专题3.1 幂与指数（重难点突破）-【课后辅导专用】2021年秋季高一数学上学期精品讲义（沪教版2020必修第一册）

专题3.1 幂与指数 一、考情分析 二、考点梳理 考点一 根式 (1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝ 考点二 分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； (2)正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. 考点三 指数幂的运算性质 (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 三、题型突破 (一) 根式化简 例1、（1）当时，　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意得﹣ax3≥0，结合a＞0得x3≤0即x≤0，由此利用二次根式的性质加以计算，可得答案． 【答案】解：中，，由得，即 因此，故选：． （2）．（2021·上海高一专题练习）若，则化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由题知,进而根据指数幂化简即可. 【详解】 因为，所以，所以. 故选:B. 【变式训练1-1】．（2021·上海高一专题练习）下列各式中成立的一项（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用指数幂的运算性质、根式与分数指数幂的互化可判断各选项的正误. 【详解】 对于A选项，，A选项错误； 对于B选项，，B选项错误； 对于C选项，，C选项错误； 对于D选项，，D选项正确. 故选：D. 【变式训练1-2】．（2020·浙江杭州·高一期末）根式（式中）的分数指数幂形式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由根式和分数指数幂的意义，先将根式中的部分化为分数指数幂，再化整体即可. 【详解】 解：. 故选：A. 【点睛】 本题考查根式和分数指数幂的互化、指数的运算法则，属基础题. (二) 根式与分数指数幂互化 例2、（1）下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据各式是否有意义，是否符合根式与分数指数幂的互相转化规律进行判断． 【答案】解：对于，由有意义可知，而当时，无意义，故错误； 对于，当时，，而无意义，故错误； 对于，，故错误． 对于，．故正确．故选：． （2）．（2021·江苏省如东高级中学高一月考）已知，，化简得（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据根式和实数指数幂的运算法则，即得解 【详解】 由题意：， 故选：B 【变式训练2-1】．（2020·台州市实验中学高一期中）求值①=___________；②=___________. 【答案】 【分析】 由指数运算的运算法则细心计算即可得解. 【详解】 由题意，； . 故答案为：；. 【变式训练2-2】．（2021·福建高二月考）（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据给定条件利用指数幂的运算法则计算即得. 【详解】 . 故选：C (三) 多重根式化简 例3、（1）（2020·上海高一专题练习）的分数指数幂表示为____________ 【答案】 【分析】 本题可通过根式与分数指数幂的互化得出结果. 【详解】 ， 故答案为：. （2）．（2021·全国高一课时练习）将 化为分数指数幂为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据根式与分数指数幂的互化以及指数的运算公式即可求出结果. 【详解】 ＝＝＝＝＝. 故选：D 【变式训练3-1】．（2021·全国高一专题练习）可以化简成（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据指数幂和根式的运算性质转化即可． 【详解】 解：， 故选：B． 【变式训练3-2】．（2021·上海市西南位育中学高一期末）已知，则___________. 【答案】 【分析】 利用根式与指数幂的运算可求得的值. 【详解】 ，则，因此，. 故答案为：. 【变式训练3-3】．（2020·上海市洋泾中学高一期中）化简______. 【答案】 【分析】 将根式化为分数指数幂后，利用指数幂的运算性质可得结果. 【详解】 . 故答案为： (四) 根式与分数指数幂互化 例4、（2019·浙江高三专题练习）计算：． 【答案】 【分析】 直接利用指数幂的运算法则求解即可,求解过程注意避免计算错误 【详解】 ． 【点睛】 化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．属于较易题目． 【变式训练4-1】．（2020·浙江高一期末）化简或求值： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用指数的运算性质即可