期中复习高效提分讲义（基础篇）-2026-2027学年高一上学期数学沪教版2020必修第一册

2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 期中复习高效提分讲义（基础篇） 考点01：集合的意义与表示方法 1．已知集合，则集合的元素个数为_______ 【答案】4 【详解】集合，共有4个元素 2．若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，解得.故选：A. 3.集合用列举法表示为______ 【答案】 【详解】. 4.已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是 ． 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据，当时，求解；当时，求解即可. 【详解】由题意，, 当时，则， 则， 又， 所以集合. 故答案为：. 5. 集合A＝用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据自然数集与整数集的概念分析集合中的元素即可. 【详解】因为，， 所以或2或4或8， 即或4或2或， 即. 故选：D. 考点02：集合之间的关系 6.集合，．若，则实数______ 【答案】-1 【详解】由知是的子集，若，则中有重复元素0，不合题意舍去； 若，则无解；若，则，经检验符合题意. 所以 7.设集合，则的子集的个数为______ 【答案】4 【详解】，，所以，所以的子集的个数为4. 8.已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 【答案】 【知识点】根据集合中元素的个数求参数、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可. 【详解】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1.当时，解为，满足题意； 2.当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3.当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 故答案为：. 9. 设集合满足，则满足条件的集合有__________个. 【答案】3 【分析】根据子集和真子集的定义进行求解即可. 【详解】满足的集合有： 共3个. 故答案为：3. 10.已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 【答案】 【知识点】根据集合中元素的个数求参数、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可. 【详解】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1.当时，解为，满足题意； 2.当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3.当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 故答案为：. 11.已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， 故； （2）因为，所以， 故要想，则，解得：， 故实数的取值范围是. 12.已知全集，集合. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由对数函数的单调性可知： 集合， 又因为，所以，解得：， 所以实数. （2）由（1）可知：集合， 因为，所以当时，； 当时，所以，解得：； 所以实数的取值范围为或. 考点03：集合的运算 13.已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 14.已知集合 ，则__________． 【答案】 【详解】由， ， 所以 15.设集合，，若的真子集的个数是1，则正实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】分和讨论即可. 【详解】，则，解得， 若的真子集的个数是1，则中只含有一个元素， 因为为正实数，则，， 若，则，解得， 若，则，解得， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 16. 已知全集，集合，，求，，． 【答案】，或，． 【解析】 【分析】根据集合交集，并集，补集的定义进行求解即可． 【详解】解：因为，，， 所以或，或， ，所以或， ． 17. 设全集，已知集合，. （1）用区间写出这两个集合； （2）求和. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据题意解绝对值不等式和分式不等式，进而可得集合； （2）先根据补集运算求，再结合交集和并集运算求解即可. 【小问1详解】 对于不等式，可得或， 所以集合； 对于不等式，即， 等价于，解得或， 所以集合. 【小问2详解】 由（1）可知：，，则， 所以，. 18. 设全集为，集合 （1）求集合和； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式恒为正得出判别式小于0计算求解A，再应用绝对值不等式计算求解集合B； （2）应用集合间关系列式计算求解参数. 【小问1详解】 ，所以， 所以，所以， 所以； 集合； 【小问2详解】 因为， 所以或， 所以或， 所以实数的取值范围为或． 19.已知集合， （1）当时，求 （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）确定集合，再根据交集的定义求解； （2）根据，得，求解即可. 【小问1详解】 ， 当时，， 所以 【小问2详解】 ，根据， 则，即， 所以实数的取值范围为. 考点04：常用逻辑用语 20.命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】写出原命题的否定，再利用二次型不等式恒成立求解作答. 【详解】因命题“，”为假命题，则命题“，”为真命题， 当时，恒成立，则， 当时，必有，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 21.已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，转化为是真命题，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由命题是假命题，可得命题是真命题， 则满足，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 22.若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为____________. 【答案】 【分析】分析可知命题“”为真命题，对实数的取值进行分类讨论，再根据二次不等式恒成立即可求解. 【详解】由题意可知，题“”为真命题， 当时，由可得，不符合题意， 当时，根据题意知不等式恒成立则， 解之可得. 故答案为： 23.设a，，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】令，，满足，但，； 当且时，能得到， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：. 24.命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据题意转化为子集问题，即可求解. 【详解】由条件可知，集合是集合的真子集， 所以. 故选：D 25.已知集合，集合，命题，命题． （1）当实数为何值时，； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式求出集合，再根据，即可得解； （2）由是的充分不必要条件，所以是的真子集，再分情况讨论即可求解． 【小问1详解】 令，即， 有，解得，故， 的解为，， 当时，，， 则，无解； 当或时，，，此时； 当或时，，， 则，解得； 综上，； 【小问2详解】 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以当时，，， 则或，无解； 当或时，，，此时不符合题意； 当或时，， 则，解得；， 或，解得， 综上所述，a的取值范围为． 考点05：等式与不等式的性质 26.已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，因，由，可得，故A错误； 对于B，因，则，利用不等式的性质，可得，即，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C错误； 对于D，因，利用不等式的性质，可得，即，故D正确. 故选：D. 27. 如果，那么下列不等式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A：因为，所以，则，故A错误； 对于B：因为，所以，所以，故B错误； 对于C：因为，所以，故C正确； 对于D：因为，所以，故D错误，故选：C 28. 已知为正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若（巧用结论2）可知充分性成立； 若，则，即且，故，即必要性成立， 所以“”是“”的充要条件，故选C. 29.已知，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据不等式的性质求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以，所以，所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 30.已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，， 所以，故选D. 考点06：一元二次不等式的求解 31.不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原不等式即为，即，解得或， 故原不等式的解集为. 故选：D. 32.已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）由题意得和3为方程的根，进而结合韦达定理求得的值，进而求解； （2）直接根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由题意，和3为方程的根， 则，解得， 所以. （2）由（1）知，， 所以不等式，即为， 即，即，解得或， 所以不等式的解集为. 33.已知关于的不等式的解集为. (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，结合韦达定理即可求解； （2）根据（1）的结果，并不等式转化为，因式分解后，讨论的取值，解不等式. 【详解】（1）由题意可知，的根是1和2， 所以，解得：，； （2）由（1）知，，， 所以不等式为，即， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 34.已知，的解集中的整数恰有4个，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】先依题意求出，接着求不等式的解集，根据解集特征求出解集中的整数是，从而得，再结合即可求解. 【详解】当时，不等式化为， 因为，所以该不等式解集为，不满足解集中的整数恰有4个； 当时，，显然不满足解集中的整数恰有4个； 所以，，不等式化为， 解方程， 所以不等式的解集为，又， 所以不等式解集中的整数是， 所以，所以， 又因为，所以，即，所以， 综上，满足题意的实数的取值范围为. 故答案为：. 35.已知二次函数，满足，且的解集为. (1)求函数的解析式； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)的取值范围为. 【知识点】求二次函数的解析式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）先由求得，接着由不等式的解集特征可得，且和是方程的两根，从而由韦达定理可求解. （2）先由“当时，恒成立”结合得到在上恒成立，从而，再利用基本不等式求出即可得解. 【详解】（1）由题意可得，所以， 又因为的解集为， 所以由不等式的解集特征可得，且和是方程的两根， 所以， 所以函数的解析式为. （2）当时，恒成立， 所以由（1）知当时，恒成立， 即在上恒成立， 令，则在上恒成立， 所以， 又因为，当且仅当即时等号成立， 所以， 所以，即的取值范围为. 考点07：分式不等式和绝对值不等式的求解 36.（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_________． 【答案】 【详解】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 37.不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式， 解得，所以原不等式的解集为. 故选：C 38.不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 所以不等式的解集为. 故选：A 39. 的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不等式，转化为，且， 解得，且， 所以的解集为， 故选：D 40.不等式的最小整数解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】公式法解绝对值不等式 【分析】解不等式，可得出满足此不等式的的最小整数值. 【详解】当时，则，可得，此时，； 当时，则恒成立，此时，； 当时，则，解得，此时，. 综上所述，不等式的解集为， 则满足原不等式的最小整数解为， 故选：C. 41.使不等式中等号成立的x的取值范围是 . 【答案】R 【知识点】分类讨论解绝对值不等式 【分析】绝对值不等式可以通过讨论绝对值内代数式值的正负来去掉绝对值符号，从而化简为一次不等式，求出对应解集即可. 【详解】当时，原不等式化简为， 即，则，∴； 当时，原不等式化简为，即恒成立，∴； 当时，原不等式化简为，即，则，∴， 综上所述：. 故答案为：R 42.已知集合,集合,若,求实数a的取值范围. 【答案】 【详解】∵，即，∵，∴， 即 ∵，即，∴，解得， 即， ∵，∴，即， 即. 考点08：基本不等式及其应用 43.设正实数满足，则的最小值为______. 【答案】 【详解】因为正实数满足， 可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 44. 若，则的最小值为 ． 【答案】3 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】将整理为，再根据不等式性质即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：3 45.已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，，且， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 46.对于任意的正数m，n，不等式 成立，则λ的最大值为__________ 【答案】## 【分析】根据题意，转化为成立，利用，结合基本不等式求得最小值，即可求解. 【详解】因为都为正数，则不等式成立，即为成立， 又由， 当时，即时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 47.已知正实数满足，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由条件可得，然后利用“1”的代换构造乘积为定值，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，得， 则， 当且仅当，且，即，时，等号成立． 所以的最小值是. 故答案为： 48.已知，，． (1)求的最小值和的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1)的最小值为，的最小值为 (2) 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】（1）依题意可得，利用消元法及基本不等式计算可得； （2）结合（1）可得，再利用基本不等式计算可得. 【详解】（1）因为，，， 所以，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为； 又，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. （2）因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 考点09：幂 指数与对数 49.化简：（    ） A．0 B． C．或0 D． 【答案】A 【分析】根据根式的性质即可求解. 【详解】因为 所以， 故， 故选：A 50.已知，，则的值为__________． 【答案】 【分析】将变形为，设，求出t的值，可化为，即可求得答案. 【详解】由，，可得， 设，则，则， 解得，（舍去）， 故， 故答案为： 51.已知，则（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据指对运算化简，再根据对数运算法则计算的值. 【详解】， . 故选：A. 52.若，，用a，b表示____________ 【答案】 【分析】先求出，再根据换底公式及对数的运算性质即可得解. 【详解】因为，所以， . 故答案为：. 53. __________ 【答案】 【分析】根据对数的运算性质计算即可. 【详解】. 故答案为：. 54.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数运算性质和对数换底公式即可求得的变形式. 【详解】， 又，则 故选：B 55.若，且，则__________． 【答案】 【分析】将条件中的指数式转化为对数式，求出，代入，利用对数的运算性质可得. 【详解】，且， 且， ， ， ， . 故答案为：. 56. （1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据指数与分数指数幂化简以及运算法则计算可得结果； （2）利用对数运算法则计算可得结果. 【详解】（1） ； （2） . 57.分别计算下列数值： （1）； （2）已知，，求. 【答案】（1）；（2）-12. 【解析】（1）利用根式的性质和指数幂的运算律求解. （2）由，利用平方差公式和完全平方公式，分别求得，的值代入即可. 【详解】（1）原式， ， ， （2）∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∵， ∴， ∴. 考点10：幂函数 58.幂函数的图象过点，那么的值为________ 【答案】## 【分析】根据幂函数定义，待定系数法可得函数解析式，进而确定函数值 【详解】由已知可设函数， 又函数图象过点， 即，解得， 所以， 则， 故答案为：. 59.若幂函数在，上是增函数，则实数　　． 【解析】幂函数在上是增函数， ，解得． 故答案为：． 60. 已知幂函数经过点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】首先代入已知点求出，则，利用函数单调性即可得到不等式，解出即可. 【详解】设幂函数， 由题意得，解得，故，， 则，即为， 根据在上为单调增函数，则有， 解得，故解集为， 故答案为：． 61.如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（ ） A. 是奇数且 B. 是偶数，是奇数，且 C. 是偶数，是奇数，且 D. 是奇数，且 【答案】B 【分析】由幂函数性质及时两图象的位置关系可知；由图象可知为偶函数，进而确定的特征. 【详解】由幂函数性质可知：与恒过点，即在第一象限的交点为， 当时，，则； 又图象关于轴对称，为偶函数，， 又互质，为偶数，为奇数. 故选：B. 62.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上单调递减，所以，又，所以， 因为函数的图象关于轴对称，所以为偶数， 不符合题意舍去，所以，函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，，所以不等式可化为 或或，所以或， 所以的取值范围为.故选：C. 63.若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间. 函数的2次方膨胀区间为 ；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是 . 【答案】 且， 【详解】设函数的2次方膨胀区间为，由于函数为上的单调递增函数， 所以且，由于，解得， 故的2次方膨胀区间为， 由于为开口向上的二次函数，且对称轴为， 设存在4次方膨胀区为， 若，则为上的单调递减函数， 所以且， 相减可得，这与矛盾，故不符合题意舍去， 若，则为上的单调递增函数， 所以且， 因此是方程的两个不相等非负实数根， 令，则有两个不相等非负实数根，记， 所以，解得且，故答案为：，且， 64.已知幂函数为偶函数，且． (1)求；(2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以幂函数在区间上为单调递减函数， 所以，解得，又因为，则m的值为， 函数为偶函数，所以为偶数，所以． （2）由（1）知函数，其图象关于轴对称，且在区间上为单调递减函数， 所以不等式，即为， 解得或，即的取值范围是． 65.已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值；(2)若存在，使得能成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)(2)(3)答案见解析 【详解】（1）因为函数为幂函数，所以，解得或. 当时，，在上单调递增，符合题意； 当时，，在上单调递减，不符合题意；所以. （2）因为，即转化为， 由参变量分离法可得，其中，所以，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以， 综上可知，实数的取值范围为. （3）由（1）知，由， 得. 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解为； 当，即时，不等式解为. 综上可得， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 考点11：应用题 66. 2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸 IP 展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界.某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形区域，十字形的面积为.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元.设长为，总造价为元，求： （1）设长为，用表示，并求出的取值范围； （2）如何设计可使总造价最低，并求出最低造价. 【答案】（1）， （2）当的长为m时，总造价最低，为59000元 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，结合十字形区域面积为，可得，整理可得解析式，根据，，可求得x的范围，即可得答案. （2）分别求出各个区域的面积及造价，可得总造价的表达式，结合基本不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 因为十字形区域面积为， 所以，解得， 因，所以，因为，所以， 所以，. 【小问2详解】 四个矩形地砖面积，造价； 四个三角形草坪面积； 造价； 正方形花坛面积，造价； 总造价， 化简得， 因为， 当且仅当（在范围中）时取等号，此时元． 综上，当的长为时，总造价最低，为59000元． 67. “守护碧水蓝天，共治污水之源”，重庆市某自来水厂决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，水厂拟安装一种新的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该水厂需缴纳的总水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该水厂的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为（单位：万元）． (1)要使不超过11.2万元，求设备占地面积的取值范围； (2)设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值． 【答案】(1) (2)设备占地面积为25平方米时，的值最小，最小值为11万元. 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）由题意得，解不等式即可； （2）将变形为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得， 令，即， 整理得，即， 解得， 所以设备占地面积的取值范围为； （2）， 当且仅当，即，时等号成立， 所以设备占地面积为25平方米时，的值最小，最小值为11万元. 考点12：新定义压轴题 68.已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集． （1）判断集合是否是封闭集，并说明理由； （2）若集合，，判断集合，是否是封闭集，并说明理由； （3）若非空集合是封闭集，且为全体实数集，求证：不是封闭集． 【答案】（1）不是，理由见解析； （2）是，不是，理由见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据封闭集的定义直接判断. （2）求出，利用封闭集的定义直接判断；举例说明判断的情况. （3）利用反证法，按和两种情况分类讨论，结合封闭集的定义推理证明. 【小问1详解】 对于集合，由于，， 所以集合不是封闭集. 【小问2详解】 集合，，则， 任取，其中， 因此，， 所以集合是封闭集； 取，则，而， 所以不是封闭集. 【小问3详解】 假设是封闭集， 若，在中任取一个，，则， 否则，此时，与矛盾， 因此，而，，与矛盾， 则当时， 不是封闭集； 同理可证，当时，也不是封闭集， 所以不是封闭集. 69. 已知有限集合，若集合中任意元素都满足，则称该集合为收敛集合. 对于收敛集合，定义变换有如下操作：从中任取两个元素、，由中除了、以外的元素构成的集合记为，令，若集合还是收敛集合，则可继续实施变换，得到的新集合记作，…，如此经过次变换后得到的新集合记作. （1）设，请写出的所有可能的结果； （2）设是收敛集合，试判断集合最多可进行几次变换，最少可进行几次变换，并说明理由； （3）设，对于集合反复变换，当最终所得集合只有一个元素时，求所有的满足条件的集合. 【答案】（1），；（2）最多9次，最少5次；理由见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据收敛集合的定义和，分类讨论和，即可求出的所有可能的结果； （2）根据收敛集合的定义得出时，仍是收敛集合，若，则的元素个数比少2个，若，则的元素个数比少1个，结合变换即可得出结果； （3）对于满足的实数定义运算：，证明可知运算满足交换律和结合律，结合运算，集合经过反复变换，即可得出结果. 【详解】解：（1）由题可知，， 若取，为和0，则，因而； 若取，为和，则，因而； 若取，为0和，则，因而； 综上，的所有可能的结果有，. （2）对于任意的收敛集合， 其中的两个元素，都有， 则 ， 即，因而仍是收敛集合， 若，则的元素个数比少2个； 若，则的元素个数比少1个； 因而对于含有10个元素的集合， 若每进行一次变换，得到的新收敛数列比前一个减少1个元素， 则至多可进行9次变换，此时只含有一个元素，无法继续进行变换； 若每进行一次变换，得到的新收敛数列比前一个减少2个元素， 则至少可进行5次变换，此时只含有一个元素，无法继续进行变换； 所以最多进行9次变换，最少进行5次变换. （3）由于， 对于集合反复变换，当最终所得集合只有一个元素时， 对于满足的实数定义运算：， 因为，且，所以，即该运算满足交换律； 因为， 且， 所以，即该运算满足结合律， 所以运算满足交换律和结合律， 由于， 先取进行运算，得到； 再取进行运算，得到； 再取进行运算，得到； 再取进行运算，得到； 最后取进行变换，得到，因而. 综上，最终所得集合只有一个元素时，所有的满足条件的集合. 【点睛】本题考查集合的新定义，正确理解新定义“收敛集合”的含义是解决的关键，考查运算能力和分类讨论思想，属于难题. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 期中复习高效提分讲义（基础篇） 考点01：集合的意义与表示方法 1．已知集合，则集合的元素个数为_______ 2．若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.集合用列举法表示为______ 4.已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是 ． 5. 集合A＝用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 考点02：集合之间的关系 6.集合，．若，则实数______ 7.设集合，则的子集的个数为______ 8.已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 9. 设集合满足，则满足条件的集合有__________个. 10.已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 11.已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 12.已知全集，集合. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 考点03：集合的运算 13.已知集合则（   ） A． B． C． D． 14.已知集合 ，则__________． 15.设集合，，若的真子集的个数是1，则正实数的取值范围为______. 16. 已知全集，集合，，求，，． 17. 设全集，已知集合，. （1）用区间写出这两个集合； （2）求和. 18. 设全集为，集合 （1）求集合和；（2）若，求实数的取值范围． 19.已知集合， （1）当时，求 （2）若，求实数的取值范围． 考点04：常用逻辑用语 20.命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是______． 21.已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22.若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为____________. 23.设a，，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 24.命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25.已知集合，集合，命题，命题． （1）当实数为何值时，； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 考点05：等式与不等式的性质 26.已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 27. 如果，那么下列不等式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 28. 已知为正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 29.已知，则的取值范围是________． 30.已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点06：一元二次不等式的求解 31.不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 32.已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)解不等式． 33.已知关于的不等式的解集为. (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集. 34.已知，的解集中的整数恰有4个，则实数的取值范围为 . 35.已知二次函数，满足，且的解集为. (1)求函数的解析式； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 考点07：分式不等式和绝对值不等式的求解 36.（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_________． 37.不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 38.不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 39. 的解集为（   ） A． B． C． D． 40.不等式的最小整数解为（   ） A． B． C． D． 41.使不等式中等号成立的x的取值范围是 . 42.已知集合,集合,若,求实数a的取值范围. 考点08：基本不等式及其应用 43.设正实数满足，则的最小值为______. 44. 若，则的最小值为 ． 45.已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 46.对于任意的正数m，n，不等式 成立，则λ的最大值为__________ 47.已知正实数满足，则的最小值是 ． 48.已知，，． (1)求的最小值和的最小值； (2)求的最小值． 考点09：幂 指数与对数 49.化简：（    ） A．0 B． C．或0 D． 50.已知，，则的值为__________． 51.已知，则（    ） A．3 B．5 C． D． 52.若，，用a，b表示____________ 53. __________ 54.已知，则（    ） A． B． C． D． 55.若，且，则__________． 56. （1）； （2）. 57.分别计算下列数值： （1）； （2）已知，，求. 考点10：幂函数 58.幂函数的图象过点，那么的值为________ 59.若幂函数在，上是增函数，则实数　　． 60. 已知幂函数经过点，则不等式的解集为 ． 61.如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（ ） A. 是奇数且 B. 是偶数，是奇数，且 C. 是偶数，是奇数，且 D. 是奇数，且 62.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 63.若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间. 函数的2次方膨胀区间为 ；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是 . 64.已知幂函数为偶函数，且． (1)求；(2)若，求的取值范围． 65.已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值；(2)若存在，使得能成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 考点11：应用题 66. 2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸 IP 展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界.某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形区域，十字形的面积为.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元.设长为，总造价为元，求： （1）设长为，用表示，并求出的取值范围； （2）如何设计可使总造价最低，并求出最低造价. 67. “守护碧水蓝天，共治污水之源”，重庆市某自来水厂决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，水厂拟安装一种新的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该水厂需缴纳的总水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该水厂的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为（单位：万元）． (1)要使不超过11.2万元，求设备占地面积的取值范围； (2)设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值． 考点12：新定义压轴题 68.已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集． （1）判断集合是否是封闭集，并说明理由； （2）若集合，，判断集合，是否是封闭集，并说明理由； （3）若非空集合是封闭集，且为全体实数集，求证：不是封闭集． 69. 已知有限集合，若集合中任意元素都满足，则称该集合为收敛集合. 对于收敛集合，定义变换有如下操作：从中任取两个元素、，由中除了、以外的元素构成的集合记为，令，若集合还是收敛集合，则可继续实施变换，得到的新集合记作，…，如此经过次变换后得到的新集合记作. （1）设，请写出的所有可能的结果； （2）设是收敛集合，试判断集合最多可进行几次变换，最少可进行几次变换，并说明理由； （3）设，对于集合反复变换，当最终所得集合只有一个元素时，求所有的满足条件的集合. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $