精品解析：湖南省部分学校2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

2027 届高三10月校内检测 数学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号：回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“ 的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数满足则=（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 4. 已知 ，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 若，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知猕猴桃在运输过程中，其保鲜时间y(单位：小时)与温度t(单位：摄氏度)有如下关系：其中c，k为常数，且.已知在时保鲜时间为60小时，在时保鲜时间为40小时，则在时，保鲜时间为（ ） A. 63小时 B. 64小时 C. 65小时 D. 66 小时 7. 已知，恒成立，则a 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，当时，，若，其中，则当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 且恒过定点 C. 的最小值为 D. 在处的切线方程为 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到 11. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数的极小值点为 B. C. 若函数有4个零点，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数 为偶函数，则_______ 13. 若正实数满足 ，则的最小值为_____． 14. 已知函数，过点可作2条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为4万元，但每生产100台，需要增加可变成本(即另增加投入)2万元.市场对此产品的年需求量为500台(即公司的年产量不超过500台)、年销售额(万元)函数为 其中x是产品的年销售量(单位：百台).该工厂实行产销平衡，即年产量等于年销售量. （1）求每百台的平均利润函数m(x)； （2）年产量是多少时，工厂不亏本? （3）年产量是多少时，每百台的平均利润最大? 16. 已知函数为奇函数. （1）求的值; （2）若，解关于的不等式 17. 已知，，且满足. （1）求 的最小值； （2）求 的最小值. 18. 已知函数 ，设函数. （1）当时，求的极值点; （2）证明:当时， （3）若对任意，都有 恒成立，求的取值范围. 19. 已知函数的最小正周期为，且在处取得极大值. （1）求，的值; （2）若，求的对称中心； （3）若且的解集为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027 届高三10月校内检测 数学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号：回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“ 的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定方法，根据已知中的原命题，写出其否定形式，可得答案． 【详解】命题“  的否定为：“ 。 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于集合，解不等式， 即， 即，即， 所以， ， 所以， 所以. 3. 已知函数满足则=（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】令，解得， 将代入中， 得. 4. 已知 ，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，， 所以. 5. 若，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可求解. 【详解】由可得， 由二倍角公式可得，得， 由于，则，故 ， 故选：C 6. 已知猕猴桃在运输过程中，其保鲜时间y(单位：小时)与温度t(单位：摄氏度)有如下关系：其中c，k为常数，且.已知在时保鲜时间为60小时，在时保鲜时间为40小时，则在时，保鲜时间为（ ） A. 63小时 B. 64小时 C. 65小时 D. 66 小时 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得，所以，即， 所以，所以或（舍去）， 所以，当时，得小时. 7. 已知，恒成立，则a 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分离变量得，令，利用导数求得最小值即可. 【详解】由恒成立，可得恒成立， 又，所以恒成立，所以， 令，求导得， 令，求导得， 所以在上单调递增， 又， 所以当时，，所以在上单调递增， 所以，所以， 所以a 的取值范围为. 8. 已知定义在上的函数满足，当时，，若，其中，则当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知可得周期，利用周期性和对称性，结合可得，然后妙用“1”求最值，根据最值取得条件即可得a，然后可得答案. 【详解】根据可得的图象关于对称， 因为，所以， 的周期为4， ，，， ，， ，即， ， 当且仅当，即时，等号成立， ． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 且恒过定点 C. 的最小值为 D. 在处的切线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于，设，利用对勾函数的性质即可判断；对于，时，恒有即可判断；对于，利用基本不等式即可判断；对于，利用导数的几何意义即可判断； 【详解】对于，设，对勾函数在上单调递减，，所以，故正确； 对于，时，，所以且)恒过定点，故正确； 对于，， 当且仅当，无实数解，等号不成立，故C错误； 对于，求导，，时，，所以切线方程为， 即，故错误. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图象可求得，即可判断A；再由函数过点，可求得，根据三角函数的对称性可判断B，C；利用诱导公式得，根据图象的平移法则可判断D. 【详解】因为，即，所以，故A正确； 而，则， 又因为过点，则，即， 所以， 对于B，因为， 所以是函数图象的一个对称中心，故B正确； 对于C，， 所以直线不是函数图象的对称轴，故C错误； 对于D，， 所以函数图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数的极小值点为 B. C. 若函数有4个零点，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】求导，利用导数判断的单调性和最值，可得的图象，进而可以判断A；对于B：根据的单调性分析判断；对于C：根据偶函数性质分析可知：原题意等价于当时，与有2个交点，结合的图象分析求解；对于D：构建，结合导数可得，结合极值点偏移分析证明. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，且当趋近于0或时，趋近于， 可得函数的图象，如图所示： 对于选项A：可知函数的极小值点为，故A正确； 对于选项B：因为，且在内单调递增， 所以，故B错误； 对于选项C：令，可得， 可知函数有4个零点，即与有4个交点， 且的定义域为，且， 可知为偶函数，且当时， 原题意等价于当时，与有2个交点， 由题意可知：，故C正确； 对于选项D：设， 则， 可知在内单调递增，则， 即， 若，不妨设， 则， 且，且在内单调递增， 则，所以，故D错误； 故选：AC. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数 为偶函数，则_______ 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得，解得或， 当时，为奇函数，不符合题意； 当时，为偶函数，符合题意， 所以. 13. 若正实数满足 ，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先因式分解对已知等式变形，换元令，利用基本不等式把放缩为含的表达式，解一元二次不等式求出范围，最后验证等号可取． 【详解】由，得， 由，得， 两边同除以，得， 设， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 代入得，即，解得，或（舍去）， 所以，当且仅当时，等号成立， 综上，的最小值为． 14. 已知函数，过点可作2条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求出切线方程为，代入点的坐标化简可得，设，依题意，直线与的图象有两个交点，利用导数研究函数的性质，进而作出草图，结合图象即可得解． 【详解】，设切点为， 则切线方程为， 将点代入切线方程得，，化简得， 设，则， 令，解得，令，解得或， 在，上单调递减，在上单调递增，且， 作出函数的大致图象如下图所示， 由图象可知，要使直线与的图象有两个交点，则， 故答案为：． 【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，作出图象，数形结合求解即可． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为4万元，但每生产100台，需要增加可变成本(即另增加投入)2万元.市场对此产品的年需求量为500台(即公司的年产量不超过500台)、年销售额(万元)函数为 其中x是产品的年销售量(单位：百台).该工厂实行产销平衡，即年产量等于年销售量. （1）求每百台的平均利润函数m(x)； （2）年产量是多少时，工厂不亏本? （3）年产量是多少时，每百台的平均利润最大? 【答案】（1） （2）台 （3）200台 【解析】 【小问1详解】 设每百台的利润函数为，， . 每百台的平均利润函数. 【小问2详解】 工厂不亏本,即， 解得，又，所以. . 因年产量为整台，故最低不亏本产量向上取整为77台， 所以年产量在台时，工厂不亏本. 【小问3详解】 ，，， 所以，当且仅当，即时等号成立. 所以年产量是200台时，每百台的平均利润最大. 16. 已知函数为奇函数. （1）求的值; （2）若，解关于的不等式 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用奇函数定义求出参数，再验证函数满足奇函数的定义即可； （2）先由判断出，再判断函数在上单调递减，最后借助单调性脱去对应法则，转化为一元二次不等式即可求解. 【小问1详解】 因为， 由于是奇函数，所以，即， 整理得，交叉相乘得：， 整理得：，所以，解得. 当时，，定义域为，关于原点对称， 又因为，符合奇函数定义，故满足题意； 当时，，定义域为，关于原点对称， 又因为，符合奇函数定义，故也满足题意， 综上，. 【小问2详解】 由（1）知，当时，，此时满足题意； 当时，，此时不满足题意， 所以， 因为为上的增函数，所以为上的减函数， 所以等价于， 由为上的减函数可得：，解得：， 所以不等式的解集为. 17. 已知，，且满足. （1）求 的最小值； （2）求 的最小值. 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，求解出的取值范围，结合完全平方公式即可求解； （2）根据得到，令，，原式可化为，通过“1”的代换，利用基本不等式即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 令，因为，所以， 所以，解得，即， 因此有， 令，则，其中， 根据二次函数的图象可知： 当时，函数， 取得最小值时，，且， 因此的最小值为. 【小问2详解】 因为，因此，令，，则有， 对于，因此， 同理有， 所以原式可化为， 对于， 即，当时等号成立， 此时，， 因此上述代数式的最小值为. 18. 已知函数 ，设函数. （1）当时，求的极值点; （2）证明:当时， （3）若对任意，都有 恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）极小值点为，无极大值点 （2）， ， 在单调递增， 取且，则， 取且，则，则， 由零点存在定理，存在唯一，使得， 即， 两边取对数： ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故， 代入， ， 由基本不等式，， 当且仅当即取等， 。 因此. （3） 【解析】 【分析】易得，再利用导数法求解； 由可知，当时，存在唯一的，使得，为极小点，则由证明； 设，转化为恒成立和恒成立求解. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 求导得，， 函数在单调递增，在单调递增， 故在单调递增， 又， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极小值点为，无极大值点. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 令， 代入，，， ， 得，于是， 题意等价于： ①先处理不等式：设恒成立， 当时，取， ， 不满足条件，故， ②处理不等式：变形， 记，则对恒成立， 求导： ， 令,得或， 当时，，在大于，在小于， 在单调递增，单调递减，故，恒成立， 当时，，， 在大于，在小于， 在单调递增，单调递减，故，恒成立， 当时，， 在小于，在大于，在小于， 在单调递减，单调递增，单调递减， ，，满足， 当时，，不满足， 综上，， 所以的取值范围是. 19. 已知函数的最小正周期为，且在处取得极大值. （1）求，的值; （2）若，求的对称中心； （3）若且的解集为，求的最大值. 【答案】（1）， （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）由最小正周期公式直接求解得，由极大值得，再解方程即可得答案； （2）设的对称中心为，利用中心对称定义 ，整理后得对任意恒成立，进而转化为且的求解即可. （3）条件等价于 在 恒成立，进而结合函数单调性与最值，分，，三种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 解：因为函数的最小正周期为， 所以，解得， 因为函数在处取得极大值， 所以，即，解得， 因为，所以，取，， 综上，， 【小问2详解】 解：由（1）知， 设的对称中心为，则对任意，满足: 即： 整理得： 利用和角公式进一步整理得：， 要使等式对任意恒成立，需且， 即，解得， 所以，的对称中心为. 【小问3详解】 解：， 因为的解集为， 所以时，且 记，则，要求， 因为 所以，当时，，等号仅在孤立点成立， 所以在单调递增，于是，满足题意； 当时， 令，的第一个极小值点满足，解得 所以 当时， 因为，在区间上，只有一个极大值点，没有其他极小值，先增后减， 所以，最小值只可能在端点或处， 又，所以， 所以满足题意； 当时，取，则， 所以 所以，当， 即存在，使得，不合题意. 综上，满足条件的正整数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $