精品解析：陕西省渭南市临渭区渭南初级中学2025—2026学年上学期九年级期中数学试题

2025-2026学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知线段是成比例线段，其中，则的值为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查成比例线段的定义，根据定义可得，据此即可求得答案． 【详解】解：∵线段，，，是成比例线段， ∴． ∵ ∴ 故选：C． 2. 一个几何体如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是几何体的三视图知识，熟练掌握由三视图是解题的关键． 观察该几何体，其左视图是一个正方形，中间有两条竖直虚线即可判断． 【详解】解：观察该几何体，其左视图是一个正方形，中间有两条竖直虚线， 故选：D． 3. 在一个不透明的纸箱中，装有蓝色、红色的玻璃球共20个，这些玻璃球除颜色外都相同．小何每次摸出一个球后放回，通过多次摸球试验后发现摸到蓝色玻璃球的频率稳定在，估计蓝色玻璃球有（ ）个． A. 3 B. 5 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率，已知概率求数量．根据频率估计概率，摸到蓝色玻璃球的概率约为，因此蓝色玻璃球数量等于总球数乘以概率，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵摸到蓝色玻璃球的频率稳定在， ∴ 摸到蓝色玻璃球的概率约为， 又∵总球数为20个， ∴ 蓝色玻璃球的数量为（个） 故估计蓝色玻璃球有5个， 故选：B． 4. 反比例函数的图象经过点，，则（ ） A. B. C. D. 和的大小无法比较 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，把点，代入进行计算，再比较的大小，即可作答． 【详解】解：∵点和在反比例函数上， ∴，， ∵， ∴ 故选：A． 5. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程． 设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 故选：C． 6. 如图，矩形的对角线、相交于点，点在上，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，利用矩形的性质得到，,结合等腰三角形的性质的度数，由三角形内角和定理得，从而可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，, ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 7. 请你写出其中一个解为的一个一元二次方程______ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解一元二次方程的解的定义，即能使方程左右两边相等的未知数的值． 根据一元二次方程解的定义，构造一个含有因式的一元二次方程即可． 【详解】解：因为一元二次方程的一个解为， 所以方程可以构造为（为常数）的形式． 例如，取，则方程为，即． 验证：当时，左边，右边，左边等于右边，所以是该方程的解． 故答案为：（答案不唯一） 8. 如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，理解并熟练运用基本性质定理是解题关键． 直接根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9. 如图，在菱形中，添加一个条件使其成为正方形，你添加的条件是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定方法，①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，③对角线互相垂直的矩形是正方形，④一组邻边相等的矩形是正方形． 根据①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，添加条件即可． 【详解】解：∵有一个角是直角的菱形是正方形， ∴添加的条件是． 故答案为：（答案不唯一）． 10. 已知点P是线段的黄金分割点，且，则线段的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点．根据黄金分割点的定义，较长线段与整个线段的比值等于黄金比，把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且， 即， ∴， 解得， 故答案为：4． 11. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作AB⊥轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为3，则k的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：连结OA，如图， ∵AB⊥x轴， ∴OC∥AB， ∴S△OAB＝S△ABC＝3， 而S△OAB＝|k|， ∴|k|＝3， ∵反比例函数图像在第二象限， ∴k＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 12. 如图，在菱形中，，，P为对角线上任意一点，Q为边上任意一点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，菱形的性质，等边三角形的性质等知识点，解题的关键是熟知两点之间线段最短的知识． 点C是定点，点P为上一动点，是轴对称最值问题，连接，由菱形的对称性可知，点A和点C关于对称，连接，由垂线段最短可知，当且点共线时，有最小值，证明为等边三角形，则点Q为的中点，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，，， ∵四边形为菱形， ∴点A和点C关于对称， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，当且点共线时，有最小值， ∵，四边形为菱形 ∴，， ∴为等边三角形， 由三线合一可知点Q为的中点， ∵， ∴，， ，即最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答题应写出过程） 13. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，灵活运用因式分解法是解题的关键．根据等式的变形规则，将方程整理为可提取公因式的形式，进而通过因式分解法求出方程的解． 【详解】解： 解得：，． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形（点的对应点分别是点），且与的相似比为； （2）在（1）的条件下，与的面积比为___________． 【答案】（1） 如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查了画位似图形，相似三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干要求，分别找出点，再依次连接，即可得； （2）结合相似三角形的面积比等于相似比的平方进行作答即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得与的相似比为， ∴与的相似比为， ∴与的面积比为． 15. 如图，在矩形中，为对角线，延长至点E，使得，过点E作于点F．求证：． 【答案】 证明：四边形为矩形， ，， ． ， ． 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合矩形的性质得，，整理得，，再证明，即可作答． 【详解】略 16. 如图，线段与相交于点P，且，若，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先结合，得，即可证明，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则， ∵，，， ∴， 解得． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程总有两个实数根，则的取值范围是_______． （2）若方程有一个实数根为1，求的值和另一个实数根． 【答案】（1） （2）的值为，另一个实数根为 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据方程总有两个实数根，可得，代入数值化简即可． （2）根据根与系数的关系，得，，求解即可． 【小问1详解】 解：∵方程总有两个实数根， ∴， 即， 解得：． 则m的取值范围是：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：设另一个实数根为， 由根与系数的关系，得， 即， 整理得：， 解得：， 代入中，即， ∴， ∴的值为，另一个实数根为． 18. 元旦小惠一家打算从“五台山”“平遥古城”“乔家大院”“雁门关”这四个著名景点中选择两处游玩，于是她在四张材质外观一样的卡片上分别写上这四个景点，决定用抽签的方式来选择游玩的地点， （1）景点“五台山”被第一次抽中的概率是________； （2）小惠从四张卡片中先后抽取两张，请用列表或画树状图的方法求小惠恰好抽到“平遥古城”和“乔家大院”两个景点的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的基础计算（古典概型），掌握概率的定义及列举法求概率的方法是解答本题的关键． （1）利用古典概型的概率公式，结合总样本数与“五台山”对应的样本数，计算其被抽中的概率； （2）通过列表的方法列出所有抽取两张卡片的等可能结果，确定符合“平遥古城”和“乔家大院”的结果数，再结合概率公式计算概率． 【小问1详解】 解：一共有个景点，每个景点被第一次抽到的概率相同， 所以“五台山”被第一次抽中的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设用、、、分别表示“五台山”“平遥古城”“乔家大院”“雁门关”这四个景点，列表如下： 由表格得，一共种可能的情况，其中，小惠恰好抽到“平遥古城”和“乔家大院”两个景点的情况有种， 所以小惠恰好抽到“平遥古城”和“乔家大院”两个景点的概率为． 答：小惠恰好抽到“平遥古城”和“乔家大院”两个景点的概率为． 19. 由物理学知识知道，在力的作用下，物体会在力F的方向上发生位移，力F所做的功满足：，当W为定值时，F与s之间的函数图象．如图所示，点为图象上一点． （1）试确定F与s之间的函数表达式； （2）当时，s是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，求反比例函数的解析式，关键是建立函数关系式，会运用函数关系式解答题目的问题． （1）根据点把代入中求W，可确定F与s之间的函数表达式； （2）把代入（1）中的公式求s． 【小问1详解】 解：根据题意，把代入中， 得， ； 【小问2详解】 代入中，得． 20. 如图，小林和小明想利用所学知识测量塔的高度，由于观测点与该塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，他们首先利用阳光下的影子进行测量，方法如下：某一时刻，小林在该塔影子的顶端D处竖直立一个标杆，并测得此时标杆的影长为2.4米；然后，小明在的延长线上找一点F，使得A、C、F三点在同一直线上，并测得为2.5米，已知图中所有点均在同一平面内，标杆高为2米，，，根据以上测量数据，求该塔的高度． 【答案】50米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行投影，熟练掌握是解题的关键． 根据相似三角形的性质得到，，得到，代入数据即可得到结论． 【详解】由题意得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 解得． ∴塔的高度为50米． 21. “我运动，我健康，我快乐！”渭南市市民健身热情越来越高，某健身器材店以每组30元的进价购进一批哑铃组，当每组售价50元时，1个月可售出150组，为了回馈顾客，该店决定从下个月起采用降价促销的方式，经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加10组，该店计划下个月售卖哑铃组获利3060元，为了尽可能多地让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？ 【答案】3元 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该哑铃组每组应降价m元，由该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加组，确定销售量与价格之间关系，再根据利润单件利润销售量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设该哑铃组每组应降价m元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 答：为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价元， 22. 如图，菱形的对角线相交于点O，过B点作，且，连结． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ． ， ， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定、矩形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由菱形的性质可得，再证明四边形是平行四边形，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明结论； （2）根据菱形的性质、勾股定理可得，由矩形的性质可得，最后根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴根据勾股定理得：， ， 由（1）知四边形是矩形， 在中，， ． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知点P在第三象限且为反比例函数在图像上一点，，求点P的坐标； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）先把点代入，求出的值，再用待定系数法求出的值即可； （2）先求出和长，利用，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 由题意，将代入中， ∴． ∴． ∴． 将代入反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 对于， 当时，， ∴， ∵， ∴，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D， ∵， ∴， 即， 解得， ∴点P的纵坐标为（舍去）或， 将代入得， ∴． 24. 某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： （1）【初探猜想】如图1，在正方形中，点E、F分别是上的点，连接，若，则线段与的数量关系为________； （2）【类比探究】如图2，在矩形中，，，点E、F分别是边上的点，点G是边上一点，连接，若，求的值； （3）【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段上，且，连接，若，，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点，正确作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． （1）设与的交点G，根据正方形的性质证明即可解答； （2）过点E作于点K，与的交点为H，证明四边形是矩形得到和，再证明，即可求出的值； （3）过点C作于点G，与的交点为H，由勾股定理，得出，再根据三角形的面积得出，然后证明，即可求出的值． 【小问1详解】 解：如图，令与的交点为G， ∵设与的交点G， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ． 【小问2详解】 解：如图：过点E作于点K，与的交点为H， ∵四边形是矩形， ， ∵， ， ∴四边形是矩形， ∴、， ， ， ， ， ， 又， ∴， ． 【小问3详解】 解：如图，过点C作于点G，与的交点为H， ，，， ， ， ， ∵ ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知线段是成比例线段，其中，则的值为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 一个几何体如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的纸箱中，装有蓝色、红色的玻璃球共20个，这些玻璃球除颜色外都相同．小何每次摸出一个球后放回，通过多次摸球试验后发现摸到蓝色玻璃球的频率稳定在，估计蓝色玻璃球有（ ）个． A. 3 B. 5 C. 4 D. 6 4. 反比例函数的图象经过点，，则（ ） A. B. C. D. 和的大小无法比较 5. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形的对角线、相交于点，点在上，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 7. 请你写出其中一个解为的一个一元二次方程______ 8. 如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，，，则的长为________． 9. 如图，在菱形中，添加一个条件使其成为正方形，你添加的条件是________． 10. 已知点P是线段的黄金分割点，且，则线段的长为________． 11. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作AB⊥轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为3，则k的值是________． 12. 如图，在菱形中，，，P为对角线上任意一点，Q为边上任意一点，则的最小值为________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答题应写出过程） 13. 解方程： 14. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形（点的对应点分别是点），且与的相似比为； （2）在（1）的条件下，与的面积比为___________． 15. 如图，在矩形中，为对角线，延长至点E，使得，过点E作于点F．求证：． 16. 如图，线段与相交于点P，且，若，，，求的长． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程总有两个实数根，则的取值范围是_______． （2）若方程有一个实数根为1，求的值和另一个实数根． 18. 元旦小惠一家打算从“五台山”“平遥古城”“乔家大院”“雁门关”这四个著名景点中选择两处游玩，于是她在四张材质外观一样的卡片上分别写上这四个景点，决定用抽签的方式来选择游玩的地点， （1）景点“五台山”被第一次抽中的概率是________； （2）小惠从四张卡片中先后抽取两张，请用列表或画树状图的方法求小惠恰好抽到“平遥古城”和“乔家大院”两个景点的概率． 19. 由物理学知识知道，在力的作用下，物体会在力F的方向上发生位移，力F所做的功满足：，当W为定值时，F与s之间的函数图象．如图所示，点为图象上一点． （1）试确定F与s之间的函数表达式； （2）当时，s是多少？ 20. 如图，小林和小明想利用所学知识测量塔的高度，由于观测点与该塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，他们首先利用阳光下的影子进行测量，方法如下：某一时刻，小林在该塔影子的顶端D处竖直立一个标杆，并测得此时标杆的影长为2.4米；然后，小明在的延长线上找一点F，使得A、C、F三点在同一直线上，并测得为2.5米，已知图中所有点均在同一平面内，标杆高为2米，，，根据以上测量数据，求该塔的高度． 21. “我运动，我健康，我快乐！”渭南市市民健身热情越来越高，某健身器材店以每组30元的进价购进一批哑铃组，当每组售价50元时，1个月可售出150组，为了回馈顾客，该店决定从下个月起采用降价促销的方式，经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加10组，该店计划下个月售卖哑铃组获利3060元，为了尽可能多地让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？ 22. 如图，菱形的对角线相交于点O，过B点作，且，连结． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知点P在第三象限且为反比例函数在图像上一点，，求点P的坐标； 24. 某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： （1）【初探猜想】如图1，在正方形中，点E、F分别是上的点，连接，若，则线段与的数量关系为________； （2）【类比探究】如图2，在矩形中，，，点E、F分别是边上的点，点G是边上一点，连接，若，求的值； （3）【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段上，且，连接，若，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $