专题03 函数的概念及应用（期中真题汇编，陕晋青宁专用）高一数学上学期

专题03 函数的概念及应用 3大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 幂函数 考点03 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．（25-26学年高一上·宁夏灵武第一中学·期中）（多选）下列图象中，能够表示函数关系的有（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·青海西宁青海师范大学附属实验中学·期中）下列各组函数表示相同函数的是（       ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3．（25-26学年高一上·青海西宁青海师范大学附属实验中学·期中）已知函数，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·陕西神木中学·期中）若函数，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·陕西宝鸡渭滨中学·期中）已知，则（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6．（25-26学年高一上·陕西镇安中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·陕西镇安中学·期中）已知函数的图像经过点（5，4），则实数的值为（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8．（25-26学年高一上·山西阳泉第一中学校·期中）下列各选项中的两个函数为同一函数的是（       ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 9．（25-26学年高一上·青海海东第二中学·期中）（多选）各组函数中，表示同一个函数的是（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10．（25-26学年高一上·陕西榆林·期中）下列四组函数中表示同一个函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·宁夏灵武第一中学·期中）下列四个函数中，与表示同一个函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·宁夏灵武第一中学·期中）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·青海西宁青海师范大学附属实验中学·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（       ） A. 函数的定义域为R B. 函数的值域为 C.  D. 函数为减函数 14．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区固原第一中学·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 与 15．（25-26学年高一上·陕西西安中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·山西太原·期中）函数的定义域是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）（多选）下列各组函数中，表示的是同一函数的有（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 18．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·陕西宝鸡渭滨中学·期中）已知集合，集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）如图所示是函数的图象，则下列说法正确的是（     ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 此函数在定义域上不单调 D. 对于，都有唯一的自变量与之对应 21．（25-26学年高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）已知函数，则（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 22．（25-26学年高一上·宁夏回族自治·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高一上·宁夏回族自治·期中）下列各组函数中，表示同一函数的是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 24．（25-26学年高一上·陕西西安远东第一中学·期中）已知函数，则（     ） A.  B.  C. 2 D. 1 25．（25-26学年高一上·陕西西安高新第一中学·期中）下列函数中与函数是同一函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年高一上·陕西延安实验中学·期中）下列各组函数是同一个函数的是（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 27．（25-26学年高一上·陕西延安实验中学·期中）设，则（       ） A. 2.5 B. 2 C. 1 D. 5 28．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区银川第二中学·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 29．（25-26学年高一上·宁夏吴忠盐池中学·期中）（多选）下列各组函数中是同一个函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年高一上·山西大学附属中学校·期中）（多选）下列说法中正确的有（    ） A. 与表示同一个函数 B. 若命题“”是真命题，则的取值范围为 C. 命题p: “， ”的否定是: “， ” D. 函数的图象与直线的交点最多有1个 31．（25-26学年高一上·山西大学附属中学校·期中）若函数的定义域为，则的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年高一上·陕西神木中学·期中）（多选）下列四组函数中，表示同一个函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  33．（25-26学年高一上·山西大同第一中学校·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A.  B.  C.  D.  34．（25-26学年高一上·陕西宝鸡渭滨中学·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 函数满足，则 35．（25-26学年高一上·山西阳泉第一中学校·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 已知，则； B. 已知，则； C. 已知一次函数满足，则； D. 定义在上的函数满足，则 36．（25-26学年高一上·陕西西安远东第一中学·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  37．（25-26学年高一上·山西大学附属中学校·期中）已知函数， 则的值为　　　　　　　　　. 38．（25-26学年高一上·山西阳泉第一中学校·期中）设函数，则　　　　　　． 39．（25-26学年高一上·青海海东第二中学·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为　　　　　　． 40．（25-26学年高一上·宁夏吴忠盐池中学·期中）已知，函数若，则　　　　　　　　　　　. 41．（25-26学年高一上·宁夏灵武第一中学·期中）已知，则　　　　　　　　. 42．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）已知函数，且，则　　　　　　　　． 43．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）求下列函数的解析式． （1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求． 44．（25-26学年高一上·陕西山阳中学·期中）函数的定义域为　　　　　　． 45．（25-26学年高一上·陕西宝鸡渭滨中学·期中）已知，则的值为　　　　　　　　　　　． 46．（25-26学年高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）函数的定义域是　　　　　　． 47．（25-26学年高一上·陕西西安远东第一中学·期中）已知函数的值域为　　　　　　　　. 48．（25-26学年高一上·陕西榆林·期中）函数的定义域为　　　　　　　　　　　． 49．（25-26学年高一上·宁夏吴忠盐池中学·期中）函数的定义域为　　　　　　． 50．（25-26学年高一上·陕西师范大学附属中学·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为　　　　　　　　　 51．（25-26学年高一上·陕西山阳中学·期中）已知 （1）求； （2）若，求a的值； （3）若其图像与y=b有三个交点，求b的取值范围. 52．（25-26学年高一上·宁夏六盘山高级中学·期中）如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的出入口，已知旧墙的维修费用为56 元，新墙的造价为200元，设利用旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. （1）求关于的函数表达式； （2）当时，求总费用； （3）试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 53．（25-26学年高一上·陕西延安实验中学·期中）若函数的定义域是，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　　． 54．（25-26学年高一上·陕西延安实验中学·期中）若，则的解析式为　　　　　　　　　　　． 考点02 幂函数 1．（25-26学年高一上·宁夏回族自治·期中）幂函数(m∈Z)的图象如图所示，则实数m的值为（       ） A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 2．（25-26学年高一上·青海西宁青海师范大学附属实验中学·期中）已知幂函数在上单调递减，则（       ） A. 2 B. 16 C.  D.  3．（25-26学年高一上·陕西山阳中学·期中）若幂函数图象过点，且，则的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（     ） A. 1 B. -3 C. -4 D. 1或-3 5．（25-26学年高一上·青海海东第二中学·期中）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（       ） A. 增函数 B. 减函数 C. 奇函数 D. 偶函数 6．（25-26学年高一上·陕西榆林·期中）（多选）下列函数中，在区间上单调递减的有（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·宁夏吴忠盐池中学·期中）已知幂函数在区间上是单调递增函数，则实数的值是（       ） A. -1或4 B. 4 C. -1 D. 1或4 8．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区固原第一中学·期中）（多选）已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（       ） A. 函数为增函数 B. 函数为偶函数 C. 若，则 D. 若，则 9．（25-26学年高一上·陕西咸阳实验中学·期中）已知幂函数是奇函数，则的值是（     ） A. 3 B.  C. 3或 D.  10．（25-26学年高一上·山西太原·期中）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（     ） A.  B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 11．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·山西阳泉第一中学校·期中）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·宁夏六盘山高级中学·期中）（多选）已知幂函数图象经过点，则下列命题正确的有（       ） A. 函数为增函数 B. 函数为偶函数 C. 若，则 D. 若，则. 14．（25-26学年高一上·宁夏自治区银川唐徕中学·期中）幂函数的图像经过点，则　　　　　　　． 15．（25-26学年高一上·陕西神木中学·期中）已知幂函数在上单调递增. （1）求的解析式； （2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围. 16．（25-26学年高一上·山西大同第一中学校·期中）已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是　　　　　　． 17．（25-26学年高一上·青海海东第二中学·期中）已知幂函数为偶函数. （1）求的值； （2）若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 18．（25-26学年高一上·陕西榆林·期中）已知幂函数的图象经过第三象限． （1）求的解析式； （2）求不等式的解集． 19．（25-26学年高一上·宁夏吴忠盐池中学·期中）已知幂函数的图象过点. （1）求的值； （2）求在区间上的最大值； （3）设函数，判断的奇偶性. 20．（25-26学年高一上·陕西镇安中学·期中）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. （1）求的值； （2）求函数的解析式； （3）解不等式. 21．（25-26学年高一上·陕西延安实验中学·期中）已知幂函数在上单调递增，且其图象经过点． （1）求的解析式； （2）若，用定义法证明：函数在上单调递增． （3）若，求函数在区间上的值域． 考点03 函数的应用（一） 1．（25-26学年高一上·陕西榆林·期中）为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过400m3的部分 2.50元/m3 超过400m3但不超过600m3的部分 3.60元/m3 超过600m3的部分 4.50元/m3 若某户居民一年的天然气费为1360元，则此户居民这一年使用的天然气为（     ） A. 610m3 B. 600m3 C. 544m3 D. 500m3 2．（25-26学年高一上·陕西延安实验中学·期中）某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（       ） A. 当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 B. 当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 C. 当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 D. 当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 3．（25-26学年高一上·山西大同第一中学校·期中）某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费　　　　　　　　元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了　　　　　　　　千米． 4．（25-26学年高一上·青海西宁青海师范大学附属实验中学·期中）实行垃圾分类，保护生态环境，促进资源再利用.某企业新建了一座垃圾回收工厂，在2021年年初用98万元购进一套垃圾回收分类生产设备，并投入生产.该设备可为企业每年创收50万元，已知该设备使用年的维修保养总费用为万元，相应的盈利总额（纯利润）为万元. （1）写出与之间的函数解析式，并求从哪年（2021年为第一年）开始，该设备开始盈利（盈利总额为正）； （2）使用若干年后，对设备的处理方案有以下两种： 方案一，当年平均盈利额（年平均盈利额盈利总额使用年限）达到最大值时，以30万元价格卖掉该设备； 方案二，当盈利总额达到最大值时，以12万元价格卖掉该设备自设备投入到卖掉处理，从总利润和效益上看，该企业应选用哪种方案处理？请说明你的理由. 5．（25-26学年高一上·陕西咸阳实验中学·期中）当前，机器人产业蓬勃发展，正极大改变着人类生产和生活方式，为经济社会发展注入强劲动能.某动力电池生产企业为提高产能，计划投入6300万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后的前年，设备维护成本共万元.每年电池销售收入为6700万元，设使用该批智能机器人后，前x年的总盈利额为y万元. （1）写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围； （2）使用若干年后，对该批智能机器人的处理方案有两种. 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以4800万元的价格处理.问哪种方案更合理?并说明理由. 6．（25-26学年高一上·山西太原·期中）某蛋糕店销售一种蛋糕.蛋糕店每日的固定成本为900元，每个蛋糕的制作成本是20元.该种蛋糕的日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）满足.假设每日生产的蛋糕全部售完. （1）将每日利润表示为销售单价的函数； （2）当销售单价为多少元时，蛋糕店每日利润最大？其最大利润是多少元？ （3）当销售单价为多少元时，蛋糕店每个蛋糕的平均利润最大？并求出其最大值. 7．（25-26学年高一上·陕西山阳中学·期中）2024年10月29日，小米SU7Ultra量产版正式面世，代表了我国新能源汽车的蓬勃发展.如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）该型车辆，扣除制造车辆的成本后获利（万元），关系如下：，该公司预计2024年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2024年的全年利润为（单位：万元）. （1）求函数的解析式； （2）当2024年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 8．（25-26学年高一上·陕西宝鸡渭滨中学·期中）随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少? 9．（25-26学年高一上·宁夏回族自治·期中）如图，某市市政部门要在矩形区域上规划出一块矩形地块建造儿童游乐中心.为了保护绿化，游乐场不能超越四个全等直角三角形的绿化区域边界，其中为的边界.由实地测量知，，，，.点在线段上，设的长度为，矩形地块的面积为.    （1）若为线段的中点，求及的值； （2）试用的式子表示，并求的取值范围； （3）求矩形地块面积的最大值. 10．（25-26学年高一上·宁夏吴忠盐池中学·期中）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明：讲课开始时，学生注意力集中度的值（的值越大，表示学生的注意力越集中）与x的关系如下： （1）讲课开始时和讲课开始时比较，何时学生的注意力更集中？ （2）讲课开始多少分钟时，学生的注意力最集中，能持续多久？ （3）一道数学难题，需要讲解，并且要求学生的注意力集中度至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？请说明理由. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念及应用 考点01 函数的概念及其表示 考点02 幂函数 考点03 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．AD 2．C 3．B 4．B 5．C 6．B 7．C 8．B 9．AC 10．A 11．D 12．D 13．ABC 14．C 15．C 16．C 17．BCD 18．A 19．B 20．C 21．B 22．C 23．C 24．C 25．D 26．D 27．A 28．ACD 29．CD 30．ACD 31．D 32．ACD 33．B 34．ACD 35．ABD 36．C 37．【答案】3 【分析】 利用分段函数的解析式直接计算即可求解. 【详解】 因为 ，所以. 故答案为：. 38．【答案】 【分析】 根据给定的分段函数，分段判断并代入求值. 【详解】 函数 ，则， 所以. 故答案为： 39．【答案】 【分析】 这是由复合函数的定义域求函数的定义域，转化为求内层函数的值域问题即可. 【详解】 由函数的定义域为，得， 令，则，所以的定义域为， 故的定义域为. 故答案为：. 40．【答案】2 【分析】 由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值. 【详解】 ，故， 故答案为：2. 41．【答案】 【分析】 用换元法，设，解出，再将换成即可. 【详解】 令，则，∴，即. 故答案为：. 42．【答案】6 【分析】 根据代入解得，即可得，进而代入求. 【详解】 因为函数，且， 可知，且，解得， 所以， 由有意义可得， 所以． 故答案为：6. 43．【答案】（1）     （2）．      【分析】 （1）令，求出后代入即可得； （2）设，代入已知等式，由恒等式知识求解． (1) 小问详解： 令，则， 于是有，所以； (2) 小问详解： 设， 所以 ，解得 ，所以． 44．【答案】 【分析】 由函数式有意义列不等式组求解． 【详解】 由题意 ，解得且， 故答案为：． 45．【答案】 【分析】 对于函数表达式进行赋值即可求解． 【详解】 依题意，令，得， 得， 故答案： 46．【答案】 【分析】 由根式和分式的意义可得. 【详解】 ，且，得且， 故函数的定义域是. 故答案为： 47．【答案】 【分析】 由题意可得，再由幂函数的性质求解即可. 【详解】 因为，所以，所以， 又，所以， 所以函数的值域为. 故答案为： 48．【答案】 【分析】 根据根式和分式的性质即可求解. 【详解】 由解析式知 ，解得且，则定义域为. 故答案为： 49．【答案】 【分析】 根据求定义域的法则求解. 【详解】 要使函数有意义， 需满足 ，即 ， 则函数的定义域为， 故答案为：. 50．【答案】 【详解】由题意得，所以定义域为 51．【答案】（1）3（2）12（3） 【分析】 （1）根据分段函数解析式直接求解； （2）根据函数解析式，分段讨论，解方程即可； （3）作出函数图象，数形结合即可. 【详解】 （1） ， ， （2）当时，， 当时，， 解得， 综上， （3）作出 的图象，如图， 由图象可知，当时，与y=b有三个交点. 52．【答案】（1）     （2）     （3），最小总费用是12200元      【分析】 （1）总费用包括维修费用和新墙费用，旧墙长度为，新墙长度为，乘单价后相加得到总费用； （2）将代入，得到的值； （3）由基本不等式求得最值. (1) 小问详解： 设利用旧墙的长度为，则另一边长为， 所以新墙总长度为， 则 ， 故. (2) 小问详解： 由（1）知，， 所以当时，. (3) 小问详解： 因为，所以，由基本不等式有， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故当利用旧墙的长度为时，修建此矩形场地的总费用最小，最小总费用是12200元. 53．【答案】 【分析】 根据函数的定义域及分式、根式的性质，将问题化为在上恒成立，即可求参数范围. 【详解】 由题意，在上恒成立，显然时恒成立， 当，则 ，可得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 54．【答案】 【分析】 利用换元法求函数解析式. 【详解】 设，则，且. 所以，. 所以. 故答案为： 考点02 幂函数 1．C 2．D 3．B 4．A 5．D 6．ACD 7．B 8．ACD 9．A 10．BD 11．A 12．B 13．ACD 14．【答案】 【详解】本题首先可以根据函数是幂函数设函数解析式为，然后带入点即可求出的值，最后得出结果。 【详解】因为函数是幂函数， 所以可设幂函数， 带入点可得，解得， 故幂函数，即， 答案为。 【点睛】本题考查函数解析式的求法，考查对幂函数的性质的理解，可设幂函数解析式为，考查计算能力，是简单题。 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据幂函数的定义与单调性可得出关于的等式与不等式，即可解得的值，即可得出函数的解析式； （2）根据二次函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. (1) 小问详解： 因为幂函数在上单调递增， 由题意得 ，解得，故. (2) 小问详解： 因为，函数的图象对称轴为， 因为在上不是单调函数，所以，解得. 故实数的取值范围为. 16．【答案】 【详解】 由已知得，解得，所以在区间上单调递增，则． 17．【答案】（1）2；     （2）      【分析】 （1）根据幂函数的定义可得或，再根据奇偶性可得； （2）利用二次函数单调性列不等式，可得解. (1) 小问详解： 由幂函数的定义，有，解得或， ① 当时，，函数为奇函数，不合题意； ② 当时，，函数为偶函数，满足题意； 由上知，实数的值为2. (2) 小问详解： 由（1）知，，有， 又由函数的对称轴方程为. 若函数在区间上单调，有或. 可得或. 故实数的取值范围为. 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据幂函数的定义和性质即可求解， （2）由幂函数的单调性即可求解. (1) 小问详解： 因为幂函数，所以，解得或． 当时，，此时的图象经过第三象限，符合题意； 当时，，此时的图象不经过第三象限，不符合题意． 故． (2) 小问详解： 因为，所以不等式等价于， 又为增函数，所以，解得， 所以原不等式的解集为． 19．【答案】（1）     （2）     （3）为奇函数.      【分析】 （1）根据幂函数的知识求得的解析式，进而求得. （2）根据函数的单调性来求得最大值. （3）根据函数的奇偶性的定义进行判断. (1) 小问详解： 设幂函数，因为的图象过点， 所以，得.所以.所以. (2) 小问详解： 因为， 所以在区间上单调递增. 所以在区间上的最大值为. (3) 小问详解： 因为函数， 所以. 因为的定义域为， 所以. 所以为奇函数. 20．【答案】（1）或     （2）或     （3）      【分析】 （1）根据是幂函数，得到，求出的值； （2）由是偶函数和在上单调递增，得到并且为偶数求解. （3）根据是偶函数且在上递增，转化为求解. (1) 小问详解： 因为为幂函数， 所以，解得或； (2) 小问详解： 由（1）可知， 又在上单调递增， 所以，解得， 又，所以、、或， 又是偶函数，所以为偶数， 当时，满足条件； 当时，满足条件； 当时，满足条件； 当时，满足条件； 所以或； (3) 小问详解： 因为是偶函数且在上递增， 所以可化为， 即， 所以或． 所以的范围是． 21．【答案】（1）；     （2） 由图象经过点，即，解得，而，所以， 设，则 ， 因为，所以，，则， 所以，即，故函数在上单调递增；     （3）.      【分析】 （1）根据函数为幂函数及区间单调性求参数值，即可得； （2）由题设及（1）得，利用单调性的定义证明即可； （3）由题设，结合二次函数的性质求区间的值域. (1) 小问详解： 因为是幂函数，所以，即，解得或， 又在上单调递增，所以，故，所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）知，所以， 的图象是开口向上的抛物线，对称轴为， 在区间上，在上单调递减，在上单调递增， ， ， ， 所以在区间上的值域为. 考点03 函数的应用（一） 1．D 2．D 3．【答案】① 14.59    ② 9 【分析】 根据条件列出关系式，分别代入求解即可. 【详解】 设出租车行驶x千米时，付费y元， 则y＝ 当x＝5.6时，y＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元)． 由y＝22.6，知x>8， 由8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6， 解得x＝9. 故答案为：14.59；9. 4．【答案】（1），，2023年     （2）应选用方案一，理由如下： 方案一：年平均盈利额， 当且仅当时，即当时，上式等号成立， 故到2027年，该设备的年平均盈利额达到最大值， 此时卖掉此设备后，该企业可获得的总利润为； 方案二：盈利总额， 当时，取最大值，故到2030年，该设备的盈利总额达到最大值102， 此时卖掉此设备后，该企业可获得的总利润为； 因为两种方案企业获得的总利润相同，而方案一用时较短，故应选用方案一.      【分析】 （1）根据题意可得解析式以及列不等式，即可求解； （2）方案一运用基本不等式可求得总利润，方案二运用二次函数求得最值，综合比较可求得结果. (1) 小问详解： 由题意得，， 令，则， ，， 故从2023年开始，该设备开始盈利； (2) 小问详解： 略 5．【答案】（1）；     （2） 方案一：总盈利额， 当时，， 若此时处理掉智能机器人，总盈利为万元； 方案二：年平均盈利额（万元）， 当且仅当时，年平均盈利额最大，若此时处理掉智能机器人， 总盈利为万元. 两方案总利润都是13200万元，但方案二用时更短，则方案二更合理.      【分析】 （1）根据销售总收入和成本，列出函数关系式即可； （2）利用二次函数的性质求出方案一的总盈利，结合基本不等式求出方案二的总盈利，然后比较，即可得到结果. (1) 小问详解： 由题意，. (2) 小问详解： 略 6．【答案】（1），     （2）当销售单价为60元时，每日的利润最大，最大利润是700元     （3），最大值20      【分析】 （1）由题意即可直接求解； （2）由（1）结合二次函数单调性即可求解； （3）由（1）得到，再由基本不等式即可求解. (1) 小问详解： 由题意得，. (2) 小问详解： 由（1）得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，取得最大值700， 所以，当销售单价为60元时，每日的利润最大，最大利润是700元. (3) 小问详解： 由（1）得 ， 当且仅当， 即当元时，取得最大值20元. 7．【答案】（1）     （2）当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元.      【分析】 （1）根据给定的信息，由求出解析式即得. （2）按分段求出最大值，再比较大小即得. (1) 小问详解： 依题意，，而 ， 所以函数的解析式为 ， 即 . (2) 小问详解： 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，； 当时， ，当且仅当，即时取等号， 而，则当时，， 所以当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元. 8．【答案】（1）     （2）35（台），最大利润为2050（万元）．      【分析】 （1）根据投入成本及销售收入写出利润函数即可； （2）根据（1）中所求的函数解析式，结合函数单调性和基本不等式，即可直接求得结果. (1) 小问详解： 由题意可得 ， 所以 ． (2) 小问详解： 当时，，对称轴方程， 且二次函数开口向下，故当时，取最大值，（万元）； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，即（万元）， 因为， 故当该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元）． 9．【答案】（1），.     （2），     （3）      【分析】 （1）延长交于，若为线段的中点，则为线段的中点，结合三角形的性质，以及矩形的面积公式，求及的值； （2）设的长度为，结合三角形相似的几何性质，以及矩形的面积公式，用的式子表示，从而得所求； （3）根据与的关系，利用二次函数或者基本不等式求解最值即可得结论. (1) 小问详解： 延长交于，    若为线段的中点，则为线段的中点， ，， 由得， 又， 所以， 所以矩形的面积为； (2) 小问详解： 因为点在线段上，的长度为，则， 则， 因为，所以，得， 则， 所以矩形的面积， 综上， 答：矩形地块的面积，. (3) 小问详解： 方法一：由（2）得， 因为，所以当时，取最大值， 答：时，矩形地块面积的最大值为； 方法二：由（1）得， 因为，所以， 由基本不等式，得， 当且仅当，即时，等号成立， 答：时，矩形地块面积的最大值为. 10．【答案】（1）讲课开始后5min学生注意力更集中     （2）开讲10分钟后，学生的接受能力最强（为，能维持6分钟     （3）不能，理由如下： 当时，令，解得或20（舍去）； 当时，令，解得， 可得学生一直达到所需接受能力 55的状态的时间， 因此老师不能及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．      【分析】 （1）由题意得，，即可得到答案； （2）分析函数的单调性，根据函数单调性求函数最值，即可求出； （3）分别求解当和时，不等式的解集，求出满足条件的时长，即可得到结论. (1) 小问详解： 由题意得，， 所以讲课开始后5min学生注意力更集中. (2) 小问详解： 当时，， 在时单调递增，最大值为． 当时，；当时，函数为减函数，且． 因此开讲10分钟后，学生的接受能力最强（为，能维持6分钟． (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念及应用 3大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 幂函数 考点03 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．（25-26学年高一上·宁夏灵武第一中学·期中）（多选）下列图象中，能够表示函数关系的有（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】AD 【分析】 根据函数的定义判断即可. 【详解】 根据函数的定义，对于定义域内任意，都有且仅有唯一的函数值与其相对应，故满足函数关系的有AD. 故选：AD 2．（25-26学年高一上·青海西宁青海师范大学附属实验中学·期中）下列各组函数表示相同函数的是（       ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【分析】 根据函数的定义域及对应法则判断是否为同一函数即可. 【详解】 对于A，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故B错误； 对于C，函数 与 的定义域和对应法则都相同， 所以表示相同的函数, 故C正确； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故D错误. 故选：C. 3．（25-26学年高一上·青海西宁青海师范大学附属实验中学·期中）已知函数，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由分段函数的概念直接代入解析式计算即可. 【详解】 因为，， 所以. 故选：B. 4．（25-26学年高一上·陕西神木中学·期中）若函数，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据分段函数的定义及解析式直接计算. 【详解】 因为， 所以， 故选：B. 5．（25-26学年高一上·陕西宝鸡渭滨中学·期中）已知，则（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 根据自变量的范围选取相应的表达式计算． 【详解】 ， 故选：C 6．（25-26学年高一上·陕西镇安中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 解不等式组 即得解. 【详解】 由题得 ， 解之得且. 所以函数的定义域为. 故选：B 7．（25-26学年高一上·陕西镇安中学·期中）已知函数的图像经过点（5，4），则实数的值为（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【分析】 将点坐标代入函数解析式，解方程即可求出结果. 【详解】 由题意可得，解得， 故选：C. 8．（25-26学年高一上·山西阳泉第一中学校·期中）下列各选项中的两个函数为同一函数的是（       ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【分析】 利用函数三要素：定义域，对应关系，值域，可判断. 【详解】 对于选项 A：的定义域为，而的定义域为 ， 因两函数定义域不同，故不是同一函数，故A错误； 对于选项 B：，由，得 ，故定义域为 则（当 )， 而，显然函数定义域为 ，则， 因两函数的定义域均为 ，且对任意 ，均有 . 故两函数是同一函数，即B正确； 对于选项 C：，由 ，得 或 ，即 定义域为 ， 而，由  且 ，可得 ，即 定义域为 ， 两函数定义域不同，故不是同一函数，即C错误； 对于选项 D：，由 ，得 ，即定义域为 ， 而的定义域为，即两函数的定义域不同，故不是同一函数，即D错误. 故选：B 9．（25-26学年高一上·青海海东第二中学·期中）（多选）各组函数中，表示同一个函数的是（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AC 【分析】 利用相同函数的定义，逐项判断得解. 【详解】 对于A，函数与的定义域均为R，且，它们是同一个函数，A是； 对于B，函数与的定义域分别为R和，它们不是同一个函数，B不是； 对于C，函数与的定义域均为R，且，它们是同一个函数，C是； 对于D，函数与的定义域分别为R和，它们不是同一个函数，D不是. 故选：AC 10．（25-26学年高一上·陕西榆林·期中）下列四组函数中表示同一个函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据定义域和对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】 对于A, 的定义域均为,对应关系也相同，故为同一个函数，故A正确， 对于B, 的对应关系不相同，故不是同一个函数，故B错误， 对于C, 定义域为，的定义域为，故不为同一个函数，C错误， 对于D，的定义域为， 的定义域为，故不为同一个函数，D错误， 故选：A 11．（25-26学年高一上·宁夏灵武第一中学·期中）下列四个函数中，与表示同一个函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据函数相等的定义逐项判断即可. 【详解】 对于A，和的对应关系不相同，不是同一个函数，故选项A不符合； 对于B，和的对应关系不相同，不是同一个函数，故选项B不符合； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数.故选项C不符合； 对于D，函数的定义域和对应关系与都相同，是同一个函数.故选项D符合. 故选：D. 12．（25-26学年高一上·宁夏灵武第一中学·期中）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求出使函数有意义 的自变量范围． 【详解】 由 ，解得或． 用区间表示对应D选项. 故选：D． 13．（25-26学年高一上·青海西宁青海师范大学附属实验中学·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（       ） A. 函数的定义域为R B. 函数的值域为 C.  D. 函数为减函数 【答案】ABC 【分析】 根据指数幂运算性质，结合指数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】 A：因为，所以，因此函数的定义域为R，所以本选项说法正确； B：， 因为，所以， 因此函数的值域为，所以本选项说法正确； C：因为， 所以本选项说法正确； D：因为， 所以不满足减函数的定义，因此本选项说法不正确， 故选：ABC 14．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区固原第一中学·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 与 【答案】C 【分析】 根据同一函数的定义，结合选项，利用函数的定义域和对应法则，逐项判定，即可求解. 【详解】 对于A，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以函数与的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以A不符合题意； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以函数与的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以B不符合题意； 对于C，函数的定义域为，的定义域为，且， 可得函数与的定义域相同，且对应法则也相同， 所以两函数是同一函数，所以C符合题意； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以函数与的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以D不符合题意. 故选：C. 15．（25-26学年高一上·陕西西安中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】 由，得，所以 ，解得，或，所以函数的定义域为． 故选：C． 16．（25-26学年高一上·山西太原·期中）函数的定义域是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 应用根式、分式的性质求函数定义域. 【详解】 由解析式知 ，可得且，故定义域为. 故选：C 17．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）（多选）下列各组函数中，表示的是同一函数的有（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BCD 【分析】 根据同一函数定义域相同，对应关系一致讨论各选项即可. 【详解】 解：对于A，的定义域为，的定义域为，故不满足，错误； 对于B，与的定义域为，且，满足同一函数定义，正确； 对于C，与 的定义域为，且 ，满足同一函数定义，正确； 对于D，与定义域为，对应关系相同，满足同一函数定义，正确； 故选：BCD 18．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由有意义列不等式，解不等式可得函数的定义域. 【详解】 由有意义可得 ， 所以， 所以函数的定义域为， 故选：A. 19．（25-26学年高一上·陕西宝鸡渭滨中学·期中）已知集合，集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 解不等式得到集合中的具体范围，再求即得解 【详解】 集合， 则 故选：B 【点睛】 本题考查了解一元二次不等式、函数的定义域求解以及集合的运算，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于简单题 20．（25-26学年高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）如图所示是函数的图象，则下列说法正确的是（     ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 此函数在定义域上不单调 D. 对于，都有唯一的自变量与之对应 【答案】C 【分析】 根据函数的图象逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】 由图知，的定义域为，值域为，AB错误； 显然在、上单调递减，但在定义域上不单调，C正确； 显然时，对应自变量不唯一，D错误． 故选：C． 21．（25-26学年高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）已知函数，则（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】B 【分析】 直接由函数的定义代入计算即可. 【详解】 因为 ， 所以. 故选：B. 22．（25-26学年高一上·宁夏回族自治·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念构造不等式求解即可； 【详解】 由题意：要使有意义，则 解得，所以的定义域为． 故选：C 23．（25-26学年高一上·宁夏回族自治·期中）下列各组函数中，表示同一函数的是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 求出每个选项中两个函数的定义域，结合函数相等的定义逐项判断即可. 【详解】 对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为， 这两个函数的定义域不相同，A选项中的两个函数不相等； 对于B选项，对于函数，有 ，解得， 对于函数，有，解得或， 函数的定义域为，函数的定义域为， 这两个函数的定义域不相同，B选项中的两个函数不相等； 对于C选项，函数、的定义域均为， 且 ，C选项中的两个函数相等； 对于D选项，函数的定义域为，的定义域为， 这两个函数的定义域不相同，D选项中的两个函数不相等. 故选：C. 24．（25-26学年高一上·陕西西安远东第一中学·期中）已知函数，则（     ） A.  B.  C. 2 D. 1 【答案】C 【分析】 根据分段函数解析式运算求解即可. 【详解】 因为函数 ， 所以. 故选：C. 25．（25-26学年高一上·陕西西安高新第一中学·期中）下列函数中与函数是同一函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 依次判断各选项中函数的定义域和解析式，与已知函数均相同的即为结果. 【详解】 的定义域为； 对于A，的定义域为， 与解析式不同，A错误； 对于B，的定义域为与定义域不同，B错误； 对于C，的定义域为与定义域不同，C错误； 对于D，的定义域为，与解析式相同，D正确. 故选：D. 26．（25-26学年高一上·陕西延安实验中学·期中）下列各组函数是同一个函数的是（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【分析】 根据同一函数的定义域和对应法则相同依次判断各组函数是否为同一函数. 【详解】 A：的定义域为，的定义域为，故不是同一函数； B：的定义域为，的定义域为，故不是同一函数； C：的定义域为，的定义域为，故不是同一函数； D：由 ，显然与的定义域和对应法则都相同，故是同一函数. 故选：D 27．（25-26学年高一上·陕西延安实验中学·期中）设，则（       ） A. 2.5 B. 2 C. 1 D. 5 【答案】A 【分析】 借助分段函数性质计算即可得. 【详解】 ，则. 故选：A. 28．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区银川第二中学·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 【答案】ACD 【分析】 根据抽象函数的定义域可判断A选项，根据具体函数的定义域可判断B选项，直接法可得函数的值域，可判断C选项，消元法求函数解析式可判断D选项. 【详解】 A选项，对于，令，则，则， 所以，即的定义域为，A选项正确； 对于B，的定义域为，的定义域为，不是同一个函数，B选项不正确； 对于C，因为，所以，即函数的值域为，C选项正确； 对于D，由可得， 所以由 可得，D选项正确； 故选：ACD. 29．（25-26学年高一上·宁夏吴忠盐池中学·期中）（多选）下列各组函数中是同一个函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】CD 【分析】 根据函数的定义判断，即判断定义域与对应法则是否相同可得答案. 【详解】 由，得或，所以函数的定义域为或． 由 得，所以函数的定义域为． 两函数的定义域不同，不是同一个函数，故A错误； 函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故B错误； 函数的定义域为， 函数的定义域为，是同一个函数，故C正确； 函数的定义域为，函数的定义域为，且对应关系也相同，是同一个函数，故D正确. 故选：CD 30．（25-26学年高一上·山西大学附属中学校·期中）（多选）下列说法中正确的有（    ） A. 与表示同一个函数 B. 若命题“”是真命题，则的取值范围为 C. 命题p: “， ”的否定是: “， ” D. 函数的图象与直线的交点最多有1个 【答案】ACD 【分析】 利用相同函数的定义可判断A；分和两种情况求解可判断B；由存在量词的否定可判断C；由函数的定义可判断D. 【详解】 对于A： ， ， 故两函数表示同一个函数，故A正确； 对于B，当时，不等式为对恒成立； 当时，要使得不等式恒成立，则 ，解得， 综上，的取值范围为，故B错误； 对于C：命题p：“，”的否定是：“，”，故C正确； 对于D：若函数在处有定义，则的图象与直线的交点有1个， 若函数在处没有定义，则的图象与直线没有交点； 所以函数的图象与直线的交点最多有1个， 故选：ACD. 31．（25-26学年高一上·山西大学附属中学校·期中）若函数的定义域为，则的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用抽象函数的意义求出函数的定义域，进而求出目标函数的定义域. 【详解】 由函数的定义域为，得当时，， 因此在函数中，由函数有意义，得 ， 解得，所以的定义域为. 故选：D 32．（25-26学年高一上·陕西神木中学·期中）（多选）下列四组函数中，表示同一个函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 根据同一函数的概念，分别判定两个函数的定义域和对应法则，逐项判定，即可求解. 【详解】 对于A：两函数定义域相同，对应关系一样，是同一个函数，故A正确； 对于B：两函数的定义域不同，不是同一个函数，故B错误； 对于C：两函数定义域相同，对应关系一样，是同一个函数，故C正确； 对于D：要使函数的解析式有意义需满足 解得， 要使函数的解析式有意义需满足 解得. 所以两函数的定义域相同. 又因为, 所以两函数是同一个函数，故D正确. 33．（25-26学年高一上·山西大同第一中学校·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】根据已知可得函数的定义域需满足： , 解得， 即函数定义域为，故选B. 考点：求函数定义域 34．（25-26学年高一上·陕西宝鸡渭滨中学·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 函数满足，则 【答案】ACD 【分析】 根据抽象函数的定义域的求法求解可判断A；利用同一函数的定义判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域可判断C；利用方程组法求解函数解析式判断D. 【详解】 对于A，因为的定义域为， 对于函数，则，解得，即函数的定义域为，故A正确； 对于B，定义域为，定义域为R， 所以和不是同一个函数，故B错误； 对于C，令，则，， 所以 因为，所以在上单调递减，所以， 所以函数的值域为，故C正确； 对于D，因为① ， 所以② ， ②得③ ， ①③ 得，， 解得，故D正确； 故选：ACD. 35．（25-26学年高一上·山西阳泉第一中学校·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 已知，则； B. 已知，则； C. 已知一次函数满足，则； D. 定义在上的函数满足，则 【答案】ABD 【分析】 对于A，用替换中的 ，求出的解析式，即可判断；对于B，由题意可得，再由，即可得的解析式，即可判断；对于C，设，根据题意求出的值，即可判断；对于D，用替换中的，由两式中消去，可得的解析式，即可判断. 【详解】 解：对于A，因为， 所以，故正确； 对于B，因为， 因为， 所以，故正确； 对于C，设， 则， 所以 ，解得 或 ， 所以或，故错误； 对于D，因为定义在上的函数满足① ， 所以② ， 由①+② ，得， 所以，故正确. 故选：ABD. 36．（25-26学年高一上·陕西西安远东第一中学·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据抽象函数的定义域求解即可. 【详解】 函数的定义域为， 所以，则， 所以函数的定义域为. 故选：C. 37．（25-26学年高一上·山西大学附属中学校·期中）已知函数， 则的值为　　　　　　　　　. 【答案】3 【分析】 利用分段函数的解析式直接计算即可求解. 【详解】 因为 ，所以. 故答案为：. 38．（25-26学年高一上·山西阳泉第一中学校·期中）设函数，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据给定的分段函数，分段判断并代入求值. 【详解】 函数 ，则， 所以. 故答案为： 39．（25-26学年高一上·青海海东第二中学·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为　　　　　　． 【答案】 【分析】 这是由复合函数的定义域求函数的定义域，转化为求内层函数的值域问题即可. 【详解】 由函数的定义域为，得， 令，则，所以的定义域为， 故的定义域为. 故答案为：. 40．（25-26学年高一上·宁夏吴忠盐池中学·期中）已知，函数若，则　　　　　　　　　　　. 【答案】2 【分析】 由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值. 【详解】 ，故， 故答案为：2. 41．（25-26学年高一上·宁夏灵武第一中学·期中）已知，则　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 用换元法，设，解出，再将换成即可. 【详解】 令，则，∴，即. 故答案为：. 42．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）已知函数，且，则　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 根据代入解得，即可得，进而代入求. 【详解】 因为函数，且， 可知，且，解得， 所以， 由有意义可得， 所以． 故答案为：6. 43．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）求下列函数的解析式． （1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求． 【答案】（1）     （2）．      【分析】 （1）令，求出后代入即可得； （2）设，代入已知等式，由恒等式知识求解． (1) 小问详解： 令，则， 于是有，所以； (2) 小问详解： 设， 所以 ，解得 ，所以． 44．（25-26学年高一上·陕西山阳中学·期中）函数的定义域为　　　　　　． 【答案】 【分析】 由函数式有意义列不等式组求解． 【详解】 由题意 ，解得且， 故答案为：． 45．（25-26学年高一上·陕西宝鸡渭滨中学·期中）已知，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 对于函数表达式进行赋值即可求解． 【详解】 依题意，令，得， 得， 故答案： 46．（25-26学年高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）函数的定义域是　　　　　　． 【答案】 【分析】 由根式和分式的意义可得. 【详解】 ，且，得且， 故函数的定义域是. 故答案为： 47．（25-26学年高一上·陕西西安远东第一中学·期中）已知函数的值域为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意可得，再由幂函数的性质求解即可. 【详解】 因为，所以，所以， 又，所以， 所以函数的值域为. 故答案为： 48．（25-26学年高一上·陕西榆林·期中）函数的定义域为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据根式和分式的性质即可求解. 【详解】 由解析式知 ，解得且，则定义域为. 故答案为： 49．（25-26学年高一上·宁夏吴忠盐池中学·期中）函数的定义域为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据求定义域的法则求解. 【详解】 要使函数有意义， 需满足 ，即 ， 则函数的定义域为， 故答案为：. 50．（25-26学年高一上·陕西师范大学附属中学·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为　　　　　　　　　 【答案】 【详解】由题意得，所以定义域为 51．（25-26学年高一上·陕西山阳中学·期中）已知 （1）求； （2）若，求a的值； （3）若其图像与y=b有三个交点，求b的取值范围. 【答案】（1）3（2）12（3） 【分析】 （1）根据分段函数解析式直接求解； （2）根据函数解析式，分段讨论，解方程即可； （3）作出函数图象，数形结合即可. 【详解】 （1） ， ， （2）当时，， 当时，， 解得， 综上， （3）作出 的图象，如图， 由图象可知，当时，与y=b有三个交点. 52．（25-26学年高一上·宁夏六盘山高级中学·期中）如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的出入口，已知旧墙的维修费用为56 元，新墙的造价为200元，设利用旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. （1）求关于的函数表达式； （2）当时，求总费用； （3）试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 【答案】（1）     （2）     （3），最小总费用是12200元      【分析】 （1）总费用包括维修费用和新墙费用，旧墙长度为，新墙长度为，乘单价后相加得到总费用； （2）将代入，得到的值； （3）由基本不等式求得最值. (1) 小问详解： 设利用旧墙的长度为，则另一边长为， 所以新墙总长度为， 则 ， 故. (2) 小问详解： 由（1）知，， 所以当时，. (3) 小问详解： 因为，所以，由基本不等式有， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故当利用旧墙的长度为时，修建此矩形场地的总费用最小，最小总费用是12200元. 53．（25-26学年高一上·陕西延安实验中学·期中）若函数的定义域是，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据函数的定义域及分式、根式的性质，将问题化为在上恒成立，即可求参数范围. 【详解】 由题意，在上恒成立，显然时恒成立， 当，则 ，可得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 54．（25-26学年高一上·陕西延安实验中学·期中）若，则的解析式为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用换元法求函数解析式. 【详解】 设，则，且. 所以，. 所以. 故答案为： 考点02 幂函数 1．（25-26学年高一上·宁夏回族自治·期中）幂函数(m∈Z)的图象如图所示，则实数m的值为（       ） A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【分析】 由函数在(0，＋∞)上单调递减，可得m2－2m－3<0，从而可求出m的取值范围，再由图像可知此函数为偶函数，所以m2－2m－3为偶数，从而可求m的值 【详解】 函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3. ∵m∈Z，∴m＝0，1，2.而当m＝0或2时，f (x)＝x－3为奇函数，当m＝1时，f (x)＝x－4为偶函数．∴m＝1. 故选：C. 【点睛】 此题考查幂函数的图像和性质，属于基础题 2．（25-26学年高一上·青海西宁青海师范大学附属实验中学·期中）已知幂函数在上单调递减，则（       ） A. 2 B. 16 C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意列出方程组，求得m的值，即得函数解析式，代入求值可得答案. 【详解】 由题意得 ，解得， 所以，故, 故选：D 3．（25-26学年高一上·陕西山阳中学·期中）若幂函数图象过点，且，则的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由已知条件求出的知，分析函数在上的单调性，由可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】 由已知条件可得，解得，则， 所以，函数在上为增函数， 由可得，解得. 故选：B. 4．（25-26学年高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（     ） A. 1 B. -3 C. -4 D. 1或-3 【答案】A 【分析】 根据幂函数定义和函数单调性列出关于的方程和不等式即可求解. 【详解】 由题意可得 . 故选：A 5．（25-26学年高一上·青海海东第二中学·期中）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（       ） A. 增函数 B. 减函数 C. 奇函数 D. 偶函数 【答案】D 【分析】 根据幂函数的定义得进而得到函数，利用奇偶性的定义得到偶函数，再根据幂函数的性质以及奇偶性判断单调性即可. 【详解】 因为函数为幂函数，所以，得， 所以，定义域为， 因为， 所以在定义域内为偶函数，故C错误，D正确； 根据幂函数的性质知在单调递减， 又在定义域内为偶函数，所以在单调递增， 故A错误，B错误. 故选：D 6．（25-26学年高一上·陕西榆林·期中）（多选）下列函数中，在区间上单调递减的有（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 根据基本函数的单调性，即可结合选项逐一求解. 【详解】 对于A, 在单调递减，故A正确， 对于B, 在单调递增，故B错误， 对于C, 在单调递减，故C正确， 对于D, 在上，，故在单调递减，故D正确， 故选：ACD 7．（25-26学年高一上·宁夏吴忠盐池中学·期中）已知幂函数在区间上是单调递增函数，则实数的值是（       ） A. -1或4 B. 4 C. -1 D. 1或4 【答案】B 【详解】根据幂函数的定义与性质，列出 ,求出的值． 【详解】 幂函数在上是增函数 则 ，解得 故选：B 8．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区固原第一中学·期中）（多选）已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（       ） A. 函数为增函数 B. 函数为偶函数 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【分析】 根据幂函数所过点求解析式，进而判断其奇偶性、单调性，依次判断各项正误. 【详解】 由题设得，故，则定义域为，故为非奇非偶函数， 且在上单调递增，A对，B错， 当，则，C对； 当，则， 所以，即，D对. 故选：ACD 9．（25-26学年高一上·陕西咸阳实验中学·期中）已知幂函数是奇函数，则的值是（     ） A. 3 B.  C. 3或 D.  【答案】A 【分析】 由函数为幂函数求参数值，结合其奇偶性确定最终参数值. 【详解】 由函数为幂函数，则， 所以或，又为奇函数， 当，则为偶函数，不满足， 当，则为奇函数，满足， 综上，. 故选：A 10．（25-26学年高一上·山西太原·期中）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（     ） A.  B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 【答案】BD 【分析】 根据幂函数所过的点求得，即可判断A、B、C，再解不等式求解集判断D. 【详解】 令，则，得，故，则，A错； 所以函数的定义域为， 且为偶函数，B对； 在上单调递增，在上单调递减，C错； 由或，故的解集为，D对. 故选：BD 11．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据幂函数的图象和一次函数的图象求出的取值范围，即可进行判断. 【详解】 对于A，结合函数的图象得，结合的图象得 ，即，可能成立，故A正确； 对于B，结合函数的图象得，结合的图象得 ，即，两者矛盾，故B错误； 对于C，结合函数的图象得，结合的图象得 ，即，两者矛盾，故C错误； 对于D，结合函数的图象得，结合的图象得 ，无解，故D错误； 故选：A. 12．（25-26学年高一上·山西阳泉第一中学校·期中）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据一般幂函数、对数函数的奇偶性判断A、C；由奇偶性定义及幂函数的单调性判断B；由指数函数的单调性判断D. 【详解】 由为奇函数，为非奇非偶函数，A、C不符合， 由，则且定义域为，故为偶函数， 在上单调递减，B符合， 在上单调递增，D不符合. 故选：B 13．（25-26学年高一上·宁夏六盘山高级中学·期中）（多选）已知幂函数图象经过点，则下列命题正确的有（       ） A. 函数为增函数 B. 函数为偶函数 C. 若，则 D. 若，则. 【答案】ACD 【分析】 求出函数的解析式，根据幂函数的图像性质即可逐项求解. 【详解】 设幂函数（为实数），其图像经过点，，解得， ，其定义域为，且在上为增函数，A正确； 的定义域为，不具有奇偶性，所以B错误； 时，，选项C正确； 函数是上凸函数， 对定义域内任意的，都有成立，选项D正确. 故选：ACD. 14．（25-26学年高一上·宁夏自治区银川唐徕中学·期中）幂函数的图像经过点，则　　　　　　　． 【答案】 【详解】本题首先可以根据函数是幂函数设函数解析式为，然后带入点即可求出的值，最后得出结果。 【详解】因为函数是幂函数， 所以可设幂函数， 带入点可得，解得， 故幂函数，即， 答案为。 【点睛】本题考查函数解析式的求法，考查对幂函数的性质的理解，可设幂函数解析式为，考查计算能力，是简单题。 15．（25-26学年高一上·陕西神木中学·期中）已知幂函数在上单调递增. （1）求的解析式； （2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据幂函数的定义与单调性可得出关于的等式与不等式，即可解得的值，即可得出函数的解析式； （2）根据二次函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. (1) 小问详解： 因为幂函数在上单调递增， 由题意得 ，解得，故. (2) 小问详解： 因为，函数的图象对称轴为， 因为在上不是单调函数，所以，解得. 故实数的取值范围为. 16．（25-26学年高一上·山西大同第一中学校·期中）已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是　　　　　　． 【答案】 【详解】 由已知得，解得，所以在区间上单调递增，则． 17．（25-26学年高一上·青海海东第二中学·期中）已知幂函数为偶函数. （1）求的值； （2）若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 【答案】（1）2；     （2）      【分析】 （1）根据幂函数的定义可得或，再根据奇偶性可得； （2）利用二次函数单调性列不等式，可得解. (1) 小问详解： 由幂函数的定义，有，解得或， ① 当时，，函数为奇函数，不合题意； ② 当时，，函数为偶函数，满足题意； 由上知，实数的值为2. (2) 小问详解： 由（1）知，，有， 又由函数的对称轴方程为. 若函数在区间上单调，有或. 可得或. 故实数的取值范围为. 18．（25-26学年高一上·陕西榆林·期中）已知幂函数的图象经过第三象限． （1）求的解析式； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据幂函数的定义和性质即可求解， （2）由幂函数的单调性即可求解. (1) 小问详解： 因为幂函数，所以，解得或． 当时，，此时的图象经过第三象限，符合题意； 当时，，此时的图象不经过第三象限，不符合题意． 故． (2) 小问详解： 因为，所以不等式等价于， 又为增函数，所以，解得， 所以原不等式的解集为． 19．（25-26学年高一上·宁夏吴忠盐池中学·期中）已知幂函数的图象过点. （1）求的值； （2）求在区间上的最大值； （3）设函数，判断的奇偶性. 【答案】（1）     （2）     （3）为奇函数.      【分析】 （1）根据幂函数的知识求得的解析式，进而求得. （2）根据函数的单调性来求得最大值. （3）根据函数的奇偶性的定义进行判断. (1) 小问详解： 设幂函数，因为的图象过点， 所以，得.所以.所以. (2) 小问详解： 因为， 所以在区间上单调递增. 所以在区间上的最大值为. (3) 小问详解： 因为函数， 所以. 因为的定义域为， 所以. 所以为奇函数. 20．（25-26学年高一上·陕西镇安中学·期中）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. （1）求的值； （2）求函数的解析式； （3）解不等式. 【答案】（1）或     （2）或     （3）      【分析】 （1）根据是幂函数，得到，求出的值； （2）由是偶函数和在上单调递增，得到并且为偶数求解. （3）根据是偶函数且在上递增，转化为求解. (1) 小问详解： 因为为幂函数， 所以，解得或； (2) 小问详解： 由（1）可知， 又在上单调递增， 所以，解得， 又，所以、、或， 又是偶函数，所以为偶数， 当时，满足条件； 当时，满足条件； 当时，满足条件； 当时，满足条件； 所以或； (3) 小问详解： 因为是偶函数且在上递增， 所以可化为， 即， 所以或． 所以的范围是． 21．（25-26学年高一上·陕西延安实验中学·期中）已知幂函数在上单调递增，且其图象经过点． （1）求的解析式； （2）若，用定义法证明：函数在上单调递增． （3）若，求函数在区间上的值域． 【答案】（1）；     （2） 由图象经过点，即，解得，而，所以， 设，则 ， 因为，所以，，则， 所以，即，故函数在上单调递增；     （3）.      【分析】 （1）根据函数为幂函数及区间单调性求参数值，即可得； （2）由题设及（1）得，利用单调性的定义证明即可； （3）由题设，结合二次函数的性质求区间的值域. (1) 小问详解： 因为是幂函数，所以，即，解得或， 又在上单调递增，所以，故，所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）知，所以， 的图象是开口向上的抛物线，对称轴为， 在区间上，在上单调递减，在上单调递增， ， ， ， 所以在区间上的值域为. 考点03 函数的应用（一） 1．（25-26学年高一上·陕西榆林·期中）为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过400m3的部分 2.50元/m3 超过400m3但不超过600m3的部分 3.60元/m3 超过600m3的部分 4.50元/m3 若某户居民一年的天然气费为1360元，则此户居民这一年使用的天然气为（     ） A. 610m3 B. 600m3 C. 544m3 D. 500m3 【答案】D 【分析】 设天然气费用为使用量的函数，根据题意写出分段函数解析式，先判断对应哪一段，再求解即可. 【详解】 设天然气使用量为，天然气费为元， 则 ， 由于，则, 所以，解得, 所以天然气使用量为， 故选：D 2．（25-26学年高一上·陕西延安实验中学·期中）某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（       ） A. 当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 B. 当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 C. 当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 D. 当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 【答案】D 【分析】 求出的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值，求出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值及其对应的的值，即可出结论. 【详解】 由题意可得， 故当时，取得最大值， ， 当且仅当时，等号成立， 因此，当生产万件时，当月能获得最大总利润万元， 当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元. 故选：D. 3．（25-26学年高一上·山西大同第一中学校·期中）某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费　　　　　　　　元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了　　　　　　　　千米． 【答案】① 14.59    ② 9 【分析】 根据条件列出关系式，分别代入求解即可. 【详解】 设出租车行驶x千米时，付费y元， 则y＝ 当x＝5.6时，y＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元)． 由y＝22.6，知x>8， 由8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6， 解得x＝9. 故答案为：14.59；9. 4．（25-26学年高一上·青海西宁青海师范大学附属实验中学·期中）实行垃圾分类，保护生态环境，促进资源再利用.某企业新建了一座垃圾回收工厂，在2021年年初用98万元购进一套垃圾回收分类生产设备，并投入生产.该设备可为企业每年创收50万元，已知该设备使用年的维修保养总费用为万元，相应的盈利总额（纯利润）为万元. （1）写出与之间的函数解析式，并求从哪年（2021年为第一年）开始，该设备开始盈利（盈利总额为正）； （2）使用若干年后，对设备的处理方案有以下两种： 方案一，当年平均盈利额（年平均盈利额盈利总额使用年限）达到最大值时，以30万元价格卖掉该设备； 方案二，当盈利总额达到最大值时，以12万元价格卖掉该设备自设备投入到卖掉处理，从总利润和效益上看，该企业应选用哪种方案处理？请说明你的理由. 【答案】（1），，2023年     （2）应选用方案一，理由如下： 方案一：年平均盈利额， 当且仅当时，即当时，上式等号成立， 故到2027年，该设备的年平均盈利额达到最大值， 此时卖掉此设备后，该企业可获得的总利润为； 方案二：盈利总额， 当时，取最大值，故到2030年，该设备的盈利总额达到最大值102， 此时卖掉此设备后，该企业可获得的总利润为； 因为两种方案企业获得的总利润相同，而方案一用时较短，故应选用方案一.      【分析】 （1）根据题意可得解析式以及列不等式，即可求解； （2）方案一运用基本不等式可求得总利润，方案二运用二次函数求得最值，综合比较可求得结果. (1) 小问详解： 由题意得，， 令，则， ，， 故从2023年开始，该设备开始盈利； (2) 小问详解： 略 5．（25-26学年高一上·陕西咸阳实验中学·期中）当前，机器人产业蓬勃发展，正极大改变着人类生产和生活方式，为经济社会发展注入强劲动能.某动力电池生产企业为提高产能，计划投入6300万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后的前年，设备维护成本共万元.每年电池销售收入为6700万元，设使用该批智能机器人后，前x年的总盈利额为y万元. （1）写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围； （2）使用若干年后，对该批智能机器人的处理方案有两种. 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以4800万元的价格处理.问哪种方案更合理?并说明理由. 【答案】（1）；     （2） 方案一：总盈利额， 当时，， 若此时处理掉智能机器人，总盈利为万元； 方案二：年平均盈利额（万元）， 当且仅当时，年平均盈利额最大，若此时处理掉智能机器人， 总盈利为万元. 两方案总利润都是13200万元，但方案二用时更短，则方案二更合理.      【分析】 （1）根据销售总收入和成本，列出函数关系式即可； （2）利用二次函数的性质求出方案一的总盈利，结合基本不等式求出方案二的总盈利，然后比较，即可得到结果. (1) 小问详解： 由题意，. (2) 小问详解： 略 6．（25-26学年高一上·山西太原·期中）某蛋糕店销售一种蛋糕.蛋糕店每日的固定成本为900元，每个蛋糕的制作成本是20元.该种蛋糕的日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）满足.假设每日生产的蛋糕全部售完. （1）将每日利润表示为销售单价的函数； （2）当销售单价为多少元时，蛋糕店每日利润最大？其最大利润是多少元？ （3）当销售单价为多少元时，蛋糕店每个蛋糕的平均利润最大？并求出其最大值. 【答案】（1），     （2）当销售单价为60元时，每日的利润最大，最大利润是700元     （3），最大值20      【分析】 （1）由题意即可直接求解； （2）由（1）结合二次函数单调性即可求解； （3）由（1）得到，再由基本不等式即可求解. (1) 小问详解： 由题意得，. (2) 小问详解： 由（1）得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，取得最大值700， 所以，当销售单价为60元时，每日的利润最大，最大利润是700元. (3) 小问详解： 由（1）得 ， 当且仅当， 即当元时，取得最大值20元. 7．（25-26学年高一上·陕西山阳中学·期中）2024年10月29日，小米SU7Ultra量产版正式面世，代表了我国新能源汽车的蓬勃发展.如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）该型车辆，扣除制造车辆的成本后获利（万元），关系如下：，该公司预计2024年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2024年的全年利润为（单位：万元）. （1）求函数的解析式； （2）当2024年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 【答案】（1）     （2）当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元.      【分析】 （1）根据给定的信息，由求出解析式即得. （2）按分段求出最大值，再比较大小即得. (1) 小问详解： 依题意，，而 ， 所以函数的解析式为 ， 即 . (2) 小问详解： 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，； 当时， ，当且仅当，即时取等号， 而，则当时，， 所以当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元. 8．（25-26学年高一上·陕西宝鸡渭滨中学·期中）随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1）     （2）35（台），最大利润为2050（万元）．      【分析】 （1）根据投入成本及销售收入写出利润函数即可； （2）根据（1）中所求的函数解析式，结合函数单调性和基本不等式，即可直接求得结果. (1) 小问详解： 由题意可得 ， 所以 ． (2) 小问详解： 当时，，对称轴方程， 且二次函数开口向下，故当时，取最大值，（万元）； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，即（万元）， 因为， 故当该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元）． 9．（25-26学年高一上·宁夏回族自治·期中）如图，某市市政部门要在矩形区域上规划出一块矩形地块建造儿童游乐中心.为了保护绿化，游乐场不能超越四个全等直角三角形的绿化区域边界，其中为的边界.由实地测量知，，，，.点在线段上，设的长度为，矩形地块的面积为.    （1）若为线段的中点，求及的值； （2）试用的式子表示，并求的取值范围； （3）求矩形地块面积的最大值. 【答案】（1），.     （2），     （3）      【分析】 （1）延长交于，若为线段的中点，则为线段的中点，结合三角形的性质，以及矩形的面积公式，求及的值； （2）设的长度为，结合三角形相似的几何性质，以及矩形的面积公式，用的式子表示，从而得所求； （3）根据与的关系，利用二次函数或者基本不等式求解最值即可得结论. (1) 小问详解： 延长交于，    若为线段的中点，则为线段的中点， ，， 由得， 又， 所以， 所以矩形的面积为； (2) 小问详解： 因为点在线段上，的长度为，则， 则， 因为，所以，得， 则， 所以矩形的面积， 综上， 答：矩形地块的面积，. (3) 小问详解： 方法一：由（2）得， 因为，所以当时，取最大值， 答：时，矩形地块面积的最大值为； 方法二：由（1）得， 因为，所以， 由基本不等式，得， 当且仅当，即时，等号成立， 答：时，矩形地块面积的最大值为. 10．（25-26学年高一上·宁夏吴忠盐池中学·期中）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明：讲课开始时，学生注意力集中度的值（的值越大，表示学生的注意力越集中）与x的关系如下： （1）讲课开始时和讲课开始时比较，何时学生的注意力更集中？ （2）讲课开始多少分钟时，学生的注意力最集中，能持续多久？ （3）一道数学难题，需要讲解，并且要求学生的注意力集中度至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？请说明理由. 【答案】（1）讲课开始后5min学生注意力更集中     （2）开讲10分钟后，学生的接受能力最强（为，能维持6分钟     （3）不能，理由如下： 当时，令，解得或20（舍去）； 当时，令，解得， 可得学生一直达到所需接受能力 55的状态的时间， 因此老师不能及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．      【分析】 （1）由题意得，，即可得到答案； （2）分析函数的单调性，根据函数单调性求函数最值，即可求出； （3）分别求解当和时，不等式的解集，求出满足条件的时长，即可得到结论. (1) 小问详解： 由题意得，， 所以讲课开始后5min学生注意力更集中. (2) 小问详解： 当时，， 在时单调递增，最大值为． 当时，；当时，函数为减函数，且． 因此开讲10分钟后，学生的接受能力最强（为，能维持6分钟． (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $