精品解析：江苏南京市鼓楼区南京师范大学附属中学树人学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学卷

九年级（上）阶段测试卷—26年10南师树人 一．选择题（本大题共有6小题，每小题2分，共12分．） 1. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：把代入，得， ，即 ， 解得． 2. 关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 必经过点 B. 两个分支分布在第二、四象限 C. 两个分支关于轴成轴对称 D. 在每一个象限内，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】先由解析式确定比例系数的符号，再结合反比例函数的图象与性质判断各选项． 【详解】解：A、将代入，得，故A错误； B、，函数图象的两个分支分布在第一、三象限，故B错误； C、反比例函数图象的两个分支关于原点中心对称，不关于轴对称，故C错误； D、，在每一个象限内，随的增大而减小，故D正确． 3. 如图所示，工程上常用钢珠来测量零件上槽孔的宽口，假设钢珠的直径是，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，则这个槽孔的宽的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、垂径定理，掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．设点O为圆心，过点O作，垂径定理可得，再利用勾股定理可求得，进而可求得答案． 【详解】解：如图，设点O为圆心，过点O作于C，连接，， 根据垂径定理可得：， ∵直径是， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故选：B． 4. 如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】此题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键． 根据圆心角、弧、弦的关系求出，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 5. 如图，，，是上的点，且，现给出下列度数的圆周角，仅用一把无刻度的直尺无法画出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作直径，连接，在上取点E，连接，根据圆内接四边形的性质可得的度数，再由直径，可求出的度数，然后根据圆内接四边形的性质可得的度数，即可． 【详解】解：如图，作直径，连接，在上取点E，连接， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， 综上所述，仅用一把无刻度的直尺能画出，则仅无法画出的是． 6. 如图，，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，，在轴的两侧，，，与的距离为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，两点的坐标分别为 、 ，根据点与点的纵坐标相同，点与点的纵坐标相同，得到 ，，由，，得到，根据与的距离为5，把代入中，即可求解， 本题考查了反比例函数的几何意义，解题的关键是：根据题意列出等量关系式． 【详解】解：设，两点的坐标分别为 、 ， ∵轴 ∴点与点的纵坐标相同，即 ，解得 ， 点与点的纵坐标相同，即，解得， ∵，， ∴ ， 解得 ， ∵与的距离为5， ∴ ， 把代入中，得， 故选：D． 二．填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分．） 7. 方程的解是_____________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， 两边开方得，， 即或， 解得，； 故答案为，． 8. 若反比例函数的图像经过第一、三象限，则m的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵ 反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴，解得， 故答案为：． 9. 若、是反比例函数的图象上的两点，则与的大小关系是________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】可以将两点横坐标代入反比例函数解析式求出和的值，再比较大小． 【详解】解：∵、是反比例函数图象上的两点， ∴将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 10. 在中，，，，则这个三角形的外接圆的半径是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再利用直角三角形外接圆直径等于斜边长计算半径. 【详解】解：∵ 在中，，，，有,　 ∴ ， ∵ 直角三角形的外接圆直径等于斜边长度， ∴ 三角形外接圆的半径为 ． 11. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变的条件下，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，且当时，．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于________． 【答案】0.6 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出函数解析式，然后根据当气球内的气压大于时，气球将爆炸，列出不等式求解即可． 【详解】解：设函数解析式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∵气球内的气压大于时，气球将爆炸， ， 解之得，即气球的体积应不小于， 故答案为：0.6． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出函数关系式是解题的关键． 12. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止；同时，点从点出发以的速度向点移动．经过________秒，、两点之间的距离首次达到． 【答案】2 【解析】 【分析】过点作交于点，根据矩形的性质和判定可推得四边形为矩形，设秒后，，根据题意可得，，从而可以得到，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作交于点， 设秒后，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴， 根据题意可知，，， ∴ 在中，， 则， 解之得． 13. 如图，四边形内接于，它的3个外角，，的度数之比为，则________． 【答案】##72度 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的对角互补以及外角的性质可求出，再根据平角的定义求解． 【详解】解：如图，延长到H， 四边形内接于， ， ， ，，的度数之比为， ，，，的度数之比为， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆内接四边形，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补，外角和是360度． 14. 如图，在半径为2的⊙O中，弦AB＝2，⊙O上存在点C，若AC＝2，则∠BAC的度数为___. 【答案】30°或105° 【解析】 【分析】先根据条件证明△AOB为等边三角形，第一种情况，再证△AOC为等腰直角三角形，即可得解；第二种情况，直接用圆周角定理即可得解. 【详解】解：①如图，连接AO,过O作OD⊥AB于D, 作OE⊥AC于E, ∵AB＝2，OA=OB=OC=2, ∴AB=OA=OB， ∴△ABO为等边三角形. ∴∠BAO=60°. 又∵AC=2， ∴ ， ∴△AOC为等腰直角三角形. 则∠OAC=45°， ∴∠BAC=105°. ②如图， 同上，△OBC为等边三角形. ∴∠O=60°， ∴∠BAC=30°. 综上，∠BAC的度数为30°或105°. 【点睛】本题考查了垂径定理及圆周角定理，根据条件能挖掘出图中的特殊三角形从而得到角的条件是解题关键. 15. 若关于的一元二次方程，当，，，…，时，相应的一元二次方程的两根分别记为，；，；…；，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系得到每组根的和与积，将所求式子变形后裂项，抵消后计算结果即可． 【详解】解：∵ 对任意，关于的方程的两根为， ∴根据根与系数的关系可得，， ∴ ， ∴ 原式 ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点是反比例函数图象上的一个动点，若以点为圆心，为半径的圆与直线相交，交点为，，当弦的长为时，点的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】连接，作，则利用和，求得，作轴交弦于点C，然后设，表示出，再通过勾股定理求解，即可建立方程求解． 【详解】解：连接，作，如图， 则，， 在中，， 作轴交弦于点C，设， 则把代入，可得，即， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴由勾股定理可得，， ∵轴， ∴点， ∴， ∴， 当时， ， 解得或（舍去）, 此时, 当时，， 解得或（舍去）， 此时， 综上所述，点的坐标为或 ． 三．解答题（本大题共9小题，共88分．） 17. 解方程： （1）， （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 【小问2详解】 解： ， ， 或 ， ． 18. 如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧的度数为50°， 求∠AOC的度数． 【答案】65°. 【解析】 【分析】连接OE，由弧CE的度数为50°，得到∠COE＝50°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE＝（180°－50°）÷2＝65°，而弦CE∥AB，即可得到∠AOC＝∠OCE＝65°． 【详解】解：连接OE，如图， ∵ 的度数为50°， ∴∠COE=50°， ∵OC=OE， ∴∠OCE=∠OEC， ∴∠OCE=（180°﹣50°）÷2=65°， ∵CE∥AB， ∴∠AOC=∠OCE=65°． 【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等，等腰三角形的性质和平行的性质以及三角形的内角和定理． 19. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系等知识． （1）计算，根据题意得到，即，得到； （2）根据一元二次方程根与系数关系得到，根据得到，整体代入得到，即可求出． 【小问1详解】 解：， ∴， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 解：设方程的两个实数根分别为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）已知点的横坐标为3． ①求反比例函数的表达式； ②不等式的解集是________； （2）若，则的取值范围是________． 【答案】（1）①；②或 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据点A的横坐标为3，即可得到A（3，4），代入，进而得出反比例函数的解析式；②根据一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，通过解方程即可得到交点坐标，然后根据图象即可写出不等式的解集； （2）根据一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，通过解方程即可得到交点坐标，即可求得AB的长度，进而求得m的取值范围． 【小问1详解】 把x＝3代入， 可得， ∴A（3，4）， 把（3，4）代入，可得m＝3×4＝12， ∴反比例函数的解析式为； 根据题意可得 ， 解得 或， ∴A(3，4)，B(-3，-4)， 结合图象可得不等式的解集是或， 故答案为：或 【小问2详解】 解：根据题意可得 ，解得 或， ∴A(，)，B(，)， ∴， ∵， ∴，解得， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 21. 某广告公司制作某种定制纪念品．纪念品的平均总成本包括材料成本和制作成本，其中材料成本固定不变，制作成本与生产数量成反比．该公司为两个客户定制生产了两批，得到如下数据： 生产数量（件） 平均总成本（元） （1）设平均总成本为元，生产数量为件，求与之间的函数表达式； （2）下一位客户要将平均总成本控制在元以内，请问至少需要生产多少件？ 【答案】（1）（为正整数） （2）至少需要生产34件 【解析】 【分析】（1）根据平均总成本的组成设出含待定系数的函数式，代入已知数据求解系数． （2）根据平均总成本的限制列不等式，结合生产数量为正整数求最小值． 【小问1详解】 解：∵平均总成本由固定的材料成本和与生产数量成反比的制作成本组成， ∴设（）． 将，和，分别代入，得 ， 解得，． ∴与的函数表达式为（为正整数）． 【小问2详解】 根据题意，得． ∵， ∴， 解得． ∵为正整数， ∴的最小值为34． 答：至少需要生产34件． 22. 某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）若此种头盔的进价为300元每个，测算在市场中，当售价为400元每个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元每个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润达到6032元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为每个元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意列出一元二次方程是解答本题的关键． 设该品牌头盔销售量的月增长率为，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解； 设该品牌头盔的实际售价为每个元，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意得：， ，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价为元/个， ，， 尽可能让顾客得到实惠， 答：该品牌头盔的实际售价应定为每个元． 23. 根据题目条件，解答下列各题 （1）如图，用无刻度的直尺和圆规作出的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若等腰的外接圆的半径为，底边，则的长为________． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线得到圆心，以为半径画圆就得到的外接圆． （2）作等腰三角形底边上的高，由三线合一得，连接半径，在直角三角形中算出，分圆心在三角形内部、外部两种情况求出高为 9 或者 1，再用勾股定理算出长为或者． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：过点作于点，连接． 是等腰三角形，，， ． ， ． 等腰三角形外接圆圆心在高上，外接圆半径． 在中，由勾股定理， ． 分两种情况讨论： ① 当圆心在内部时， ． 在中， ． ② 当圆心在外部时， ． 在中， ． 的长为或． 24. 如图，四边形内接于，为延长线上一点，平分． （1）求证：； （2）如图，若为直径，过点作于，且，求的半径． 【答案】（1）证明：平分， ． 四边形内接于， ． 又， ． ． （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线得到，利用圆内接四边形外角等于内对角得到，再利用同弧所对圆周角相等得到，推导出，等角对等边证得． （2）连接延长交于，交圆于，由得到垂直平分，结合直径得，证明四边形为矩形，得到，算出，在中用勾股定理算出直径，进而得到圆半径为． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：如图，连接并延长，交于点，交于点， 则． ，经过圆心， ，则， ，． 是的直径， ，即． ，， ． 四边形是矩形． ． ， ． ， ． 在中，，，， 由勾股定理得． 的半径为． 25. 仍是双曲线吗？ （1）从出发： ①函数的图象是中心对称图形，对称中心是________； ②将的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得图象对应的表达式为________； ③将的图象关于直线轴对称，所得图象对应的表达式为________． （2）向行进： 设函数的图象为曲线． ①曲线可以由哪个函数的图象平移得到？请写出平移的方案； ②曲线可以由哪个函数的图象轴对称得到？请写出轴对称的方案； （3）一般化思考： 一般地，函数（常数，，，为互不相等的正数，分子分母没有公因式）的图象（记作曲线）仍是双曲线，且可以由对应的反比例函数的图象变换得到． ①曲线的对称中心的坐标为________； ②若曲线的每段双曲线都满足随的增大而增大，则，，，应满足的条件为________． 【答案】（1）①；②；③； （2）①曲线可以由反比例函数平移得到，平移方案是：由反比例函数向右平移个单位，向上平移个单位得到曲线；②曲线可以由函数轴对称得到，轴对称方案是：将函数的图象关于直线对称，可得到函数曲线 （3）①；②； 【解析】 【分析】（1）①依据反比例函数的图象性质，直接写出对称中心； ②利用函数图象平移左加右减，上加下减的规律求出平移后的解析式； ③设出变换后图象上点的坐标，利用点关于直线对称的坐标关系，代入原函数求出解析式． （2）①对分式解析式分离常数，化为的形式，反向确定原反比例函数以及平移方案； ②分离常数变形后，找到一个函数，仅通过一次轴对称变换得到曲线． （3）①对分离常数，确定渐近线，求出对称中心坐标； ②根据反比例型函数的增减性，由反比例部分系数符号列出满足的不等关系． 