精品解析：陕西渭南市临渭区2026-2027学年第一学期期中考试九年级数学

2026~2027学年第一学期期中考试 九年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 一．选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、的未知数最高次数为，是一元一次方程，不符合题意； B、只含一个未知数，最高次数为，是整式方程，符合题意； C、含有两个未知数，是二元方程，不符合题意； D、的分母含未知数，是分式方程，不符合题意． 2. 下列各组图形属于相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据相似图形的定义，形状相同的图形是相似图形， 项中一个是四边形，一个是三角形，形状不同，不是相似图形； 项中一个是五边形，一个是六边形，形状不同，不是相似图形； 项中一个是平行四边形，一个是正方形，对应角不相等，形状不同，不是相似图形； 项中两个图形形状相同，大小不同，是相似图形． 3. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把代入计算即可． 【详解】解：把代入， 得， ， ， ∴． 4. 相同的瓶子里装入不同的水量，用木棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过不断尝试发现，如图所示的瓶子中，当水面高度与瓶高之比为黄金比（即，点在线段上）时，可以发出特定的音符．若，则水面高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题干中给出的黄金比定义及的长度，列式计算 即可． 【详解】解：，， ． 5. 如图，点在正方形内部，连接、，延长交边于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方形性质得出，结合已知得到，从而利用等腰三角形性质求出，最后利用角的和差关系求解． 【详解】四边形是正方形， ，， ， ， 是等腰三角形， ， ， ． 6. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，的坐标为，点在轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合菱形的性质可得，轴，再由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为，的坐标为， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，轴， ∵， ∴， ∴点的坐标为． 7. 若、是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系可得，，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴，即， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 8. 如图，在矩形中，连接、交于点，点在边上，连接，点为的中点，连接，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质以及勾股定理可得的长，再由三角形中位线定理，可得的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，点O为的中点， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴为的中位线， ∵， ∴， ∴． 二．填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 写出一个无实数根的一元二次方程，你写出的是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】一元二次方程无实数根满足判别式，构造符合条件的方程即可 【详解】解：对于一元二次方程（）， 当判别式时，方程无实数根， 取，，， 计算得，满足条件， 因此符合要求的方程可以为． 10. 已知五边形五边形，若，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似多边形对应边成比例的性质，利用已知对应边求出相似比，即可得到所求对应边的比值． 【详解】解：∵ 五边形五边形， ∴ 对应边成比例，可得， 将，代入得：． 11. 为了积极响应《“健康中国”规划纲要》提出的全民健身要求，某体育中心周末向社会免费开放体育场跑道．自开放以来，进场人次逐周增加，第一周进场人次，第三周进场人次．若进场人次的周平均增长率相同，设进场人次的周平均增长率为，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】已知第一周进场人次和第三周进场人次，周平均增长率为，第一周到第三周间隔周，根据增长率计算方法可列出方程． 【详解】解：∵第一周进场人次，周平均增长率为， ∴第二周进场人次为， ∵第三周在第二周的基础上增长，增长率仍为， ∴第三周进场人次为， 已知第三周进场人次，因此可列方程为． 12. 如图，在正方形中，以为边在上方作菱形，交边于点，若，，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正方形性质得出长度及，根据菱形性质得出长度及，进而证得为等腰直角三角形，求出长即可求解． 【详解】解：四边形是正方形，， ，，， 四边形是菱形， ，， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得，即， ， ． 13. 若一个直角三角形的两直角边长恰好是一元二次方程的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先对一元二次方程因式分解求解得到两条直角边长，再利用勾股定理求出斜边长，最后根据直角三角形斜边上中线的性质计算结果． 【详解】解：原方程为 ， 变形得 ， 提取公因式得 ， 解得 ，，即直角三角形两条直角边长为和， 斜边长为 ， 直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半， 斜边上的中线长为 ． 14. 如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交于点，则，先由勾股定理求得，再证△为等腰三角形，进而证明，得即可求解． 【详解】解：∵为的中点，， ∴， 在中，， 又∵翻折前后三角形全等， ∴，， ∴△为等腰三角形， 如下图，过点作，交于点，则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴即． ∴， 又∵为等腰三角形， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 三．解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】配方法解一元二次方程：通过移项将常数项移至等式右边，将一次项移至等式左边，通过配方将等式左边写成完全平方式，进而开平方求解． 【详解】解：， 移项，得：， 配方，得：， 即， 由此可得：， ∴或． 16. 如图，在中，点、分别在、边上，连接，若，，，且，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再直接将数值代入中即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 17. 已知代数式与代数式的值相等，求的值． 【答案】或 【解析】 【分析】根据代数式相等列出等式，通过因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵代数式与代数式的值相等， ∴， 等式右边提取公因式，得：， 移项，提取公因式，得：， ∴或， 解得：，， ∴或． 18. 如图，在四边形中，点在边上，连接，．请你用尺规作图法在边上找一点，连接，使得四边形为矩形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图，四边形即为所求； 【解析】 【分析】过点作于，则四边形即为矩形． 【详解】解：∵，， ∴， ∴四边形四边形是矩形． 19. 如图，在正方形中，对角线、交于点，点、分别在、边上，连接、，，求证：． 【答案】证明：∵在正方形中，对角线、交于点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】利用正方形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出． 【详解】略． 20. 已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】由方程有两个相等实数根得判别式为0，代入系数列方程求解k． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 将，，代入得：， 整理得， 解得． 21. 如图，、为矩形的对角线，点在的延长线上，连接，且，已知，，求的周长． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质可知,进而根据等腰三角形的性质可知,根据勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：在矩形中，,, ∵ ∴, ∴是等腰三角形， ∵ ∴， ∴ ∴的周长为：． 22. 如图，在中，点在边上，点在的延长线上，连接． （1）若，则与是否相似？为什么？ （2）若，则与是否相似？为什么？ 【答案】（1）与相似，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）与相似，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据两角相等，两三角形相似证明即可； （2）根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 中国是茶的故乡，茶叶不仅具有清香怡人、提神醒脑等功效，还富含多种对人体有益的营养成分．茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克元，按每千克元出售时，平均每周可售出千克，后来经过市场调查发现，该茶叶售价每降低元，则平均每周的销售量可增加千克．设该茶叶每千克降低元． （1）平均每周的销售量为________千克；（用含的代数式表示） （2）若专卖店销售该品牌茶叶要想平均每周获利元，则该茶叶每千克应降低多少元？ 【答案】（1） （2）该茶叶每千克应降低元或元 【解析】 【分析】（1）先算出降价元对应增加的销量，加上原销量，列出代数式； （2）根据“总利润单件利润销售量”列一元二次方程，解方程得到应降价的值． 【小问1详解】 解：根据题意可知，当茶叶每千克降低元， 平均每周的销售量可增加千克， 故平均每周的销售量为千克． 【小问2详解】 解：根据题意可得， 则， 可得， 解得，， 答：该茶叶每千克应降低元或元． 24. 如图，在四边形中，，，连接，点、分别为、的中点，连接、，已知为等边三角形． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵点、分别为、的中点， ∴ ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵为等边三角形 ∴ ∵点、分别为、的中点， ∴ ∴ ∴为等边三角形， ∴ ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据三角形中位线定理结合已知证明四边形是平行四边形，再证明为等边三角形，则，即可证明其为菱形； （2）根据菱形的性质可得，，然后由三角形中位线定理得到，再由度直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，而 ∴ 由（1）知为等边三角形， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∴ ∴． 25. 定义：已知关于的一元二次方程（、、为常数，且）有两个实数根、，且，则称方程为“黄金方程”．例如：方程有两个实数根，且两个实数根之和为，两个实数根之积为，，∴方程是黄金方程． 请你根据此定义，解答下列问题： （1）请通过计算判断方程是否为“黄金方程”； （2）已知关于的方程为“黄金方程”，求的值． 【答案】（1）方程不是“黄金方程”，理由如下： 在方程中，，，， ， 方程有两个不相等的实数根， 由根与系数的关系得，， ， 该方程不是“黄金方程”． （2）的值为 【解析】 【分析】（1）根据“黄金方程”的定义及根与系数的关系进行求解即可； （2）由根与系数的关系可得：，，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由关于的方程可知：， ∴，根据根与系数的关系可得：，， ∵为“黄金方程”， ∴， 解得：， 把代入，符合方程有两个不相等的实数根， ∴． 26. 按要求回答问题 【观察探究】 （1）如图，在菱形中，对角线、交于点，点在上，连接、，． ①求证：； ②当，时，求菱形的面积． 【问题解决】 （2）如图，某小区内有一块形状为正方形的花园，米，对角线是花园内的一条小路，点、分别是对角线、边上的动点（不与端点重合），且，沿、铺设两条石子小路，为了节约成本，现要使两条石子小路长度之和尽可能的小，请你求出两条石子小路长度之和（即）的最小值．（小路的宽度忽略不计） 【答案】（1）①证明：在菱形中，则对角线相互垂直平分， ∵点在上， ∴ ∵， ∴ ∴ ② （2）米 【解析】 【分析】（1）①根据菱形的性质可知对角线相互垂直平分，再根据中垂线的性质可知，进而即可证明； ②根据菱形的性质可知,,可求出的长度，进而根据勾股定理即可求解,即可求解面积； （2）延长,使得,证明，根据全等三角形的性质可转化为,当三点共线时，取得最小值． 【小问1详解】 ①略 ②解：∵， ∴, ∴, ∴, ∴, 在中，, ∴, ∴菱形的面积为：； 【小问2详解】 解：延长,使得, 在正方形中， , 在和中， ∴ ∴ ∴, ∴当三点共线时，取得最小值， ∵米， ∴（米）， ∴（米）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期期中考试 九年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 一．选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组图形属于相似图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 相同的瓶子里装入不同的水量，用木棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过不断尝试发现，如图所示的瓶子中，当水面高度与瓶高之比为黄金比（即，点在线段上）时，可以发出特定的音符．若，则水面高度是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点在正方形内部，连接、，延长交边于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，的坐标为，点在轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 若、是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，连接、交于点，点在边上，连接，点为的中点，连接，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 写出一个无实数根的一元二次方程，你写出的是________．（写出一个即可） 10. 已知五边形五边形，若，，则的值为________． 11. 为了积极响应《“健康中国”规划纲要》提出的全民健身要求，某体育中心周末向社会免费开放体育场跑道．自开放以来，进场人次逐周增加，第一周进场人次，第三周进场人次．若进场人次的周平均增长率相同，设进场人次的周平均增长率为，则可列方程为________． 12. 如图，在正方形中，以为边在上方作菱形，交边于点，若，，则的长为________． 13. 若一个直角三角形的两直角边长恰好是一元二次方程的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长为________． 14. 如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的长为__________． 三．解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 如图，在中，点、分别在、边上，连接，若，，，且，求的长． 17. 已知代数式与代数式的值相等，求的值． 18. 如图，在四边形中，点在边上，连接，．请你用尺规作图法在边上找一点，连接，使得四边形为矩形．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在正方形中，对角线、交于点，点、分别在、边上，连接、，，求证：． 20. 已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值． 21. 如图，、为矩形的对角线，点在的延长线上，连接，且，已知，，求的周长． 22. 如图，在中，点在边上，点在的延长线上，连接． （1）若，则与是否相似？为什么？ （2）若，则与是否相似？为什么？ 23. 中国是茶的故乡，茶叶不仅具有清香怡人、提神醒脑等功效，还富含多种对人体有益的营养成分．茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克元，按每千克元出售时，平均每周可售出千克，后来经过市场调查发现，该茶叶售价每降低元，则平均每周的销售量可增加千克．设该茶叶每千克降低元． （1）平均每周的销售量为________千克；（用含的代数式表示） （2）若专卖店销售该品牌茶叶要想平均每周获利元，则该茶叶每千克应降低多少元？ 24. 如图，在四边形中，，，连接，点、分别为、的中点，连接、，已知为等边三角形． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，若，求的长． 25. 定义：已知关于的一元二次方程（、、为常数，且）有两个实数根、，且，则称方程为“黄金方程”．例如：方程有两个实数根，且两个实数根之和为，两个实数根之积为，，∴方程是黄金方程． 请你根据此定义，解答下列问题： （1）请通过计算判断方程是否为“黄金方程”； （2）已知关于的方程为“黄金方程”，求的值． 26. 按要求回答问题 【观察探究】 （1）如图，在菱形中，对角线、交于点，点在上，连接、，． ①求证：； ②当，时，求菱形的面积． 【问题解决】 （2）如图，某小区内有一块形状为正方形的花园，米，对角线是花园内的一条小路，点、分别是对角线、边上的动点（不与端点重合），且，沿、铺设两条石子小路，为了节约成本，现要使两条石子小路长度之和尽可能的小，请你求出两条石子小路长度之和（即）的最小值．（小路的宽度忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $