第五章《一元一次方程》提升训练A卷 2026-2027学年人教版数学七年级上册

2026—2027学年人教版七年级上册第五章一元一次方程提升训练试卷（A卷） （人教版　考查范围：七年级上册第五章《一元一次方程》） 适用年级：七年级　　满分：120分　　时间：120分钟 命题人：__________　　审题人：__________　　使用日期：__________ 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________　　考号：__________ 注意事项 1. 本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案写在答题卡指定区域。 2. 选择题用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔作答。 3. 解答题必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程。 4. 考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 5. 本卷为章节提升训练卷，整体难度高于常规检测，建议先易后难，合理分配时间。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 每小题只有一个正确选项。 1. 下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A. x²−1＝0　B. 2x−3＝5　C. x＋y＝6　D. ＋2＝0 2. 若x＝−2是方程2x＋a＝5的解，则a的值为（　　） A. 1　B. 3　C. 9　D. −9 3. 解方程3x−5＝4x＋2时，移项正确的是（　　） A. 3x−4x＝2＋5　B. 3x＋4x＝2＋5　C. 3x−4x＝2−5　D. 3x−4x＝−2−5 4. 方程2(x−3)−(x＋1)＝1去括号正确的是（　　） A. 2x−3−x＋1＝1　B. 2x−6＋x＋1＝1　C. 2x−6＋x−1＝1　D. 2x−6−x−1＝1 5. 方程()＝6的解是（　　） A. 11　B. 12　C. 13　D. 14 6. 某同学解方程时，去分母后得到2(2x−1)−3(x＋2)＝1，解得x＝9，则原方程正确的解是（　　） A. 8　B. 14　C. 9　D. 7 7. 若关于x的方程是一元一次方程，则m的值为（　　） A. 0　B. 2　C. −2　D. 0或2 8. 若方程x−3＝1与方程2x−a＝11的解相同，则a的值为（　　） A. 3　B. 5　C. 8　D. −3 9. 甲、乙两人合作完成一项工程需要6天，甲单独完成这项工程需要10天，则乙单独完成这项工程需要（　　） A. 15天　B. 12天　C. 16天　D. 20天 10. 某市出租车起步价为8元（3千米及以内），超过3千米后，每千米加收2元（不足1千米按1千米计）．爸爸乘车付了18元，则他乘车的路程为（　　） A. 7千米　B. 8千米　C. 9千米　D. 10千米 图1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若x＝4是方程3x−a＝8的解，则a的值为______． 12. 若2x＋9的相反数是13，则x的值为______． 13. 若关于x的方程2x＋a＝5的解是x＝2，则a的值为______． 14. 某商品进价为每件60元，若按标价的九折出售仍可获利20%，则该商品的标价为______元． 15. 定义一种新运算：a※b＝2a−3b＋1．若(2x＋1)※(−1)＝40，则x的值为______． 16. 一个三位数，百位上的数字是十位上数字的2倍，个位上的数字比十位上的数字大2，且三个数字之和为14，则这个三位数是______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程。 17.（本小题6分）解方程： （1）2(x＋3)＝5x−21； （2）()−()＝−1． 18.（本小题6分）某车间有22名工人，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个．已知1个螺钉要配2个螺母，为使每天生产的螺钉与螺母刚好配套，应分配多少人生产螺钉？ 19.（本小题8分）A、B两地相距48千米．甲从A地出发，速度为10千米/时；乙从B地出发，速度为6千米/时． （1）若两人同时出发、相向而行，经过多少小时两人相遇？ （2）若乙先出发1小时，甲再从A地出发追赶乙，问甲出发后多少小时能追上乙？ 图2 20.（本小题8分）某通讯公司推出两种手机收费方式：A方式无月租，每分钟通话费0.3元；B方式月租20元，每分钟通话费0.1元． （1）每月通话时间多少分钟时，两种方式的费用相同？ （2）如果每月通话时间为200分钟，选择哪种方式更合算？请说明理由． 21.（本小题10分）某中学生足球联赛采用单循环赛制，共进行12轮，积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．甲队赛完12轮后共积19分． （1）若甲队胜场的场数比负场的场数多2场，求甲队胜、平、负各多少场； （2）请求出甲队胜、平、负场数的所有可能情况； （3）由（2）写出甲队负场数的所有可能取值． 22.（本小题10分）观察一列正奇数：1，3，5，7，9，… （1）第n个正奇数是______，前50个正奇数的和是多少？ （2）小明计算1＋3＋5＋…＋99的和时，不小心漏加了一个奇数，得到的结果为2475，求小明漏加的是哪个奇数； （3）求1＋3＋5＋…＋199的和． 23.（本小题12分）《九章算术》中的"以绳测井"问题：用绳子测一口井的深度．将绳三折来量，绳比井深4尺；将绳四折来量，绳比井深1尺．问井深和绳长各是多少尺？ （1）请用一元一次方程解决上述问题； （2）变式：用这根绳绕一棵大树的树干一周（不折叠），绳子比树干一周的长还多出若干；若将绳三折后绕树干一周，还余3尺；将绳四折后绕树干一周，还余1尺．求绳长和树干一周的长； （3）反思：解决这类古算问题的关键，是把"几折"转化为怎样的等量关系？ 图3 24.（本小题12分）已知关于x的方程3(x−a)−2(x＋1)＝4． （1）不解方程，用含a的代数式表示该方程的解； （2）若该方程的解为15，求a的值； （3）若a为正整数，且该方程的解是不超过20的非负整数，求a的所有取值． 四、附加题（10分，不计入总分） 25.（本小题10分）定义：对于一元一次方程ax＋b＝0（a≠0），若它的解x₀满足x₀＝a−2，则称这个方程为"友好方程"． （1）方程3x−3＝0与方程2x−2＝0中，哪个是"友好方程"？请说明理由； （2）若关于x的方程(m＋1)x＋n＝0是"友好方程"，且m＋n＝−1，求m、n的值； （3）请直接写出一个"友好方程"，并验证你的结论． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年人教版七年级上册第五章一元一次方程提升训练试卷（A卷）·答案与评分标准 （考查范围：人教版七年级上册第五章《一元一次方程》） 一、参考答案速查 （一）选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A D C B A D A B （二）填空题（每小题3分，共18分） 题号 11 12 13 14 15 16 答案 4 −11 1 80 635 （三）解答题（共72分） 题号 17 18 19 20 21 22 23 24 答案 （1）x＝9（2）x＝1 10人生产螺钉，12人生产螺母 （1）3小时（2）1.5小时 （1）100分钟（2）选B方式 （1）胜5平4负3（2）三种组合（3）1、3、5 （1）2n−1，2500（2）25（3）10000 （1）井深16尺、绳长60尺（2）树干一周5尺、绳长24尺（3）见详解 （1）x＝3a＋6（2）a＝3（3）a＝1、2、3、4 （四）附加题（10分，不计入总分） 题号 25 答案 （1）3x−3＝0是（2）m＝2，n＝−3（3）答案不唯一，如3x−3＝0 二、总体评分说明 1. 选择题、填空题每小题只有一个结论，答案正确得满分，答案错误（含不填）得0分；填空题答案与参考答案表述不一致但数学上等价的，同样给分。 2. 解答题按下面各题的分步赋分标准给分；只有最终答案而没有任何演算过程的，原则上只得结论分；过程正确但计算错误的，酌情按步骤给分。 3. 解方程题必须写出主要变形步骤；用不同于参考答案的方法（如先化简再求解）得出正确结论的，参照相应步骤给分。 4. 附加题不计入总分，仅作学情诊断参考。 三、逐题详解与评分标准 第1题（3分） 答案：B 评分标准： 选对得3分，选错或不选得0分。 解析： - 考点： 一元一次方程的概念（只含一个未知数、未知数的次数是1、整式方程）。 - 思路： 对照一元一次方程定义中的三个条件逐项排查。 - 步骤： A项，x²−1＝0中未知数的最高次数是2，不是一元一次方程；B项，2x−3＝5只含一个未知数且次数为1，是一元一次方程；C项，x＋y＝6含两个未知数，不是；D项，＋2＝0中未知数在分母上，不是整式方程。 - 易错点： 误选D，忽略"分母含未知数"的方程不是一元一次方程；误把"化成一元一次方程"与"整式方程"混为一谈。 - 变式拓展： ①判断3x²−1＝2x²＋x是否为关于x的一元一次方程（化简后是）；②若(m−1)x＋3＝0是一元一次方程，m应满足什么条件（m≠1）。 第2题（3分） 答案：C 评分标准： 选对得3分，选错或不选得0分。 解析： - 考点： 方程的解的意义。 - 思路： 把x＝−2代入方程，得到关于a的一元一次方程，再解出a。 - 步骤： 将x＝−2代入2x＋a＝5，得2×(−2)＋a＝5，即−4＋a＝5，所以a＝9。 - 易错点： 代入时2×(−2)的符号出错；移项时忘记变号得到a＝1。 - 变式拓展： 若x＝3是方程ax−6＝0的解，求a（a＝2）；已知x＝1是方程2x＋b＝5的解，求b的值（b＝3）。 第3题（3分） 答案：A 评分标准： 选对得3分，选错或不选得0分。 解析： - 考点： 等式的性质与移项。 - 思路： 移项的依据是等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；移项必须改变该项的符号。 - 步骤： 方程3x−5＝4x＋2，把4x从右边移到左边变为−4x，把−5从左边移到右边变为＋5，得3x−4x＝2＋5。 - 易错点： 移项忘记变号（如选C、D）；把"移项"与"方程两边同加"混为一谈。 - 变式拓展： 判断"由2x＝3−x得2x＋x＝3"是否正确（正确，移项且变号）；"由x−3＝2得x＝2−3"错在哪里（−3移到右边应变为＋3）。 第4题（3分） 答案：D 评分标准： 选对得3分，选错或不选得0分。 解析： - 考点： 解一元一次方程中的去括号（乘法分配律）。 - 思路： 括号前是负号时，去掉括号后括号内各项都要变号。 - 步骤： 2(x−3)＝2x−6；−(x＋1)＝−x−1，所以去括号得2x−6−x−1＝1。 - 易错点： 漏乘括号内的常数项（如选A）；括号前是负号时只改变第一项的符号（如选C）。 - 变式拓展： 化简−3(2x−1)＋2(x−2)（−4x−1）；解方程2(x＋1)−(x−3)＝6（x＝1）。 第5题（3分） 答案：C 评分标准： 选对得3分，选错或不选得0分。 解析： - 考点： 解一元一次方程中的去分母。 - 思路： 方程两边同乘各分母的最小公倍数，不含分母的项也要乘。 - 步骤： 两边同乘2，得x−1＝12，所以x＝13。 - 易错点： 去分母时漏乘不含分母的项（如写成x−1＝6以外的错误形式）；分子是多项式时去分母后忘记加括号。 - 变式拓展： 解方程()＝2（x＝5）；解方程()＝3（x＝）。 第6题（3分） 答案：B 评分标准： 选对得3分，选错或不选得0分。 解析： - 考点： 去分母法则的逆向理解与错解分析。 - 思路： 先由该同学的错误方程求出他得出的x＝9，验证其错误所在；再按正确法则求解。 - 步骤： 该同学去分母得2(2x−1)−3(x＋2)＝1，化简得4x−2−3x−6＝1，即x−8＝1，解得x＝9，与题意相符，可见其错误是"右边漏乘6"；正确的去分母应为2(2x−1)−3(x＋2)＝6，化简得x−8＝6，解得x＝14。 - 易错点： 找不到错因，误把x＝9当作正确答案（选C）；去分母时左边各项都乘、右边不乘。 - 变式拓展： 若某同学解方程()＋1＝()时去分母得3(x−1)＋1＝2(x＋1)，他的解是多少？正确的解是多少？ 第7题（3分） 答案：A 评分标准： 选对得3分，选错或不选得0分。 解析： - 考点： 一元一次方程的概念（次数与系数的双重限制）。 - 思路： 一元一次方程须同时满足：含一个未知数、未知数的次数为1、系数不为0。 - 步骤： 由未知数的次数为1，得|m−1|＝1，所以m＝0或m＝2；由系数不为0，得m−2≠0，即m≠2。故m＝0。 - 易错点： 忽略"系数不为0"这一隐含条件而误选D；对|m−1|＝1只取m＝2一个值。 - 变式拓展： 若关于x的方程x^{m²−3}＋2＝0是一元一次方程，求m（m＝±2）；若(m＋1)x＝4是一元一次方程，m应满足什么条件（m≠−1）。 第8题（3分） 答案：D 评分标准： 选对得3分，选错或不选得0分。 解析： - 考点： 含参数的一元一次方程与"同解"问题。 - 思路： 先解不含参数的方程得到公共解，再代入含参方程求参数。 - 步骤： 由x−3＝1得x＝4；把x＝4代入2x−a＝11，得8−a＝11，所以a＝−3。 - 易错点： 把两个方程联立成方程组求解（方法虽可但本章要求用一元一次方程思路）；移项时符号出错得a＝3。 - 变式拓展： 若方程3x＋2＝8与方程x−a＝0的解相同，求a（a＝2）；若关于x的方程2x＋a＝5与x＝2是同一个解，求a（a＝1）。 第9题（3分） 答案：A 评分标准： 选对得3分，选错或不选得0分。 解析： - 考点： 工程问题（工作总量的处理）。 - 思路： 把工作总量看作1，甲、乙的工作效率分别为和，合作效率为两者之和。 - 步骤： 设乙单独完成需要x天，则＋＝1，即＝，解得x＝15。 - 易错点： 误把合作效率列成×；去分母时漏乘；得到x＝15后未检验合理性。 - 变式拓展： 若甲、乙合作12天完成，甲单独20天完成，乙单独需几天（30天）；一项工程甲单独做a天完成、乙单独做b天完成，合作需几天（天）。 第10题（3分） 答案：B 评分标准： 选对得3分，选错或不选得0分。 解析： - 考点： 分段计费问题中的方程建模。 - 思路： 先判断18元是否超过起步价所能覆盖的范围，再对超过部分列方程。 - 步骤： 设路程为x千米（x＞3），由题意得8＋2(x−3)＝18，解得2(x−3)＝10，x−3＝5，x＝8。 - 易错点： 忽略"起步价含3千米"而列成2x＝18（得x＝9，误选C）；忘记把(x−3)看作一个整体处理。 - 变式拓展： 若起步价10元（含3千米），超过部分每千米2.5元，付费25元时的路程是多少（9千米）；若不计"不足1千米按1千米计"，上述结果如何调整。 第11题（3分） 答案：4 评分标准： 填对得3分，填错或不填得0分。 解析： - 考点： 方程的解的意义。 - 思路： 把x＝4代入方程，得到关于a的方程再求解。 - 步骤： 把x＝4代入3x−a＝8，得12−a＝8，所以a＝4。 - 易错点： 移项时符号出错得a＝20；误认为"解是4"意味着"a＝4"而不代入验证。 - 变式拓展： 若x＝−2是方程2x＋a＝1的解，求a（a＝5）；若x＝是方程6x＋a＝2的解，求a（a＝−1）。 第12题（3分） 答案：−11 评分标准： 填对得3分，填错或不填得0分。 解析： - 考点： 相反数的意义与一元一次方程的解法。 - 思路： 由"2x＋9的相反数是13"知2x＋9与13互为相反数，其和为0，据此列方程。 - 步骤： 由题意得2x＋9＋13＝0，即2x＝−22，所以x＝−11。 - 易错点： 把"相反数是13"理解成"等于13"而得x＝2；漏掉常数项13的符号。 - 变式拓展： 若3x−5的相反数是−2，求x（x＝）；若x＋1与−4互为相反数，求x（x＝3）。 第13题（3分） 答案：1 评分标准： 填对得3分，填错或不填得0分。 解析： - 考点： 含参数的一元一次方程。 - 思路： 把x＝2代入2x＋a＝5，解关于a的方程。 - 步骤： 把x＝2代入，得4＋a＝5，所以a＝1。 - 易错点： 误将方程2x＋a＝5的解x＝2与"a＝2"混淆；代入后计算错误。 - 变式拓展： 若关于x的方程3x−a＝0的解是x＝3，求a（a＝9）；若方程ax＋2＝0的解是x＝1，求a（a＝−2）。 第14题（3分） 答案：80 评分标准： 填对得3分，填错或不填得0分。 解析： - 考点： 销售与利润问题。 - 思路： 利润＝售价−进价，售价＝标价×折扣；利润率20%指利润占进价的20%。 - 步骤： 设标价为x元，则售价为0.9x元。由题意得0.9x−60＝60×20%，即0.9x−60＝12，0.9x＝72，解得x＝80。 - 易错点： 把"获利20%"误解为"获利为标价的20%"；把"九折"理解为"减少90%"；解0.9x＝72时出错。 - 变式拓展： 若进价80元、标价100元，要使利润率不低于20%，最低可打几折（不低于9.6折）；若售价150元、利润率50%，求进价（100元）。 第15题（3分） 答案： 评分标准： 填对得3分，填错或不填得0分。 解析： - 考点： 新定义运算与一元一次方程。 - 思路： 按定义把(2x＋1)※(−1)展开成关于x的代数式，再解方程。 - 步骤： 由a※b＝2a−3b＋1，得(2x＋1)※(−1)＝2(2x＋1)−3×(−1)＋1＝4x＋2＋3＋1＝4x＋6。由4x＋6＝40，得4x＝34，所以x＝。 - 易错点： 把−3b中的b＝−1代入时符号出错（如算成−3）；展开2(2x＋1)漏乘；混淆运算顺序。 - 变式拓展： 定义a※b＝3a＋2b，若x※2＝10，求x（x＝2）；若(2x)※(−1)＝5（按本题定义），求x（x＝）。 第16题（3分） 答案：635 评分标准： 填对得3分，填错或不填得0分。 解析： - 考点： 数字问题中的用字母表示数与一元一次方程。 - 思路： 设十位数字为t，用t表示百位与个位数字，由"三个数字之和为14"列方程。 - 步骤： 设十位上的数字为t，则百位上的数字为2t，个位上的数字为t＋2。由题意得2t＋t＋t＋2＝14，即4t＝12，解得t＝3。所以百位数字为6、十位数字为3、个位数字为5，这个三位数是635。 - 易错点： 误把"三位数"列成6×3×5或600＋30＋5以外的错误形式（本题只需确定三个数字）；忽略"数字之和"与"数值之和"的区别。 - 变式拓展： 一个两位数，十位数字比个位数字小3，两个数字之和为11，求这个两位数（47）；一个三位数，三个数字之和为12，百位数字是个位数字的3倍，十位数字为0，求这个三位数（207）。 第17题（6分） 答案：（1）x＝9；（2）x＝1。 评分标准： 每小题3分。每小题按"去括号（去分母）1分、移项合并1分、系数化为1得解1分"赋分；无过程仅结果正确得1分；过程正确、计算错误酌情给1—2分。 解析： - 考点： 解一元一次方程的基本步骤（去括号、移项、合并同类项、系数化为1；去分母）。 - 思路： 按一般步骤逐步变形，每一步都要有依据，特别注意符号。 - 步骤： - （1）2(x＋3)＝5x−21。去括号，得2x＋6＝5x−21；移项，得2x−5x＝−21−6；合并同类项，得−3x＝−27；系数化为1，得x＝9。 - （2）()−()＝−1。去分母（两边同乘6），得3(x−1)−2(2x＋1)＝−6；去括号，得3x−3−4x−2＝−6；移项、合并，得−x＝−1；系数化为1，得x＝1。 - 易错点： （1）中去括号后−21移到右边应变号；（2）中去分母时右边的−1也要乘6（得−6），这是最集中的错误；分子是多项式时去分母后漏加括号。 - 变式拓展： 解方程3(x−2)＝2−x（x＝2）；解方程()−()＝1（x＝1）；比较"移项要变号"与"方程两边同乘同一个数不变号"的区别。 第18题（6分） 答案： 分配10人生产螺钉，12人生产螺母。 评分标准： 设未知数并列出方程得3分，正确解出方程得2分，答语完整得1分。 解析： - 考点： 配套问题与一元一次方程的应用。 - 思路： 螺钉与螺母按1:2配套，即"螺母总数＝2×螺钉总数"，据此列方程。 - 步骤： 设分配x人生产螺钉，则(22−x)人生产螺母。由题意得2×1200x＝2000(22−x)。化简得2400x＝44000−2000x，即4400x＝44000，解得x＝10。所以22−x＝12。 - 易错点： 把配套关系列成"螺钉＝2×螺母"（比例颠倒）；人数忘记用(22−x)表示；去括号、移项时出错。 - 变式拓展： 若改为"1个螺钉配3个螺母"，其他条件不变，应如何分配（设x人生产螺钉：3600x＝2000(22−x)，解得x＝，需调整总人数使答案为整数）；若螺母每人每天生产1800个，1:2配套时x＝11。 第19题（8分） 答案：（1）3小时；（2）1.5小时。 评分标准： 每小题4分。每小题按"设未知数、列方程3分、求解1分"赋分；仅结果正确得1分。 解析： - 考点： 行程问题中的相遇与追及模型。 - 思路： 相向而行：路程和＝总路程；追及：路程差＝先出发者提前走的路程。 - 步骤： - （1）设经过t小时两人相遇，则10t＋6t＝48，即16t＝48，解得t＝3。 - （2）乙先出发1小时，走了6千米。设甲出发后t小时追上乙，则10t＝6t＋6，即4t＝6，解得t＝1.5。 - 易错点： （1）中把速度和错算成10−6；（2）中忽略乙先行1小时的路程（错列10t＝6t得t＝0）；未统一单位。 - 变式拓展： 若两人同向而行（乙在前），甲多少小时追上乙（＝12小时）；若甲先出发1小时，乙出发后几小时相遇（设乙出发t小时后相遇：10(t＋1)＋6t＝48，解得t＝小时）。 第20题（8分） 答案：（1）100分钟；（2）选择B方式更合算。 评分标准： 第（1）问4分（列方程3分、求解1分）；第（2）问4分（分别算出两种费用各2分、比较并作答2分）。 解析： - 考点： 方案选择问题。 - 思路： 费用相同时列方程；给定通话时长时分别计算两种费用再比较。 - 步骤： - （1）设每月通话x分钟时费用相同，则0.3x＝20＋0.1x，即0.2x＝20，解得x＝100。 - （2）通话200分钟时，A方式费用为0.3×200＝60（元）；B方式费用为20＋0.1×200＝40（元）。因为40＜60，所以选择B方式更合算。 - 易错点： （1）中方程列成0.3x＝20−0.1x；（2）中只算一种费用或只答"选B"不说理由；计算小数乘法出错。 - 变式拓展： 若B方式月租30元、每分钟0.08元，费用相同时的通话时间是多少（250分钟）；由此可总结规律：月租高、单价低的方式适合通话时间长的用户。 第21题（10分） 答案：（1）胜5场、平4场、负3场；（2）胜4平7负1、胜5平4负3、胜6平1负5；（3）负场数为1、3或5。 评分标准： 第（1）问4分（设未知数、列方程3分，求解1分）；第（2）问4分（列出方程2分，完整枚举2分，漏一种给2分）；第（3）问2分。 解析： - 考点： 多元约束条件下的一元一次方程（体育赛制积分问题）。 - 思路： 场次总数与总积分各提供一个等量关系，用其中一个量表示另外两个量，再结合"非负整数"约束枚举。 - 步骤： - （1）设负x场，则胜(x＋2)场，平[12−x−(x＋2)]＝(10−2x)场。由积分得3(x＋2)＋(10−2x)＝19，即3x＋6＋10−2x＝19，解得x＝3。所以胜5场、平4场、负3场。 - （2）设胜s场，则平(19−3s)场，负12−s−(19−3s)＝(2s−7)场。由负场数非负得s≥4（实际s≥5，s＝4时负场数为1）；由平场数非负得19−3s≥0，即s≤6。枚举：s＝4时平7负1；s＝5时平4负3；s＝6时平1负5。 - （3）由（2）知负场数的所有可能取值为1、3、5。 - 易错点： （1）中"胜比负多2场"表示成"胜＋2＝负"；（2）中忽略"场数必须是非负整数"这一隐含约束，枚举不全或出现负场数；（3）误认为负场数只能是奇数以外的值而不说理由。 - 变式拓展： 若共赛10轮、积16分，胜一场3分、平一场1分，且平的场数是负的场数的2倍，求胜平负（胜4平4负2）；若积分规则改为"胜4平1负0"，10轮积22分的所有可能有哪些。 第22题（10分） 答案：（1）第n个正奇数是2n−1，前50个正奇数的和为2500；（2）漏加的奇数是25；（3）10000。 评分标准： 第（1）问4分（写出2n−1得2分，求和2分）；第（2）问4分（列方程3分、求解1分）；第（3）问2分。 解析： - 考点： 规律探究（正奇数数列）与一元一次方程的结合。 - 思路： 由数列前几项归纳出第n个正奇数2n−1；前n个正奇数的和等于n²；漏加问题用"应得和−实得和"列方程。 - 步骤： - （1）数列1，3，5，7，…的第n项为2n−1。前50个正奇数的和＝1＋3＋…＋99＝50²＝2500。 - （2）设漏加的奇数为y，则2500−y＝2475，解得y＝25。 - （3）1＋3＋…＋199中共有100项（()＝100），其和为100²＝10000。 - 易错点： （1）中误认为第n个正奇数是2n＋1；（3）中项数数错（误认为99项）；（2）中列成y＝2500＋2475。 - 变式拓展： 前n个正偶数的和是多少（n(n＋1)）；若漏加一个偶数后和为1348（原和为1＋2＋…＋100＝5050？可改为2＋4＋…＋100＝2550），求漏加的偶数；由(1＋3＋…＋99)＝2500说明"连续正奇数之和为项数的平方"。 第23题（12分） 答案：（1）井深16尺，绳长60尺；（2）树干一周长5尺，绳长24尺；（3）见详解。 评分标准： 第（1）问5分（设未知数1分、列方程2分、求解1分、答语1分）；第（2）问4分（列方程2分、求解与答语2分）；第（3）问3分（言之有理即可）。 解析： - 考点： 古算名题的方程建模。 - 思路： "几折"即把绳子分成相等的几段，每段长为绳长的几分之一；用"每段长"与"井深（树干周长）"的关系列方程。 - 步骤： - （1）设井深为x尺。三折后每段长(x＋4)尺，四折后每段长(x＋1)尺。由绳长相等得3(x＋4)＝4(x＋1)，化简得3x＋12＝4x＋4，解得x＝16。绳长为3×(16＋4)＝60（尺）。 - （2）设树干一周的长为x尺。三折后每段长(x＋3)尺，四折后每段长(x＋1)尺。由3(x＋3)＝4(x＋1)，得3x＋9＝4x＋4，解得x＝5。绳长为3×(5＋3)＝24（尺）。 - （3）关键是把"n折"转化为"绳长被平均分成n份，每份长绳长的"，从而用"每份长＝绳长÷n"建立等量关系；两折法的共同点是绳长不变，即"第一种折法的每段长×折数＝第二种折法的每段长×折数"。 - 易错点： 把"三折"理解为"折了三下"（实际指分成3段）；把"绳比井深4尺"理解成"每段比井深4尺"时列成x＝3(x＋4)；去括号、移项时符号出错。 - 变式拓展： "将绳五折测井，绳比井深2尺；三折测井，绳比井深6尺，求井深与绳长"（设井深x：3(x＋6)＝5(x＋2)，解得x＝4，绳长30尺）；《孙子算经》"引葭赴岸"问题可作同类迁移。 第24题（12分） 答案：（1）x＝3a＋6；（2）a＝3；（3）a＝1、2、3、4。 评分标准： 第（1）问4分（正确化简并解出2分、结果2分）；第（2）问4分（代入列方程2分、求解2分）；第（3）问4分（列出不等式条件2分、枚举完整2分，漏一个给2分）。 解析： - 考点： 含参数的一元一次方程的解法与解的探究。 - 思路： 把a看作常数，按一般步骤解方程；已知解求参数用代入；给定解的范围时用"解"的表达式建立约束条件。 - 步骤： - （1）去括号，得3x−3a−2x−2＝4，即x＝3a＋6。 - （2）由x＝15，得3a＋6＝15，即3a＝9，解得a＝3。 - （3）由解不超过20的非负整数，得0≤3a＋6≤20，即−2≤a≤。又a为正整数，所以a＝1、2、3、4（对应解分别为9、12、15、18）。 - 易错点： （1）中把−3a移到右边时忘记变号（得x＝3a＋2）；（2）中代入后符号出错；（3）中漏掉"非负"约束（只考虑小于20）或把"不超过20"理解成"小于20"。 - 变式拓展： 若方程改为2(x−a)−(x＋1)＝2，用含a的式子表示解并探究正整数a的取值（x＝2a＋3，解为非负整数时a＝1、2、3，对应解5、7、9）；若已知方程的解为x＝10，求a（a＝）。 第25题（10分，不计入总分） 答案：（1）3x−3＝0是"友好方程"；（2）m＝2，n＝−3；（3）答案不唯一，如方程3x−3＝0。 评分标准： 第（1）问2分（判断1分、理由1分）；第（2）问5分（用定义得到n与m的关系2分、联立求解2分、排除不合理解1分）；第（3）问3分（写出方程1分、验证2分）。 解析： - 考点： 新定义方程的理解与运用。 - 思路： 紧扣定义"解x₀＝a−2"，把新定义转化为两个条件（方程的解与定义条件）联立。 - 步骤： - （1）3x−3＝0的解为x₀＝1，而此时a−2＝3−2＝1，满足x₀＝a−2，是"友好方程"；2x−2＝0的解为x₀＝1，而a−2＝2−2＝0，不满足定义，不是"友好方程"。 - （2）方程(m＋1)x＋n＝0中，a＝m＋1，其解为x₀＝−。由"友好方程"的定义得−＝(m＋1)−2＝m−1，即−n＝(m＋1)(m−1)＝m²−1，所以n＝1−m²。又m＋n＝−1，代入得m＋1−m²＝−1，即m²−m−2＝0，解得m＝2或m＝−1。当m＝−1时，m＋1＝0，方程(m＋1)x＋n＝0不是一元一次方程（与定义中a≠0矛盾），舍去。所以m＝2，n＝1−2²＝−3。 - （3）如方程3x−3＝0：解为x₀＝1，a−2＝1，符合定义，是"友好方程"（还可写4x−8＝0、5x−15＝0等，验证方法相同）。 - 易错点： （2）中忘记检验m＋1≠0而保留m＝−1；把定义条件错写成x₀＝a＋2；（3）只写方程不验证。 - 变式拓展： 若把定义改为"解x₀满足x₀＝2−a"，探究哪些方程是"友好方程"（解为−，条件−＝2−a，即b＝a²−2a，如2x＝0、3x＋3＝0等）；由此发现"友好方程"的本质是对系数a、b的一个约束条件。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $