写出 时调和平均数与几何平均数之间的关系，并证明； （3）如图，把一块长为 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子．问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 【答案】（1）最小值为 ；（2），证明见解析；（3）切去边长为 时容积最大 【分析】（1）把 拆成两个 凑成三项用 的均值不等式；（2）对三个正数的倒数用基本不等式；（3）写出容积函数后凑成三项之积为定值． 【解答】 （1）， 当且仅当 ，即 时取等号，故最小值为 ． （2） 时，调和平均数与几何平均数的关系为 （），当且仅当 时取等号． 证明：由基本不等式 ， 两边取倒数（均为正数）得 ，当且仅当 时取等号． （3）设切去的小正方形边长为 （），则盒子的底面是边长为 的正方形，高为 ， 容积 ． 因为 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以切去边长为 的小正方形时，盒子的容积最大，最大容积为 ． 高一数学十月月考（答案）　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一派位部 10 月月考数学试题 （考试时间：120 分钟　　试卷满分：150 分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．设集合 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．设 ，，则 的范围是（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，，则下列不等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 5．设 、 是实数，集合 ，，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 6．已知关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 7．为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要 人参加测量， 人参加计算， 人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有 人既参加了测量又参加了计算，有 人既参加了测量又参加了绘图，有 人既参加了计算又参加了绘图，另有 人三项工作都参加了．这支测绘队有（　　）人． A． B． C． D． 8．若关于 的不等式 的解集中恰有 个整数，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D．c 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．下列说法正确的是（　　） A．空集是任意一个集合的真子集 B．集合 共有 个子集 C．集合 D． 的近似值的全体构成一个集合 10．对于所有实数 ，使得不等式 恒成立的一个充分不必要条件可以是（　　） A． B． C． D． 11．已知正实数 ， 满足 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的最大值为 B． 的最小值为 C． 的最小值为 D． 的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．已知集合 ，，则 　　　　　　． 13．已知集合 ，，若 ，求实数 的取值范围是　　　　　　． 14．如图，某规划组计划建设一个矩形花草园，在矩形 的中心位置建造一个面积为 的矩形 （）花园，在矩形 的四周铺设草坪，要求南北两侧的草坪宽 ，东西两侧的草坪宽 ，则矩形 面积的最小值为　　　　　．　． 四、解答题（本题共5小题） 15．（13分） （1）比较 和 的大小． （2）已知 ， 都是正数，求证：． 16．（15分） 已知全集 ，集合 ，． （1）求 ； （2）求 ； （3）求 ． 17．（15分） 已知集合 ，集合 ． （1）若 ，求 ； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数 的取值范围． 18．（17分） 设命题 ：对任意 ，不等式 恒成立． （1）若 为真命题，求实数 的取值范围； （2）记 真时 的所有取值构成集合 ，（），若 ，求正数 的取值范围． 19．（17分） 对于基本不等式，即当 ， 时有 （当且仅当 时不等式取“”），我们称 为正数 ， 的算术平均数， 为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．这只是均值不等式的一个简化版本．均值不等式的历史可以追溯到 世纪，由 Chebycheff 在 年发表的论文中首次提出．均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式．它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系．它表明： 个正数 的平方平均数 大于等于它们的算术平均数 大于等于几何平均数 大于等于调和平均数 ，且当 这些数全部相等时，等号成立． （1）请直接运用上述不等式链中某个 的情形求 （）的最小值； （2）写出 时调和平均数与几何平均数之间的关系，并证明； （3）如图，把一块长为 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子．问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 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