【小问1详解】 解：①的对称中心为； ②将的图象先向右平移个单位长度，得，再向上平移个单位长度，得； ③设是变换后图象上一点，其关于直线的对称点为， ∵该点在上． ∴，即； 【小问2详解】 解：① ， ∴曲线可以由反比例函数平移得到，平移方案是：由反比例函数向右平移个单位，向上平移个单位得到曲线． ②设点是函数的图象关于直线对称的函数的图象上一点， 则点是函数的图象上一点， ∴， ∴函数的图象关于直线对称的函数的表达式为， ∴曲线可以由函数轴对称得到，轴对称方案是：将函数的图象关于直线对称，可得到函数曲线． 【小问3详解】 解：①∵， ∴对称中心： ②∵双曲线每一段上随的增大而增大， ∴反比例函数的比例系数小于0，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）阶段测试卷—26年10南师树人 一．选择题（本大题共有6小题，每小题2分，共12分．） 1. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 必经过点 B. 两个分支分布在第二、四象限 C. 两个分支关于轴成轴对称 D. 在每一个象限内，随的增大而减小 3. 如图所示，工程上常用钢珠来测量零件上槽孔的宽口，假设钢珠的直径是，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，则这个槽孔的宽的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，，，是上的点，且，现给出下列度数的圆周角，仅用一把无刻度的直尺无法画出的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，，在轴的两侧，，，与的距离为，则的值是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分．） 7. 方程的解是_____________． 8. 若反比例函数的图像经过第一、三象限，则m的取值范围是_________． 9. 若、是反比例函数的图象上的两点，则与的大小关系是________．（填“”、“”或“”） 10. 在中，，，，则这个三角形的外接圆的半径是________． 11. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变的条件下，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，且当时，．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于________． 12. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止；同时，点从点出发以的速度向点移动．经过________秒，、两点之间的距离首次达到． 13. 如图，四边形内接于，它的3个外角，，的度数之比为，则________． 14. 如图，在半径为2的⊙O中，弦AB＝2，⊙O上存在点C，若AC＝2，则∠BAC的度数为___. 15. 若关于的一元二次方程，当，，，…，时，相应的一元二次方程的两根分别记为，；，；…；，，则的值为________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点是反比例函数图象上的一个动点，若以点为圆心，为半径的圆与直线相交，交点为，，当弦的长为时，点的坐标为________． 三．解答题（本大题共9小题，共88分．） 17. 解方程： （1）， （2）． 18. 如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧的度数为50°， 求∠AOC的度数． 19. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）已知点的横坐标为3． ①求反比例函数的表达式； ②不等式的解集是________； （2）若，则的取值范围是________． 21. 某广告公司制作某种定制纪念品．纪念品的平均总成本包括材料成本和制作成本，其中材料成本固定不变，制作成本与生产数量成反比．该公司为两个客户定制生产了两批，得到如下数据： 生产数量（件） 平均总成本（元） （1）设平均总成本为元，生产数量为件，求与之间的函数表达式； （2）下一位客户要将平均总成本控制在元以内，请问至少需要生产多少件？ 22. 某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）若此种头盔的进价为300元每个，测算在市场中，当售价为400元每个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元每个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润达到6032元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 23. 根据题目条件，解答下列各题 （1）如图，用无刻度的直尺和圆规作出的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若等腰的外接圆的半径为，底边，则的长为________． 24. 如图，四边形内接于，为延长线上一点，平分． （1）求证：； （2）如图，若为直径，过点作于，且，求的半径． 25. 仍是双曲线吗？ （1）从出发： ①函数的图象是中心对称图形，对称中心是________； ②将的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得图象对应的表达式为________； ③将的图象关于直线轴对称，所得图象对应的表达式为________． （2）向行进： 设函数的图象为曲线． ①曲线可以由哪个函数的图象平移得到？请写出平移的方案； ②曲线可以由哪个函数的图象轴对称得到？请写出轴对称的方案； （3）一般化思考： 一般地，函数（常数，，，为互不相等的正数，分子分母没有公因式）的图象（记作曲线）仍是双曲线，且可以由对应的反比例函数的图象变换得到． ①曲线的对称中心的坐标为________； ②若曲线的每段双曲线都满足随的增大而增大，则，，，应满足的条件为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $