北京市第二中学2026-2027学年高一上学期航2学段考试数学试题

参考答案 一、单选题：本题共10小题，共47分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的. 1.D 2.C 3.A 4.A 5.B 6.A 7.A 8.D 9.B 10.A 11.C 12.C 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 3.(0,e]/{x0<x≤ey 1 14.2 15.306 4√2 16. 9 17.15 18.①③ 三、解答题：本题共4小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19.【5+5】 (1)由x2-3x-4<0得，-1<x<4,所以A={x-1<x<4} ……1分 当a=-1时，B={x-2<x<0y, …1分 所以AUB={x-2<x<4 …1分 因为4={≤-1或x之4 …1分 所以(G4)nB=x-2<x≤-1 …1分 (2)因为x∈B是x∈A的充分不必要条件，所以B是A的真子集， 1分 a-1≥2-1 因为B={xa-l<x<a+l≠0，所以a+1≤4 。。。。。。。。。。 …2分 解得0≤a≤3，即实数a的取值范围为[0,3] …2分 20.【答案】0=4， 23π15π mE -8’8 【你10,61向=-(2a).-如or+君司- 英中0>0， 则根据平面向量数量积的坐标公式、两角和的正弦公式和三角函数的恒等变换可得： f(x)=m.i=4cosoxsin @x+ -1 6 =4cos@x nor+号osr 2 =2v3sin@xcos@x+2cos2@x-1 =√3sin2ox+cos2ox =2sin 20x+ 6 π 函数f()=m元 的两条相邻的对称轴之间的距离为8. Tπ .π T= 则28，即4， T= 2π= 由2a 4.0>0,得到0=4， 所以 (x)=2sim8x+6)】 +2m≤8x+≤号+2，keZ. 因为 62 石+≤xs”+风 所以124 244,k∈Z, (2)己知函数y=8()的图象是先将’=f(0)的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变， 之 然后再向左平移24个单位得到的， 6)-2am2+*+-22r+别 则 g-2→m2x+- 2x++2k 42 ,k∈Z,解得8 x= 7π 当k=0时，8，当k=-1时，8，当k=-2时， =157 8, x=、23m 当k=-3时， 8, 因为集合g()2m5x≤0吲台有两个元米， 23π <ms- 5π 23π15π 所以8 8, me 8,-8 21.【3+4+5】 (1)由题意可得-1,2是方程r+(a-2)x-2=0的两根(a>0), l+2=2a -1x2=-2 可得 a, …2分 解得a=1, …1分 (2)不等式+(a-2)r-222-3对xeR恒成立， 即为a-2)X+（a-2x+120恒成立，分 当a=2时，不等式即为1≥0恒成立； 1分 当a>2时，△≤0即为(a-2)-4(a-2)≤0，解得2<a≤6： …1分 当a<2时，不等式不恒成立， 综上可得，a的取值范围是2,6]， …1分 (3)不等式ar+(a-2)x-2≥0 即有（ar-2)(x+1)≥0 ①当a=0时，原不等式化为x+1≤0→x≤-1： c0:不停两引c+功50 21 当a ，即a<-2时，原不等式等价于 -lsxs2 a: 2-1 当a ,即a=-2时，原不等式等价于x=-1: 2 当a,即-2<a<0时，原不等式等价于 2≤x≤-1 2,1 x≥2 ③当a>0时，a,原不等式等价于 或x≤-1 综上所述： 当a=0时，原不等式的解集为-0，-， …分 当a>0时，原不等式的解集为 [2 …1分 a<-2时，原不等式的解集为a. …1分 当Q=-2时，原不等式的解集为{1。 …1分 [2-1 当-2<a<0时，原不等式的解集为La …1分 22.【3+5+5】 h(x)=x+- (1)由题意知，函数 在(0,2]上单调递减，在(2，+切）上单调递增， 由x,3],可得函数h()在区何，2]上单调递减，在区何(2,3刊上单调递增。…1分 a0=1+4=5,M2)=2+2=4,43)-=3号号. 当x∈[3]时，h(的最小值为4，最大值为5.2分 )=4,12-3-2x+1+,4-8 (2) 2x+1 2x+1 …2分 g-2+heo,则+片81e同 …1分 易知y=2x+1是R上的增函数，根据函数 t的性质可得， 1 0≤x≤ 当1≤t≤2，即 2时，函数()单调递减， 1 <x≤1 当2<t≤3，即2 时，函数()单调递增， 3 函数f()的值域为[4，-3列 …2分 3)对任意∈[0，，总存在与∈[，2，使得f(G)=g(G,) ∴函数()的值域为函数8()值域的子集， …1分 由(2)知函数f()的值域为[-4，-3]， g(x)=-2.x∈[l,2] 当k=0时，8()=-2，不符合慰意 当k>0时，8()在区间L,2]上单调速箱。 .g()e[k-2,2k-2] k-2s-4 12k-22-3,无解： …2分 当k<0时，8(：)在区间2]上单调递减， .g()∈[2k-2,k-2], ,「2k-2≤-4， k-22-3,解得k=-1 …2分 综上所述，k=-1. 23.【2+4+7】 1)集合P={2,58}中，因为2+5=7EP,5-2=3EP, 所以集合P不是“封闭集”.… …1分 集合2={05,10y中 因为0+5=5∈0,0+10=10∈0,10-5=5∈9,0±0=0∈9， 5+5=10e9.5-5=0∈0.10-10=0e9. 所以集合是“封闭集”； …分 (2)因为4<4<a,且P={a,a,4}是“封闭集”，由于4+4，>4， 所以4，+aEP,则4-a,=0eP,所以4=0， …分 又因为4+a>a,所以4+aEP (3-a)EP,(as-a:)EP,(as-a)EP.a3-a;<a;-a:<as-a 由集合的元素互异性可知，4，-4，=4，而4，=2026，所 以0=24=1013 故集合P=0,1013,2026, …3分 (3)因为A={a,4,…,a}(0≤4<4，<<a)是“封闭集”. 所以a,+a,足A,则4，-0，=0eA,所以4=0 …1分 又因为0≤a<a<<a,所以0≤a-a,<a。-a<<a。-4, 又因为a.+0>a,(i=1,2,,n-1) 所以a+an-:A,则a,-a∈A …2分 由集合元素的互异性可知 所以a=a,-0m,a=0n-0m1,4=am-am-2,,0n=an-a, 所以4+a,+a+…+a.=(a,-a)+(a.-a-)+(a。-an2)+…+(a,-a） =nan-(a+a2+a3+…+an) …2分 所以2(a+4+a,++a）=nan n 则4+a+a++a,-20, ,命题得证.…2分 北京二中2026—2027学年度第一学段2025级航2学段考试试卷 数学必修第一册 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上） 1．设集合，，则等于（ ） A． B． C． D． 2．已知，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 3．已知实数，，则“，”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若向量与不共线，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例．后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为（ ） A．12 B． C． D．15 6．在梯形中，，，，若，则（ ） A．12 B．16 C．20 D． 7．某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元．设购买2只玫瑰花所需费用为A元，购买3只康乃馨所需费用为B元，则A，B的大小关系是（ ） A． B． C． D．A，B的大小关系不确定 8．在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况．而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（）（ ） A． B． C． D． 10．函数，当时，，则的取值可以是（ ） A． B． C． D． 11．已知函数若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 12．已知函数的定义域为，满足，且当时，．若，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上） 13．函数的定义域为________． 14．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值为________． 15．已知向量，，则的最大值为________；与的夹角的取值范围是________． 16．已知，若，则________． 17．已知函数，对任意实数都有，，且在上单调，则的最大值为________． 18．已知函数给出下列四个结论： ①当时，的最小值为0； ②当时，存在最小值； ③的零点个数为，则函数的值域为； ④当时，对任意，，． 其中所有正确结论的序号是________ 三、解答题（本大题共60分，请将答案填在答题纸上） 19．（本小题10分） 已知集合，． （1）若时，求，； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 20．（本小题12分）已知向量，，其中，函数的两条相邻的对称轴之间的距离为． （1）求的值，及函数的单调递增区间； （2）已知函数的图象是先将的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位得到的．设实数，若集合中恰有两个元素，求的取值范围． 21．（本小题12分）已知关于的不等式，． （1）已知不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式． 22．（本小题13分）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上单调递减，在上单调递增． （1）若函数，当时，求的最值； （2）已知，，求函数的值域； （3）对于（2）中的函数和函数，，若对任意，总存在，使得，求实数的值． 23．（本小题13分） 已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，则称为“封闭集”． （1）若集合，，判断，是否是“封闭集”？并说明理由； （2）若集合是“封闭集”，且，求集合； （3）设集合是“封闭集”，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $