3.3.1 抛物线及其标准方程（六大题型）训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以抛物线标准方程为核心，通过六大题型系统覆盖参数计算、方程构建、定义应用、轨迹推导及实际建模，注重知识逻辑递进与数学眼光、思维、语言的综合培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根据方程求参数|4题|结合焦点、准线、圆与抛物线位置关系求参数|从方程形式到几何性质的转化，强化运算能力| |根据焦点/准线写方程|4题|利用焦点对称、圆与坐标轴交点确定方程|聚焦抛物线定义中焦点与准线的核心关系| |根据定义求方程|4题|通过点到准线距离、焦点距离应用定义|深化定义理解，培养几何直观与推理意识| |根据抛物线上的点求方程|4题|含实际问题（碗的轴截面）与坐标点确定方程|连接代数表示与几何意义，发展模型观念| |求抛物线轨迹方程|4题|垂线段中点、面积关系等轨迹问题|训练动点关系转化，提升数学抽象能力| |实际问题中的抛物线方程|4题|桥梁、车灯、拱桥等实际场景建模|体现数学应用意识，强化用数学语言表达现实世界|

3.3.1 抛物线及其标准方程 题型一 根据抛物线的方程求参数 1．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，于.圆：的圆心为，若，则点的横坐标为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】设点，利用抛物线焦半径公式可得，再结合列方程，即可求得答案. 【详解】由题意知抛物线：的焦点为，准线为， 设点，由于于，故， 的圆心为，由于，故， 结合点在上，则，即，即， 解得，即点的横坐标为. 2．对于抛物线上，下列描述正确的是（       ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 【答案】ACD 【分析】化为标准方程后，得出焦参数，从而可得抛物线的性质，判断各选项． 【详解】由已知抛物线标准方程是，，， 所以焦点坐标为，开口方向向上，A正确，B错误； 焦点到准线的距离为，C正确； 准线方程是，D正确． 故选：ACD． 3．已知抛物线C：的焦点为F，点P在C的准线上且位于第二象限内，线段PF与C交于点Q，且，，则______． 【答案】/1.5 【分析】设准线与轴交于点，过点作，于点，利用抛物线定义和即可求解. 【详解】如图，设准线与轴交于点，过点作于点 所以由抛物线定义得到, 因为, 所以，即， 得到，即. 4．已知椭圆的左、右焦点分别为、，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且. (1)求椭圆的方程； (2)过作两条斜率不为且互相垂直的直线分别交椭圆于、和、，线段的中点为，线段的中点为，证明：直线过轴上一定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标为 【分析】（1）设点，其中，，且，利用两点间的距离公式可求得的值，利用抛物线的定义求出的值，由椭圆的定义可求得的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的方程； （2）设直线的方程为，其中，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，同理可得出点的坐标，求出直线的方程，即可求得直线所过定点的坐标. 【详解】（1）解：抛物线焦点为，故，易知点， 设点，其中，，且， ，整理可得， 即，，解得，所以，， 所以，，则，， 因此，椭圆的方程为. （2）解：设直线的方程为，其中，设点、， 联立， ，所以，， ，故点， 同理可得点， 所以，， 所以，直线的方程为，即， 因此，直线过定点. 题型二 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 5．若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，准线为，关于的对称点为， 故，解得，故的标准方程为. 6．若抛物线的焦点恰好为圆与坐标轴的交点，则的标准方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】求得圆与坐标轴的交点坐标，可得抛物线的焦点，进而可求抛物线的方程． 【详解】设抛物线焦点到准线的距离为， 令，可得，可得抛物线的焦点为，所以， 所以，所以抛物线的方程为； 令，可得或，可得抛物线的焦点为或， 所以或，所以或， 所以抛物线的方程为或． 所以的标准方程可以是，，. 故选：BCD． 7．在平面直角坐标系中，焦点为的抛物线的标准方程为_______． 【答案】 【详解】设抛物线的标准方程为，则因为焦点为， 所以，所以， 所以抛物线的标准方程为． 8．已知抛物线的顶点为原点，焦点到直线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． ①证明：直线的方程为；      ②求面积的最小值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由焦点，得抛物线的方程为；再根据焦点到直线的距离，求出，即可得到抛物线的方程； （2）①，设切点的坐标，根据抛物线方程求导得到切线斜率，得出过的切线方程；因为两条切线都过点，所以将坐标代入两个切线方程，得到坐标满足的共同关系式，即可推导出直线的方程； ②，先联立直线与抛物线的方程，用韦达定理得到两根之和与两根之积，再用弦长公式计算的长度；然后求点到直线的距离，将面积表示为关于的函数，再求该函数的最小值. 【详解】（1）由抛物线的顶点为原点，焦点为，得抛物线的方程为； 到直线的距离为，，解得； 抛物线的方程为. （2）①设切点，且，. 由得，则； 过点的切线方程为，即； 切线过点，，整理得. 同理，可求得. ，两点都满足方程； 由两点确定一条直线可得，直线的方程为. ②联立直线与抛物线的方程，整理得； Δ，由韦达定理得 ； . 点到直线的距离; 的面积. ，当即时，取得最小值，即； 面积的最小值为. 题型三 根据定义求抛物线的标准方程 9．点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可. 【详解】将转化为, 当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为，即； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为，即. 所以抛物线的方程为或 故选：D. 10．已知是抛物线上的两点，焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为2，下列说法正确的是（    ） A． B．若直线的方程为，则 C．若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为（为坐标原点） D．若在轴上方，则直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】A. 由抛物线上一点到焦点的距离为2，利用抛物线定义求解判断；B.由求得点M，N的坐标求解判断；C.根据的外接圆的圆心是各边的中垂线的交点，结合与抛物线的准线相切求解判断；D.设，得到，求倾斜角判断. 【详解】解：抛物线上一点到焦点的距离为2， 所以，解得，故A正确； 则抛物线方程为， 由，解得，则，故B错误； 因为的外接圆的圆心是各边的中垂线的交点，而线段OF的中垂线方程为，又与抛物线的准线相切，则外接圆的半径为，故C正确； 如图所示：  ， 设，则，所以， 则，，故D正确； 故选：ACD 11．已知为抛物线的焦点，点是抛物线上一点，，且直线的倾斜角为，则抛物线的方程为________． 【答案】 【分析】设点在准线上的射影点为，连接，分析可知为等边三角形，求得，结合，可得出的值，即可得出的值，由此可得出抛物线的方程. 【详解】设点在准线上的射影点为，连接，如下图所示： 由抛物线的定义可得， 因为，易知轴，则， 故为等边三角形，则，所以，且， 设准线与轴的交点为，易知，，故， 易知，故抛物线的标准方程为. 12．已知抛物线上一点到焦点的距离为9. (1)求抛物线的方程； (2)过点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，点为抛物线准线上一点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，求； (2)把向量的数量积转化为坐标运算，求得，利用点到直线的距离公式，求出三角形的高，利用焦点弦长公式，求出，三角形面积公式，求出面积. 【详解】（1）由抛物线的定义得，解得， 抛物线的方程为； （2）设，由（1）知点， 直线的方程为， 由可得， 则， 不妨取，则点的坐标分别为， 设点的坐标为，则， 则， 解得.即， ， 点到直线的距离， 的面积. 题型四 根据抛物线上的点求标准方程 13．某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的底座）如图2所示，已知该碗的底座高为，曲线均是焦点到准线的距离为的抛物线的一部分，则该碗的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，以该抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，则该抛物线的方程为. 设，易得， 则，所以该碗的高度为. 14．顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意可得抛物线开口向左或开口向上，利用待定系数法求解即可. 【详解】因为抛物线经过，所以抛物线开口向左或开口向上， 设开口向左的抛物线方程为（）， 将点代入，得， 所以开口向左的抛物线方程为， 故B正确,错误； 设开口向上的抛物线方程为（）， 将点代入，得， 所以开口向上的抛物线方程为， 故C正确，错误. 故选:BC. 15．记抛物线，为坐标原点，直线与抛物线交于、两点，且，，则______． 【答案】 【分析】分析可知、关于轴对称，设点在第一象限，求出点的坐标，将点的坐标代入抛物线方程，即可求出的值. 【详解】直线与抛物线交于、两点，则、关于轴对称， 又因为，则，不妨设点在第一象限，则直线的方程为， 设点，则，故，即点， 将点的坐标代入抛物线方程得，解得. 16．在平面直角坐标系中，分别为直线与轴的交点，为的中点.若抛物线过点. (1)求抛物线的方程； (2)焦点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出和的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，抛物线过点，将的坐标代入得到抛物线的方程. （2）求出焦点的坐标，利用点到直线的距离求出到直线的距离. 【详解】（1），设，，则，设，，则， 为的中点，， 抛物线过点，，，， 抛物线的方程为； （2）抛物线的方程，焦点， 直线变形为， 到直线的距离为.    题型五 求抛物线的轨迹方程 17．从抛物线上各点向y轴作垂线段，则垂线段的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设垂线段的中点为，由题意得到点在抛物线上，将该点代入抛物线即可求解. 【详解】设垂线段的中点为， 则由题意可得点在抛物线上，所以，即， 所以垂线段的中点的轨迹方程是. 故选：D 18．已知抛物线的焦点为，定点和动点，都在抛物线上，且（其中为坐标原点）的面积为3，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的标准方程为 B．设点是线段的中点，则点的轨迹方程为 C．若（点在第一象限），则直线的倾斜角为 D．若弦的中点的横坐标2，则弦长的最大值为7 【答案】BCD 【分析】根据三角形的面积求得，从而求得抛物线的标准方程，利用相关点代入法、焦半径、弦长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A．，抛物线的标准方程为，故A错误； B．抛物线的焦点为， ，，则，， 代入，得，整理得， 所以点的轨迹方程为，B正确； C．由于，所以三点共线，设直线的倾斜角为， ，，解得， 同理可得，依题意，即， ，所以为锐角，所以，C正确； D．设直线的方程为， 由消去并化简得， 设，则 ， ，则， ， 所以当时，，， 满足. 所以D正确．    故选：BCD 19．已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点M，且，则点M的轨迹方程为________． 【答案】， 【分析】设，，由此能求出动点的轨迹方程． 【详解】设，则， 整理，得，． 动点的轨迹方程是，． 故答案为：，． 20．已知是抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，是坐标原点，点在抛物线上，且满足，连接并延长交于点，使得三角形的面积为. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于点，线段中点为，证明：在轴上存在点，使得为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，先求出点B的纵坐标，再代入三角形面积公式中求出p的值，进而可得抛物线的方程； （2）设出P，N，Q的坐标，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及向量的坐标运算进行求证即可. 【详解】（1）抛物线方程的准线方程为， 因为，所以点A在线段OF的中垂线上， 所以，，此时， 即，解得. 因为三角形OFB的面积为， 所以，解得， 则抛物线的方程为. （2）证明：设， 联立，消去y并整理得， 由韦达定理得，，因为M为线段PQ的中点， 所以 ， 则当时，为定值，与k的取值无关， 故在轴上存在点，使得为定值，定值为.    题型六 求实际问题中的抛物线方程 21．一桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，则该货车能顺利通过桥洞的限高为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为原点，所在的直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，通过待定系数法确定抛物线方程，并求出货车边缘处，即处桥洞与洞口底部的垂直距离，即可求出能使该货车能顺利通过桥洞的限高. 【详解】以为原点，所在的直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，， 设抛物线方程为， 将代入方程可得，解得， 所以抛物线方程为， 若宽为的一辆货车沿桥洞中线行驶，则货车边缘的横坐标为， 将其代入抛物线方程可得，解得， 所以货车边缘处，即处桥洞与洞口底部的垂直距离为， 又因为货车与其正上方的墙壁高度差至少为， 所以货车能顺利通过桥洞的限高为. 故选：B 22．如图所示是某家用汽车远光灯示意图，其中心截口曲线是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，且灯口直径是，灯深，则（    ） A．远光灯光线按照路径射向远处 B．光源到反光镜顶点的距离是 C．与抛物线对称轴垂直的光线长度为 D．灯口上任意一点到焦点的距离是 【答案】AD 【分析】根据题意结合抛物线方程和定义分析逐项分析求解. 【详解】对于选项A：根据题意可知：远光灯光线按照路径射向远处，故A正确； 如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为，可知， 可得，解得， 所以抛物线方程为，焦点坐标为， 对于选项B：光源到反光镜顶点的距离是，故B错误； 对于选项C：与抛物线对称轴垂直的光线长度为，故C错误； 对于选项D：灯口上任意一点到焦点的距离是，故D正确； 故选：AD. 23．如图是一座抛物线型拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽4m.当水位下降，水面宽为8m时，拱顶到水面的距离是__________m. 【答案】8 【分析】建立适当的直角坐标系，求出抛物线的标准方程，据题意求解即可. 【详解】以拱顶为原点，过拱顶的水平切线为轴建立直角坐标系（如图）， 设抛物线的标准方程为， 由题意可知点在抛物线上， 所以，则， 所以抛物线的标准方程为， 当水位下降，水面宽为8m时，， 设点，则， 所以，所以拱顶到水面的距离是8. 故答案为：8. 24．某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点C到点B）．已知观测点A的坐标为，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令． (1)求航天器变轨时点C的坐标； (2)求航天器降落点B与观测点A之间的距离． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）由和C点在椭圆上联立得方程组，解方程组得出点的坐标. （2）由抛物线的顶点和C点坐标求出抛物线的方程，再求出降落点B的坐标，从而求出降落点与观测点之间的距离. 【详解】（1）（1）设，由题意，，即，得 又点上在，所以联立得方程组， 解方程组得或（舍去），当时，， 由图可知，所以， 故C的坐标为． （2）（2）由题意设抛物线的方程为， 因为抛物线经过点，， 所以，，解得，即． 令可得或（舍去），即， 所以， 故航天器降落点B与观测点A之间的距离为3． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.1 抛物线及其标准方程 题型一 根据抛物线的方程求参数 1．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，于.圆：的圆心为，若，则点的横坐标为（   ） A．2 B．3 C． D． 2．对于抛物线上，下列描述正确的是（       ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 3．已知抛物线C：的焦点为F，点P在C的准线上且位于第二象限内，线段PF与C交于点Q，且，，则______． 4．已知椭圆的左、右焦点分别为、，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且. (1)求椭圆的方程； (2)过作两条斜率不为且互相垂直的直线分别交椭圆于、和、，线段的中点为，线段的中点为，证明：直线过轴上一定点，并求出该定点的坐标. 题型二 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 5．若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 6．若抛物线的焦点恰好为圆与坐标轴的交点，则的标准方程可以是（    ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，焦点为的抛物线的标准方程为_______． 8．已知抛物线的顶点为原点，焦点到直线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． ①证明：直线的方程为；      ②求面积的最小值. 题型三 根据定义求抛物线的标准方程 9．点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 10．已知是抛物线上的两点，焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为2，下列说法正确的是（    ） A． B．若直线的方程为，则 C．若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为（为坐标原点） D．若在轴上方，则直线的斜率为 11．已知为抛物线的焦点，点是抛物线上一点，，且直线的倾斜角为，则抛物线的方程为________． 12．已知抛物线上一点到焦点的距离为9. (1)求抛物线的方程； (2)过点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，点为抛物线准线上一点，且，求的面积. 题型四 根据抛物线上的点求标准方程 13．某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的底座）如图2所示，已知该碗的底座高为，曲线均是焦点到准线的距离为的抛物线的一部分，则该碗的高度为（    ） A． B． C． D． 14．顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 15．记抛物线，为坐标原点，直线与抛物线交于、两点，且，，则______． 16．在平面直角坐标系中，分别为直线与轴的交点，为的中点.若抛物线过点. (1)求抛物线的方程； (2)焦点到直线的距离. 题型五 求抛物线的轨迹方程 17．从抛物线上各点向y轴作垂线段，则垂线段的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 18．已知抛物线的焦点为，定点和动点，都在抛物线上，且（其中为坐标原点）的面积为3，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的标准方程为 B．设点是线段的中点，则点的轨迹方程为 C．若（点在第一象限），则直线的倾斜角为 D．若弦的中点的横坐标2，则弦长的最大值为7 19．已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点M，且，则点M的轨迹方程为________． 20．已知是抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，是坐标原点，点在抛物线上，且满足，连接并延长交于点，使得三角形的面积为. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于点，线段中点为，证明：在轴上存在点，使得为定值，并求出该定值. 题型六 求实际问题中的抛物线方程 21．一桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，则该货车能顺利通过桥洞的限高为（   ）    A． B． C． D． 22．如图所示是某家用汽车远光灯示意图，其中心截口曲线是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，且灯口直径是，灯深，则（    ） A．远光灯光线按照路径射向远处 B．光源到反光镜顶点的距离是 C．与抛物线对称轴垂直的光线长度为 D．灯口上任意一点到焦点的距离是 23．如图是一座抛物线型拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽4m.当水位下降，水面宽为8m时，拱顶到水面的距离是__________m. 24．某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点C到点B）．已知观测点A的坐标为，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令． (1)求航天器变轨时点C的坐标； (2)求航天器降落点B与观测点A之间的距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 $