精品解析：北京市东北师范大学附属中学朝阳学校2026-2027学年高一年级上学期10月学习质量监测与反馈数学试题

2026-2027学年上学期 高一年级 学习质量监测与反馈 数学学科试卷 考试时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（每题4分，共10道小题） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 下列函数中，与是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 设已知集合，，且，都有成立，则的取值为（ ） A. 或 B. 或或 C. 或 D. 或 6. 设R，则“＞1”是“＞1”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 9. 关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 函数在区间上的最小值是______. 12. 若集合只有2个子集，则a的取值集合是__________. 13. 适合条件的集合的个数是________. 14. 已知，则当______时，取得最小值为______. 15. 已知命题p：“，”，则p为真命题的一个必要不充分条件是__________． 16. 设关于x的不等式的解集为，给出下列四个结论：①；②若，则；③中可能只有1个元素；④中可能恰有1个整数.其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题（共50分） 17. 已知全集，设集合，．求： （1），; （2），． 18. 已知集合，，． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）若关于x的不等式的解集为，求a，b的值； （2）若，且时，恒成立，求实数b的取值范围； （3）若且，解关于x的不等式． 20. 某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为20元，年销售8万件． （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ （2）为了抓住契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期 高一年级 学习质量监测与反馈 数学学科试卷 考试时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（每题4分，共10道小题） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出两个集合，再根据交集含义即可得到答案. 【详解】，，则. 故选：B. 2. 已知命题，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据特称命题的否定，可得答案. 【详解】由题意可得命题的否定为“，. 故选：A. 3. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，若，由不等式可得；B、C可举出反例；D选项，两边平方得. 【详解】A选项，若，，不等式两边同除以得，，A错误； B选项，不妨设，，则，，B错误； C选项，设，满足，则，，C错误； D选项，两边平方得，D正确. 故选：D 4. 下列函数中，与是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义域与对应关系逐项判断即可得答案. 【详解】函数的定义域为， 对于A，函数的定义域为，且对应关系与函数相同，故A正确； 对于B，函数的定义域为，但是，对应关系与函数不相同，故B错误； 对于C，函数的定义域为，定义域不同，则不是同一函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为，且，则对应关系与函数不相同，故D错误. 故选：A. 5. 设已知集合，，且，都有成立，则的取值为（ ） A. 或 B. 或或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由条件推出是的子集，所以中元素只能等于或，解方程后，利用集合元素互异性检验，舍去造成重复的，得到最终取值． 【详解】由，都有成立，得， 当时，解得或， 若，则，，符合题意； 若，则，，符合题意； 当时，解得，此时，显然不满足集合元素的互异性， 综上，的取值为或． 6. 设R，则“＞1”是“＞1”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件 考点：充分条件与必要条件 7. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，恒成立，由即可求出. 【详解】因为命题“，使”是假命题， 所以，恒成立，所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：B. 8. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列出集合、，可判断两者之间的关系. 【详解】∵集合， ， ∴. 故选：B. 9. 关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得且，即可将不等式等价转化为，求解即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以且，则， 所以不等式，即，即，等价于， 解得或， 所以不等式的解集为. 10. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件，再利用基本不等式求最值. 【详解】因为， 所以， 因为，， 所以， 当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 函数在区间上的最小值是______. 【答案】## 【解析】 【详解】函数开口向上，对称轴，在单调递减，在单调递增， 所以函数在处取到最小值，最小值为. 12. 若集合只有2个子集，则a的取值集合是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由子集个数判断集合只有一个元素，分和讨论即可求解. 【详解】因为集合只有两个子集，所以集合只有一个元素， 当时，方程的解为，符合题意； 当时，，解得，所以实数取值集合为. 故答案为： 13. 适合条件的集合的个数是________. 【答案】15 【解析】 【分析】适合条件的集合的个数等价为求集合的真子集个数， 从而可求得答案. 【详解】适合条件的集合的个数等价为求集合的真子集个数， 集合的真子集个数为个， 故答案为：15 【点睛】本题考查有限集合的真子集个数问题，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题. 14. 已知，则当______时，取得最小值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由基本不等式求解即可. 【详解】因为，，所以 ，当且仅当，即时取等， 所以当时，取得最小值为. 故答案为：；. 15. 已知命题p：“，”，则p为真命题的一个必要不充分条件是__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据已知命题为真求对应参数a的范围，再结合充分、必要性定义写出一个必要不充分条件. 【详解】由得：，所以p为真命题的充要条件是， 故一个必要不充分条件是． 故答案为：（答案不唯一） 16. 设关于x的不等式的解集为，给出下列四个结论：①；②若，则；③中可能只有1个元素；④中可能恰有1个整数.其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①④ 【解析】 【分析】①②④代入特殊值检验即可，③求解含有参数的一元二次不等式需要对参数进行分类讨论. 【详解】将代入不等式左边，得，该式恒成立，故，①正确. 时，不等式化为，整理得，解得，即，②错误. 若， 当即时，不等式化为，解集为，为无限集； 当时，不等式为二次不等式，判别式,若（开口向上），解集为两根之间的开区间，为无限集； 若（开口向下），解集为两根之外的两个开区间，为无限集； 空集的元素个数为0，故不可能只有1个元素，③错误； 取，此时不等式为，因式分解得，解得，该区间仅含整数0，即恰有1个整数，故④正确， 综上，正确结论的序号是①④. 三、解答题（共50分） 17. 已知全集，设集合，．求： （1），; （2），． 【答案】（1）， （2）或； 【解析】 【分析】（1）先解不等式确定集合，再根据交集、并集定义分别求和. （2）先求、在全集中的补集，再根据并集、交集定义分别求和. 【小问1详解】 由可得，， 解得，所以， 又因为， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以或， 又因为， 所以或， 所以或， . 18. 已知集合，，． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由知，分和讨论，分别求出的范围再合并. （2）由，分和讨论，排除不符合题意的情况后求出的范围. 【小问1详解】 由题意，对进行因式分解可得： ，求解可得：，因此， 解绝对值不等式可得，因此， 因为，所以，分两种情况讨论： 当为空集时：即，解得，此时空集是任意集合的子集，符合条件， 当为非空集合时：即，要使，需满足 ， 解得，综上所述，的取值范围是. 【小问2详解】 因为，且，所以集合与集合有交集， 当为空集时，即，此时，不符合题意， 当为非空集合时，即，要使，需满足， 解得，综上所述，的取值范围是. 19. 已知函数． （1）若关于x的不等式的解集为，求a，b的值； （2）若，且时，恒成立，求实数b的取值范围； （3）若且，解关于x的不等式． 【答案】（1）; （2）; （3）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集得到，解之即可得到结果； （2）原题等价于时，恒成立，进而求出在上的最小值即可得出结果； （3）首先求出方程的两根，进而根据两根的大小进行分类讨论即可求出结果. 【小问1详解】 由题意可得，且和1是关于x的方程的根，即，解得， 【小问2详解】 由题意知时，恒成立， 即时，恒成立， 又由对勾函数的性质可得在上单调递增， 因此在上的最小值为， 故，所以， 因此实数b的取值范围为， 【小问3详解】 由题意可得，即 方程的两根为， 当时，即，不等式的解集为， 当时，即，不等式的解集为或， 当时，即，不等式的解集为或， 综上：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或. 20. 某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为20元，年销售8万件． （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ （2）为了抓住契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 【答案】（1）元 （2）当该商品改革后的销售量至少达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元． 【解析】 【分析】（1）设每件定价为元，根据题意求出此定价下的销售量，即可求得现在的销售的总收入，再根据与原收入的关系，解关于的一元二次不等式； （2）根据改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，列出关于，的不等式，问题转化为关于，的不等式有解，再结合基本不等式即可求解． 【小问1详解】 设每件定价为元，依题意得 ， 整理得 ，解得 ． 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元． 【小问2详解】 依题意知，当 时，不等式有解， 等价于当时，有解， 由于，当且仅当，即时等号成立， 所以． 所以当该商品改革后的销售量至少达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $