专题2.3 基本不等式及其应用（课时训练）-【课后辅导专用】2021年秋季高一数学上学期精品讲义（沪教版2020必修第一册）

专题2.3 基本不等式及其应用 A组 基础巩固 1．（2021·浦东新·上海师大附中）函数的值域是________． 【答案】 【分析】 根据基本不等式，分和两种情况讨论即可得解. 【详解】 易知， ， 当时， ， 当且仅当时取等号， 当时，， ， 当且仅当时取等号， 综上可得函数的值域为， 故答案为：. 2．（2021·华东师范大学第三附属中学高二月考）已知正数满足，则的最小值为__________. 【答案】9 【分析】 将展开，再利用基本不等式求解即可. 【详解】 解：. 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：9. 3．（2022·全国高三专题练习）（配凑型）已知，求函数的最小值是 ________ 【答案】1 【分析】 将函数变形为，再利用基本不等式计算可得. 【详解】 由，即，所以，当即时，函数取得最小值1. 故答案为：1 4．（2021·全国）已知，，，则的最小值为___________. 【答案】 【分析】 由已知得，则，再利用基本不等式可得答案. 【详解】 因为，，， 所以，由得，， 则， 所以， ， 当且仅当，即，时取等号， 则的最小值为， 故答案为：. 5．（2021·福建厦门双十中学高一月考）已知，，且满足，则的最小值为___________. 【答案】7 【分析】 然后利用基本不等式可得答案. 【详解】 因为，，所以， 因为， 所以 ， 当且仅当即等号成立， 则的最小值为7. 故答案为：7. 6．（2021·贵溪市实验中学高二月考（文））若，则的最小值为______. 【答案】3 【分析】 先用基本不等式求出的最大值，进而求出的最小值，再拆项，并利用三元均值不等式求出的最小值. 【详解】 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以有成立，因此 （当且仅当时取等号），所以的最小值为3. 故答案为：3. 7．（2021·全国高一课时练习）若，则的最大值是___________. 【答案】 【分析】 先求解出的取值范围，然后利用基本不等式求解出最大值. 【详解】 因为，所以， 又， 取等号时，即， 所以的最大值为， 故答案为：. 8．（2020·重庆市万州南京中学）设，都是正数，且，则的最小值为_______. 【答案】 【分析】 由题设知且，利用基本不等式“1”的代换，即可求目标式的最小值，注意等号成立的条件. 【详解】 由题设，且， ∴，当且仅当时等号成立. 故答案为： 9．（2021·衡阳市船山英文学校）有材料可做墙（不计高度和厚度），如图所示，要做间房，当堵纵墙的长度相等且长度等于________时，间房的总面积达到最大值. 【答案】 【分析】 设堵纵墙的长度为，则横墙的长度为，可得出间房的总面积为，利用基本不等式可求得的最大值及其对应的值，由此可得出结论. 【详解】 设堵纵墙的长度为，则横墙的长度为， 间房的总面积， 当且仅当，即时，所以，间房的总面积达到最大值. 故答案为：. 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 10．（2020·浙江）若，，且，则下列不等式中恒成立的是_______.①；②；③；④. 【答案】②④ 【分析】 利用基本不等式和题设得到答案即可． 【详解】 解：，，且， ，即，当且仅当时取等号，，故选项①错误； ，当且仅当时取等号，选项②正确； ，即，选项③错误； ，当且仅当时取等号，选项④正确， 故答案为：②④． 【点睛】 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 11．（2020·安徽金安·六安一中高一月考）函数的最大值为________. 【答案】 【分析】 将解析式化为，再利用基本不等式，即可得答案； 【详解】 ，等号成立当且仅当， 故答案为：. 12．（2020·江苏省南通中学高一月考）实数满足，则的最大值为______. 【答案】14 【分析】 结合题意，根据基本不等式可得，，，从而化简得，即可求出的最大值. 【详解】 解：由于，且实数满足， 则由基本不等式得：，，， 即：，，， 所以， 当且仅当，时取“=”， 所以的