第五章 一元一次方程提升练习 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 以“概念-解法-应用”为逻辑主线，通过分层专题构建“基础巩固-方法突破-综合应用”三阶训练体系，突出整体思想、建模意识等核心素养的培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方程概念与性质|5题|等式性质应用、跨学科转化|从等式基本性质到字母表示，构建方程概念基础| |特殊方程解法|7题|分类讨论（绝对值）、整体换元、新定义转化|从常规解法到特殊技巧，提升运算能力与推理意识| |实际问题建模|7题|行程/利润/日历问题建模、图表信息提取|从文字情境到数学模型，强化应用意识与数据观念| |教材难题拓展|2题|方案优化、成本效益分析|从教材母题到变式生长，培养创新意识与抽象能力| |全国视野综合|4题|跨学科迁移（对数/理想数对）、项目式探究|整合多领域知识，发展数学眼光与理性思维|

第五章 一元一次方程 培优提升专题1 方程. 1.(2026广州期末)下列选项中，利用等式的性质进行变形，不一定正确的是( ) A.若2a=6,则a=3 B.若a-3=b-3,则a=b C.若a=b,则-2a=-2b D.若a=b,则 2.若有公式 则用含有D，L，M的代数式表示d时，正确的是( ) A. d=D-2LM B. d=2LM-D C. d=LM-2D D. 3.(跨学科融合)(2025 云南期末)如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量也相等，如图1，2所示的两个天平处于平衡状态，要使如图3 所示的天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置( )个球. A.5 B.6 C.7 D.8 4.(2026 河源期末)关于x的一元一次方程 =4的解为x=1,则a+m的值为( ) A.9 B.8 C.5 D.6 5.已知方程 则整式2-3×(2026-2025x)的值为 . 6.有一系列方程：第1个方程是 解为x=2;第2个方程是 解为x=6；第3个方程是 解为x=12；…，根据规律，第10个方程是 ,其解为x= . 7.某市交通局官网发布了《关于调整我市出租小汽车运价的通知》，随后该市便民网约车公司也发布了调价方案，新的计价标准如下： 车类 起步里程数(千米) 起步价格 (元) 超出起步里程数后的单价(元/千米) 里程费 (元/千米) 出租车 2.5 12 2.6 网约车 13 1.6 另外还有如下规定：当出租车运营里程在12千米内(含12千米)的按正常运价计费，超过12千米的车费，在总价基础上加收20%；网约车运营里程超过20千米时，按实际里程每千米再加收0.8元的长途费. (1)当运营里程为5 千米时，选择哪种乘车方式比较合算?并说明理由； (2)当运营里程大于12 千米且不超过20 千米时，设运营里程为x千米，列方程表示出两种乘车方式一样合算的情况. 8.(2026济南期末)用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定 如:1☆3 (1)填空:(-2)☆3= ; (2)若 求a的值； (3)“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式M，N的大小，只要作出它们的差M-N,若M-N>0,则M>N;若M-N=0,则M=N;若M-N<0,则M<N.若2☆x=m,( x)☆3=n(其中x为有理数)，试比较m，n的大小. 培优提升专题2 解一元一次方程 类型1 解特殊的一元一次方程 1.【阅读材料】解方程:|x+5|=2. 解:当x+5≥0时,原方程可化为x+5=2,解得x=-3; 当x+5<0时,原方程可化为x+5= -2,解得x=-7. 所以原方程的解是x=-3或x=-7. 【知识应用】解方程:13x-21-5=0. 2.解方程： 3.【阅读材料】 …. 【回答问题】 (2)求解关于x的方程： 类型2 用整体思想或换元法解一元一次方程 4.(2026 浙江期末)已知关于x 的一元一次方程 的解为x=-3，那么关于y的一元一次方程 的解为y= . 5.解方程： 278(x-3)-463(6-2x)-888(7x-21) =0. 类型3 与解一元一次方程有关的新定义题 6.(2026泉州期末)我们规定 (其中c≠0,d≠0),例如 若 则x的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.(2026 内蒙古期中)对于两个不相等的有理数a，b，我们规定 min{a，b}表示a，b两数中较小的数，例如min{2,-4} = - 4.求方程 min{x,-x} =3x+4的解. 培优提升专题3 实际问题与一元一次方程 1.(数学文化)我国古代《孙子算经》卷中记载了“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何?其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，求人数和车数.甲、乙两人所列方程如下： 甲:设车有x辆,可列方程为3(x-2)=2x+9; 乙：设人有y人，可列方程为 下列判断正确的是( ) A.甲对乙错 B.甲错乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都错 2.如图是2025年10月的日历表，在此日历表中用阴影十字框选中5个数(如2,8,9,10,16).若这样的阴影十字框上、下、左、右移动选中这张日历表中的5个数，则这5个数的和可能为( ) A.41 B.90 C.81 D.120 3.(2026佛山期末)为了回馈广大消费者一直以来的支持与厚爱，潭洲会展中心举行“迎元旦，大促销”活动，活动从12月 18 日一直持续至1月17 日.某种商品每件的进价为120元，标价为180元，为了扩大营销，现准备打折销售，若使利润率为32%，则应打 折. 4.如图，将正方形分成5个面积相等的长方形，其中在长方形ABCD中,AB=3,求BC的长. 5.如图，有12个方格，每个方格内都有一个数，若任何相邻三个数的和都是18，则x的值是 . 5 A B C D E F x G H P 10 6.有人问某男童：“你有几个兄弟、几个姐妹?”男童答：“有几个兄弟就有几个姐妹.”再问其妹有几个兄弟、几个姐妹，她答：“我的兄弟是姐妹的2 倍.”试问：他们兄弟、姐妹的人数各是几人?( ) A.兄弟4人，姐妹3人 B.兄弟3人，姐妹4人 C.兄弟2人，姐妹5人 D.兄弟5人，姐妹2人 7.(2026江苏期末)以下是两张不同类型火车的车票：(“Dxxx次”表示动车,“Gxxx次”表示高铁): (1)请根据车票中的信息填空： 两车行驶方向 ，出发时刻 (填“相同”或“不同”); (2)已知该动车和高铁的平均速度分别为200 km/h，300 km/h，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求A，B两地之间的距离； (3)在(2)的条件下，请求出在什么时刻两车相距100 km. 培优提升专题 4 教材难题生长题 教 材 难 题 1. 【例】（人教版 7 上 P148 拓宽探索）（抽象能力、运算能力、应用意识）一家游泳馆每年 6 月—8 月出售夏季会员证，每张会员证 120 元，只限本人使用，凭会员证购入入场券每张 15 元，不凭会员证购入入场券每张 20 元。讨论并回答下列问题： （1）在什么情况下，使用会员证与不使用会员证付一样的钱？ （2）在什么情况下，使用会员证比不使用会员证更合算？ （3）在什么情况下，不使用会员证比使用会员证更合算？ △解题思路：（1）可设游泳 次，使用会员证需付 元，不使用会员证需付 元，再根据购会员证与不买会员证付一样的钱的等量关系列出方程求解即可；（2）（3）可根据（1）所求得的次数得出结论。 难题生长 2. 某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为 1 000 元，经粗加工后销售，每吨利润可达 4 500 元，经精加工后销售，每吨利润涨至 7 500 元。当地一家公司收购这种蔬菜 140 吨，该公司的加工能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工 16 吨；如果进行精加工，每天可加工 6 吨，但两种加工方式不能同时进行。受季节等条件限制，该公司必须在 15 天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工； 方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售； 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好 15 天完成。 你认为哪种方案获利最多？为什么？ 培优提升专题5全国视野培优特训 1.(2025 广州期末)阅读下面材料，然后根据材料中的结论解答三个问题. 材料1：一般地，n个相同因数a相乘，记为a”，如2³=8,此时,3叫做以2为底的8 的对数,记为log₂8,即 再如： 则 材料2：一般地，对于数a和b， (“≠”不等号)，但是对于某些特殊的数a和b, 我们把这些特殊的数a和b，称为“理想数对”,记作(a,b).例如当a=1,b= -4时,有 那么(1,-4)就是“理想数对”. (1)计算:log₅25 = ; (2)如果(3,x)是“理想数对”,那么x= ; (3)若(m,n)是“理想数对”,求式子7(m+n)- 的值2.(2026江西期末)某一商场经销A，B 两种商品，A种商品每件售价为60元，利润率为50%；B种商品每件进价为50元，售价为80 元. (1)A种商品每件进价为 元，每件B 种商品的利润率为 ； (2)若该商场同时购进A，B两种商品共50件，恰好总进价为2 100 元，求购进A种商品多少件； (3)在“元旦”期间，该商场对A，B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于或等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600 元部分八折优惠，超过 600 元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A，B两种商品实际付款522元，求小华在该商场打折前一次性购物总金额. 3.(2026 深圳期末)项目式学习. 主题：如何设计宣传牌? 素材1 图1 是一长方形宣传牌，长330 cm，宽220 cm,拟在上面书写24个字. (1)中间可以用来设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍； (2)四周空白部分的宽度相等. 素材2 如图2，为了美观，将设计部分分割成大小相等的左、中、右三个长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等. 素材3 如图3，每栏划出正方形方格，中间有十字间隔，竖向两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为1：2. 问题解决 任务1 分析数量关系 设图 1 四周空白部分的宽度为x cm，用含x 的代数式分别表示设计部分的长和宽. 任务2 确定四周宽度 求出任务1中四周宽度x的值. 任务3 确定栏目大小 (1)求每个栏目的水平宽度； (2)求长方形栏目与栏目之间的中缝间距. 4.(2025 衡水期末)【阅读理解】我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式(整数可看作分母为1的分数)，运用方程思想可以将无限循环小数表示为分数形式.请看以下示例： 例1.将0.7化为分数形式. 由于0.7=0.777……, 设x=0.777……①,则10x=7.777……②, ②-①得9x=7,解得 于是得 例2.将0.17化为分数形式. 由于0.17=0.1717……, 设x=0.171 717……①,则100x=17.171 717……②, ②-①得99x=17,解得 于是得 以下计算结果均用最简分数表示： 【尝试运用】 【思维延伸】(2)0.3写作0.3333…,称为纯循环小数;又如0.16,0.0456,它们可分别写作0.1666…,0.045 645 645 6…,称为混循环小数.研究发现,所有混循环小数都可以先化为纯循环小数，然后再化为分数，如： 请把混循环小数2.050化为分数； 【视野拓宽】(3)若已知 请把5.714285化为分数. 第五章 一元一次方程 培优提升专题1 方程 1. D 2. A 3. C 4. D 5.3 7.解:(1)若选择出租车,费用为12+2.6×(5-2.5)=18.5(元);若选择网约车,费用为13+1.6×5=21(元). 因为18.5<21，所以选择出租车比较合算. (2)出租车费用为[12+2.6×(x-2.5)]×(1+20%)=(3.12x+6.6)元; 网约车费用为(13 +1.6x)元. 列方程,得3.12x+6.6=13+1.6x. 8.解:(1)-32 (2)根据题意，得 ∴(8a+8)☆(-2)=(8a+8)×(-2)²+2×(8a+8)×(-2)+(8a+8)=16, 整理得8a+8=16, 解得a=1. (3)已知等式整理得 =4x, ∴m>n. 培优提升专题2 解一元一次方程 1.解:当3x-2≥0时,原方程可化为3x-2-5=0,解得 当3x-2<0时,原方程可化为-3x+2-5=0,解得x=-1.所以原方程的解是 或x=-1. 2.解: 去分母,得0.5(x-1)-0.3(x+2)=12×0.15, 去括号，得(0.5x-0.5-0.3x-0.6=1.8,移项,得0.5x-0.3x=1.8+0.5+0.6,合并同类项,得0.2x=2.9,系数化为1,得x=14.5. 3.解:(1)\frac{4}{5} (2)方程变形得 即 解得 4. - 4 5.解:278(x-3)-463(6-2x)-888(7x-21)=0,278(x-3)+463×2(x-3)-888×7(x-3)=0,(x-3)(278+463×2-888×7)=0, 即x-3=0, 解得x=3. 6. A 7.解:当x≥0时,x≥-x, ∵min{x,-x}=3x+4, ∴ - x=3x+4, 解得x=-1(-1<0,舍去); 当x<0时,x<-x, ∵min{x,-x}=3x+4, ∴x=3x+4, 解得x= -2. 所以方程 min{x,-x}=3x+4的解为x= -2. 培优提升专题3 实际问题与一元一次方程 1. C 2. D 3.八八 4.解:如图,∵S长方形ABCD=S长方形BCEF,且AB=3, ∴BF·BC=3BC, ∴BF=3, . DE=AF=AB+BF=3+3=6, ∵S长方形ABCD =S长方形AFGH, ∵6AH=3AD, ∴AD=2AH, DH=2AH+AH=3AH, ·S长方形PHDL =S长方形AFGH, ∴3AH·DL=6AH, ∴DL=2, ∵PR=QR=LE=DE+DL=6+2=8, ∵5×3BC=8×8, 解得 5.3 6. A 7.解:(1)相同 不同 (2)设A,B两地之间的距离为s km, 根据题意得 解得s=600. 答：A，B两地之间的距离为600 km. (3)①当高铁没有出发时，设动车出发x小时后，两车相距100km,则 200x=100,解得 对应10:30; ②设在高铁出发t小时后，两车相距100 km，分追及前与追及后两种情况. 追及前:200(t+1)-300t=100,解得 t=1,对应12:00; 追及后:300t-200(t+1)=100,解得t=3. 但是在(2)的条件下,600÷300=2(h). 即高铁仅需2小时可到达B地，所以追及后的情况不符合实际，应该舍去. 答:在(2)的条件下,在10:30和12:00时两车相距100 km. 培优提升专题4 教材难题生长题 1.【例】解:(1)设游泳x次,则使用会员证需付(120+15x)元,不使用会员证需付20x元， 由题意得120+15x=20x,解得x=24. 答：当游泳24次时，使用会员证与不使用会员证付一样的钱. (2)由(1)可知，当游泳多于24次时，使用会员证比不使用会员证更合算. (3)由(1)可知，当游泳少于24次时，不使用会员证比使用会员证更合算. 2.解:方案一:∵4500×140=630000(元), ∴将蔬菜全部进行粗加工后销售，则可获利润630 000元. 方案二:15×6×7 500+(140-15×6)×1 000 =725 000(元), ∴将蔬菜尽可能多地进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售，则可获利润725 000元. 方案三：设精加工x天，则粗加工(15-x)天，根据题意得6x+16(15-x)=140,解得x=10,所以精加工的吨数=6×10=60(吨),粗加工的吨数=16×5=80(吨). 这时利润为80×4500+60×7500=810000(元). ∵810 000>725 000>630 000,∴方案三获利最多. 培优提升专题5 全国视野培优特训 1.解:(1)2 (2)-12 ∵(m,n)是“理想数对”, 整理得n=-4m, 把n=-4m代入7(m+n)-3(m+2n)+(log₃27)得 7[m+(-4m)]-3[m+2×(-4m)]+(log₃27) =7×(-3m)-3×(-7m)+3 =-21m+21m+3=3. 2.解:(1)40 60% (2)设购进A种商品x件,则购进B种商品(50-x)件,由题意得40x+50(50-x)=2 100,解得x=40. 答：购进A种商品40件. (3)设小华打折前应付款y元. 当打折前购物金额超过450 元，但不超过600 元，即450<y≤600时, 由题意得0.9y=522,解得y=580; 当打折前购物金额超过600元，即y>600时，600×0.8+0.7(y-600)=522,解得y=660. 综上所述，小华在该商场打折前一次性购物总金额为580元或660元. 3.解：任务1：根据题意，得设计部分的长为(330-2x)cm，宽为(220-2x) cm. 任务2：∵设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍，∴330-2x=1.55(220-2x),解得x=10, ∴四周宽度x的值为10 cm. 任务3：(1)设每个栏目的水平宽度为 ycm，每栏竖向两列中间间隔是a cm，则横向中间间隔为2a cm， 根据正方形边长相等可得 解得y=100, ∴每个栏目的水平宽度为100 cm. ∴长方形栏目与栏目之间的中缝间距为5cm. 4.解: 设x=0.50①,则100x=50.50②, ②-①得99x=50,解得 故 (2)∵1.285714=\frac{9}{7} 学科网（北京）股份有限公司 $