精品解析：宁夏长庆高级中学2025-2026学年第一学期高一年级期中考试数学试卷

宁夏长庆高级中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期中试卷 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”成立的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分又不必要 4. 如图，是函数的图象上的三点，其中，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 函数为定义在上的偶函数，且对任意都有，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 定义为中的最大值，设，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 二、多选题：本题共3小题，共18分.双选一个3分，三选一个2分，有错选不得分. 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是 （ ） A. B. C. D. 10. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 对于任意的表示不超过的最大整数.在十八世纪被“数学王子”高斯采用，称[x]为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.则下列说法正确的是（ ） A. B. 对任意的，都有 C. 不等式的解集为 D. 对任意的，则不超过的所有正实数中，是的倍数的数共有个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则的最小值是______. 13. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则________． 14. 给出下列五个命题，其中正确命题的序号是________（填上所有正确命题的序号）. ①奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点； ②的单调递减区间为； ③函数满足，且，则； ④若函数的定义域为，则函数的定义域为； ⑤函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算求值： （1） （2）若 ，求 的值. 16. 已知全集 ，集合 ，. （1）若 ，求，； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知幂函数（ 为常数）的图象经过点. （1）求的解析式； （2）判断的奇偶性并进行证明； （3）设，判断在区间上的单调性，并用单调性定义证明你的结论. 18. 为实现节能减排，绿色生态的目标，某单位进行技术攻关，采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理总成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元． （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月处理量为多少吨时，每月的总获利最大，并求这个最大获利值． 19. 已知二次函数满足，； （1）求的解析式； （2）若存在，使得成立，求实数m的取值范围； （3）记： ①当的定义域为（）时，值域为，求实数c的取值范围； ②若，设函数在区间上的最小值为，求的表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏长庆高级中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期中试卷 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用并集概念计算即可. 【详解】，，则. 故选：A. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】直接用特称（存在）量词写出命题的否定即可. 【详解】因为全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题， 所以命题“，”的否定是“，”. 故选：A 3. “”是“”成立的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分又不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据小范围推大范围即可判断. 【详解】由小范围推大范围可知为充分不必要条件. 故选：A. 4. 如图，是函数的图象上的三点，其中，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象先计算出的值，然后再计算出的值. 【详解】由图象可知，所以， 故选：D. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据被开方数不小于0计算定义域即可． 【详解】由解得，故的定义域为． 6. 一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合一元二次不等式的定义，利用二次函数恒小于0的条件建立不等式求解的取值范围. 【详解】要使对一切实数恒成立， 则对应的二次函数图象开口向下，且与轴无交点，因此：， ， 解得， 结合，可得的取值范围为. 7. 函数为定义在上的偶函数，且对任意都有，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由函数为定义在上的偶函数可得，然后利用的单调性可得答案. 【详解】因为函数为定义在上的偶函数， 所以 因为对任意都有，即有在上单调递减 所以 故选：B 8. 定义为中的最大值，设，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意画出的图象，再根据图象即可得到的最小值. 【详解】分别画出，，的图象， 则函数的图象为图中实线部分. 由图知：函数的最低点为，，解得. 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】本题主要考查根据函数的图象求函数的最值，考查了数形结合的思想，属于中档题. 二、多选题：本题共3小题，共18分.双选一个3分，三选一个2分，有错选不得分. 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据幂函数的性质即可判断ABC，根据偶函数的定义和一次函数单调性即可判断D. 【详解】对AC，根据幂函数性质知，均为奇函数，故AC错误； 对B，为偶函数，且其在区间上单调递增，故B正确； 对D，，其定义域为，关于原点对称，且，故为偶函数， 当时，，则其在上单调递增，故D正确； 故选：BD. 10. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的性质、差比较法判断出正确答案. 【详解】A选项，若，则，所以A选项错误. B选项，若，则，所以B选项正确. C选项，若，， 则，， 则，所以C选项正确. D选项，若，， 所以，所以D选项正确. 故选：BCD 11. 对于任意的表示不超过的最大整数.在十八世纪被“数学王子”高斯采用，称[x]为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.则下列说法正确的是（ ） A. B. 对任意的，都有 C. 不等式的解集为 D. 对任意的，则不超过的所有正实数中，是的倍数的数共有个 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据高斯函数的含义可判断AB；解得不等式的解，即可确定，结合高斯函数的含义即可判断C；根据，则可得，由此可判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，设x的小数部分为，则， 则，B正确； 对于C，结可得， 由于为整数，故，则， 即不等式的解集为，C正确； 对于D，因为，则， 则是所有不超过x的所有正实数中n的倍数，共有个，D正确， 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则的最小值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】将代入目标式子，由基本不等式解答，注意一正二定三相等. 【详解】，且， . 当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 13. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则________． 【答案】-2 【解析】 【分析】由奇函数的性质求解即可； 【详解】由题意可得， 又当时，， 所以， 所以， 故答案为：-2. 14. 给出下列五个命题，其中正确命题的序号是________（填上所有正确命题的序号）. ①奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点； ②的单调递减区间为； ③函数满足，且，则； ④若函数的定义域为，则函数的定义域为； ⑤函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为. 【答案】③⑤ 【解析】 【详解】对①，因为函数为奇函数，但该函数的图象不经过原点，故①错误； 对②，由或，所以函数的定义域为，该函数的单调区间一定是函数定义域的子集，但集合不是函数定义域的子集，所以不是该函数的单调递减区间.故②错误； 对③，由已知条件，，，故③正确； 对④，由，所以函数的定义域为.故④错误； 对⑤，函数在区间上是减函数，则或或， 得或或，综合可得实数的取值范围为.故⑤正确. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算求值： （1） （2）若 ，求 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质计算. （2）将已知等式两侧平方，化简计算即可. 【小问1详解】 因为，，，， 故原式. 【小问2详解】 由，等式两侧同时平方可得：， 即，故. 16. 已知全集 ，集合 ，. （1）若 ，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的运算法则求交集和补集. （2）先判断两集合的关系，分和讨论，可得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 又， 所以，或. 【小问2详解】 由得. 若，则.此时； 若，即，由得，该不等式组无解. 综上可得，实数的取值范围为. 17. 已知幂函数（ 为常数）的图象经过点. （1）求的解析式； （2）判断的奇偶性并进行证明； （3）设，判断在区间上的单调性，并用单调性定义证明你的结论. 【答案】（1） （2）是偶函数，证明如下： 因为的定义域为，且， 所以是偶函数； （3）在区间上单调递增，证明如下： ， 任取，且，则，， 则， 即， 则在区间上单调递增. 【解析】 【小问1详解】 由题意得，，得，则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 为实现节能减排，绿色生态的目标，某单位进行技术攻关，采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理总成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元． （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月处理量为多少吨时，每月的总获利最大，并求这个最大获利值． 【答案】（1）该单位每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. （2）该单位每月处理量为吨时，每月的总获利最大，为元. 【解析】 【分析】（1）根据基本（均值）不等式可求最小值，并确定对应的的值. （2）列出函数解析式，根据二次函数的性质求最大值. 【小问1详解】 因为（当且仅当时取“”）. 所以该单位每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 【小问2详解】 设该单位每月处理吨时，获得的利润为， 则. 所以当时，最大，为：. 故该单位每月处理量为吨时，每月的总获利最大，为元. 19. 已知二次函数满足，； （1）求的解析式； （2）若存在，使得成立，求实数m的取值范围； （3）记： ①当的定义域为（）时，值域为，求实数c的取值范围； ②若，设函数在区间上的最小值为，求的表达式． 【答案】（1）； （2）； （3）①；②． 【解析】 【分析】（1）由已知可得，函数为二次函数，利用待定系数法求解函数解析式； （2）通过分离参数可得不等式能成立问题，利用参数与函数的最小值的大小关系计算取值范围； （3）根据的解析式判断函数单调性，根据单调性确定参数取值范围以及最小值的表达式． 【小问1详解】 因为为二次函数，故设； 因为，； 可得，解得； 则； 【小问2详解】 因为存在，使得， 则在上能成立，即； 令，则； 因为，的对称轴为； 故，故， 实数m的取值范围为； 【小问3详解】 由可得； ①因为的对称轴为，故在上单调递增； 当的定义域为（）时，值域为， 故，； 即方程有2个不相等的正根， 故，故； 综上实数c的取值范围为； ②由题意可知，函数在区间上的最小值为； 当，解得时，在区间上单调递减， 此时； 当，解得时，在区间上先减后增， 此时； 当时，在区间上单调递增， 此时； 综上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $