精品解析：福建三明市列东中学2026-2027学年上学期10月八年级数学学情自测卷

列东中学2026—2027学年第一学期第一次阶段性练习八年级数学 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 根据下列表述，能确定准确位置的是（ ） A. 天府大道中段 B. 万达影城号厅 C. 北纬，东经 D. 南偏东 3. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 5. 估算 的值在（ ） A. 2和3 之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 6. 若点在第一象限，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连结，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，在中，，分别以、为边作正方形，若这两个正方形面积之比为，则小正方形的面积为( ) A. B. C. D. 10. 剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 二．填空题：（每小题4分，共24分） 11. 25的平方根是_____． 12. 点在轴上，则的值为________． 13. 已知，则的立方根为________． 14. 如图，在村与村之间有一座大山，原来从村到村，需沿道路→→绕过村庄间的大山；打通村与村间的隧道后，可直接从村到达村．已知，，则打通隧道后从村到村比原来减少的路程是________． 15. 在直角坐标系中，第三象限内的点到轴的距离是，到轴的距离是，则的坐标为________． 16. 在中，，，如图，点的坐标为，点的坐标为．点的坐标为________． 三．解答题（共9大题，共86分） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 18. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 19. 已知正数x的两个平方根分别是与，的立方根是． （1）求a、b的值； （2）求的值． 20. 已知：点，根据下列条件，解答下列各题． （1）当时，写出点的坐标为________，点在第________象限； （2）若点的坐标是，且轴，求点坐标． （3）若点到两坐标轴的距离相等，求点坐标． 21. 如图，两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以海里/时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点，，此时两轮船沿航线汇合． （1）求，两点之间的距离； （2）若在两艘轮船沿航线汇合途中，其中一艘轮船突发机械故障，无法继续航行．港口指挥中心接到求救信号后，立刻派出一艘救援快艇从港口出发，全速前往航线进行紧急接应．为了以最快时间到达，求救援快艇行驶的最短距离． 22. 定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：，，这三个数，，，，其结果分别为，，，都是整数，所以，，三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是，最大算术平方根是． （1）请证明：，，这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； （2）已知，，三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的倍，求的值． 23. 如图，平面直角坐标系中，有以下几个点：，，，过点作轴的垂线． （1）作出关于直线的轴对称图形； （2）直接写出，，的坐标； （3）在内有一点，直接写出点关于直线的对称点的坐标（结果用含，的式子表示）． 24. 在数学的发展长河中，无理数的发现是一个具有里程碑意义的事件．北师大版八年级上学期数学教材第页“阅读•思考”部分，为我们讲述了这段精彩的历史． 【经典回顾】 假设是有理数， ∴存在互质的正整数，，使得． ， ∴两边平方得， ①_______． 是偶数， 也是偶数， 也是偶数． 设（是正整数），代入得，②____． 是偶数． ∵只有偶数的平方为偶数， 也是偶数． 和都是偶数， ，有公因数． 这与“和互质”矛盾． 不能写成分数的形式，即不是有理数． （1）请在上面划线处填写相应内容：①________，②________； 【类比推理】 （2）类比上述证明不是有理数的方法，推理说明不是有理数； 【实际应用】 （3）长方形画纸的面积为，长与宽的比为，能否从中裁出半径为的圆形画纸？请说明理由． 25. 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ， ， ， 则它们满足的关系式为 经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 列东中学2026—2027学年第一学期第一次阶段性练习八年级数学 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】先排除非正整数的选项，再验证剩余选项是否满足两较小数的平方和等于最大数的平方． 【详解】解：A．∵该选项中的数均为正整数，且， ∴，，是勾股数，符合题意； B．∵， ∴，，不是勾股数，不符合题意； C．∵， ∴，，不是勾股数，不符合题意； D．∵，，均为小数， ∴，，不是勾股数，不符合题意． 2. 根据下列表述，能确定准确位置的是（ ） A. 天府大道中段 B. 万达影城号厅 C. 北纬，东经 D. 南偏东 【答案】C 【解析】 【分析】确定准确位置需要两个独立的定位条件，据此逐一验证选项． 【详解】解：A天府大道中段仅为路段，无法确定具体位置． B万达影城1号厅仅指明放映厅，缺少具体座位信息，无法确定准确位置． C北纬，东经为经纬度坐标，两个数据可唯一确定位置． D南偏东仅指明方向，缺少观测点与距离，无法确定准确位置． 3. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，化简二次根式，解题的关键在于熟知最简二次根式的定义：被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，是最简二次根式，符合题意； 故选；D． 4. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．∵， ∴是无理数，符合题意； B．∵是整数， ∴不是无理数，不符合题意； C．∵是有限小数， ∴不是无理数，不符合题意； D．∵是分数， ∴不是无理数，不符合题意． 5. 估算 的值在（ ） A. 2和3 之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，先估算出的范围即可． 【详解】解：∵, ∴ ∴的值在4和5之间， 故选：C． 6. 若点在第一象限，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题先利用第一象限点的坐标特征得到的正负，再结合绝对值的性质得到目标点横纵坐标的正负，最后根据不同象限点的坐标特征判断点所在的象限． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴，， ∵，正数的绝对值是它本身， ∴， ∵， ∴， 第四象限点的坐标特征为横坐标大于0，纵坐标小于0， ∴点在第四象限． 7. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项，与不是同类二次根式，不能合并，计算错误； 选项，，计算正确； 选项，，计算错误； 选项，，计算错误． 8. 如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连结，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实数和数轴，勾股定理，正确记忆勾股定理的公式解题关键． 先根据题意确定，再根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】解：由题意可知， 根据勾股定理，得， ， 因为点在x轴负半轴， 所以点对应的实数为． 故选：C． 9. 如图，在中，，，，在中，，分别以、为边作正方形，若这两个正方形面积之比为，则小正方形的面积为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设边上的正方形的面积为，边上的正方形的面积为，由题意得，且，根据勾股定理得到，进而即可求解． 【详解】解：设边上的正方形的面积为，边上的正方形的面积为， 由题意得，且． ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 即小正方形的面积为9． 10. 剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化-对称，二元一次方程组等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型，利用轴对称的性质构建方程组，求出m，n，可得结论． 【详解】解：∵，关于y轴对称， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 二．填空题：（每小题4分，共24分） 11. 25的平方根是_____． 【答案】±5 【解析】 【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根． 【详解】∵（±5）2=25， ∴25的平方根是±5． 【点睛】本题主要考查了平方根的意义，正确利用平方根的定义解答是解题的关键． 12. 点在轴上，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴上点的纵坐标为，列出关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得． 13. 已知，则的立方根为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据非负数的性质，几个非负数的和为时，每个非负数都为，先求出，，的值，再计算，最后求其立方根即可． 【详解】解：∵ ，，，且 ∴ ，， 解得 ，， 代入得 ∵ ∴ 的立方根为 即的立方根为． 14. 如图，在村与村之间有一座大山，原来从村到村，需沿道路→→绕过村庄间的大山；打通村与村间的隧道后，可直接从村到达村．已知，，则打通隧道后从村到村比原来减少的路程是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理算出距离，再与原路线相比即可求解． 【详解】解：在中，根据勾股定理得， ∴， 又∵ ∴打通隧道后从村到村比原来减少的路程：． 15. 在直角坐标系中，第三象限内的点到轴的距离是，到轴的距离是，则的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据第三象限内点的坐标符号特点，结合点到坐标轴的距离等于对应横纵坐标的绝对值，即可求出点的坐标． 【详解】解：点到轴的距离是，到轴的距离是，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值， 点横坐标的绝对值为，纵坐标的绝对值为， 点在第三象限，第三象限内点的横坐标和纵坐标均为负数， 点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为． 16. 在中，，，如图，点的坐标为，点的坐标为．点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作直线l垂直x轴，过点A作于点F，过点B作于点E，证明，得到，．结合点A，C的坐标求解即可． 【详解】解：过点C作直线l垂直x轴，过点A作于点F，过点B作于点E， 则， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴，． ∵点的坐标为，点的坐标为，直线轴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，． 三．解答题（共9大题，共86分） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4）， 【解析】 【分析】（1）先把、、分别化成最简二次根式、、，再合并同类二次根式，计算得到结果． （2）根据二次根式乘除运算法则，从左往右依次计算，先算得到，再乘，合并根号后化简得到． （3）先用完全平方公式展开，再用平方差公式计算，把两部分结果相加化简，得到． （4）利用直接开平方法解方程，把看成整体，得到，再分别计算和，求出两个根，． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 【小问3详解】 解：原式 【小问4详解】 解： ， 18. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】 该车符合安全标准． 理由：∵，，，， ∴， 在中，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴该车符合安全标准． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可得出结论．熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】略 19. 已知正数x的两个平方根分别是与，的立方根是． （1）求a、b的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据立方根与平方根的定义求得b,a的值； （2）将b,a的值代入，即可求解． 【小问1详解】 解：∵x的平方根是与， ， ， 的立方根是 ， ， 即a、b的值分别为4，； 【小问2详解】 解：当时， ． 20. 已知：点，根据下列条件，解答下列各题． （1）当时，写出点的坐标为________，点在第________象限； （2）若点的坐标是，且轴，求点坐标． （3）若点到两坐标轴的距离相等，求点坐标． 【答案】（1），四 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据求出点Q的横纵坐标即可得到答案； （2）平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，据此建立方程求出m的值即可得到答案； （3）在平面直角坐标系中，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴点Q的坐标为， ∵， ∴点Q在第四象限； 【小问2详解】 解：∵点的坐标是，且轴， ∴点P与点Q的纵坐标相同， ∴， ， ∴点Q的坐标为； 【小问3详解】 解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴或 解得或， ∴点Q的坐标为或． 21. 如图，两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以海里/时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点，，此时两轮船沿航线汇合． （1）求，两点之间的距离； （2）若在两艘轮船沿航线汇合途中，其中一艘轮船突发机械故障，无法继续航行．港口指挥中心接到求救信号后，立刻派出一艘救援快艇从港口出发，全速前往航线进行紧急接应．为了以最快时间到达，求救援快艇行驶的最短距离． 【答案】（1）海里 （2）海里 【解析】 【分析】（1）将现实生活问题转化为数学问题，利用勾股定理求出线段的长即可； （2）过点作交于点，利用等面积法求出即可； 【小问1详解】 解：依题意海里，海里，， ∴（海里）； 【小问2详解】 解：过点作交于点， ∵， ∴（海里）， 即救援快艇行驶的最短距离为海里． 22. 定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：，，这三个数，，，，其结果分别为，，，都是整数，所以，，三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是，最大算术平方根是． （1）请证明：，，这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； （2）已知，，三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的倍，求的值． 【答案】（1）证明：∵，，， ，，这三个数是“和谐组合”， ∵， ∴最小算术平方根是，最大算术平方根是； （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）求出这三个数中任意两个数乘积的算术平方根，再根据定义判断求解即可； （2）分三种情况：当时，当时，当时，分别求出这三个数中任意两个数乘积的算术平方根，根据最大算术平方根是最小算术平方根的倍建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①当时，， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴，即， ∴（舍去）； ②当时，， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， ∴ 解得，经检验符合题意； ③当时， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， ∴ 解得，经检验符合题意． 综上所述，的值为或． 23. 如图，平面直角坐标系中，有以下几个点：，，，过点作轴的垂线． （1）作出关于直线的轴对称图形； （2）直接写出，，的坐标； （3）在内有一点，直接写出点关于直线的对称点的坐标（结果用含，的式子表示）． 【答案】（1） （2），， （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）写出，，的坐标即可； （3）根据轴对称的性质即可得点P关于直线l的对称点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据图形可得，，； 【小问3详解】 解：点的坐标为，即． 24. 在数学的发展长河中，无理数的发现是一个具有里程碑意义的事件．北师大版八年级上学期数学教材第页“阅读•思考”部分，为我们讲述了这段精彩的历史． 【经典回顾】 假设是有理数， ∴存在互质的正整数，，使得． ， ∴两边平方得， ①_______． 是偶数， 也是偶数， 也是偶数． 设（是正整数），代入得，②____． 是偶数． ∵只有偶数的平方为偶数， 也是偶数． 和都是偶数， ，有公因数． 这与“和互质”矛盾． 不能写成分数的形式，即不是有理数． （1）请在上面划线处填写相应内容：①________，②________； 【类比推理】 （2）类比上述证明不是有理数的方法，推理说明不是有理数； 【实际应用】 （3）长方形画纸的面积为，长与宽的比为，能否从中裁出半径为的圆形画纸？请说明理由． 【答案】（1）， （2）解：假设是有理数， ∴存在互质的正整数，使得， ， ， 是的倍数， 是的倍数， ∴设， ， ， 是的倍数， 是的倍数， ，都是的倍数， ，有公因数． ∴这与，互质矛盾， 不是有理数； （3）解：不能裁出，理由如下： 设长为，宽为， ， ， ， （舍去负值）， ， ∴不能裁出． 【解析】 【分析】（1）根据等式性质，对两边平方变形得到，再把代入式子化简得到． （2）模仿证明不是有理数的反证法，先假设是有理数，推出，都为3的倍数，和，互质矛盾，从而证明不是有理数． （3）设长方形长、宽，利用面积列方程求出宽为，对比圆直径 18 cm，由判断出长方形宽度不够，不能裁出这个圆． 【小问1详解】 解：，两边平方得， 等式两边同乘，，即①填． 设（是正整数），把代入， ，，化简得，即②填． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 略． 25. 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ， ， ， 则它们满足的关系式为 经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）千米； 知识迁移：20． 【解析】 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【详解】解：小试牛刀： ， ， ， 则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E， ， ， ， 由勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点， 设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，作点关于的对称点，连接交于点， 过作， 根据对称性：， 设，则，由勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $