期中（第25章～28章）阶段复习解答题考点汇总训练（十二大类型）《典例全解·题型通关》2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第25章～28章）阶段复习解答题考点汇总训练 （十二大类型） 目录 考点一一元二次方程的概念 1 考点二降次——解一元二次方程 2 考点三实际问题与一元二次方程 4 考点四二次函数的概念 8 考点五二次函数的图象和性质 10 考点六二次函数与一元二次方程 15 考点七实际问题与二次函数 19 考点八反比例函数的概念 23 考点九反比例函数的图象和性质 26 考点十实际问题与反比例函数 31 考点十一图形的旋转 35 考点十二中心对称 38 考点一一元二次方程的概念 1．证明：无论m取何值，关于x的方程都是一元二次方程． 【答案】证明：， ∵无论m取何值，都大于0， ∴无论m取何值，二次项系数都不等于， ∴此方程都是一元二次方程． 【详解】略 2．如图，王师傅要用长的篱笆围成一个面积为的长方形羊圈，该羊圈一面靠墙（墙足够长），求羊圈的长和宽．若设羊圈与墙平行的一边的长为，请列出相应的方程，并说明该方程是不是一元二次方程．若是，请写出二次项系数和一次项系数． 【答案】，该方程是一元二次方程，其二次项系数为1，一次项系数为． 【详解】解：根据题意得，， 将该方程化为一般形式为， 该方程是一元二次方程，其二次项系数为1，一次项系数为． 3．已知关于x的方程的一个解是，求代数式的值． 【答案】1 【分析】根据方程的解的定义得到的值，将所求代数式变形后整体代入计算． 【详解】解：∵是方程的解． ∴． ∴． ． 将代入得：原式． 考点二降次——解一元二次方程 4．计算、解方程 （1） （2）． 【答案】（1） （2）， 【分析】（1）按照有理数混合运算顺序计算，先算乘除、乘方，再算加减； （2）用配方法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， 移项，得， 配方，得， ， 开平方，得， ∴，． 5．解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【详解】（1）解： 或 ， （2）解： 或 ， 6．关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围； （2）当______（写出一个即可）时，原方程有两个实数根，且两根异号． 【答案】（1） （2）（答案不唯一，满足即可） 【分析】（1）利用一元二次方程有实数根时判别式非负的性质，列不等式求解k的取值范围． （2）结合两根异号时两根之积为负的条件，与有实根的条件联立，确定k的取值范围后选取符合条件的值． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， ， 解得． （2）解：设方程的两根为， 方程有两个实数根且两根异号， 且， 由根与系数的关系得， 结合（1）中，可得 ， 则可取（答案不唯一）． 考点三实际问题与一元二次方程 7．外出时戴上口罩、做好防护，可以有效遏制肺炎支原体病毒的传染．有个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．求每轮传染中平均个人传染了几个人？如果控制不及时，第三轮中又将有多少人被传染？ 【答案】每轮传染中平均个人传染了个人，如果控制不及时，第三轮中又将有人被传染． 【分析】理清每一轮传染后总患病人数的变化规律，根据两轮后总患病人数为建立方程求解即可，第三轮中被传染的人数等于每轮传染中平均个人传染的人数乘以第二轮后传染的人得到． 【详解】解：设每一轮传染中平均个人传染了个人，根据题意得， ， ， 解得，（舍去）． （人） 答：每轮传染中平均个人传染了个人，如果控制不及时，第三轮中又将有人被传染． 8．某农场有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为1米的门．已知木栏总长为30米，左右两边的门均不消耗木栏． （1）如图①，当时，若围成的菜地面积为96平方米，求的长； （2）如图②，当时，围成的菜地面积能否达到121平方米？如果能，说明围法；如果不能，说明理由． 【答案】（1） （2）解：不可以，理由如下， 当时，， 根据题意得，， 整理得， ∵， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 【分析】（1）设长为米，则，根据求出，然后根据面积公式列出方程求解即可； （2）根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：设长为米，则， 由题意得， 解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴， 整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； （2）略 9．如图，长方形中（长方形的对边平行且相等，每个角都是），，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向终点移动，点以的速度向点移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为，问： （1）当时，四边形面积是多少？ （2）当为何值时，点和点距离是？ （3）当为何值时，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】（1） （2）或秒 （3）或或或秒 【分析】（1）当时，分别求出、和，再利用面积法求解四边形面积； （2）过作于，用表示出，在直角三角形中，根据勾股定理列出关于的方程求解即可； （3）分三类讨论：当①、、时，利用辅助线构造直角三角形，再根据勾股定理或三角形相关知识列出关于的方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， 长方形中，，，，， ． 四边形面积． （2）解：如图所示，过作于，， ， ． ，， 四边形为平行四边形． ， 平行四边形为矩形， ，， ． ， ，即， 解得，，符合题意． （3）解：分三类情况讨论： ①当时，如下图，过作于，同理可得，，， ， 且， ，即，解得秒，符合题意． ②当时，如下图，过作于，同理可证四边形为矩形， ． 且， ， ， ， ，解得，符合题意． ③当时，如下图，，， ， ，即， 解得，负值舍去． 综上，当为或或或秒时，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形． 考点四二次函数的概念 10．学校准备将一块长，宽的矩形绿地进行扩建，如果长和宽都增加，扩建成一个大矩形，设增加的面积是，求与之间的函数解析式． 【答案】 【分析】根据题意可得长和宽增加后矩形的长为，宽为，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 即与之间的函数解析式为． 11．已知长方体的高是，底面是边长为的正方形，它的表面积是，体积是． （1）分别写出S与x，V与x之间的关系式； （2）对于（1）中的两个函数，S和V分别是关于x的二次函数吗？ 【答案】（1）； （2）和都是关于的二次函数 【分析】（1）直接利用长方体的表面积和体积公式分别求出即可； （2）利用二次函数的定义得出答案． 【详解】（1）解：由题意，得， ； （2）解：根据二次函数的定义，可知是关于的二次函数， 是关于的二次函数， 即和都是关于的二次函数． 12．已知函数． （1）若这个函数是一次函数，求m的值． （2）若这个函数是二次函数，求m的值． 【答案】（1）m的值为 （2）m的值为1 【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的定义，掌握二次函数和一次函数的定义是解决本题的关键． （1）根据一次函数的定义即可求解； （2）根据二次函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵是一次函数， ∴当时，则， 解得， ∴ ，不是一次函数， 当时，则， ∴ ， 综上所述，m的值为； （2）解：∵是二次函数， ∴ ， 当时， ，是一次函数，不符合题意， ∴当时， ， 综上所述，m的值为1． 考点五二次函数的图象和性质 13．如图，菱形的顶点，，在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且． （1）点的坐标为________； （2）求出菱形的面积． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）连接，交轴于点，由菱形的性质可知，且，从而可推导出点的纵坐标，再将点的纵坐标代入抛物线中，由点所在象限判断正负号即可． （2）长度已知，由点、的坐标可知的长度，结合菱形的性质可求得的长度，再代入菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接交轴于点， 为菱形，为坐标原点，为对角线且与轴重合， ，即轴， 根据菱形的性质，可知， ， 点的坐标为， 又轴， 轴， 点的纵坐标为， 将代入中， 得， 整理，得， 解得， 由于点在第一象限，第一象限的点的坐标大于， 故， 点的坐标为． （2）解：， ， 由菱形的性质可知，，， ， 菱形的面积是：． 14．如图，已知抛物线L：经过点，． （1）求该二次函数解析式； （2）将抛物线L向右平移个单位得到抛物线．P是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E（点E在点P右侧）．若，求m的值． 【答案】（1） （2）1 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据平移性质得平移后抛物线的解析式为，根据 P是抛物线上一点，横坐标为，得到，由轴，，得到，，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得抛物线L：经过点，， ， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：根据题意，得， 由抛物线L向右平移个单位得到抛物线， 故平移后抛物线的解析式为， P是抛物线上一点，横坐标为， ， 故， 由轴，， 则，， 解得，， 故， 在抛物线上， ， 整理，得， 解得， 由，故舍去， 故． 15．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）判断方程是否是“邻根方程”，并说明理由； （2）已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； （3）若关于的方程（、是常数，且）是“邻根方程”，试求出代数式的最大值． 【答案】（1）方程不是“邻根方程”，理由如下： ， 解得，． ， ∴方程不是“邻根方程”． （2）或 （3）最大值为16 【分析】（1）先解方程，再结合新定义可得答案； （2）先解方程，再根据新定义得，再解方程即可； （3）根据新定义得，再利用根与系数的关系得到与的关系式，将代数式转化为关于的式子，通过配方可求出最大值． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ，， ∵方程是“邻根方程”， ∴， 解得或． （3）解：设方程的两个根分别为，， ∵方程是“邻根方程”， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 整理得：， ∴， ∴， 当时，代数式有最大值，为16． 考点六二次函数与一元二次方程 16．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与轴交于点C，连接． （1）请直接写出三点坐标和直线的函数表达式； （2）P为抛物线上一点，且在上方．若的面积为27，求P点坐标． 【答案】（1）；；； 直线的解析式为． （2）点的坐标为或 【分析】（1）对于抛物线，分别令和并求解，即可确定三点坐标；然后设直线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）首先结合三点坐标，易得为等腰直角三角形，，结合的面积为27，可解得中边上的高；过点C作的垂线，在垂线上截取，过E点作交y轴于点D，确定点坐标，进而可得直线的解析式；联立直线的解析式和抛物线解析式并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：对于抛物线， 令，可得， 解得， ∵点A在点B的左侧， ∴，， 对于抛物线， 令，可得， ∴； 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 若的面积为27， 则中边上的高， 如下图，过点C作的垂线，在垂线上截取， 过E点作交y轴于点D， 则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，直线的解析式为， ∴直线的解析式为， ∴满足条件的P点就是直线DE与抛物线的交点， 解方程组，得或， ∴点的坐标为或． 17．已知抛物线经过点． （1）此抛物线的函数解析式为_________； （2）判断点是否在此抛物线上； （3）写出此抛物线上纵坐标为的点的坐标_________． 【答案】（1）（或） （2）点不在此抛物线上 （3）和 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线顶点式，求出参数的值，即可得到抛物线的函数解析式． （2）把点的横坐标代入求得的解析式，计算对应的函数值，对比判断该点是否在抛物线上． （3）令函数值，得到关于的一元二次方程，解方程求出横坐标，进而写出对应点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过点， 把，代入解析式， 解得 ． 此抛物线的函数解析式为． 展开化成一般式： ． （2）解：将代入解析式， ． ，， 点不在此抛物线上． （3）解：令 ， 移项： 两边同除以： 开平方： 解得 ，． 抛物线上纵坐标为的点坐标为和． 18．已知二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 0 4 3 0 … （1）求该二次函数的表达式； （2）当时，求自变量x的取值范围； （3）当时，求此时y的取值范围． 【答案】（1） （2）时，自变量x的取值范围为； （3）当时，此时y的取值范围为 【分析】（1）设交点式为，然后把代入求出a即可； （2）先解方程得，然后根据二次函数的性质求解； （3）先利用配方法得到，则当时，y有最大值4，当时，，当时，，从而根据二次函数的性质得到此时y的取值范围为． 【详解】（1）解：∵抛物线经过， ∴设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式可设为， 即； （2）当时，， 解得， ∴时，自变量x的取值范围为； （3）∵， ∴当时，y有最大值4， 当时，， 当时，， ∴当时，此时y的取值范围为． 考点七实际问题与二次函数 19．综合应用 九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙于点（如图），同学们测得米，米，现有可切断的围栏18米，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地（不考虑门），假设矩形中平行于的一边长为米，菜地面积为平方米，请先设计方案，画出图形，写出函数表达式，并求该菜地可达到的最大面积是多少平方米． 【答案】平方米 【分析】根据平行于的边长x的不同取值范围，结合现有围墙米、米的长度限制，分两类围建矩形的场景推导围栏剩余部分对应的另一边长度，当时，直接使用 8 米围墙，围栏用来搭建剩余三条边，列出面积对应的二次函数，结合对称轴判断增减性，在时算出面积最大值为 40 平方米．当时，平行于的边长超过 8 米，超出部分用围栏补齐，列出面积对应的二次函数，结合对称轴判断增减性，在时算出面积最大值为 平方米．对比两个区间求出的最大面积， 大于 40，得到菜地可达到的最大面积是 平方米． 【详解】解：由题意，于点，米，米，围栏总长米． 的长度大于， 选用围墙、来围矩形菜地，可以得到更大的面积，因此只讨论在内构造矩形的情况． 设矩形中平行于的一边长为米，菜地面积为平方米． （1）当时 可以直接利用整段围墙，不需要围栏搭建这一条边，围栏只需要围另外三条边，垂直于的边长为米． ， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线． 在这个范围内，随的增大而增大． 当时，取得这个区间内的最大值． ． （2）当时 平行于的边长超过围墙米，超出的长度米需要用围栏补齐． 垂直于方向的边长为米． ， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线． 在这个范围内，随的增大而增大． 当时，取得这个区间内的最大值． ， ， 综合两种情况，菜地可以达到的最大面积是平方米． 20．九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． （1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为．隧道顶部最高处P距地面，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； （2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 【答案】（1） （2）隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶．理由如下： 当最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶时， ∴，， ∴将代入解析式得：； ∴， ∴隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶． 【分析】（1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）根据已知条件可知当时，正好是汽车宽度，求出此时抛物线的纵坐标，然后判断是否满足题意即可解答． 【详解】（1）解：根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 设抛物线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴． （2）略 21．某商品的进价为每件元，市场调查发现，该商品每周的销售量（件）与销售单价（元/件）有如下关系：．设这种商品每周的销售利润为（元）． （1）请直接写出与之间的函数关系式； （2）当销售价定为每件多少元时，才能使一周的销售利润最大？ 最大利润是多少？ （3）该商家计划在进货成本不超过元的前提下，想要每周能获得元的销售利润，销售价应定为每件多少元？ 【答案】（1） （2）当销售价定为元时，销售利润最大，最大利润是元 （3）在成本不超过元的前提下，若想获得元利润，销售价应定为每件元 【分析】（1）根据每周的销售利润单件的利润每周的销售量，即可求解； （2），根据二次函数的性质即可求解； （3）先根据进货成本不超过元，求出的范围，再令求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， ，抛物线开口向下，函数有最大值， 当时，函数有最大值，最大值是， 答：当销售价定为元时，销售利润最大，最大利润是元； （3）解：进货成本不超过元， ， 解得， 每周能获得元，则， 解得，， ， 不合题意，舍去， 即在成本不超过元的前提下，若想获得元利润，销售价应定为每件元． 考点八反比例函数的概念 22．已知函数，与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，． （1）求与的函数关系式． （2）当时，求的值． 【答案】（1）（） （2） 【分析】（1）设，，则，联立方程组求出的值，即可得到与的函数关系式； （2）将代入函数解析式计算即可． 【详解】（1）解：设，，则， 根据题意得， 解得， ； （2）解：由（1）得， 将代入得． 23．如图，平面直角坐标系中，第一象限内点、、． （1）若反比例函数经过点，求的值； （2）若反比例函数的图象与的边有交点，求的取值范围． 【答案】（1）2 （2） 【分析】（1）因为点C在反比例函数上，所以将点C的坐标代入表达式即可求解k． （2）首先明确的三条边的范围：边，y取值为2到6；边，x取值为1到3；边先求出其直线解析式，x取值为1到3．分别分析反比例函数与三条边有交点时k的取值范围，取上述范围的公共部分，即为k的最终取值范围． 【详解】（1）解：已知反比例函数经过点， 将代入解析式得： ，即． （2）解：由坐标、、，可知是直角三角形，直角在点，为竖直线段，为水平线段． 设直线的解析式为， 代入、得： ， 解得， 所以直线的解析式为． 若交点在或边上：的范围是； 若交点在斜边上：， 这是开口向下的二次函数，， 在时，k的最大值为8， 在时，k的最小值为6， ． 综上，反比例函数图象与的边有交点时，． 24．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，那么称该点为“黎点”．例如，，都是“黎点”． （1）当时，双曲线上的“黎点”为_______； （2）若抛物线（a，c为常数，）上有且只有一个“黎点”，则当时，求c的值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）设双曲线上的“黎点”为，把代入反比例函数解析式，求出m的值即可； （2）根据“黎点”定义得出方程有且只有一个解，根据根的判别式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设双曲线上的“黎点”为， 则有， （负值已舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴当时，双曲线上的“黎点”为． （2）解：∵抛物线（a，c为常数，）上有且只有一个“黎点”， ∴方程，即有且只有一个解， ， ， ， ， ． 考点九反比例函数的图象和性质 25．已知反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）画出这个反比例函数的图象． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用待定系数法求解反比例函数表达式，将已知点A的坐标代入函数式求出参数k即可得到结果； （2）按照列表、描点、连线的步骤画反比例函数图象，该函数，图象分布在第二、四象限． 【详解】（1）解：已知反比例函数的图象经过点， 将代入，得， 解得， 因此这个反比例函数的表达式为； （2）解：列表： x 1 2 5 y 2 5 10 描点，连线，得到反比例函数的图象，图略． 26．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点，，已知点的纵坐标为． （1）求点的坐标和反比例函数的表达式； （2）若是轴上一个动点，连接，将绕点顺时针旋转后点的对应点恰好能落在反比例函数图象上，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【分析】（1）分别将点的纵坐标代入正比例函数和反比例函数的表达式，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，分类讨论：当点在轴正半轴上时；当点在轴负半轴上时；构造全等三角形，结合图形分析线段的和差关系表示出的坐标，代入表达式，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意，分别将点的纵坐标代入正比例函数和反比例函数的表达式可知：，， 整理可得，， 解得， ∵， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 点的坐标为， ∴由点，关于原点对称得点的坐标为； （2）解：①当点在轴正半轴上时，如图所示， 分别过点、向轴作垂线，垂足为、， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 设，则，，， ∴点的坐标为，将点坐标代入反比例函数表达式， ∴， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∴点的坐标为； ②当点在轴负半轴上时，如图所示， 分别过点、向轴作垂线，垂足为、， 同理可得，，， ∴， 设，则，，， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为，将点坐标代入反比例函数表达式， ∴， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∵点在轴负半轴上， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何图形，掌握待定系数法求解析式，构造三角形全等得到点坐标，分类讨论思想是关键． 27．如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点M，分别与交于点D、E． （1）证明：与面积相等； （2）若，求的值； （3）若四边形面积为6，求反比例函数的解析式． 【答案】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵D、E在反比例函数的图象上， ∴， ∴与面积相等； （2） （3） 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，再由反比例函数比例系数的几何意义可得； （2）求出，设点E的坐标为，则点B的坐标为，点D坐标为，则可推出，据此求出的长即可得到答案； （3）设M点坐标为，则，即，可求出，，，进而求出点D和点E的坐标，根据，求出的值即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 设点E的坐标为，则点B的坐标为，点D坐标为， ∵，均在反比例函数的图象上， ∴， 解得． ∴， ∴， ∴． （3）解：设M点坐标为，则，即， ∵点M为矩形对角线的交点， ∴， ∴，， ∴D点的横坐标为，E点的纵坐标为， 又∵点D、点E在反比例函数的图象上， ∴D点的纵坐标为，E点的横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴反比例函数的解析式为． 考点十实际问题与反比例函数 28．某电脑公司在国庆期间搞活动时，规定每台电脑7000元，可分期付款，交首付后剩余的钱数（元）与时间（月）的关系如图所示． （1）首付款为______________，与的函数关系式为______________； （2）如果每月支付的钱数不少于400元，那么至多几个月才能将所有的钱全部还清？ 【答案】（1）元； （2）15个月 【分析】（1）根据待定系数法求解反比例函数表达式即可，再由函数图象求解首付款； （2）根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）由图象得，交首付后剩余的钱数（元）与时间（月）是反比例关系， 设y与t的函数关系式为， ∵反比例函数图象经过点， 则， 解得， 故y与t的函数关系式是； 当时，则， 故首付为（元）； （2）解：由函数图象可得，随着的增大而减小， 当时，即， ∴， 故最多15个月能将所有的钱全部还清． 29．如图所示为某新款饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示． （1）求开机后第一个周期内，加热阶段和水温下降阶段的函数表达式； （2）生活委员到校打开电源，请通过计算说明：当第一节课下课时（），同学们能否喝到不高于的温水． 【答案】（1）加热阶段的函数表达式为，水温下降阶段的函数表达式为 （2）同学们能喝到不高于的温水 【分析】（1）根据题意，利用待定系数法求解即可； （2）判断出时，饮水机处于第4个周期的第10分钟，则此时处于水温下降阶段，将代入反比例函数表达式求出函数值，再与比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，加热阶段与是一次函数关系． 设加热阶段的函数表达式为． 因为初始水温为， 所以． 因为每分钟上升， 所以． 所以加热阶段的函数表达式为． 当时，， 解得． 所以加热阶段的函数表达式为． 由题意可知，水温下降阶段与成反比例关系． 设水温下降阶段的函数表达式为． 因为图象经过点， 所以， 解得． 所以水温下降阶段的函数表达式为． 当时，， 解得． 所以水温下降阶段的函数表达式为． 综上：加热阶段的函数表达式为， 水温下降阶段的函数表达式为； （2）解：从到经过的时间为：1小时10分钟分钟． 由（1）可知，一个周期的时间为20分钟．． 所以时，饮水机处于第4个周期的第10分钟． 因为， 所以此时处于水温下降阶段． 将代入，得． 因为， 所以同学们能喝到不高于的温水． 答：同学们能喝到不高于的温水． 30．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，如图1，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：cm）的反比例函数，当时，． （1）关于的函数表达式为_________． （2）若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少？ 【答案】（1） （2）小孔到蜡烛的距离至少是． 【分析】（1）由题意设，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）由建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意设：， 把，代入，得， 关于x的函数解析式为：； （2）解：时， ， ， ∴， 答：小孔到蜡烛的距离至少是． 考点十一图形的旋转 31．如图，把绕点旋转，得到，点在边上，，，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵把绕点旋转，得到，， ∴， ∵， ∴． 32．如图，在中，，，点为的中点，点在上，以点为中心，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． （1）求证：； （2）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， , ， ． 在和中， ， ． （2），证明如下： ， ． 点为的中点， ， ， ． 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，结合的条件，利用证明； （2）由（1）中全等三角形的性质，得到，根据线段中点的定义，得到，再结合线段进行等量代换即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 33．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，点A的坐标是，连接．将绕点A逆时针旋转得到，反比例函数的图象经过点D，与 交于点E，连接，，． （1）求反比例函数的表达式． （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）延长 交x轴正半轴于点F，证明四边形为正方形，求解即可． （2）根据，求解即可； 【详解】（1）解：由题意，得，． 由旋转的性质，可知，，． 延长 交x轴正半轴于点F，如图，则四边形为正方形． ∴点D的坐标为，即． ∵反比例函数的图象经过点D， ∴． ∴反比例函数的表达式为． （2）解：将代入，得， ∴点E的坐标为． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ， ∴； 考点十二中心对称 34．如图，已知和点O，作，使与关于点O成中心对称． 【答案】如图即为所求作的三角形： 【详解】根据中心对称的性质，分别作出点A，B，C关于点O成中心对称的对称点，顺次连接即可． 【解答】解：（1）连结并延长到，使，则点即点A关于点O成中心对称的对称点． （2）同理，作出点B，C的对称点，． （3）连结，，． 即为所求作的三角形． 35．作图题：如图，在方格纸中，只用没有刻度的直尺，按要求画图，保留作图痕迹． （1）在图1中画出以点为对称中心的． （2）在图2中画出的中线． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）连接，并延长，结合格点图得到格点，使得，同理找到格点，使得，再连接即可得； （2）结合格点图找到格点，连接，使得四边形是平行四边形，再连接，交于点，则即为所求． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 36．如图所示，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）写出点关于原点对称的点的坐标__________； （2）画出绕原点逆时针旋转90°得到的； （3）在（2）条件下求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据点的坐标的对称性（关于原点对称，横纵坐标改变，且为原来坐标的相反数）即可求出答案． （2）分别确定绕原点逆时针旋转的，和三点位置，顺次连接即可得到． （3）根据旋转的性质和已知条件确定等腰直角三角形，推出，利用勾股定理求出的长度，即可求出的面积． 【详解】（1）解：， 点关于原点对称的点的坐标是． （2）解：①连接，将绕原点逆时针旋转即可得到，确定点位置， ②两点都在轴上，绕原点逆时针旋转，确定和的位置都在轴的负半轴上，且距离分别为6和1． ③将，和三点连线即可得到． （3）解：连接，如图所示， 由直角坐标系可知，， 逆时针旋转得到， 为等腰直角三角形， ． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第25章～28章）阶段复习解答题考点汇总训练 （十二大类型） 目录 考点一一元二次方程的概念 1 考点二降次——解一元二次方程 2 考点三实际问题与一元二次方程 3 考点四二次函数的概念 4 考点五二次函数的图象和性质 5 考点六二次函数与一元二次方程 6 考点七实际问题与二次函数 7 考点八反比例函数的概念 9 考点九反比例函数的图象和性质 10 考点十实际问题与反比例函数 11 考点十一图形的旋转 13 考点十二中心对称 14 考点一一元二次方程的概念 1．证明：无论m取何值，关于x的方程都是一元二次方程． 2．如图，王师傅要用长的篱笆围成一个面积为的长方形羊圈，该羊圈一面靠墙（墙足够长），求羊圈的长和宽．若设羊圈与墙平行的一边的长为，请列出相应的方程，并说明该方程是不是一元二次方程．若是，请写出二次项系数和一次项系数． 3．已知关于x的方程的一个解是，求代数式的值． 考点二降次——解一元二次方程 4．计算、解方程 （1） （2）． 5．解方程： （1）； （2）． 6．关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围； （2）当______（写出一个即可）时，原方程有两个实数根，且两根异号． 考点三实际问题与一元二次方程 7．外出时戴上口罩、做好防护，可以有效遏制肺炎支原体病毒的传染．有个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．求每轮传染中平均个人传染了几个人？如果控制不及时，第三轮中又将有多少人被传染？ 8．某农场有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为1米的门．已知木栏总长为30米，左右两边的门均不消耗木栏． （1）如图①，当时，若围成的菜地面积为96平方米，求的长； （2）如图②，当时，围成的菜地面积能否达到121平方米？如果能，说明围法；如果不能，说明理由． 9．如图，长方形中（长方形的对边平行且相等，每个角都是），，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向终点移动，点以的速度向点移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为，问： （1）当时，四边形面积是多少？ （2）当为何值时，点和点距离是？ （3）当为何值时，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形． 考点四二次函数的概念 10．学校准备将一块长，宽的矩形绿地进行扩建，如果长和宽都增加，扩建成一个大矩形，设增加的面积是，求与之间的函数解析式． 11．已知长方体的高是，底面是边长为的正方形，它的表面积是，体积是． （1）分别写出S与x，V与x之间的关系式； （2）对于（1）中的两个函数，S和V分别是关于x的二次函数吗？ 12．已知函数． （1）若这个函数是一次函数，求m的值． （2）若这个函数是二次函数，求m的值． 考点五二次函数的图象和性质 13．如图，菱形的顶点，，在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且． （1）点的坐标为________； （2）求出菱形的面积． 14．如图，已知抛物线L：经过点，． （1）求该二次函数解析式； （2）将抛物线L向右平移个单位得到抛物线．P是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E（点E在点P右侧）．若，求m的值． 15．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）判断方程是否是“邻根方程”，并说明理由； （2）已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； （3）若关于的方程（、是常数，且）是“邻根方程”，试求出代数式的最大值． 考点六二次函数与一元二次方程 16．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与轴交于点C，连接． （1）请直接写出三点坐标和直线的函数表达式； （2）P为抛物线上一点，且在上方．若的面积为27，求P点坐标． 17．已知抛物线经过点． （1）此抛物线的函数解析式为_________； （2）判断点是否在此抛物线上； （3）写出此抛物线上纵坐标为的点的坐标_________． 18．已知二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 0 4 3 0 … （1）求该二次函数的表达式； （2）当时，求自变量x的取值范围； （3）当时，求此时y的取值范围． 考点七实际问题与二次函数 19．综合应用 九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙于点（如图），同学们测得米，米，现有可切断的围栏18米，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地（不考虑门），假设矩形中平行于的一边长为米，菜地面积为平方米，请先设计方案，画出图形，写出函数表达式，并求该菜地可达到的最大面积是多少平方米． 20．九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． （1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为．隧道顶部最高处P距地面，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； （2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 21．某商品的进价为每件元，市场调查发现，该商品每周的销售量（件）与销售单价（元/件）有如下关系：．设这种商品每周的销售利润为（元）． （1）请直接写出与之间的函数关系式； （2）当销售价定为每件多少元时，才能使一周的销售利润最大？ 最大利润是多少？ （3）该商家计划在进货成本不超过元的前提下，想要每周能获得元的销售利润，销售价应定为每件多少元？ 考点八反比例函数的概念 22．已知函数，与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，． （1）求与的函数关系式． （2）当时，求的值． 23．如图，平面直角坐标系中，第一象限内点、、． （1）若反比例函数经过点，求的值； （2）若反比例函数的图象与的边有交点，求的取值范围． 24．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，那么称该点为“黎点”．例如，，都是“黎点”． （1）当时，双曲线上的“黎点”为_______； （2）若抛物线（a，c为常数，）上有且只有一个“黎点”，则当时，求c的值． 考点九反比例函数的图象和性质 25．已知反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）画出这个反比例函数的图象． x 1 2 5 y 2 5 10 描点，连线，得到反比例函数的图象，图略． 26．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点，，已知点的纵坐标为． （1）求点的坐标和反比例函数的表达式； （2）若是轴上一个动点，连接，将绕点顺时针旋转后点的对应点恰好能落在反比例函数图象上，求点的坐标． 27．如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点M，分别与交于点D、E． （1）证明：与面积相等； （2）若，求的值； （3）若四边形面积为6，求反比例函数的解析式． 考点十实际问题与反比例函数 28．某电脑公司在国庆期间搞活动时，规定每台电脑7000元，可分期付款，交首付后剩余的钱数（元）与时间（月）的关系如图所示． （1）首付款为______________，与的函数关系式为______________； （2）如果每月支付的钱数不少于400元，那么至多几个月才能将所有的钱全部还清？ 29．如图所示为某新款饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示． （1）求开机后第一个周期内，加热阶段和水温下降阶段的函数表达式； （2）生活委员到校打开电源，请通过计算说明：当第一节课下课时（），同学们能否喝到不高于的温水． 30．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，如图1，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：cm）的反比例函数，当时，． （1）关于的函数表达式为_________． （2）若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少？ 考点十一图形的旋转 31．如图，把绕点旋转，得到，点在边上，，，求的度数． 32．如图，在中，，，点为的中点，点在上，以点为中心，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． （1）求证：； （2）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 33．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，点A的坐标是，连接．将绕点A逆时针旋转得到，反比例函数的图象经过点D，与 交于点E，连接，，． （1）求反比例函数的表达式． （2）求的面积． 考点十二中心对称 34．如图，已知和点O，作，使与关于点O成中心对称． 35．作图题：如图，在方格纸中，只用没有刻度的直尺，按要求画图，保留作图痕迹． （1）在图1中画出以点为对称中心的． （2）在图2中画出的中线． 36．如图所示，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）写出点关于原点对称的点的坐标__________； （2）画出绕原点逆时针旋转90°得到的； （3）在（2）条件下求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $