3.3.1 抛物线及其标准方程常见的七种题型（过关卷）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

抛物线及其标准方程常见的七种题型（过关卷） 目　录 题型一　抛物线的定义与轨迹方程 题型二　焦半径与距离最值 题型三　标准方程与焦点准线 题型四　焦点弦与中点弦 题型五　实际应用与抛物线性质辨析 题型六　抛物线方程与弦长解答题 题型七　圆锥曲线综合与定点定值 题型一　抛物线的定义与轨迹方程 【解题技巧】抛物线定义是解题的钥匙：平面内与定点F和定直线l距离相等的点的轨迹（l不过F）。看到到焦点距离立即转化为到准线距离，许多最值与轨迹问题靠这一转化化斜为直。求轨迹方程时先判断谁是定点、谁是定直线：距离差等于定点到定直线距离时为抛物线，大于时为双曲线一支，等于零时为射线。设方程先定开口方向，用待定系数法设y²=2px或x²=2py，动圆与定圆、定直线相切类问题转化为圆心距关系后再判断曲线类型。 1．已知动圆M与直线相切，且与定圆C：外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为_______. 2．过点且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线 题型二　焦半径与距离最值 【解题技巧】焦半径的核心转化：抛物线y²=2px上点P到焦点的距离等于P的横坐标加p/2。求|PA|+|PF|型最值，把|PF|换成P到准线的距离，化为垂线段最短；与圆结合时，用圆心到焦点的距离减半径，再加焦半径转化，逐段拆解。中点弦问题用点差法：设两端点坐标代入方程相减，得到斜率与中点坐标的关系，配合判别式检验直线是否存在。涉及三角形周长最小值时，同样用定义把两段折线拉直处理。 1．已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则值为（    ） A． B． C． D． 3．已知点满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型三　标准方程与焦点准线 【解题技巧】四种标准方程y²=2px、y²=-2px、x²=2py、x²=-2py的焦点分别在x轴正方向、x轴负方向、y轴正方向、y轴负方向上距原点p/2处，准线方程与焦点关于顶点对称。p的几何意义是焦点到准线的距离，p/2才是焦点到顶点的距离。已知准线或焦点反求参数时，先由位置定开口方向，再由距离列方程。含参数m的方程 x²=my中p=|m|/2，一次项变量决定对称轴，系数符号决定开口，讨论正负避免漏解。 1．抛物线的准线方程为（  　 ） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 2．已知 是抛物线 的焦点， 为抛物线 上一点， 为坐标原点，若 . 且 ，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知点在抛物线上，过点作圆的切线，切点为，若点到的准线的距离为5，则切线长为（    ） A．4 B． C．6 D． 5．设抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，是上一点，若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线的准线经过，则抛物线的焦点坐标为（    ）． A． B． C． D． 7．已知是抛物线的焦点，是C的准线，是l与坐标轴的交点，是C上的动点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若点的横坐标是点的横坐标的2倍，则 C．的最小值为4 D．若点的坐标为，则的最小值为6 8．若是抛物线的焦点， 是上一点， 为原点，则（   ） A．若焦点，则 B． C．以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D．直线经过焦点与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，如果△面积的最小值为，则 9．已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线C上，若，则（    ） A． B．以为直径的圆与x轴相切 C．F的坐标为 D． 10．以坐标原点为顶点，为焦点的抛物线的标准方程为 ______. 题型四　焦点弦与中点弦 【解题技巧】过焦点的弦性质丰富：通径最短为2p；焦点弦长|AB|=x1+x2+p；两端的焦半径之和等于弦长；以AB为直径的圆与准线相切；x1x2=p²/4为定值，y1y2=-p²。中点弦问题优先点差法：把A、B坐标代入方程相减得斜率与中点横坐标的关系，由中点坐标直接求斜率，再用判别式确认直线存在。 1．已知为抛物线：的焦点，，是抛物线上不同的两点，，则线段的中点到轴的距离为（   ） A． B． C．1 D． 2．已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，作于点，若为等边三角形，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，准线与对称轴交于点M，若，且，则p为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，若以为始边，为终边的角，则等于（    ） A． B． C． D． 5．抛物线的焦点为、为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于、两点，点M(2，2)，下列结论正确的是（ ） A．抛物线的方程为： B．抛物线的准线方程为： C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切 D．以M为中点的弦的直线方程为： 6．设抛物线（）的焦点为F，点，过点F的直线交C于M，N两点，直线垂直x轴，，则______________. 7．已知抛物线上一点为焦点.直线交抛物线的准线于点，满足.则__________. 8．记抛物线，为坐标原点，直线与抛物线交于、两点，且，，则______． 题型五　实际应用与抛物线性质辨析 【解题技巧】抛物线应用题（拱桥、隧道、吊桥、天线）建模四步：建系、设标准方程、代入已知点求p、回代求解。拱桥问题以拱顶为原点、对称轴竖直，设x²=-2py；天线与探照灯问题以顶点为原点、对称轴水平，反射性质是平行于轴的入射线经反射后过焦点。多选题围绕定义、标准方程、焦半径、焦点弦性质逐项判断：先算准p与开口方向，再用定义转化距离，每一项都要有计算或推理依据，切勿凭图形直觉猜答案。 1．如图，吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，宽6m，高1m，根据图中的坐标系．可得这条抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．试在抛物线上求一点，使其到焦点的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为　　 A． B． C． D． 3．(多选题)方程表示的曲线中，可以是（    ） A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线 题型六　抛物线方程与弦长解答题 【解题技巧】解答题求抛物线方程用定义法或待定系数法：由焦点、准线直接写方程，由焦半径建立关于p的方程，注意点P在何种开口的曲线上。直线与抛物线联立消元后得二次方程，设而不求：韦达定理给出x1+x2与x1x2，弦长等于根号下(1+k²)乘以判别式开方除以二次项系数的绝对值。中点问题用点差法并验证判别式大于零。直线过焦点时套用焦点弦性质简化运算。最后结果回代检验是否满足题设的范围与交点个数条件。 1．已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴的正半轴上，是抛物线上的点，点到焦点的距离为1，且到轴的距离是． （1）求抛物线的标准方程； （2）假设直线通过点，与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程． 题型七　圆锥曲线综合与定点定值 【解题技巧】抛物线与椭圆、双曲线组合的综合题，先抓公共元素：焦点重合、顶点重合或公共点，由此建立参数关系求出各曲线方程。第二问通常设直线与曲线联立，用韦达定理表示目标量（弦长、面积、定点、定值），化为关于参数的函数求最值或验证恒成立。定点问题的套路是把含参数的式子整理成恒等式，令系数为零解出定点坐标。联立后的判别式、截距范围与点在曲线上的限制是最易失分处，计算量大时步步回检。 1．已知直线与抛物线相交于A，B两点，且． (1)求证：直线AB必过一定点； (2)求面积的最小值． 2．直线：与抛物线：交于，两点，且 (1)求抛物线的方程； (2)若直线与交于，两点，且弦的中点的纵坐标为，求的斜率． 《抛物线及其标准方程常见的七种题型》参考答案 答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 题型一　抛物线的定义与轨迹方程 1． 【详解】解：方法一：由题意知，设， 则， ， 解得. 方法二：由题意知，动点M到的距离比到的距离多1， 则动点M到的距离与到的距离相等， 根据抛物线的定义，为准线，为焦点， 设抛物线为，，， 故. 故答案为：. 2．D 【解析】设圆心坐标为，根据题意，由求解. 【详解】设圆心坐标为， 因为圆过点且与y轴相切的圆， 所以， 化简得， 所以圆心的轨迹为抛物线， 故选：D 题型二　焦半径与距离最值 1．B 【详解】设到的准线的距离为，则， 所以的最小值为6. 故选：B. 2．B 【详解】由题意知， 抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义，得． 故选：B 3．B 【详解】因为表示点到点的距离，表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立． 故选：B． 4．D 【详解】抛物线的顶点为，焦点为， 设符合题意，则有 ， 即，解得， 所以符合条件的点为， 故选：D 题型三　标准方程与焦点准线 1．D 【解析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p，再直接代入即可求出其准线方程． 【详解】解：∵抛物线的标准方程为， ∴其焦点在y轴上且， ∴， ∴抛物线的准线方程为， 故选：D． 2．C 【详解】由题可得，如图，做垂直于x轴，因，， 则，，则， 将代入， 可得， 则抛物线的方程为：. 故选：C 3．B 【详解】已知抛物线方程为，可得其焦点坐标为， 由于双曲线的右焦点与抛物线焦点重合，可得双曲线的焦点为，即， 由，可得：，即， 综上可得：双曲线的渐近线方程为：. 故选：B 4．D 【详解】    抛物线的准线方程为， 不妨设点在第一象限，设， 点到的准线的距离为5，，即，， ，， ，. 故选：D. 5．D 【详解】易知抛物线的焦点为，准线方程为，可得准线与轴的交点， 设点，由抛物线的性质，，可得， 所以，，解得，即点，所以. 故选：D. 6．B 【详解】∵抛物线的准线经过点，即准线方程为， ∴， ∴该抛物线焦点坐标为． 7．ABD 【详解】对于A，由，可得，解得，A正确； 对于B，因为，所以，则，故，B正确； 对于C，因为，，所以的最小值为2，C错误； 对于D，等于点到的距离，的最小值为点到的距离，且点到的距离为，D正确． 故选：ABD. 8．ACD 【详解】A：题意得，所以本选项正确； B：设，则，， 又，，所以本选项不正确； C：由抛物线的定义知M到F的距离与M到C的准线的距离相等， 故以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，所以本选项正确； D：由题设，令，联立抛物线得， 显然， 所以，， ， 由到的距离， 所以， 当且仅当时等号成立，所以. 故选：ACD 9．AB 【详解】抛物线的焦点为，故C错误； 点在抛物线C上，若， 则，所以，故A正确； 代入，得，故或 所以，故D错误； 所以以为直径的圆的圆心为：或，半径为， 所以圆心为：或到x轴的距离为：等于圆的半径， 故以为直径的圆与x轴相切，故B正确； 故选：AB 10． 【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，所以抛物线开口向左， 设抛物线的标准方程为，所以，解得. 所以抛物线方程为. 故答案为： 题型四　焦点弦与中点弦 1．B 【详解】抛物线的准线为：，过，作准线的垂线，垂足为，，的中点为， 过作准线的垂线，垂足为， 因为，是该抛物线上的两点，故，， 所以，又为梯形的中位线，所以， 故到轴的距离为， 故选：B. 2．C 【详解】由抛物线的定义可知，且，过作， 可知D为的中点， 则，即，所以点的横坐标为3. 故选：C    3．B 【详解】如图，分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、， 设，则由已知得，由抛物线的定义得， 故， 在直角三角形中，，， 又因为， 则，从而得， 又因为， 所以. 故选：B. 4．D 【详解】设点，其中，则，， 取，则， 可得，因为，可得，解得，则， 因此，. 故选：D. 5．BCD 【详解】对于A：当运动到时，，故，即抛物线为，故A错误； 对于B：由，故抛物线的准线方程为：，故B正确； 对于C：当直线过焦点时，设为，则， 故以为直径的圆的半径为，又，故以为直径的圆的圆心坐标为， 圆心到轴的距离与该圆半径相等，即该圆与轴相切,故C正确； 对于D：设M(2，2)是的中点, ，相减可得， 由于，故,又直线经过点,故直线方程为，则D正确. 故选：BCD. 6． 【详解】由题意得，因为直线垂直于x轴，， 所以M点的横坐标为p，设， 根据抛物线的定义知，解得， 则，则，，可设直线的方程为， 联立抛物线方程有，可得， ，，则， 则，解得，则． 故答案为： 7． 【详解】由题意，准线方程为， ，则，解得，即抛物线方程为， ，， 故答案为：.    8． 【详解】直线与抛物线交于、两点，则、关于轴对称， 又因为，则，不妨设点在第一象限，则直线的方程为， 设点，则，故，即点， 将点的坐标代入抛物线方程得，解得. 题型五　实际应用与抛物线性质辨析 1．B 【详解】设这条抛物线的方程为， 由图可知点的坐标为，所以，得， 故这条抛物线的准线方程为． 故选：B. 2．A 【详解】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为． 过点P作于点，由定义可得, 所以， 由图形可得，当三点共线时，最小，此时． 故点的纵坐标为1，所以横坐标．即点P的坐标为．选A． 点睛：与抛物线有关的最值问题的解题策略 该类问题一般解法是利用抛物线的定义，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化． (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解； (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决． 3．AB 【详解】因为，则该曲线不表示圆，故C错误； 若，即时，方程表示的曲线是双曲线，故A正确； 若，即时，方程表示的曲线是椭圆，故B正确； 该方程为二元二次方程，则不可能表示抛物线，故D错误； 故选：AB. 题型六　抛物线方程与弦长解答题 1．（1）；（2）． 【详解】（1）由已知，可设抛物线的方程为，又到焦点的距离是1， ∴点到准线的距离是1，又到轴的距离是， ∴，解得，则抛物线方程是． （2）假设直线的斜率不存在，则直线的方程为，与联立可得交点、的坐标分别为，，易得，可知直线与直线不垂直，不满足题意，故假设不成立， ∴直线的斜率存在．设直线为，整理得， 设，，联立直线与抛物线的方程得， 消去，并整理得，于是，， ∴， 又，因此，即， ∴，解得或． 当时，直线的方程是，不满足，舍去． 当时，直线的方程是，即， ∴直线的方程是． 题型七　圆锥曲线综合与定点定值 1．(1)证明：设直线AB方程：，，， 由消去x并整理得， ∴，，由得 解得或（舍去）．∴直线AB过定点． (2)4 【详解】（1）略 （2）由（1）得， ∴当时，的面积取得最小值为4． 2．(1) (2) 【详解】（1）因为M的焦点为， 且直线l：经过点，所以经过的焦点． 联立，得． 设，，则， 则， 解得．所以M的方程为． （2）设，，则， 两式相减，得． 因为， 所以l＇的斜率为.    第 页 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $