精品解析：江苏省南京市鼓楼实验中学2025-2026学年上学期九年级数学月考试卷

九年级数学阶段练习二（202512） 一．选择题（共6小题）（共6小题共12分） 1. 一种零件长，该零件在设计图上的长是，那么该幅设计图的比例尺是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，已知，，，则长为（　　） A. 12 B. 26 C. 24 D. 13 4. 已知抛物线：经过平移后得到抛物线：．若抛物线上点P的坐标是，则点P平移后的对应点Q的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，则的周长为（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 6. 如图，点C是半圆上一点，是直径且，将弧沿翻折交于点D，再将弧沿翻折交于点E，若E是弧的中点，则阴影部分面积为（ ） A. 2 B. C. D. 二．填空题（共10小题，共20分） 7. 已知线段，，线段是线段，的比例中项，则______． 8. 若锐角满足，则______． 9. 如图，在正方形网格中，，则的度数为__________． 10. 某市2025年4月5G手机用户数量为25万，同年6月5G用手机户数量增长至36万，设5、6月份用户数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为________． 11. 已知，，，．如果的最短边边长为，则的最长边边长为______． 12. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是______． 13. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是_____． 14. 如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若，则=__． 15. 如图，在四边形中，，是边上一点，交于点．当的最大值为4时，则__________． 16. 如图，一古桥的桥洞可近似看成抛物线型，其解析式为，现要对这座古桥进行加固，须临时安装一些垂直于地面的支撑杆，要求相邻支撑杆之间的距离为，但最边缘的支撑杆到桥洞底部的的距离可以不大于，即图中，，则最多可安装支撑杆__________条． 三．解答题（共11小题，共88分） 17. （1）解方程：； （2）计算：． 18. 二次函数的部分图像如图所示． （1）根据图像，回答以下问题： ①与的数量关系为：______； ②关于的方程的解是______． （2）若该函数图像经过点，求它的顶点坐标． 19. 已知P是上一点，在上作两点，使得分别满足以下条件： （1）在图①中，； （2）在图②中，． （说明：第（1）题只用无刻度的直尺作图，第（2）题只用圆规作图；保留作图痕迹，不写作法．） 20. 如图， 在中， 点P是的边上的一点． （1）请判断三人的说法的对错：小星 ，小红 ， 小亮 ． （填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法， 求证： ； （3）在（2）的条件下，， 若， ， 求的长． 21. 某水果商店经销一种热带水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克． （1）现该商场保证每天盈利1500元，同时又要让利顾客，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场要求销售量不低于130千克，这种水果每千克涨价多少元，才能使该商场获利最大． 22. 如图，在山坡BC坡顶的平台CD上竖直立有一根旗杆MN，已知山坡BC的坡度为3：4．小明站在A处测得旗杆顶端M的仰角是，向前步行3米到达B处（米），再延斜坡BC步行5米至平台点C处（），测得点M的仰角是，若A、B、C、D、M、N在同一平面内，且A，B和C，D，N分别在同一水平线上，小明的眼睛距离脚底的高度米，求旗杆MN的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） 23. 如图，在中，，D为边上一点，，连接． （1）求证：； （2）若，． ①若四边形为平行四边形，求的长． ②线段长的最小值为______． 24. 如图，四边形内接于，满足，连接 ，，延长，交于点． （1）若，求的度数； （2）求证：； （3）若，，，的长为______． 25. 已知二次函数（为常数，且）． （1）该函数的图象必经过两个定点______， _____； （2）若该函数图象与轴只有一个交点，求函数图象的顶点坐标； （3）若点都在该函数图象上，且，直接写出的取值范围． 26. 如图1、商家销售某些饮品时会给杯子在杯身上套上一个杯套，方便拿取，小欣同学深受启发，准备为家中如图2所示的两种玻璃杯也配上杯套．（说明：整个探究过程中均忽略杯套的连接部分和杯套的厚度） （1）小欣家直身杯的杯口直径为，她要制作高度为的杯套，则此杯套的面积为______（结果保留）； （2）小欣发现阔口杯近似为圆台形状（即一个大圆锥截去一个小圆锥后余下的部分），如图3①所示，通过测量，杯子上口径，下底面直径，母线长、均为，为了制作此杯套，小欣进行了以下探究： ①如图3②，小欣画出了阔口杯的侧面展开图示意图，发现它是圆环的一部分，且，请证明这个结论，并求出所对的圆心角的度数； ②现有一张矩形杯套材料，如图4②所示，，，为了充分利用材料，请在图4②的矩形中画出杯套侧面展开图示意图（杯套示意图无拼接），并直接写出用该材料制作此阔口杯套的母线的最大长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学阶段练习二（202512） 一．选择题（共6小题）（共6小题共12分） 1. 一种零件长，该零件在设计图上的长是，那么该幅设计图的比例尺是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了比例尺的计算方法，解题的关键是进行单位的换算．先把转化为，再用图上距离实际距离即可求出比例尺． 【详解】解：， 该幅设计图的比例尺是， 故选：C． 2. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据配方法的求解步骤求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 故选：A． 3. 在中，已知，，，则长为（　　） A. 12 B. 26 C. 24 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，利用正弦的定义即可求出． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：B． 4. 已知抛物线：经过平移后得到抛物线：．若抛物线上点P的坐标是，则点P平移后的对应点Q的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，根据题意求得抛物线向下平移2个单位后得到抛物线，故点P向下平移2个单位得到Q，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴抛物线：向下平移2个单位后得到抛物线：， ∴点平移后的对应点Q的坐标是， 故选：C． 5. 如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，则的周长为（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，根据即可得到的周长． 【详解】解：∵的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：A． 6. 如图，点C是半圆上一点，是直径且，将弧沿翻折交于点D，再将弧沿翻折交于点E，若E是弧的中点，则阴影部分面积为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，，过点作于，过点作于．由，得到，弓形的面积弓形的面积，则阴影部分面积四边形的面积，下面证明，设，而，则，由，得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，，过点作于，过点作于． ， ， ， ∴弓形的面积弓形的面积， ∴阴影部分面积四边形的面积 ， ， 是的中点， ， ，而 ，， 设，则， ， 是直径， ， ， ， ， ∴，， ∵， ∴ ∴， 而，， ∴， ∴， 设，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 解得：（舍负）， ∵四边形的面积， ∴阴影部分面积 故选：A． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，扇形的面积等知识，学会添加常用辅助线，利用特殊角解决问题是解答本题的关键． 二．填空题（共10小题，共20分） 7. 已知线段，，线段是线段，的比例中项，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例中项的概念，熟练掌握“比例中项的平方等于另外两个数的乘积”是解题的关键．直接根据比例中项的公式计算即可． 【详解】解：线段是线段，的比例中项， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为：． 8. 若锐角满足，则______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答； 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 9. 如图，在正方形网格中，，则的度数为__________． 【答案】##135度 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由正方形网格可得，进而得到，再根据相似三角形的性质即可得出答案，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，取格点， 由网格可知， ， ， 故答案为：． 10. 某市2025年4月5G手机用户数量为25万，同年6月5G用手机户数量增长至36万，设5、6月份用户数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设5、6月份用户数量的月平均增长率为x，由于4月5G手机用户数量为25万，同年6月5G用户数量增长至36万，据此可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设5、6月份用户数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为：， 故答案为：． 11. 已知，，，．如果的最短边边长为，则的最长边边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例．根据相似三角形的对应边成比例列式计算即可得解． 【详解】解：在中，，，，最短边为，最长边为， ， ，即， ，即的最长边边长为． 故答案为：． 12. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用特殊三角形的三边关系，求出AM,AE长，求比值. 【详解】解：如图所示，设BC=x， ∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°， ∴AC=2BC=2x，AB=BC=x， 根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x， 如图，作EM⊥AD于M，则AM=AD=x， 在Rt△AEM中，cos∠EAD=， 故答案为. 【点睛】特殊三角形： 30°-60°-90°特殊三角形，三边比例是1：：2，利用特殊三角函数值或者勾股定理可快速求出边的实际关系. 13. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于列式计算即可得解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键． 14. 如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若，则=__． 【答案】 【解析】 【分析】连接GE，根据中点定义可得DE=CE，再根据翻折的性质可得DE=EF，∠BFE=90°，利用“HL”证明Rt△EDG≌Rt△EFG，根据全等三角形对应边相等可得FG=DG，根据，设DG=FG=a，则AG=7a，故AD=BC=8a，则BG=BF+FG=9a，由勾股定理求得AB=，再求比值即可． 【详解】连接GE， ∵点E是CD的中点，∴EC=DE， ∵将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部， ∴EF=DE，∠BFE=90°， 在Rt△EDG和Rt△EFG中， ∴Rt△EDG≌Rt△EFG（HL）， ∴FG=DG， ∵， ∴设DG=FG=a，则AG=7a，故AD=BC=8a，则BG=BF+FG=9a， ∴AB=， 故， 故答案为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，以及翻折变换的性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 15. 如图，在四边形中，，是边上一点，交于点．当的最大值为4时，则__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，熟练掌握是解题的关键． 设，则，证明，得，得，得，得y有最大值，由y的最大值为4，得，得，即得． 【详解】解：设， 则． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴当时，y有最大值． ∵y的最大值为4， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：8． 16. 如图，一古桥的桥洞可近似看成抛物线型，其解析式为，现要对这座古桥进行加固，须临时安装一些垂直于地面的支撑杆，要求相邻支撑杆之间的距离为，但最边缘的支撑杆到桥洞底部的的距离可以不大于，即图中，，则最多可安装支撑杆__________条． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是利用数形结合的思想解答． 令，求出的值，然后结合实际情况得出结论． 【详解】解：令，则， 解得或， ∴， ∵相邻支撑杆之间的距离为，，， ∴在轴右侧，共7条， 同理在轴左侧最多安装7条， ∴最多可安装支撑杆14条， 故答案为：14． 三．解答题（共11小题，共88分） 17. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、零次幂、实数的运算及特殊三角函数值，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据配方法可进行求解； （2）根据零次幂、特殊三角函数值及实数的运算可进行求解． 【详解】解：（1）， ， ， ， 解得：，； （2）原式． 18. 二次函数的部分图像如图所示． （1）根据图像，回答以下问题： ①与的数量关系为：______； ②关于的方程的解是______． （2）若该函数图像经过点，求它的顶点坐标． 【答案】（1）①；②； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据函数图像可知，抛物线的对称轴为，由此可得与的数量关系； ②根据抛物线的对称轴为，图像与x轴的一个交点为，可知另一个交点为，由此可解答． （2）根据与的数量关系，再将两点代入求得函数解析式，再根据函数的性质解答即可． 【小问1详解】 ①解：对称轴为， ， ． 故答案为：． ②解：对称轴为，图像与x轴的一个交点为， 轴与图像的另一个交点为， 可得方程的解为，． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：设所求函数表达式为， 根据题意，将，代入函数解析式， 得：， 解得， ∴所求表达式为.， ∴顶点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 19. 已知P是上一点，在上作两点，使得分别满足以下条件： （1）在图①中，； （2）在图②中，． （说明：第（1）题只用无刻度的直尺作图，第（2）题只用圆规作图；保留作图痕迹，不写作法．） 【答案】（1） 即为所求： （2） 即为所求： 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理．掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键． （1）过圆心，作一条直线，交圆上于，两点就是所求； （2）在圆上选一点，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，就是所求． 【小问1详解】 解：∵是直径， ∴； 【小问2详解】 解：证明：连接，如图所示： 以 A 为圆心， 的长为半径画弧，交 于点 B ， 连接 ， 则， ∴， ∴ 20. 如图， 在中， 点P是的边上的一点． （1）请判断三人的说法的对错：小星 ，小红 ， 小亮 ． （填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法， 求证： ； （3）在（2）的条件下，， 若， ， 求的长． 【答案】（1）对，对，错 （2） 证明：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）见解析（1）； （3）利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由不能证明， ∴小星和小红对，小亮错． 故答案为：对，对，错 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴， 解得．负值舍去 21. 某水果商店经销一种热带水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克． （1）现该商场保证每天盈利1500元，同时又要让利顾客，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场要求销售量不低于130千克，这种水果每千克涨价多少元，才能使该商场获利最大． 【答案】（1）每千克应涨价5元 （2）每千克应涨价7元，才能使该商场获利最大 【解析】 【分析】（1）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据要让利顾客确定其值； （2）根据题意列出二次函数解析式，然后转化为顶点式，最后根据二次函数的增减性求其最值即可． 【小问1详解】 解：设每千克应涨价x元，由题意列方程得： （5+x）（200-10x）=1500 解得x=5或x=10， ∴为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元； 【小问2详解】 设涨价x元时，所获利润为y元， ∵商场要求销售量不低于130千克， ∴200-10x≥130 ∴x≤7 又∵y=（5+x）（200-10x） =-10x2+150x+1000 =-10（x2-15x）+1000 =-10（x-7.5）2+1562.5， 当x≤7.5时，y随x的增大而增大， ∴当x=7时，y有最大值为1560 答：每千克这种水果涨价7元，能使商场获利最大． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列出方程和函数关系式，并能熟练运用二次函数的性质． 22. 如图，在山坡BC坡顶的平台CD上竖直立有一根旗杆MN，已知山坡BC的坡度为3：4．小明站在A处测得旗杆顶端M的仰角是，向前步行3米到达B处（米），再延斜坡BC步行5米至平台点C处（），测得点M的仰角是，若A、B、C、D、M、N在同一平面内，且A，B和C，D，N分别在同一水平线上，小明的眼睛距离脚底的高度米，求旗杆MN的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） 【答案】旗杆MN的高度约为7.6米 【解析】 【分析】作EG⊥MN于点G，FH⊥MN于点H，延长FC交AB于点P，EG、FP交于点Q，根据矩形的性质和解直角三角形求出HG和EQ的长度，设MH＝x，则MG＝x＋3，在Rt△FMH中，利用用x表示出FH，再在Rt△MEQ中，利用 建立关于x的方程，从而求出MN长，即可解决问题． 【详解】解：作EG⊥MN于点G，FH⊥MN于点H，延长FC交AB于点P，EG、FP交于点Q， 由题意知，四边形APQE、FHGQ、CQGN是矩形，tan∠PBC＝，∠MEG＝37°，∠MFH＝50°， ∴AE＝PQ＝CF＝HN＝1．6， ∵tan∠PBC＝＝， ∴sin∠PBC＝＝，cos∠PBC＝＝， ∴CP＝BC＝×5＝3，BP＝BC＝×5＝4， ∴HG＝FQ＝CP＝3，EQ＝AP＝AB＋BP＝3＋4＝7， 设MH＝x，则MG＝MH＋HG＝x＋3， 在Rt△FMH中，tan∠MFH＝， ∴FH＝＝， ∴EG＝EQ＋QG＝7＋FH＝7＋， 在Rt△MEQ中，， 解得x≈6.9， ∴MN＝MH＋HN≈6＋1.6＝7.6． 答：旗杆MN的高度约为7.6米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用一仰角和俯角、坡度和坡角问题，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 23. 如图，在中，，D为边上一点，，连接． （1）求证：； （2）若，． ①若四边形为平行四边形，求的长． ②线段长的最小值为______． 【答案】（1）见解析 （2）①；②12 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质可得，，推出，证得，从而得到，结合等腰三角形的性质和内错角相等两直线平行，即可证得结论； （2）①根据平行四边形的性质和可推出，进而得到，证得，然后利用对应边的成比例即可解答； ②过点C作于点F，根据等腰三角形的性质和勾股定理求得，再由相似的性质可得，即当取得最小值时，的值最小，根据垂线段最短可知，当时，的值最小，然后用等面积法求得，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①∵四边形为平行四边形，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点C作于点F， ∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，的值最小， ∵D为边上一点， ∴当时，的值最小， 此时， ∴， 此时， ∴线段长的最小值为12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，勾股定理，平行线的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 如图，四边形内接于，满足，连接 ，，延长，交于点． （1）若，求的度数； （2）求证：； （3）若，，，的长为______． 【答案】（1） （2） 证明：四边形内接于， ， ， ， 又， （3） 【解析】 【分析】（1）首先由得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； （2）首先根据圆内接四边形的性质结合平角得到，然后由即可证明； （3）过点作于点，首先根据圆周角定理结合三角形外角的性质得到，，进而得到，，求得，，由（2）得，结合，可求得的长，再根据勾股定理得到，，最后利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：，， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，过点作于点， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， 由（2）得， ， ，即， ， ， ， 由（2）得，， ，即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是灵活应用以上知识点． 25. 已知二次函数（为常数，且）． （1）该函数的图象必经过两个定点______， _____； （2）若该函数图象与轴只有一个交点，求函数图象的顶点坐标； （3）若点都在该函数图象上，且，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）求得对称轴和与轴的交点，然后利用抛物线的对称性可知点也在抛物线上； （2）利用对称轴直接写出顶点坐标； （3）分两种情况讨论，得出关于的不等式组，解不等式组即可． 【小问1详解】 解：二次函数（为常数，且）， 抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为， 关于直线的对称点也在抛物线上， 该函数的图象必经过两个定点，． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：该函数图象与轴只有一个交点，对称轴为直线， 函数图象的顶点坐标为； 【小问3详解】 解：点，，都在该函数图象上，且， ①当时，抛物线开口向下，点，在对称轴直线的左侧，在对称轴的右侧符合题意， ， 解得， ②当，抛物线开口向上，，都在对称轴的右侧，，不合题意； 点，，都在该函数图象上，且， 的取值范围是． 26. 如图1、商家销售某些饮品时会给杯子在杯身上套上一个杯套，方便拿取，小欣同学深受启发，准备为家中如图2所示的两种玻璃杯也配上杯套．（说明：整个探究过程中均忽略杯套的连接部分和杯套的厚度） （1）小欣家直身杯的杯口直径为，她要制作高度为的杯套，则此杯套的面积为______（结果保留）； （2）小欣发现阔口杯近似为圆台形状（即一个大圆锥截去一个小圆锥后余下的部分），如图3①所示，通过测量，杯子上口径，下底面直径，母线长、均为，为了制作此杯套，小欣进行了以下探究： ①如图3②，小欣画出了阔口杯的侧面展开图示意图，发现它是圆环的一部分，且，请证明这个结论，并求出所对的圆心角的度数； ②现有一张矩形杯套材料，如图4②所示，，，为了充分利用材料，请在图4②的矩形中画出杯套侧面展开图示意图（杯套示意图无拼接），并直接写出用该材料制作此阔口杯套的母线的最大长度． 【答案】（1） （2）①证明：设与所对的圆心角为， ∴的长，的长， ∴， ∵杯子上口径，下底面直径， ∴的长，的长，， ∴，解得，， ∴的长，解得，即所对的圆心角的度数为 ； ②，母线的最大长度为． 【解析】 【分析】（1）根据圆柱的侧面积公式求解即可； （2）①分别用和表示出的长和的长，即可证明结论成立；利用这个结论求得，再利用弧长公式即可求得所对的圆心角的度数； ②根据题意画出图形，利用垂径定理结合解直角三角形求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得， 故答案为：； 【小问2详解】 ①略 ②如图，，连接，作于点，交于点，交于点， 则，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴母线的最大长度为． 【点睛】本题主要考查了弧长、圆心角、半径之间的关系及利用特殊直角三角形求边长等内容．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $